Парабола

3 раздела
от теории до практики
примеров
Примеры решения задач
видео
Примеры решения задач
Содержание
  1. Парабола, её форма, фокус и директриса.
    Начать изучение
  2. Свойства параболы.
    Начать изучение
  3. Уравнение касательной к параболе.
    Начать изучение

Парабола, её форма, фокус и директриса.

Определение.

Параболой называется линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
y^{2}=2px\label{ref15}
$$
при условии \(p > 0\).

Из уравнения \eqref{ref15} вытекает, что для всех точек параболы \(x \geq 0\). Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы.

Форма параболы известна из курса средней школы, где она встречается в качестве графика функции \(y=ax^{2}\). Отличие уравнений объясняется тем, что в канонической системе координат по сравнению с прежней оси координат поменялись местами, а коэффициенты связаны равенством \(2p=a^{-1}\).

Фокусом параболы называется точка \(F\) с координатами \((p/2, 0)\) в канонической системе координат.

Директрисой параболы называется прямая с уравнением \(x=-p/2\) в канонической системе координат (\(PQ\) на рис. 8.11).

парабола
Рис. 8.11. Парабола.

Свойства параболы.

Утверждение.

Расстояние от точки \(M(x, y)\), лежащей на параболе, до фокуса равно
$$
r=x+\frac{p}{2}.\label{ref16}
$$

Доказательство.

Вычислим квадрат расстояния от точки \(M(x, y)\) до фокуса по координатам этих точек: \(r^{2}=(x-p/2)^{2}+y^{2}\) и подставим сюда \(y^{2}\) из канонического уравнения параболы. Мы получаем
$$
r^{2}=\left(x-\frac{p}{2}\right)^{2}+2px=\left(x+\frac{p}{2}\right)^{2}.\nonumber
$$
Отсюда в силу \(x \geq 0\) следует равенство \eqref{ref16}.

Заметим, что расстояние от точки \(M\) до директрисы также равно
$$
d=x+\frac{p}{2}.\nonumber
$$

Следовательно, мы можем сделать следующий вывод.

Утверждение.

Для того чтобы точка \(M\) лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы она была одинаково удалена от фокуса и от директрисы этой параболы.

Доказательство.

Докажем достаточность. Пусть точка \(M(x, y)\) одинаково удалена от фокуса и от директрисы параболы:
$$
\sqrt{\left(x-\frac{p}{2}\right)^{2}+y^{2}}=x+\frac{p}{2}.\nonumber
$$

Возводя это уравнение в квадрат и приводя в нем подобные члены, мы получаем из него уравнение параболы \eqref{ref15}. Это заканчивает доказательство.

Параболе приписывается эксцентриситет \(\varepsilon=1\). В силу этого соглашения формула
$$
\frac{r}{d}=\varepsilon\nonumber
$$
верна и для эллипса, и для гиперболы, и для параболы.


Уравнение касательной к параболе.

Выведем уравнение касательной к параболе в точке \(M_{0}(x_{0}, y_{0})\), лежащей на ней. Пусть \(y_{0} \neq 0\). Через точку \(M_{0}\) проходит график функции \(y=f(x)\), целиком лежащий на параболе. (Это \(y=\sqrt{2px}\) или же \(y=-\sqrt{2px}\), смотря по знаку \(y_{0}\).) Для функции \(f(x)\) выполнено тождество \((f(x))^{2}=2px\), дифференцируя которое имеем \(2f(x)f'(x)=2p\). Подставляя \(x=x_{0}\) и \(f(x_{0})=y_{0}\), находим \(f'(x_{0})=p/y_{0}\) Теперь мы можем написать уравнение касательной к параболе
$$
y-y_{0}=\frac{p}{y_{0}}(x-x_{0}).\nonumber
$$
Упростим его. Для этого раскроем скобки и вспомним, что \(y_{0}^{2}=2px_{0}\). Теперь уравнение касательной принимает окончательный вид
$$
yy_{0}=p(x+x_{0}).\label{ref17}
$$

Заметим, что для вершины параболы, которую мы исключили, положив \(y_{0} \neq 0\), уравнение \eqref{ref17} превращается в уравнение \(x=0\), то есть в уравнение касательной в вершине. Поэтому уравнение \eqref{ref17} справедливо для любой точки на параболе.

Утверждение.

Касательная к параболе в точке \(M_{0}\) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезком, который соединяет \(M_{0}\) с фокусом, и лучом., выходящим из этой точки в направлении оси параболы (рис. 8.12).

Доказательство.

касательная к параболе
Рис. 8.12. Касательная к параболе.

Рассмотрим касательную в точке \(M_{0}(x_{0}, y_{0})\). Из уравнения \eqref{ref17} получаем ее направляющий вектор \(\boldsymbol{v}(y_{0}, p)\). Значит, \((\boldsymbol{v}, \boldsymbol{e}_{1})=y_{0}\) и \(\cos \varphi_{1}=y_{0}/\boldsymbol{v}\). Вектор \(\overrightarrow{FM_{0}}\) имеет компоненты \(x_{0}=p/2\) и \(y_{0}\), а потому
$$
(\overrightarrow{FM_{0}}, \boldsymbol{v})=x_{0}y_{0}-\frac{p}{2}y_{0}+py_{0}=y_{0}(x_{0}+\frac{p}{2}).\nonumber
$$
Но \(|\overrightarrow{FM_{0}}|=x_{0}+p/2\). Следовательно, \(\cos \varphi_{2}=y_{0}/|\boldsymbol{v}|\). Утверждение доказано.

Заметим, что \(|FN|=|FM_{0}|\) (см. рис. 8.12).

Оставить комментарий