Главная » Аналитическая геометрия » Линии и поверхности второго порядка » Исследование уравнения второго порядка

Исследование уравнения второго порядка

разделов
от теории до практики
примеров
Примеры решения задач
видео
Примеры решения задач
Содержание
  1. Преобразование координат в уравнении второго порядка.
    Начать изучение
  2. Канонические виды уравнений второго порядка.
    Начать изучение
  3. Случай A’C’ > 0.
    Начать изучение
  4. Случай A’C’ < 0.
    Начать изучение
  5. Случай \(A’C’ = 0\).
    Начать изучение

Преобразование координат в уравнении второго порядка.

В общей декартовой системе координат линия второго порядка может быть задана уравнением
$$
Ax^{2} + 2Bxy + Cy^{2} + 2Dx + 2Ey + F = 0,\label{ref1}
$$
в котором коэффициенты \(A\), \(B\) и \(C\) не равны нулю одновременно. Исследуем множество точек, которые ему удовлетворяют, не предполагая заранее, что хоть одна такая точка существует. С этой целью мы будем менять систему координат так, чтобы уравнение стало возможно проще. С самого начала можно считать систему координат декартовой прямоугольной, так как при переходе к прямоугольной системе координат общий вид уравнения \eqref{ref1} не изменится.

При повороте базиса декартовой прямоугольной системы координат на угол \(\varphi\) старые координаты точки \(x\), \(y\) будут связаны с ее новыми координатами \(x’\), \(y’\) формулами
$$
x = x’\cos \varphi-y’\sin \varphi,\\ y = x’\sin \varphi + y’\cos \varphi.\nonumber
$$
В новых координатах уравнение \eqref{ref1} примет вид
$$
A(x’\cos \varphi-y’\sin \varphi)^{2} + 2B(x’\cos \varphi-y’\sin \varphi) \times \\ \times (x’\sin \varphi + y’\cos \varphi) + C(x’\sin \varphi + y’\cos \varphi) + … = 0.\nonumber
$$
Здесь многоточием обозначены члены первой степени относительно \(x’\), \(y’\) и свободный член, которые нет необходимости выписывать. Нас будет интересовать член с произведением \(x’y’\) в преобразованном уравнении. В невыписанные члены это произведение не входит, и мы подсчитаем, что половина коэффициента при \(x’y’\) есть
$$
B’ = -A\sin \varphi \cos \varphi + B(\cos^{2}\varphi-\sin^{2}\varphi) + C\sin \varphi \cos \varphi.\nonumber
$$
Если \(B = 0\), то поворачивать систему координат не будем. Если же \(B \neq 0\), то выберем угол \(\varphi\) так, чтобы \(B’\) обратилось в нуль.

Это требование приведет к уравнению
$$
2B \cos 2\varphi = (A-C)\sin 2\varphi.\label{ref2}
$$
Если \(A = C\), то \(\cos 2\varphi = 0\), и можно положить \(\varphi = \pi/4\). Если же \(A \neq C\), то выбираем \(\varphi = \displaystyle\frac{1}{2} \operatorname{arctg} \left[\frac{2B}{A-C}\right]\). Для нас сейчас важно то, что хоть один такой угол обязательно существует. После поворота системы координат на этот угол линия будет иметь уравнение
$$
A’x’^{\ 2} + C’y’^{\ 2} + 2D’x’ + 2E’y’ + F’ = 0.\label{ref3}
$$
Выражения для коэффициентов уравнения \eqref{ref3} через коэффициенты \eqref{ref1} подсчитать не трудно, но это не нужно. Теперь коэффициент при произведении переменных равен нулю, а остальные члены мы по-прежнему считаем произвольными.

Утверждение 1.

Если в уравнение \eqref{ref3} входит с ненулевым коэффициентом квадрат одной из координат, то при помощи переноса начала координат вдоль соответствующей оси можно обратить в нуль член с первой степенью этой координаты.

Доказательство.

В самом деле, пусть, например, \(A’ \neq 0\). Перепишем \eqref{ref3} в виде
$$
A’\left(x’^{\ 2} + \frac{2D’}{A’}x’ + \frac{D’^{2}}{A’^{2}}\right) + C’y’^{\ 2} + 2E’y’ + F’-\frac{D’}{A’} = 0.\nonumber
$$
Если мы сделаем перенос начала координат, определяемый формулами \(x″ = x’ + D’/A’\), \(y″ = y’\), то уравнение приведется к виду
$$
A’x″^{\ 2} + C’y″^{\ 2} + 2E’y″ + F″ = 0,\nonumber
$$
как и требовалось.


Канонические виды уравнений второго порядка.

Предположим, что \(A’C’ \neq 0\), то есть оба коэффициента отличны от нуля. Согласно утверждению 1 при помощи переноса начала координат уравнение приведется к виду
$$
A’x″^{\ 2} + C’y″^{\ 2} + F″ = 0.\label{ref4}
$$

Могут быть сделаны следующие предположения относительно знаков коэффициентов в этом уравнении.

Случай A’C’ > 0.

Если \(A’C’ > 0\), то коэффициенты \(A’\) и \(C’\) имеют один знак. Для \(F″\) имеются следующие три возможности.

  1. Знак \(F″\) противоположен знаку \(A’\) и \(C’\). Перенесем \(F″\) в другую часть равенства и разделим на него. Уравнение примет вид
    $$
    \frac{x″^{\ 2}}{a^{2}} + \frac{y″^{\ 2}}{b^{2}} = 1,\label{ref5}
    $$
    где \(a^{2} = -F″/A’\), \(b^{2} = -F″/C’\). Можно считать, что в этом уравнении \(a > 0\), \(b > 0\) и \(a \geq b\). Действительно, если последнее условие не выполнено, то можно сделать дополнительную замену координат
    $$
    x^{*} = y″,\ y^{*} = x″.\label{ref6}
    $$

    Определение.

    Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением \eqref{ref5} при условии \(a \geq b\), называется эллипсом, уравнение называется каноническим уравнением эллипса, а система координат — его канонической системой координат.

    При \(a = b\) уравнение \eqref{ref5} есть уравнение окружности радиуса \(a\). Таким образом, окружность — частный случай эллипса.

  2. Знак \(F″\) совпадает с общим знаком \(A″\) и \(C″\). Тогда аналогично предыдущему мы можем привести уравнение к виду
    $$
    \frac{x″^{\ 2}}{a^{2}} + \frac{y″^{\ 2}}{b^{2}} = -1,\label{ref7}
    $$
    Этому уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки. Уравнение, которое приводится к каноническому виду \eqref{ref7}, называется уравнением мнимого эллипса.
  3. \(F″ = 0\). Уравнение имеет вид
    $$
    a^{2}x″^{\ 2} + c^{2}y″^{\ 2} = 0.\label{ref8}
    $$
    Ему удовлетворяет только одна точка \(x″ = 0\), \(y″ = 0\). Уравнение, приводящееся к каноническому виду \eqref{ref8}, называется уравнением пары мнимых пересекающихся прямых. Основанием для этого названия служит сходство с приведенным ниже уравнением \eqref{ref10}.

Случай A’C’ < 0.

Если \(A’C’ < 0\), то коэффициенты \(A’\) и \(C’\) имеют разные знаки. Относительно \(F″\) имеются следующие две возможности.

  1. \(F″ \neq 0\). В случае необходимости, делая замену \eqref{ref6}, мы можем считать, что знак \(F″\) противоположен знаку \(A’\). Тогда уравнение приводится к виду
    $$
    \frac{x″^{\ 2}}{a^{2}}-\frac{y″^{\ 2}}{b^{2}} = 1,\label{ref9}
    $$
    где \(a^{2} = -F″/A’\), \(b^{2} = F″/C’\).

    Определение.

    Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением \eqref{ref9}, называется гиперболой, уравнение называется каноническим уравнением гиперболы, а система координат — ее канонической системой координат.

  2. Может случиться, что \(F″ = 0\). Уравнение имеет вид
    $$
    a^{2}x″^{\ 2}-c^{2}y″^{\ 2} = 0.\label{ref10}
    $$
    Его левая часть разлагается на множители \(ax″-cy″\) и \(ax″ + cy″\) и, следовательно, обращается в нуль тогда и только тогда, когда равен нулю хоть один из сомножителей. Поэтому линия с уравнением \eqref{ref10} состоит из двух прямых. Эти прямые пересекаются в начале координат, и мы имеем, таким образом, пару пересекающихся прямых.

Случай \(A’C’ = 0\).

Допустим теперь, что \(A’C’ = 0\), и, следовательно, один из коэффициентов \(A’\) или \(C’\) равен нулю. В случае необходимости, делая замену \eqref{ref6}, мы можем считать, что \(A’ = 0\). При этом \(C \neq 0\), так как иначе порядок уравнения был бы меньше двух. Используя утверждение 1, мы приведем уравнение к виду
$$
C’y″^{\ 2} + 2D’x″ + F″ = 0.\nonumber
$$

Пусть \(D’ \neq 0\). Сгруппируем члены следующим образом:
$$
C’y″^{\ 2} + 2D’\left(x″ + \frac{F″}{2D’}\right) = 0.\nonumber
$$
Перенесем начало координат вдоль оси абсцисс в соответствии с формулами перехода \(x^{*} = x″ + F″/2D’\), \(y^{*} = y″\). Тогда уравнение примет вид
$$
C″y^{*2} + 2D’x^{*} = 0,\nonumber
$$
или
$$
y^{*2} = 2px^{*},\label{ref11}
$$
где \(p = -D’/C″\). Мы можем считать, что \(p > 0\), так как в противном случае можно сделать дополнительную замену координат, изменяющую направление оси абсцисс: \(\tilde{x} = -x^{*}\), \(\tilde{y} = y^{*}\).

Определение.

Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением \eqref{ref11} при условии \(p > 0\), называется параболой, уравнение называется каноническим уравнением параболы, а система координат — ее канонической системой координат.

Допустим, что \(D’ = 0\). Уравнение имеет вид \(C’y″^{\ 2} + F″ = 0\). Относительно \(F″\) есть следующие три возможности.

  1. Если \(C’F″ < 0\), то знаки \(C’\) и \(F″\) противоположны. Разделив на \(C’\), приведем уравнение к виду
    $$
    y″^{\ 2}-a^{2} = 0.\label{ref12}
    $$
    Левая часть уравнения разлагается на множители \(y″ + a\) и \(y″-a\). Обращение в нуль каждого из них определяет прямую линию. Эти прямые параллельны, и, таким образом, уравнение определяет пару параллельных прямых.
  2. В случае \(C’F″ > 0\) знаки \(C’\) и \(F″\) совпадают. Разделив на \(C’\), приведем уравнение к виду
    $$
    y″^{\ 2} + a^{2} = 0.\label{ref13}
    $$
    Этому уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки. Уравнение, приводящееся к каноническому виду \eqref{ref13}, называют уравнением пары мнимых параллельных прямых.
  3. Остался последний случай \(F″ = 0\). После деления на \(C’\) уравнение принимает вид
    $$
    y″^{\ 2} = 0.\label{ref14}
    $$
    Это уравнение эквивалентно уравнению \(y″ = 0\), и потому определяет прямую линию. Уравнение, приводящееся к каноническому виду \eqref{ref14}, называется уравнением пары совпавших прямых.

Теперь мы можем объединить всё вместе.

Теорема.

Пусть в декартовой системе координат задано уравнение второго порядка \eqref{ref1}.

Тогда существует такая декартова прямоугольная система координат, в которой это уравнение принимает один из следующих девяти канонических видов:

  1. Уравнение эллипса.
    $$
    \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1;\nonumber
    $$
  2. Мнимый эллипс. Данному уравнению не удовлетворяет ни одна точка.
    $$
    \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = -1;\nonumber
    $$
  3. Уравнение пары мнимых пересекающихся прямых (точка).
    $$
    a^{2}x^{2} + c^{2}y^{2} = 0;\nonumber
    $$
  4. Уравнение гиперболы.
    $$
    \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1;\nonumber
    $$
  5. Пересекающиеся прямые.
    $$
    a^{2}x^{2}-c^{2}y^{2} = 0;\nonumber
    $$
  6. Уравнение параболы.
    $$
    y^{2} = 2px;\nonumber
    $$
  7. Пара параллельных прямых.
    $$
    y^{2}-a^{2} = 0;\nonumber
    $$
  8. Пара мнимых параллельных прямых. Данному уравнению не удовлетворяет ни одна точка.
    $$
    y^{2} + a^{2} = 0;\nonumber
    $$
  9. Прямая (пара совпавших прямых).
    $$
    y^{2} = 0.\nonumber
    $$
Оставить комментарий