Криволинейные интегралы.

Содержание:

  1. Евклидово пространство.
  2. Гладкие и кусочно гладкие кривые.
  3. Криволинейные интегралы первого рода.
  4. Геометрическая интерпретация криволинейных интегралов первого рода.
  5. Криволинейные интегралы второго рода.
  6. Механический смысл криволинейного интеграла второго рода. Работа силы.

Евклидово пространство.

Из курса аналитической геометрии известно, что в каждой паре точек \(A\) и \(B\) евклидова пространства ставится в соответствие вектор \(\overrightarrow{AB}\). Для векторов определены операции сложения и умножения на вещественные числа, для любых двух векторов определено их скалярное произведение. Если расстояние между точками определить как \(\rho(A, B) = |\overrightarrow{AB}|\), то будут удовлетворены все аксиомы метрического пространства и все введенные для метрического пространства понятия переносятся и на евклидово пространство.

Если в евклидовом пространстве фиксирована точка \(O\), то положение любой точки \(A\) определяется вектором \(\overrightarrow{OA}\), и евклидово пространство можно отождествить с векторным пространством \(E^{3}\). Базис из трех линейно независимых векторов определяет координатную систему в евклидовом пространстве. Предполагается, что пространство ориентировано при помощи правой тройки векторов. Свойства объектов, не зависящие от выбора координатной системы, называются инвариантными.

Множество всех векторов, параллельных евклидовой плоскости, образует линейное двумерное пространство \(E^{2}\). Базис из двух линейно независимых векторов определяет координатную систему в \(E^{2}\). Правая пара векторов определяет ориентацию \(E^{2}\).


Гладкие и кусочно гладкие кривые.

Напомним, что гладкая кривая в \(\boldsymbol{R}^{3}\) задастся векторным уравнением
$$
\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(t),\ \alpha \leq t \leq \beta,\label{ref1}
$$
где вектор-функция \(\boldsymbol{r}(t)\) является непрерывно дифференцируемой на отрезке \([\alpha, \beta]\), причем \(\boldsymbol{r'}(t) \neq 0\) на \([\alpha, \beta]\). В каждой точке гладкой кривой определена касательная.

Гладкую кривую можно задать и тремя скалярными уравнениями
$$
 x = \varphi(t),\ y = \psi(t),\ z = \chi(t),\ \alpha \leq t \leq \beta,\nonumber
$$    
где функции \(\varphi(t)\), \(\psi(t)\) и \(\chi(t)\) непрерывно дифференцируемы на \([\alpha, \beta]\) и \((\varphi'(t))^{2} + (\psi'(t))^{2} + (\chi'(t))^{2}\;>\;0\) на \([\alpha, \beta]\).

В разделе про кривые было определено, что уравнение
$$
\boldsymbol{\rho} = \boldsymbol{\rho}(t),\ \alpha \leq \tau \leq \beta,\label{ref2}
$$
задает ту же самую гладкую кривую, что и уравнение \eqref{ref1}, если оно получено из уравнения \eqref{ref1} при помощи допустимой замены параметра \(t = t(\tau)\). Допустимой называлась такая замена параметра \(t = t(\tau)\), что функция \(t(\tau)\) непрерывно дифференцируема на отрезке \([a, b]\), отображает этот отрезок на отрезок \([\alpha, \beta]\) и \(t'(\tau)\;>\;0\).


Замечание.

Иногда имеет смысл расширить класс допустимых замен параметров. Говорят, что замена параметра \(t = t(\tau)\), \(\alpha \leq \tau \leq \beta\), допустима, если:

  1. Найдется такое разбиение отрезка \([a, b]\) точками \(a_{1}, \ldots, a_{n - 1}\), что функция \(t(\tau)\) является непрерывно дифференцируемой на каждом из интервалов \((a_{i - 1}, a_{i})\), \(i = \overline{1, n}\);

  2. \(t(\tau)\;>\;0\) на каждом из интервалов \((a_{i - 1}, a_{i})\);
  3. Функция \(t(\tau)\) непрерывна на \([a, b]\), причем \(t(a) = \alpha\), \(t(b) = \beta\), \(\boldsymbol{r}(t(\tau)) = \boldsymbol{\rho}(\tau)\).

Полезно заметить, что при наложенных ограничениях функция \(t(\tau)\) имеет на отрезке \([a, b]\) обратную. Обратная замена параметра \(\tau = \tau(t)\) также удовлетворяет условиям а)-в).

Кривая \(\Gamma\) называется гладкой, если существует параметрическое уравнение этой кривой типа \eqref{ref1} с непрерывно дифференцируемой функцией \(\boldsymbol{r}(t)\), удовлетворяющей условию \(|\boldsymbol{r'}(t)|\;>\;0\) на \([\alpha, \beta]\).

При расширении класса допустимых замен параметра (а тем самым при расширении класса параметризаций) могут встретиться такие уравнения гладкой кривой, которые задаются функциями, не имеющими в некоторых точках производной. Например, уравнения
$$
x = \tau,\ y = \sqrt{1 - \tau^{2}},\ -1 \leq \tau \leq 1,\nonumber
$$
и уравнения
$$
x = \sin t,\ y = \cos t,\ -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2},\nonumber
$$
определяют одну и ту же гладкую кривую (полуокружность). От второго уравнения к первому можно перейти при помощи допустимой замены параметра \(t = \operatorname{arcsin} \tau\), \(-1 \leq \tau \leq 1\). Функция \(\sqrt{1 - \tau^{2}}\) не имеет производной при \(\tau = \pm 1\).

В дальнейшем, как правило, уравнение гладкой кривой будем задавать при помощи непрерывно дифференцируемой вектор-функции \(\boldsymbol{r}(t)\).


Если интерпретировать параметр \(t\) как время, то уравнение \eqref{ref1} задает закон движения материальной точки в пространстве \(\boldsymbol{R}^{3}\). Вектор скорости \(\boldsymbol{r'}(t)\) в каждой точке гладкой кривой коллинеарен вектору касательной. Единичный вектор касательной, заданный в некоторой точке гладкой кривой, определяет ориентацию кривой (направление движения точки по кривой).

Точка \(A(x(\alpha), y(\alpha), z(\alpha))\) называется началом кривой, точка \(B(x(\beta), y(\beta), z(\beta))\) — концом кривой. У замкнутой кривой начало и конец совпадают. Если закон движения точки в пространстве задается формулой \eqref{ref1} и при движении по кривой точка проходит через заданную точку \(C \in \boldsymbol{R}^{3}\) более одного раза, то точка \(C\) называется точкой самопересечения кривой. Замкнутую кривую, у которой нет других точек самопересечения, кроме концов, будем называть простым контуром.

Для плоской кривой можно считать \(z = 0\), если выбрать оси \(Ox\) и \(Oy\) в плоскости кривой.

Кусочно гладкая кривая есть непрерывная кривая, распадающаяся на конечное число гладких кривых. Например, границу треугольника или квадрата можно рассматривать как кусочно гладкую кривую (рис. 50.1).

Рис. 50.1
Рис. 50.1

Кривую, начало которой есть точка \(A\), а конец — точка \(B\), будем обозначать через \(\Gamma_{AB}\). Точку кривой, соответствующую значению \(t\) параметра, будем обозначать через \(A_{t}\). Если \(t_{1}\;<\;t_{2}\), то будем говорить, что точка \(A_{t_{1}}\) предшествует точке \(A_{t_{2}}\), и писать
$$
A_{t_{1}} \prec A_{t_{2}}.\nonumber
$$

Уравнение
$$
\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(\beta + \alpha - t),\ \alpha \leq t \leq \beta,\label{ref3}
$$
определяют кривую \(\Gamma^{-}\), ориентированную противоположно кривой \(\Gamma\), заданной уравнением \eqref{ref1}. Ее начало совпадает с концом \(\Gamma\), а конец - с началом \(\Gamma\). Векторы касательных к кривым \(\Gamma\) и \(\Gamma^{-}\) в каждой точке имеют противоположные направления.


Криволинейные интегралы первого рода.

Пусть на некотором множестве, содержащем кривую \(\Gamma\), задана непрерывная функция \(R(x, y, z)\). Если гладкая кривая \(\Gamma\) задана уравнением \eqref{ref1}, то определенный интеграл
$$
\int\limits_{\alpha}^{\beta}R(x(t),y(t),z(t))|\boldsymbol{r'}(t)|dt\nonumber
$$
будем называть криволинейным интегралом первого рода от функции \(R(x, y, z)\) по кривой \(\Gamma\) и обозначать \(\int\limits_{\Gamma}R(x, y, z)ds\). Таким образом, по определению
$$
\int\limits_{\Gamma}R(x, y, z)ds = \int\limits_{\alpha}^{\beta}R(x(t),y(t),z(t))|\boldsymbol{r'}(t)|dt.\label{ref4}
$$

Рассмотрим свойства криволинейного интеграла \eqref{ref4}.

Свойство 1.

Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

\(\circ\) Предположим, что совершен переход от уравнения кривой \eqref{ref1} к уравнению \(\boldsymbol{\rho} = \boldsymbol{\rho}(\tau)\), \(a \leq \tau \leq b\), при помощи допустимой замены параметра \(t = t(\tau)\), удовлетворяющей условиям а)-в). Делая в интеграле \eqref{ref4} замену переменной \(t = t(\tau)\), получаем, учитывая, что на каждом из интервалов \((a_{i - 1}, a_{i})\) функция \(t'(\tau)\;>\;0\):
$$
\int\limits_{\alpha}^{\beta}R(x(t), y(t), z(t))|\boldsymbol{r'}(t)|dt = \int\limits_{a}^{b}R(x(t(\tau)), y(t(\tau)), z(t(\tau)))\left|\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}(t(\tau))\right|t'(\tau)d\tau =\\= \int\limits_{a}^{b}R(\xi(\tau), \eta(\tau), \zeta(\tau))|\boldsymbol{\rho'}(\tau)|d\tau.\nonumber
$$

После замены параметра можно получить и несобственный интеграл с особыми точками \(a_{0}, \ldots, a_{n}\), но форма его такая же, как и у интеграла \eqref{ref4}. Поэтому криволинейный интеграл первого рода не зависит от способа параметризации кривой. \(\bullet\)


Свойство 2.

Криволинейный интеграл первого рода не зависит от ориентации кривой \(\Gamma\), т. е.
$$
\int\limits_{\Gamma}R(x, y, z)ds = \int\limits_{\Gamma^{-}}R(x, y, z)ds.\nonumber
$$

\(\circ\) В самом деле, кривую \(\Gamma\) можно задать уравнением \eqref{ref3}. Делая в интеграле \eqref{ref4} замену переменной \(\tau = \alpha + \beta - t\), получаем
$$
\int\limits_{\Gamma}R(x, y, z)ds = \int\limits_{\alpha}^{\beta}R(x(t), y(t), z(t))|\boldsymbol{r'}(t)|dt =\\= \int\limits_{\alpha}^{\beta}R(x(\tau = \alpha + \beta - t), y(\tau = \alpha + \beta - t), z(\tau = \alpha + \beta - t))|\boldsymbol{r'}(\tau = \alpha + \beta - t)|dt =\\= \int\limits_{\Gamma^{-}}R(x, y, z)ds.\ \bullet\nonumber
$$


Свойство 3.

Криволинейный интеграл аддитивен относительно кривой: если \(\Gamma = (\Gamma_{1}, \ldots, \Gamma_{N})\), то
$$
\int\limits_{\Gamma}R(x, y, z)ds = \sum_{i=1 }^{n} \int\limits_{\Gamma_{i}}R(x, y, z)ds.\nonumber
$$

\(\circ\) Свойство 3 следует из определения \eqref{ref4} криволинейного интеграла первого рода и свойства аддитивности определенного интеграла относительно области интегрирования. \(\bullet\)


Особенно простое выражение для криволинейного интеграла первого рода получается, если в качестве параметра взять переменную длину дуги кривой. Тогда уравнение кривой имеет вид \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(s)\), \(0 \leq s \leq S\), и \(|\boldsymbol{r'}(s)| = 1\). Из формулы \eqref{ref4} получаем, что в этом случае
$$
\int\limits_{\Gamma}R(x, y, z)ds = \int\limits_{0}^{S}R(x(s),y(s),z(s))ds.\label{ref5}
$$


Геометрическая интерпретация криволинейных интегралов первого рода.

Запишем интеграл \eqref{ref5} как предел интегральной суммы. Если \(0 = s_{0}\;<\;s_{1}\;<\;\ldots\;<\;s_{n - 1}\;<\;s_{n} = S\), то
$$
\int\limits_{\Gamma}R(x, y, z)ds = \lim_{l(T) \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} R(x_{i}, y_{i}, z_{i})\Delta s_{i},\nonumber
$$
где \(x_{i} = x(s_{i})\), \(y_{i} = y(s_{i})\), \(z_{i} = z(s_{i})\), \(l(T)\) — мелкость разбиения \(T\) отрезка \([0, S]\), \(\Delta s_{i} = s_{i} - s_{i - 1}\).

Как видно из рис. 50.2, разбиению \(T\) отрезка \([0, S]\) соответствует разбиение кривой \(\Gamma\) на дуги \(\Gamma_{s_{i - 1}s_{i}}\), \(i = \overline{1, n}\). Если функция \(R(x, y, z)\) неотрицательна, то ее можно интерпретировать как линейную плотность материальной кривой \(\Gamma\), а криволинейный интеграл \(\displaystyle\int\limits_{\Gamma}R(x, y, z)ds\) - как массу этой кривой.

Рис. 50.2
Рис. 50.2

Аналогичным образом можно определить при помощи криволинейных интегралов координаты центра тяжести, осевые и центральные моменты инерции материальных кривых.

Пример 1.

Найти момент инерции полуокружности \(x^{2} + y^{2} = 1\), \(y \geq 0\), относительно оси \(x\), если линейная плотность \(R(x, y) = |x|\).

Решение.

\(\vartriangle\) Параметризуем окружность, полагая \(x = \cos s\), \(y = \sin s\), \(0 \leq s \leq \pi\). По определению осевой момент инерции \(I_{x}\) есть следующий криволинейный интеграл:
$$
I_{x} = \int\limits_{\Gamma}y^{2}R(x, y)ds = \int\limits_{0}^{\pi} \sin^{2}s |\cos s| ds = 2 \int\limits_{0}^{\pi/2} \sin^{2}s \cos s\ ds = \frac{2}{3}.\ \blacktriangle\nonumber
$$


Криволинейные интегралы второго рода.

Пусть \(\Omega\) — область трехмерного пространства, в каждой точке которой задан вектор. Тогда говорят, что в области \(\Omega\) задано векторное поле. Если фиксирована декартова прямоугольная система координат, то векторное поле можно задать при помощи трех скалярных функций: \(\boldsymbol{F}(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))\). Если функции \(P\), \(Q\), \(R\) непрерывны в области \(\Omega\), то и поле \(\boldsymbol{F}\) называется непрерывным в области \(\Omega\). Если функции \(P\), \(Q\), \(R\) непрерывно дифференцируемы в области \(\Omega\), то и поле \(\boldsymbol{F}\) называется непрерывно дифференцируемым в области \(\Omega\). Если можно так выбрать декартову систему координат, что функция \(R\equiv 0\), а функции \(P\) и \(Q\) не зависят от координаты \(z\), то векторное поле \(\boldsymbol{F}\) называется плоским. В этом случае \(\boldsymbol{F} = (P(x, y), Q(x, y))\).

Пусть в области \(\Omega \subset \boldsymbol{R}^{3}\) определено непрерывное векторное поле \(\boldsymbol{F}(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))\), а \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(t)\), \(\alpha \leq t \leq \beta\), есть уравнение гладкой (кусочно гладкой) кривой \(\Gamma\), лежащей в области \(\Omega\). Определенный интеграл
$$
\int\limits_{\alpha}^{\beta} (\boldsymbol{F}(x(t), y(t), z(t)), \boldsymbol{r'}(t)) dt = \int\limits_{\alpha}^{\beta} (P(x(t), y(t), z(t))x'(t) +\\+ Q(x(t), y(t), z(t))y'(t) + R(x(t), y(t), z(t))z'(t)\ dt\nonumber
$$
будем называть криволинейным интегралом второго рода от векторного поля \(\boldsymbol{F}\) по кривой \(\Gamma\) и обозначать \(\displaystyle\int\limits_{\Gamma} (\boldsymbol{F}, d\boldsymbol{r})\) или \(\displaystyle\int\limits_{\Gamma} P\ dx + Q\ dy + R\ dz\). Таким образом, по определению
$$
\int\limits_{\Gamma} (\boldsymbol{F}, d\boldsymbol{r}) = \int\limits_{\alpha}^{\beta} (\boldsymbol{F}(x(t), y(t), z(t)), \boldsymbol{r'}(t)) dt,\label{ref6}
$$
или
$$
\int\limits_{\Gamma} P\ dx + Q\ dy + R\ dz = \int\limits_{\alpha}^{\beta} (P(x(t), y(t), z(t))x'(t) +\\+ Q(x(t), y(t), z(t))y'(t) + R(x(t), y(t), z(t))z'(t))\ dt.\label{ref7}
$$

Если система декартовых координат фиксирована, то, полагая в формуле \eqref{ref7} \(Q = R = 0\), получаем
$$
\int\limits_{\Gamma} P\ dx = \int\limits_{\alpha}^{\beta} P(x(t), y(t), z(t))x'(t)\ dt.\label{ref8}
$$

Аналогично
$$
\int\limits_{\Gamma} Q\ dy = \int\limits_{\alpha}^{\beta} Q(x(t), y(t), z(t))y'(t)\ dt.\label{ref9}
$$
$$
\int\limits_{\Gamma} R\ dz = \int\limits_{\alpha}^{\beta} R(x(t), y(t), z(t))z'(t)\ dt.\label{ref10}
$$

Определенный интеграл, стоящий в правой части формулы \eqref{ref8}, называют криволинейным интегралом второго рода от функции \(P(x, y, z)\) по кривой \(\Gamma\), символ \(\displaystyle\int\limits_{\Gamma} P\ dx\) служит обозначением для этого криволинейного интеграла. В отличие от криволинейного интеграла \(\displaystyle\int\limits_{\Gamma} (\boldsymbol{F}, d\boldsymbol{r})\) интеграл \(\displaystyle\int\limits_{\Gamma} P\ dx\) зависит от выбора декартовой системы координат.

Рассмотрим свойства криволинейного интеграла \eqref{ref6}.

Свойство 1.

Криволинейный интеграл второго рода не зависит от способа параметризации кривой.

\(\circ\) Это свойство доказывается точно так же, как и соответствующее свойство для криволинейного интеграла первого рода. \(\bullet\)


Свойство 2.

Криволинейный интеграл второго рода при изменении ориентации кривой на противоположную меняет знак, т. е.
$$
\int\limits_{\Gamma} (\boldsymbol{F}, d\boldsymbol{r}) = -\int\limits_{\Gamma^{-}} (\boldsymbol{F}, d\boldsymbol{r}).\nonumber
$$

\(\circ\) Пусть кривая \(\Gamma\) задана векторным уравнением \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(t)\), \(\alpha \leq t \leq \beta\), а кривая \(\Gamma^{-}\) задана уравнением \(\boldsymbol{\rho} = \boldsymbol{r}(\alpha + \beta - t)\), \(\alpha \leq t \leq \beta\). Тогда \(\boldsymbol{\rho'} = \boldsymbol{r'}(\alpha + \beta - t)\). Для краткости положим \(\boldsymbol{F}(x, y, z) = \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). Тогда
$$
\int\limits_{\Gamma^{-}} (\boldsymbol{F}, d\boldsymbol{\rho}) = \int\limits_{\alpha}^{\beta} (\boldsymbol{F}(\boldsymbol{\rho}(t)), \boldsymbol{\rho'}(t))\ dt =  -\int\limits_{\alpha}^{\beta}(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}(\alpha + \beta - t)), \boldsymbol{r'}(\alpha + \beta - t))\ dt =\\= -\int\limits_{\alpha}^{\beta} (\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}(\tau)), \boldsymbol{r'}(\tau))\ d\tau = -\int\limits_{\Gamma} (\boldsymbol{F}, d\boldsymbol{r}).\ \bullet\nonumber
$$


Свойство 3.

Криволинейный интеграл второго рода аддитивен относительно кривой.

\(\circ\) Это свойство доказывается так же, как и для криволинейных интегралов первого рода. \(\bullet\)


В плоском случае выражения \eqref{ref6}—\eqref{ref10} для криволинейных интегралов упрощаются:
$$
\int\limits_{\Gamma} (\boldsymbol{F}, d\boldsymbol{r}) = \int\limits_{\Gamma} P\ dx + Q\ dy = \int\limits_{\alpha}^{\beta} (P(x(t), y(t))x'(t) + Q(x(t), y(t))y'(t))\ dt,\label{ref11}
$$
$$
\int\limits_{\Gamma} P\ dx = \int\limits_{\alpha}^{\beta} P(x(t), y(t))x'(t)\ dt,\label{ref12}
$$
$$
\int\limits_{\Gamma} Q\ dy = \int\limits_{\alpha}^{\beta} Q(x(t), y(t))y'(t)\ dt.\label{ref13}
$$

В том случае, когда плоская кривая \(\Gamma_{AB}\) задана как график непрерывно дифференцируемой на отрезке \([a, b]\) функции \(y = f(x)\) (рис. 50.3), формула \eqref{ref12} приобретает особенно простой вид:
$$
\int\limits_{\Gamma_{AB}} P(x, y)\ dx = \int\limits_{a}^{b} (P(x, f(x))\ dx.\label{ref14}
$$

Рис. 50.3
Рис. 50.3
Замечание.
Определенный интеграл в правой части формулы \eqref{ref14} имеет смысл не только в том случае, когда функция \(f(x)\) непрерывно дифференцируема на \([a, b]\), но и в более общем случае, когда функция \(f(x)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\). В этом последнем случае будем считать, что криволинейный интеграл \(\displaystyle\int\limits_{\Gamma_{AB}} P\ dx\) есть по определению определенный интеграл, стоящий в правой части формулы \eqref{ref14}.

 


Пример 2.

Вычислить криволинейный интеграл
$$
\int\limits_{\Gamma_{AB}} y\ dx - x\ dy\label{ref15}
$$
по отрезку \(\Gamma_{AB}^{1}\) с концами \(A(0, 1)\) и \(B(1, 0)\) и по дуге окружности \(\Gamma_{AB}^{2}\) (рис. 50.4).

Рис. 50.4
Рис. 50.4

Решение.

\(\vartriangle\) Зададим отрезок \(\Gamma_{AB}^{1}\) параметрическими уравнениями \(x = t\), \(y = 1 - t\), \(0 \leq t \leq 1\). Применяя формулу \eqref{ref11}, получаем, что
$$
\int\limits_{\Gamma_{AB}^{1}} y\ dx - x\ dy = \int\limits_{0}^{1}|(1 - t)(t)' - t(1 - t)'|dt = \int\limits_{0}^{1}(1 - t + t)dt = 1.\nonumber
$$

Зададим дугу окружности \(\Gamma_{AB}^{2}\) параметрическими уравнениями \(x = \sin t\), \(y = \cos t\), \(0 \leq t \leq \displaystyle\frac{\pi}{2}\). Тогда
$$
\int\limits_{\Gamma_{AB}^{2}} y\ dx - x\ dy = \int\limits_{0}^{\pi/2}[\cos t(\sin t)' - \sin t(\cos t)']dt =\\=  \int\limits_{0}^{\pi/2}(\sin^{2}t + \cos^{2}t)dt = \frac{\pi}{2} \neq 1.\ \blacktriangle\nonumber
$$


Пример 3.

По тем же кривым, что и в примере 2, вычислить \(\displaystyle\int\limits_{\Gamma_{AB}} y\ dx + x\ dy\), \(A = (0, 1)\), \(B = (1, 0)\).

Решение.

\(\vartriangle\) Применяя формулу \eqref{ref11}, получаем
$$
\int\limits_{\Gamma_{AB}^{1}} y\ dx + x\ dy = \int\limits_{0}^{1}[tt' + (1 - t)(1 - t)']dt = \int\limits_{0}^{1}(2t - 1)dt = 0.\nonumber
$$

Аналогично
$$
\int\limits_{\Gamma_{AB}^{2}} y\ dx + x\ dy = \int\limits_{0}^{\pi/2}[\sin t(\sin t)' + \cos t(\cos t)']dt =\\=  \int\limits_{0}^{\pi/2}(\sin t \cos t - \cos t \sin t)dt = 0.\ \blacktriangle\nonumber
$$

В примере 2 криволинейные интегралы по кривым с одинаковыми концами оказались неравными, а в примере 3 — равными.


Механический смысл криволинейного интеграла второго рода. Работа силы.

Пусть \(\boldsymbol{F}(x, y, z)\) — силовое поле в области \(\Omega \in \boldsymbol{R}^{3}\) и пусть кусочно гладкая кривая \(\Gamma_{AB} \subset \Omega\) задана уравнением \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(t)\), \(\alpha \leq t \leq \beta\). Если интерпретировать уравнение \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(t)\), \(\alpha \leq t \leq \beta\), как закон движения материальной точки, то при таком движении сила, действующая на материальную точку, должна совершать работу. В том случае когда материальная точка движется в постоянном силовом поле с постоянной скоростью по прямой, параллельной вектору \(\boldsymbol{l}\), \(|\boldsymbol{l}| = 1\), работа силы равна \((\boldsymbol{F}, \boldsymbol{l})\Delta s\), где \(\Delta s\) — пройденный точкой путь.

Пусть теперь поле силы непостоянно и точка движется в силовом поле по произвольной кусочно гладкой кривой \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(t)\), \(\alpha \leq t \leq \beta\).

Пусть \(T\) — произвольное разбиение отрезка \([\alpha, \beta]\) точками \(\alpha = t_{0}\;<\;t_{1}\;<\;\ldots\;<\;t_{n} = \beta\). Ему соответствует разбиение кривой \(\Gamma_{AB}\) точками \(A = A_{0} \prec A_{1} \prec \ldots \prec A_{n} = B\).

При движении по дуге \(\Gamma_{A_{i - 1}A_{i}}\) заменим силу \(\boldsymbol{F}\) постоянной силой \(\boldsymbol{F}(x(t_{i}), y(t_{i}), z(t_{i}))\), а движение по дуге \(\Gamma_{A_{i - 1}A_{i}}\) — движением по касательной с постоянной скоростью \(\boldsymbol{r'}(t_{i})\). Тогда работа силы при движении по дуге \(\Gamma_{A_{i - 1}A_{i}}\) приближенно равна \((\boldsymbol{F}(x(t_{i}), y(t_{i}), z(t_{i})), \boldsymbol{r'}(t_{i}) \Delta t(i))\). Работа силы при движении материальной точки по кривой \(\Gamma_{AB}\) приближенно равна следующей сумме:
$$
\mathcal{A}_{T} = \sum_{i=1}^{n} (\boldsymbol{F}(x(t_{i}), y(t_{i}), z(t_{i})), \boldsymbol{r'}(t_{i})) \Delta t_i,\nonumber
$$
где \(\Delta t_i = t_i - t_{i-1}\).

Предел суммы \(\mathcal{A}_{T}\) при мелкости разбиения \(l(T)\), стремящейся к нулю, естественно назвать работой силы \(\boldsymbol{F}\) при движении точки по кривой \(\Gamma_{AB}\). Таким образом, работа силы
$$
\mathcal{A} = \lim_{l(T) \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} (\boldsymbol{F}(x(t_{i}), y(t_{i}), z(t_{i})), \boldsymbol{r'}(t_{i})) \Delta t_i =\\= \int\limits_{\alpha}^{\beta}(\boldsymbol{F}(x(t), y(t), z(t)), \boldsymbol{r'}(t))\ dt = \int\limits_{\Gamma_{AB}} (\boldsymbol{F}, d\boldsymbol{r}).\label{ref16}
$$


Пример 4.

Найти работу силы \(\boldsymbol{F} = -\boldsymbol{r}/r^{3}\), \(\boldsymbol{r} = (x, y, z)\), \(r = |\boldsymbol{r}|\), при движении точки по кривой \(\Gamma_{AB}\). Кривая \(\Gamma_{AB}\) не проходит через начало координат.

Решение.

\(\vartriangle\) Пусть кусочно гладкая кривая \(\Gamma_{AB}\) задается параметрическим уравнением \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(t)\), \(\alpha \leq t \leq \beta\). Работу силы найдем при помощи формулы \eqref{ref16}:
$$
\mathcal{A} = \int\limits_{\Gamma_{AB}} (\boldsymbol{F}, d\boldsymbol{r}) = - \int\limits_{\alpha}^{\beta} \left(\frac{\boldsymbol{r}(t)}{r^{3}(t)}, \boldsymbol{r'}(t)\right)dt = - \int\limits_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{r^{3}(t)} \frac{1}{2} \frac{d}{dt} r^{2}(t) dt =\\= - \int\limits_{\alpha}^{\beta} \frac{r'(t)}{r^{2}(t)} dt = \int\limits_{\alpha}^{\beta} \left(\frac{1}{r(t)}\right)'dt = \frac{1}{r(\beta)} - \frac{1}{r(\alpha)} = \frac{1}{r_{B}} - \frac{1}{r_{A}}.\ \blacktriangle\nonumber
$$