Изменение базиса.
До сих пор мы предполагали, что рассматривается один базис. Однако выбор базиса ничем не ограничен, и принципиальное значение имеет задача о нахождении компонент вектора в одном базисе по его компонентам в другом базисе. При этом положение нового базиса относительно старого должно быть задано, а именно должны быть известны компоненты новых базисных векторов \(\boldsymbol{e’_{1}}\), \(\boldsymbol{e’_{2}}\) и \(\boldsymbol{e’_{3}}\) в старом базисе \(\boldsymbol{e_{1}}\), \(\boldsymbol{e_{2}}\), \(\boldsymbol{e_{3}}\). Пусть:
$$
\begin{array}{c}
\boldsymbol{e’_{1}} = a_{1}^{1}\boldsymbol{e’_{1}} + a_{1}^{2}\boldsymbol{e’_{2}} + a_{1}^{3}\boldsymbol{e’_{3}},\\
\boldsymbol{e’_{2}} = a_{2}^{1}\boldsymbol{e’_{1}} + a_{2}^{2}\boldsymbol{e’_{2}} + a_{2}^{3}\boldsymbol{e’_{3}},\\
\boldsymbol{e’_{2}} = a_{2}^{1}\boldsymbol{e’_{1}} + a_{2}^{2}\boldsymbol{e’_{2}} + a_{2}^{3}\boldsymbol{e’_{3}},
\end{array}\label{ref1}
$$
Произвольный вектор \(\boldsymbol{a}\) разложим по базису \(\boldsymbol{e’_{1}}\), \(\boldsymbol{e’_{2}}\), \(\boldsymbol{e’_{3}}\):
$$
\boldsymbol{a} = \alpha’_{1}\boldsymbol{e’_{1}} + \alpha’_{2}\boldsymbol{e’_{2}} + \alpha’_{3}\boldsymbol{e’_{3}}.\nonumber
$$
Компоненты этого же вектора в старом базисе обозначим \(\alpha_{1}\), \(\alpha_{2}\), \(\alpha_{3}\). Раскладывая каждый член предыдущего равенства по базису \(\boldsymbol{e_{1}}\), \(\boldsymbol{e_{2}}\), \(\boldsymbol{e_{3}}\), в силу предположения о действиях с векторами имеем
$$
\begin{array}{c}
\alpha_{1} = a_{1}^{1}\alpha’_{1} + a_{1}^{2}\alpha’_{2} + a_{1}^{3}\alpha’_{3},\\
\alpha_{2} = a_{2}^{1}\alpha’_{1} + a_{2}^{2}\alpha’_{2} + a_{2}^{3}\alpha’_{3},\\
\alpha_{3} = a_{3}^{1}\alpha’_{1} + a_{3}^{2}\alpha’_{2} + a_{3}^{3}\alpha’_{3}.
\end{array}\label{ref2}
$$
Соотношения \eqref{ref2} и являются решением нашей задачи. Если нас заинтересует выражение новых компонент через старые, то надо будет решить систему уравнений \eqref{ref2} относительно неизвестных \(\alpha’_{1}\), \(\alpha’_{2}\), \(\alpha’_{3}\). Результат будет иметь такой же вид, как \eqref{ref2}, только коэффициентами будут компоненты старых базисных векторов в новом базисе.
Точно тем же способом получаются формулы, связывающие компоненты вектора в разных базисах на плоскости. Вот они:
$$
\begin{array}{c}
& \alpha_{1} = a_{1}^{1}\alpha’_{1} + a_{1}^{2}\alpha’_{2},\\
& \alpha_{2} = a_{2}^{1}\alpha’_{1} + a_{2}^{2}\alpha’_{2}.
\end{array}\label{ref3}
$$
Коэффициенты в формулах \eqref{ref2} можно записать в таблицу:
$$
\begin{Vmatrix}
a_{1}^{1}& a_{2}^{1}& a_{3}^{1}\\
a_{1}^{2}& a_{2}^{2}& a_{3}^{2}\\
a_{1}^{3}& a_{2}^{3}& a_{3}^{3}
\end{Vmatrix}\label{ref4}
$$
Она называется матрицей перехода от базиса \(\boldsymbol{e’_{1}}\), \(\boldsymbol{e’_{2}}\), \(\boldsymbol{e’_{3}}\) к базису \(\boldsymbol{e_{1}}\), \(\boldsymbol{e_{2}}\), \(\boldsymbol{e_{3}}\). В ее столбцах стоят компоненты векторов \(\boldsymbol{e’_{1}}\), \(\boldsymbol{e’_{2}}\), \(\boldsymbol{e’_{3}}\) в старом базисе.
Изменение системы координат.
Рассмотрим теперь две декартовы системы координат: старую \(O\), \(\boldsymbol{e_{1}}\), \(\boldsymbol{e_{2}}\), \(\boldsymbol{e_{3}}\) и новую \(O’\), \(\boldsymbol{e’_{1}}\), \(\boldsymbol{e’_{2}}\), \(\boldsymbol{e’_{3}}\). Пусть \(M\) — произвольная точка, и координаты ее в этих системах обозначены (\(x\), \(y\), \(z\)) и (\(x’\), \(y’\), \(z’\)). Поставим себе задачу выразить \(x\), \(y\) и \(z\) через \(x’\), \(y’\) и \(z’\), считая известным положение новой системы относительно старой. Оно определяется координатами (\(a_{0}^{1},\ a_{0}^{2},\ a_{0}^{3}\)) точки \(O’\) в системе координат \(O\), \(\boldsymbol{e_{1}}\), \(\boldsymbol{e_{2}}\), \(\boldsymbol{e_{3}}\) и компонентами векторов \(\boldsymbol{e’_{1}}\), \(\boldsymbol{e’_{2}}\), \(\boldsymbol{e’_{3}}\), составляющими матрицу перехода \eqref{ref4}.
Радиус-векторы точки \(M\) относительно точек \(O\) и \(O’\) связаны равенством \(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OO’} + \overrightarrow{O’M}\), которое мы можем записать в виде
$$
\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OO’} + x’\boldsymbol{e’_{1}} + y’\boldsymbol{e’_{2}} + z’\boldsymbol{e’_{3}},\label{ref5}
$$
так как \(x’\), \(y’\) и \(z’\) — компоненты \(\overrightarrow{O’M}\) в базисе \(\boldsymbol{e’_{1}}\), \(\boldsymbol{e’_{2}}\), \(\boldsymbol{e’_{3}}\). Разложим каждый член равенства \eqref{ref5} по базису \(\boldsymbol{e_{1}}\), \(\boldsymbol{e_{2}}\), \(\boldsymbol{e_{3}}\), имея в виду, что компоненты векторов \(\overrightarrow{OM}\) и \(\overrightarrow{OO’}\) равны координатам точек \(M\) и \(O’\), которые мы обозначили (\(x\), \(y\), \(z\)) и \((a_{0}^{1},\ a_{0}^{2},\ a_{0}^{3})\), Мы получим
$$
\begin{array}{cc}
& x = a_{0}^{1} + a_{1}^{1}x’ + a_{2}^{1}y’ + a_{3}^{1}z’,\\
& y = a_{0}^{2} + a_{1}^{2}x’ + a_{2}^{2}y’ + a_{3}^{2}z’,\\
& z = a_{0}^{3} + a_{1}^{3}x’ + a_{1}^{3}y’ + a_{1}^{3}z’.
\end{array}\label{ref6}
$$
Равенства \eqref{ref6} представляют собой закон преобразования координат точки при переходе от одной декартовой системы координат в пространстве к другой такой же системе.
Замена декартовой прямоугольной системы координат на плоскости.
Формулы перехода от одной декартовой системы координат на плоскости к другой получаются из \eqref{ref6}, если там оставить только первые два равенства и в них вычеркнуть члены с \(z’\):
$$
\begin{array}{cc}
& x = a_{1}^{1}x’ + a_{2}^{1}y’ + a_{0}^{1},\\
& y = a_{1}^{2}x’ + a_{2}^{2}y’ + a_{0}^{2}.
\end{array}\label{ref7}
$$
Рассмотрим частный случай, когда обе системы координат декартовы прямоугольные. Через \(\varphi\) обозначим угол между векторами \(\boldsymbol{e_{1}}\) и \(\boldsymbol{e’_{1}}\) отсчитываемый в направлении кратчайшего поворота от \(\boldsymbol{e_{1}}\) к \(\boldsymbol{e_{2}}\). Тогда (рис. 3.1)
$$
\begin{array}{cc}
& \boldsymbol{e’_{1}} = \cos \varphi \boldsymbol{e_{1}} + \sin \varphi \boldsymbol{e_{2}},\\
& \boldsymbol{e’_{2}} = \cos \left(\varphi \pm \frac{\pi}{2}\right) \boldsymbol{e_{1}} + \sin \left(\varphi \pm \frac{\pi}{2}\right) \boldsymbol{e_{2}}.
\end{array}\nonumber
$$
В разложении \(\boldsymbol{e’_{2}}\) ставится знак плюс, если кратчайший поворот от \(\boldsymbol{e’_{1}}\) к \(\boldsymbol{e’_{2}}\) направлен так же, как кратчайший поворот от \(\boldsymbol{e’_{1}}\) к \(\boldsymbol{e’_{2}}\), то есть если новый базис повернут относительно старого на угол \(\varphi\). Знак минус в разложении \(\boldsymbol{e’_{2}}\) ставится в противоположном случае, когда новый базис не может быть получен поворотом старого.
Поскольку \(\displaystyle \cos \left(\varphi \pm \frac{\pi}{2}\right) = \mp \sin \varphi\), \(\displaystyle \sin \left(\varphi \pm \frac{\pi}{2}\right) = \pm \cos \varphi\), получаем
$$
\begin{array}{cc}
& x = x’ \cos \varphi \mp y’ \sin \varphi + a_{0}^{1},\\
& y = x’ \sin \varphi \pm y’ \cos \varphi + a_{0}^{2}.
\end{array}\label{ref8}
$$
причем при повороте системы координат берутся верхние знаки.