Приложения определенного интеграла.

Содержание:

  1. Вычисление площади плоской фигуры.
    1. Плоская фигура и ее площадь.
    2. Площадь криволинейной трапеции.
    3. Площадь криволинейного сектора.
  2. Вычисление объема тела.
    1. Тело и его объем.
    2. Цилиндрическое тело и его объем.
    3. Объем тела вращения.
    4. Объем тела с заданными площадями поперечных сечений.
  3. Вычисление длины дуги кривой.
  4. Вычисление площади поверхности вращения.
  5. Применение определенного интеграла при решении физических задач.

Вычисление площади плоской фигуры.

Плоская фигура и ее площадь.

Произвольное ограниченное множество точек плоскости будем называть плоской фигурой. Если плоскую фигуру можно представить как объединение конечного числа непересекающихся прямоугольников, то такую фигуру назовем клеточной. Под прямоугольником будем понимать множество точек вида
$$
K = \{(x, y): a_{1} \leq x \leq b_{1},\ a_{2} \leq y \leq b_{2}\}\nonumber
$$
или множество, получаемое из \(K\) удалением части границы (или всей границы) множества \(K\).

Площадью прямоугольника \(K\) назовем число \((b_{1} - a_{1})(b_{2} - a_{2})\) независимо от того, принадлежат или не принадлежат множеству \(K\) его граничные точки, а площадью клеточной фигуры назовем сумму площадей прямоугольников, из которых составлена эта фигура.

Замечание 1.
 

Можно показать (см § 45), что площадь клеточной фигуры не зависит от способа разбиения ее на прямоугольники. Нетрудно также убедиться в том, что площадь клеточной фигуры неотрицательна и обладает свойствами:

а) аддитивности, т.е. площадь объединения двух непересекающихся клеточных фигур равна сумме их площадей;

б) инвариантности, т.е. площади двух равных (конгруэнтных) клеточных фигур совпадают;

в) монотонности, т.е. если клеточные фигуры \(G_{1}\) и \(G_{2}\) таковы, что \(G_{1} \subset G_{2}\), то площадь фигуры \(G_{1}\) не превосходит площади фигуры \(G_{2}\).


Плоскую фигуру \(G\) назовем квадрируемой, если для любого \(\varepsilon\;>\;0\) найдутся клеточные фигуры \(q\) и \(Q\) такие, что
$$
q \subset G \subset Q,\label{ref1}
$$
$$
0 \leq S(Q) - S(q)\;<\;\varepsilon,\label{ref2}
$$
где \(S(Q),\ S(q)\) — площади фигур \(Q\) и \(q\) соответственно.

Пусть плоская фигура \(G\) квадрируема. Тогда площадью этой фигуры назовем число \(S(G)\) такое, что
$$
S(q) \leq S(G) \leq S(Q)\label{ref3}
$$
для любых клеточных фигур \(q\) и \(Q\), удовлетворяющих условию \eqref{ref1}.


Теорема 1.

Для любой квадрируемой фигуры \(G\) число \(S(G)\) существует и единственно, причем
$$
S(G) = \sup S(q) = \inf S(Q).\label{ref4}
$$

Доказательство.

\(\circ\) Так как для любых клеточных фигур \(q\) и \(Q\), удовлетворяющих условию \eqref{ref1}, выполняется неравенство
$$
S(q) \leq S(Q),\nonumber
$$
то по теореме об отделимости существуют \(\sup S(q)\) и \(\inf S(Q)\) (супремум и инфимум берутся по всем клеточным фигурам, соответственно содержащимся в фигуре \(G\) и содержащим эту фигуру), причем
$$
S(q) \leq \sup S(q) \leq \inf S(Q) \leq S(Q),\label{ref5}
$$
откуда
$$
S(q) \leq \sup S(q) \leq S(Q),\label{ref6}
$$

Таким образом, число \(S(G) = \sup S(q)\) удовлетворяет условию \eqref{ref3}.

Докажем единственность числа \(S(G)\). Предположим, что наряду с числом \(S(G)\) существует еще одно число \(S'(G)\), удовлетворяющее условию \eqref{ref3}, т. е.
$$
S(q) \leq S^{'}(G) \leq S(Q),\label{ref7}
$$
Тогда из \eqref{ref3} и \eqref{ref7} в силу свойств неравенств получаем, что
$$
|S(G) - S'(G)| \leq S(Q) - S(q)\label{ref8}
$$
для любых клеточных фигур таких, что \(q \subset G \subset Q\). Так как \(G\) -квадрируемая фигура, то разность \(S(Q) - S(q)\) можно сделать сколь угодно малой в силу условия \eqref{ref2}, выбрав соответствующие фигуры \(Q\) и \(q\). Поэтому из \eqref{ref8} следует, что \(S'(G) = S(G)\). Таким образом, квадрируемая фигура \(G\) имеет площадь \(S(G)\), причем в силу \eqref{ref5} справедливо равенство \eqref{ref4}. \(\bullet\)


Теорема 2.

Для того чтобы плоская фигура \(G\) была квадрируема, необходимо и достаточно, чтобы для любого \(\varepsilon\;>\;0\) существовали такие квадрируемые плоские фигуры \(\tilde{q}\) и \(\tilde{Q}\), что
$$
\tilde{q} \subset G \subset \tilde{Q},\quad 0 \leq S(\tilde{Q}) - S(\tilde{q})\;<\;\varepsilon,\label{ref9}
$$
где \(S(\tilde{Q})\) и \(S(\tilde{q})\) — площади фигур \(Q\) и \(q\) соответственно.

Доказательство.

\(\circ\) Необходимость условий \eqref{ref9} очевидна, так как по определению квадрируемой фигуры эти условия выполняются, если взять \(\tilde{q} = q,\ \tilde{Q} = Q\), где \(q\) и \(Q\) — клеточные фигуры, удовлетворяющие соотношениям \eqref{ref1}, \eqref{ref2}.

Докажем достаточность. Фиксируя произвольное число \(\varepsilon\;>\;0\), найдем в силу \eqref{ref9} такие квадрируемые плоские фигуры \(\tilde{q}\) и \(\tilde{Q}\), что
$$
\tilde{q} \subset G \subset \tilde{Q},\ 0 \leq S(\tilde{Q}) - S(\tilde{q})\;<\;\frac{\varepsilon}{2},\label{ref10}
$$
Так как \(\tilde{q}\) и \(\tilde{Q}\) — квадрируемые плоские фигуры, то существуют клеточные фигуры \(Q'\) и \(q'\) такие, что
$$
q' \subset \tilde{q},\quad \tilde{Q} \subset Q',\quad 0 \leq S(\tilde{q}) - S(q')\;<\;\frac{\varepsilon}{4},\quad S(Q') - S(\tilde{Q})\;<\;\frac{\varepsilon}{4}.\label{ref11}
$$
Из \eqref{ref10} и \eqref{ref11} следует, что
$$
q' \subset G \subset Q',\quad 0 \leq S(Q') - S(q')\;<\;\varepsilon.\nonumber
$$
Это означает, что \(G\) — квадрируемая фигура, причем
$$
S(G) = \sup S(\tilde{q}) = \inf S(\tilde{Q}).\ \bullet\nonumber
$$


Замечание 2.
Можно доказать (см. § 45), что площадь квадрируемой фигуры обладает свойствами аддитивности, инвариантности и монотонности (см. замечание 1).

Площадь криволинейной трапеции.

Одной из основных задач, приводящих к понятию определенного интеграла, является задача о площади криволинейной трапеции, т. е. фигуры \(G\), задаваемой на плоскости \(Oxy\) условиями
$$
G = \{(x, y): a \leq x \leq b,\ 0 \leq y f(x)\},\label{ref12}
$$
где \(f(x)\) — функция, непрерывная на отрезке \([a, b]\).


Утверждение 1.

Криволинейная трапеция \(G\) — квадрируемая фигура, площадь которой \(S = S(G)\) выражается формулой
$$
S = \int\limits_a^b f(x)\ dx,\label{ref13}
$$

\(\circ\) Пусть \(T = \{x_{i}, i = \overline{0, n}\}\) — разбиение отрезка \([a, b]\), \(M_{i}\) и \(m_{i}\) — соответственно наибольшее и наименьшее значения функции \(f\) на отрезке \(\Delta_{i} = [x_{i - 1}, x_{i}],\ \Delta x_{i} =  x_{i} - x_{i - 1}, i = \overline{1, n}\) (см. рис. 34.1).

Рассмотрим клеточную фигуру \(q\), составленную из прямоугольников \(q_{i}\ (i = \overline{1, n})\), таких, что длина основания \(i\)-го прямоугольника равна \(\Delta x_{i}\), а высота равна \(m_{i}\).

Аналогично определяется клеточная фигура \(Q\), составленная из фигур \(Q_{i}\), где \(Q_{i}\) — прямоугольник, длина основания которого \(\Delta x_{i}\), а высота \(M_{i},\ i = \overline{1, n}\).

Очевидно, \(q \subset G \subset Q\), площади фигур \(q\) и \(Q\) соответственно равны
$$
S(q) = \sum_{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i},\quad S(Q) = \sum_{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}.\nonumber
$$

Заметим, что
$$
S(q) = s_{T},\ S(Q) = S_{T},\label{ref14}
$$
где \(s_{T}\) и \(S_{T}\) — соответственно нижняя и верхняя суммы Дарбу для функции \(f\) при разбиении \(T\) отрезка \([a, b]\).

Так как функция \(f(x)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\), то в силу критерия интегрируемости (§ 34, теорема 2) для любого \(\varepsilon\;>\;0\) найдется такое разбиение \(T\) этого отрезка, что
$$
0 \leq S_{T} - s_{T}\;<\;\varepsilon.\nonumber
$$
Иными словами (см. равенства \eqref{ref14}), существуют клеточные фигуры \(q\) и \(Q\) такие, что
$$
q \subset G \subset Q,\quad 0 \leq S(Q) - S(q)\;<\;\varepsilon,\nonumber
$$
т. е. выполняются условия \eqref{ref1}, \eqref{ref2}. Это означает, что \(G\) — квадрируемая фигура и согласно теореме 1 справедливо равенство \eqref{ref4}, которое в силу равенств \eqref{ref14} можно записать в виде
$$
S(G) = \sup s_{T} = \inf S_{T}.\label{ref15}
$$
Используя следствие из ранее доказанной теоремы, получаем
$$
\sup s_{T} = \inf S_{T} = \int\limits_a^b f(x)\ dx.\label{ref16}
$$
Из \eqref{ref15} и \eqref{ref16} следует, что площадь \(S = S(G)\) криволинейной трапеции \(G\) выражается формулой \eqref{ref13}. \(\bullet\)


Замечание 3.
Ранее площадь \(S\) фигуры \(G\) была определена как предел интегральной суммы \(\sigma_{T} = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}\) при \(l(T) \rightarrow 0\) при условии, что этот предел не зависит от разбиения \(T\) и выборки \(\xi = \{\xi_{i},\ i = \overline{1, n}\}\), где \(\xi_{i} \in \Delta_{i}\). Для непрерывной на отрезке \([a, b]\) функции \(\displaystyle\lim_{l(T) \longrightarrow 0}\sigma_{T}(\xi) = \int\limits_a^b f(x)\ dx\), и поэтому оба определения площади приводят к одному и тому же результату.

Рис. 37.1
Рис. 37.1
Рис. 37.2
Рис. 37.2

Рассмотрим теперь фигуру \(D\) (рис. 37.1), ограниченную отрезками прямых \(x = a\) и \(x = b\) и графиками непрерывных на отрезке \([a, b]\) функций \(y = f_{1}(x)\) и \(y = f_{2}(x)\), где \(f_{1}(x) \leq f_{2}(x)\) при \(x \in [a, b]\). Если \(f_{1}(x) \geq 0\) для всех \(x \in [a, b]\), то площадь фигуры \(D\) равна разности площадей криволинейных трапеций \(D_{2}\) и \(D_{1}\), где \(D_{i} = \{(x, y): a \leq x \leq b,\ 0 \leq y \leq f_{i}(x)\},\ i = 1,2\). Поэтому площадь фигуры \(D\) выражается формулой
$$
S(D) = \int\limits_a^b (f_{2}(x) - f_{1}(x))\ dx.\label{ref17}
$$

Формула \eqref{ref17} остается в силе и в случае, когда не выполняется условие \(f_{1}(x) \geq 0\) для всех \(x \in [a, b]\). Чтобы убедиться в этом, достаточно сдвинуть фигуру \(D\) вдоль положительного направления оси \(Oy\) на \(y_{0} = \displaystyle\vert\min_{x \in [a, b]}f_{1}(x)\vert\) и воспользоваться тем, что площади равных фигур совпадают.


Пример 1.

Найти площадь \(S\) фигуры, ограниченной эллипсом
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\nonumber
$$

Решение.

\(\triangle\) Искомая площадь \(S\) равна \(4\sigma\), где \(\sigma\) (рис. 37.2) — площадь криволинейной трапеции, ограниченной осями \(Ox\), \(Oy\) и графиком функции \(y = b \displaystyle\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}},\ 0 \leq x \leq a\). По формуле \eqref{ref13} находим
$$
\sigma = b \int\limits_0^a \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}}\ dx = ab \int\limits_0^1 \sqrt{1 - t^{2}}\ dt = \frac{1}{4} \pi ab\nonumber
$$
(см. пример здесь). Итак, площадь, ограниченная эллипсом с полуосями \(a\) и \(b\), равна
$$
S = \pi ab\nonumber
$$
В частности, площадь круга радиуса \(R\) равна \(\pi R^{2}\). \(\blacktriangle\)


Отсюда следует, что площадь кругового сектора (радиуса \(R\)), соответствующего центральному углу \(\alpha\), равна
$$
\frac{\pi R^{2}}{2\pi}\alpha = \frac{R^{2}\alpha}{2}.\nonumber
$$


Пример 2.

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой \(y = 6x - x^{2}\) и прямой \(y = x + 4\).

Решение.

\(\triangle\) Парабола \(y = 6x - x^{2}\) пересекается с прямой \(y = x + 4\) в точках \(A\) и В (рис. 37.3), абсциссы которых являются корнями уравнения \(6x - x^{2} = x + 4\). Решая это уравнение, находим его корни \(x_{1} = 1,\ x_{2} = 4\). Согласно формуле \eqref{ref17} искомая площадь \(S\) равна
$$
S = \int\limits_1^4 ((6x - x^{2}) - (x + 4))\ dx = \left(\frac{5}{2}x^{2} - \left.\frac{x^{3}}{3} - 4x\right)\right|_{1}^{4} = \frac{9}{2}.\ \blacktriangle\nonumber
$$

Рис. 37.3
Рис. 37.3

Площадь криволинейного сектора.

Пусть кривая \(\Gamma\) задана в полярной системе координат уравнением
$$
\rho = \rho(\varphi),\quad \alpha \leq \varphi \leq \beta,\nonumber
$$
где \(\rho(\varphi)\) — неотрицательная и непрерывная на отрезке \([\alpha, \beta]\) функция. Тогда плоскую фигуру \(G\), ограниченную кривой \(\Gamma\) и, быть может, отрезками двух лучей, составляющих с полярной осью углы \(\alpha\) и \(\beta\) (рис. 37.4), назовем криволинейным сектором.

Рис. 37.4
Рис. 37.4

Утверждение 2.

Криволинейный сектор \(G\) — квадрируемая фигура, площадь которой \(S\) выражается формулой
$$
S = \frac{1}{2} \int\limits_{\alpha}^{\beta} \rho^{2}(\varphi)\ d\varphi.\label{ref18}
$$
\(\circ\) Пусть \(T = \{\varphi_{i},\ i = \overline{0, n}\}\) — разбиение отрезка \([\alpha, \beta]\), \(m_{i}\) и \(M_{i}\) — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции \(\rho(\varphi)\) на отрезке \(\Delta_{i} = [\varphi_{i - 1}, \varphi_{i}],\ i = \overline{1, n}\) Обозначим через \(q_{i}\) и \(Q_{i}\) круговые секторы, ограниченные лучами \(\varphi = \varphi_{i - 1},\ \varphi = \varphi_{i}\) и дугами окружностей радиусов \(m_{i}\) и \(M_{i}\) соответственно (рис. 37.4). Если \(q\) — объединение фигур \(q_{1}, \ldots, q_{n}\), а \(Q\) — объединение фигур \(Q_{1}, \ldots, Q_{n}\), то \(q \subset G \subset Q\).

Так как \(q_{i}\) и \(Q_{i}\) — квадрируемые фигуры, то \(q\) и \(Q\) также являются квадрируемыми фигурами, а их площади соответственно равны
$$
S(q) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n}m_{i}^{2}\Delta \varphi_{i}\quad \mbox{и}\quad S(Q) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n}M_{i}^{2}\Delta \varphi_{i}.\nonumber
$$
Отсюда следует, что \(S(q)\) и \(S(Q)\) совпадают соответственно с нижней и верхней суммами Дарбу для функции \(\displaystyle\frac{1}{2} \rho^{2}(\varphi)\) на отрезке \([\alpha, \beta]\). Поэтому (следствие из теоремы, доказанной здесь)
$$
\sup S(q) = \inf S(Q) = \frac{1}{2} \int\limits_{\alpha}^{\beta} \rho^{2}(\varphi)\ d\varphi.\nonumber
$$
Это означает (теорема 2), что \(G\) — квадрируемая фигура, а ее площадь \(S\) выражается формулой \eqref{ref18}. \(\bullet\)


Пример 3.

Найти площадь фигуры \(G\), которая ограничена лемнискатой Бернулли (рис. 37.5), заданной уравнением
$$
\rho^{2} = a^{2} \cos 2\varphi.\nonumber
$$

Рис. 37.5
Рис. 37.5

Решение.

\(\triangle\) Фигура \(G\) симметрична относительно координатных осей. Площадь \(\sigma\) той части фигуры \(G\), которая лежит в    первом квадранте, согласно формуле \eqref{ref18} равна \(\sigma = \displaystyle\frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi/4} a^{2} \cos 2\varphi\ d\varphi\). Поэтому искомая площадь \(S = 4\sigma = a^{2}\). \(\blacktriangle\)


Вычисление объема тела.

Тело и его объем.

Произвольное ограниченное множество точек пространства будем называть телом.

Основные определения и утверждения, относящиеся к телам, аналогичны соответствующим определениям и утверждениям, рассмотренным выше. Поэтому некоторые утверждения для тел (см. теоремы 1 и 2) будут опущены.

По аналогии с понятием клеточной фигуры назовем тело клеточным, если его можно представить как объединение конечного числа непересекающихся параллелепипедов, т. е. тел вида
$$
M = \{(x, y, z): a_{1} \leq x \leq b_{1},\ a_{2} \leq y \leq b_{2}, a_{3} \leq z \leq b_{3}\},\nonumber
$$
а также тел, получаемых из \(M\) удалением части границы (или всей границы) тела \(M\). Объемом параллелепипеда \(M\) назовем число \((b_{1} - a_{1})(b_{2} - a_{2})(b_{3} - a_{3})\), а объемом клеточного тела — сумму объемов составляющих его параллелепипедов.

Тело \(\Omega\) будем называть кубируемым, если для любого \(\varepsilon\;>\;0\) найдутся клеточные тела \(p\) и \(P\) такие, что
$$
p \subset \Omega \subset P,\quad 0 \leq V(P) - V(p)\;<\;\varepsilon,\nonumber
$$

где \(V(P)\) и \(V(p)\) — объемы тел \(P\) и \(p\) соответственно. Как и в случае с площадямью фигуры, легко показать, что если тело \(\Omega\) кубируемо, то существует единственное число \(V(\Omega)\) такое, что неравенство
$$
V(p) \leq V(\Omega) \leq V(P)\nonumber
$$
выполняется для любых клеточных тел \(p\), \(P\), удовлетворяющих условию \(p \subset \Omega \subset P\); при этом
$$
V(\Omega) = \sup V(p) = inf V(P).\nonumber
$$
Это число \(V(\Omega)\) называют объемом тела \(V\). Рассмотрим некоторые классы кубируемых (имеющих объем) тел.

Цилиндрическое тело и его объем.

Пусть простой контур \(\Gamma\) (см.все основные определения кривых и контуров здесь), расположенный в плоскости \(Oxy\), ограничивает плоскую фигуру \(G\). Рассмотрим множество \(\Omega\) точек пространства, которые получаются сдвигом фигуры \(G\) в направлении положительной полуоси \(Oz\) на расстояние, не превосходящее \(h\), где \(h\) — заданное число, и назовем \(\Omega\) цилиндрическим телом. Граница этого тела состоит из равных (конгруэнтных) фигур \(G\) и \(G_{1}\) (рис. 37.6) и части цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны оси \(Oz\). Фигуры \(G\) и \(G_{1}\) называют основаниями цилиндрического тела, а расстояние между плоскостями оснований — высотой этого тела.

Рис. 37.6
Рис. 37.6
Утверждение 3.

Если основанием цилиндрического тела \(\Omega\) служит плоская квадрируемая фигура \(G\), то тело \(\Omega\) кубируемо, а его объем \(V(\Omega)\) равен \(S(G)h\), где \(S(G)\) — площадь основания, \(h\) — высота тела \(\Omega\). В частности, объем прямого кругового цилиндра равен \(V = \pi R^{2}h\), где \(R\) — радиус основания, \(h\) — высота цилиндра.

\(\circ\) По определению плоской квадрируемой фигуры для любого \(\varepsilon > 0\) существуют такие клеточные фигуры \(q\) и \(Q\), что
$$        
q \subset G \subset Q,\quad 0 \leq S(Q) - S(q)\;<\;\frac{\varepsilon}{h},\nonumber
$$

Рассмотрим цилиндрические тела \(\Omega_{1}\) и \(\Omega_{2}\) основаниями которых служат соответственно фигуры \(q\) и \(Q\), а высота каждого из этих тел равна \(h\). Тела \(\Omega_{1}\) и \(\Omega_{2}\) являются клеточными, а их объемы соответственно равны
$$
V(\Omega_{1}) = S(q)h\quad \mbox{и}\quad V(\Omega_{2}) = S(Q)h.\nonumber
$$
Так как \(\Omega_{1} \subset \Omega \subset \Omega_{2},\ 0 \leq V(\Omega_{2}) - V(\Omega_{1})\;<\;\varepsilon\), то \(\Omega\) — кубируемое тело, а его объем равен \(S(G)h\). \(\bullet\)


Замечание 4.
Из свойства аддитивности объема и утверждения 3 следует, что ступенчатое тело, т.е. тело, являющееся объединением конечного числа цилиндрических тел, кубируемо, если основания цилиндрических тел квадрируемы; при этом объем ступенчатого тела равен сумме объемов тел, из которых составлено ступенчатое тело.

Объем тела вращения.

Утверждение 4.

Тело, образованное вращением вокруг оси \(Ox\) криволинейной трапеции \(G\) (условие \eqref{ref12}), где \(f(x)\) — функция, непрерывная на отрезке \([a, b]\), кубируемо, а его объем \(V\) выражается формулой
$$
V = \pi \int\limits_a^b f^{2}(x)\ dx.\label{ref19}
$$
\(\circ\) Пусть \(T,\ m_{i},\ M_{i},\ \Delta x_{i},\ q,\ Q\) — те же, что и в пункте про "площадь криволинейной трапеции". При вращении вокруг оси \(Ox\) фигур \(q\), \(G\), \(Q\) получаются тела вращения \(p\), \(\Omega\), \(P\) такие, что
$$
p \subset \Omega \subset P,\nonumber
$$
причем объемы ступенчатых тел \(p\) и \(P\) соответственно равны
$$
V(p) = \pi \sum_{i=1}^{n}m_{i}^{2}\Delta x_{i},\quad V(P) = \pi \sum_{i=1}^{n}M_{i}^{2}\Delta x_{i}.\nonumber
$$

Так как \(V(p)\) и \(V(P)\) равны соответственно нижней и верхней суммам Дарбу для функции \(\pi f^{2}(x)\) при разбиении \(T\) отрезка \([a, b]\), то согласно следствию из данной теоремы
$$
\sup V(p) = inf V(P) = \pi \int\limits_a^b f^{2}(x)\ dx.\nonumber
$$

Следовательно, \(Q\) — кубируемое тело (по теореме, аналогичной теореме 2), а его объем выражается формулой \eqref{ref19}. \(\bullet\)


Пример 4.

Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси \(Ox\) фигуры, ограниченной осью \(Ox\) и графиком функции \(y = \sin x,\ 0 \leq x \leq \pi\).

Решение.

\(\triangle\) По формуле \eqref{ref19} получаем \(V = \pi \displaystyle\int\limits_0^{\pi} \sin^{2}(x)\ dx = \frac{\pi^{2}}{2}\). \(\blacktriangle\)


Объем тела с заданными площадями поперечных сечений.

Пусть тело \(\Omega\) заключено между плоскостями, перпендикулярными оси Ох и пересекающими эту ось в точках \(x = a\) и \(x = b\), где \(a\;<\;b\) (рис. 37.7).

Рис. 37.7
Рис. 37.7

Обозначим через \(G_{x}\) фигуру, получаемую в сечении тела \(\Omega\) плоскостью, перпендикулярной оси \(Ox\) и проходящей через точку \(x \in [a, b]\) этой оси. Будем считать, что при любом \(x \in [a, b]\) фигура \(G_{x}\) квадрируема, а ее площадь \(\sigma (x)\) — функция, непрерывная на отрезке \([a, b]\). Кроме того, предположим, что при проектировании на плоскость, перпендикулярную оси \(Ox\), фигур \(G_{\alpha}\) и \(G_{\beta}\), где \(\alpha,\ \beta\), — любые точки отрезка \([a, b]\), получаются фигуры, одна из которых содержится в другой.


Утверждение 5.

При указанных выше условиях тело \(\Omega\) куби-руемо, а его объем \(V\) выражается формулой
$$
V = \int\limits_a^b \sigma(x)\ dx.\label{ref20}
$$

\(\circ\) Пусть \(T = {x_{i}, i = \overline{0, n}}\) — разбиение отрезка \([a, b]\), \(m_{i}\) и \(M_{i}\) - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции \(\sigma(x)\) на отрезке \(\Delta x_{i} = [x_{i - 1}, x_{i}],\ \Delta x_{i} = x_{i} - x_{i - 1},\ i = \overline{1, n}\). Так как \(\sigma(x)\) — непрерывная функция, то существуют точки \(\xi_{i} \in \Delta_{i}\) и \(\xi_{i}'\) такие, что \(\sigma(\xi_{i}) = m_{i},\ \sigma(\xi_{i}') = M_{i},\ i = \overline{1, n}\).

Обозначим через \(\Omega_{i}\) ту часть тела \(\Omega\), которая заключена между плоскостями \(A_{i - 1}\) и \(A_{i}\), перпендикулярными оси \(Ox\) и проходящими соответственно через точки \(x_{i - 1}\) и \(x_{i}\) (см. рис. 37.7).

Пусть \(D_{i}\) и \(D_{i}'\) — цилиндрические тела высотой \(\Delta x_{i}\), построенные на сечениях \(G_{\xi_{i}}\) и \(G_{\xi_{i}'}\) как на основаниях и расположенные между плоскостями \(A_{i - 1}\) и \(A_{i}\). Тогда \(D_{i} \subset \Omega_{i} \subset D_{i}'\) а объемы тел \(D_{i}\) и \(D_{i}'\) соответственно равны
$$
V(D_{i}) = m_{i}\Delta x_{i},\quad V(D_{i}') = M_{i}\Delta x_{i}.\nonumber
$$

Если \(p\) — объединение тел \(D_{1}, \ldots, D_{n}\), а \(P\) — объединение тел \(D_{1}', \ldots, D_{n}'\), то \(p \subset \Omega \subset P\),
$$
V(p) = \sum_{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i},\quad V(P) = \sum_{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}.\nonumber
$$
Так как \(\sup V(p) = \inf V(P) = \displaystyle\int\limits_a^b \sigma(x)\ dx\), то \(\Omega\) — кубируемое тело, a его объем выражается формулой \eqref{ref20}. \(\bullet\)


Пример 5.

Вычислить объем эллипсоида \(\displaystyle\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1\).

Решение.

\(\triangle\) Воспользуемся тем, что площадь фигуры \(G\), получаемой в сечении эллипсоида плоскостью, параллельной плоскости \(Oyz\) и отстоящей от нее на расстоянии \(x_{0}\), где \(0 \leq x_{0} \leq a\), равна
$$
S(x_{0}) = \pi bc (1 - \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}).\label{ref21}
$$
В самом деле, граница фигуры \(G\) — эллипс, задаваемый уравнениями
$$
\frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1 - \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}},\quad x = x_{0}
$$

Полуоси этого эллипса равны \(b\lambda\) и \(c\lambda\), где \(\lambda = \displaystyle\sqrt{1 - \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}}\). Используя пример 1, получаем формулу \eqref{ref21}, а по формуле \eqref{ref20} находим искомый объем эллипсоида:
$$
v = 2 \int\limits_0^a S(x)\ dx = 2\pi bc \int\limits_0^a \left(1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}\right)\ dx = \frac{4}{3} \pi abc.\nonumber
$$
Отсюда следует, что объем шара, радиус которого равен \(R\), выражается формулой \(v = \displaystyle\frac{4}{3} \pi R^{3}\) . \(\blacktriangle\)


Вычисление длины дуги кривой.

Утверждение 6.

Если кривая \(\Gamma\), заданная уравнением
$$
\Gamma = \{\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(t),\ \alpha \leq t \leq \beta\},\label{ref22}
$$
непрерывно дифференцируема, то ее длина \(S\) выражается формулой
$$
S = \int\limits_{\alpha}^{\beta} |\boldsymbol{r}'(t)|\ dt.\label{ref23}
$$

\(\circ\) Ранее было доказано, что непрерывно дифференцируемая кривая \(\Gamma\) спрямляема (имеет длину), а производная переменной длины дуги \(s(t)\) этой кривой выражается формулой
$$
s'(t)\ dt = |\boldsymbol{r}'(t)|.\label{ref24}
$$

Пусть \(S\) — длина всей кривой \(\Gamma\); тогда, используя равенство \eqref{ref24} и формулу Ньютона-Лейбница, получаем
$$
\int\limits_{\alpha}^{\beta} |\boldsymbol{r}'(t)|\ dt = \int\limits_{\alpha}^{\beta} s'(t)\ dt = s(\beta) - s(\alpha) = S.\nonumber
$$
так как \(s(\beta) = S\), a \(s(\alpha) = 0\). \(\bullet\)


Если \(\boldsymbol{r}(t) = (x(t),\ y(t),\ z(t))\), то формула \eqref{ref23} принимает вид
$$
S = \int\limits_{\alpha}^{\beta} \sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}}\ dt.\label{ref25}
$$
а если \(\Gamma\) - плоская кривая, заданная уравнением
$$
y = f(x),\quad a \leq x \leq b,\nonumber
$$
то ее длина выражается формулой
$$
S = \int\limits_a^b \sqrt{1 + (f^{'}(x))^{2}}\ dx.\label{ref26}
$$


Пример 6.

Найти длину кривой \(y = \operatorname{ch} x,\ 0 \leq x \leq a\).

Решение.

\(\Delta\) Применяя формулу \eqref{ref26}, находим
$$
S = \int\limits_0^a \sqrt{1 + \operatorname{sh}^{2}x}\ dx = \int\limits_0^a \operatorname{ch} x\ dx = \operatorname{sh} a.\ \blacktriangle\nonumber
$$


Вычисление площади поверхности вращения.

Пусть \(f(x)\) — неотрицательная и непрерывная на отрезке \([a, b]\) функция, \(T = \{x_{i},\ i = \overline{0, n}\}\) — разбиение отрезка \([a, b]\), \(L_{T}\) — ломаная с вершинами \(A_{i}(x_{i},\ f(x_{i})),\ i = \overline{0, n}\), соединяющая последовательно точки \(A_{0}, A_{1}, \ldots A_{n}\) (рис. 37.8), \(l_{i}\) — длина отрезка \(\mathcal{L}_{i} = [A_{i - 1}, A_{i}]\) — \(i\)-го звена ломаной \(L_{T}\). Тогда
$$
l_{i} = \sqrt{(x_{i} - x_{i - 1})^{2} + (f(x_{i}) - f(x_{i - 1}))^{2}}.\label{ref27}
$$

При вращении вокруг оси \(Ox\) звена \(\mathcal{L}_{i}\) образуется боковая поверхность усеченного конуса (цилиндра в случае, когда \(f(x_{i}) = f(x_{i - 1}))\). Площадь этой поверхности, как известно из курса элементарной геометрии, равна
$$
p_{i} = \pi (y_{i} + y_{i - 1})l_{i},\quad y_{k} = f(x_{k}),\quad k = \overline{1, n},\nonumber
$$
откуда следует, что площадь \(\mathcal{P}_{T}\) поверхности, получаемой при вращении ломаной \(L_{T}\) вокруг оси \(Ox\), равна
$$
\mathcal{P}_{T} = \sum_{i=1}^{n}(y_{i} + y_{i - 1})l_{i}.\label{ref28}
$$

Если существует
$$
\lim_{l(T) \rightarrow 0} \mathcal{P}_{T} = \mathcal{P}.\label{ref29}
$$
где \(l(T)\) — мелкость разбиения \(T\), а \(\mathcal{P}_{T}\) определяется формулой \eqref{ref28}, то число \(\mathcal{P}\) называют площадью поверхности вращения, т. е. площадью поверхности, образующейся при вращении вокруг оси \(Ox\) графика функции \(y = f(x),\ a \leq x \leq b\).

Рис. 37.8
Рис. 37.8

Утверждение 7.

Если функция \(f\) имеет непрерывную производную на отрезке \([a, b]\), то предел \eqref{ref29} существует, а площадь \(\mathcal{P}\) поверхности вращения выражается формулой
$$
\mathcal{P} = 2\pi \int\limits_a^b f(x) \sqrt{1 + (f'(x))^{2}}\ dx.\label{ref30}
$$

\(\circ\) Из формул \eqref{ref28} и \eqref{ref27} следует, что
$$
\mathcal{P}_{T} = \pi\sum_{i=1}^{n}\sqrt{(x_{i} - x_{i - 1})^{2} + (y_{i} - y_{i - 1})^{2}}(y_{i} + y_{i - 1}),\label{ref31}
$$
где \(y_i=f(x_i)\). По теореме Лагранжа
$$
y_{i} - y_{i - 1} = f'(\xi_{i})\Delta x_{i},\label{ref32}
$$
где \(\xi_{i} \in \Delta_{i} = [x_{i - 1}, x_{i}]\), \(\Delta x_{i} = x_{i} - x_{i - 1}\). Поэтому формулу \eqref{ref28} можно записать в виде
$$
\mathcal{P}_{T} = \pi \sum_{i=1}^{n}(y_{i} + y_{i - 1}) \sqrt{1 + (f'(\xi_{i}))^{2}}\Delta x_{i}.\label{ref33}
$$
Прибавим и вычтем в правой части равенства \eqref{ref33} интегральную сумму для интеграла \eqref{ref30}, соответствующую разбиению \(T\) и выборке \(\xi = \xi_{i}\ (i = \overline{1, n})\), указанной формулой \eqref{ref32}, т. е. сумму
$$
\sigma_{T} (\xi, g)= 2\pi \sum_{i=1}^{n}(f(\xi_{i}))\sqrt{1 + (f'(\xi_{i}))^{2}}\Delta x_{i}.\label{ref34}
$$
где \(g(x) = 2\pi f(x)\displaystyle\sqrt{1 + (f'(x))^{2}}\). Заметим, что в силу непрерывности функции \(g\) для любой выборки \(\xi\) существует
$$
\lim_{l(T) \rightarrow 0} \sigma_{T} (\xi, g) = 2\pi \int\limits_a^b f(x) \sqrt{1 + (f'(x))^{2}}\ dx.\nonumber
$$

Поэтому для доказательства формулы \eqref{ref30} достаточно показать, что
$$
\omega = \mathcal{P}_{T} - \sigma_{T} (\xi, g) \rightarrow 0\ \mbox{при}\ l(T) \rightarrow 0.\label{ref35}
$$
Из \eqref{ref33} и \eqref{ref34} следует, что
$$
\omega = \pi \sum_{i=1}^{n}(y_{i} + y_{i - 1}-2f(\xi_i)) \sqrt{1 + (f'(\xi_{i}))^{2}}\Delta x_{i}.\label{ref36}
$$

При оценке величины \(\omega\) воспользуемся тем, что функция \(a\) равномерно непрерывна на отрезке \([a, b]\), т. е. для любого \(\varepsilon\;>\;0\) существует \(\delta_{\varepsilon}\;>\;0\) такое, что для любых точек \(x'\), \(x''\) из отрезка \([a, b]\), удовлетворяющих условию \(|x' - x''|\;<\;\delta_{\varepsilon}\), выполняется неравенство
$$
|f(x') - f(x'')|\;<\;\frac{\varepsilon}{C}.\label{ref37}
$$
где число \(C\;>\;0\) будет выбрано ниже.

Пусть разбиение \(T\) удовлетворяет условию \(l(T) = \displaystyle\max_{1 \leq i \leq n} \Delta x_{i}\;<\;\delta_{\varepsilon}\); тогда  \(|x_{i} - \xi_{i}| \leq l(T)\;<\;\delta_{\varepsilon}\), \(|x_{i - 1} - \xi_{i}| \leq l(T)\;<\;\delta_{\varepsilon}\), так как \(\xi_{i} \in \Delta_{i}\). Из \eqref{ref37} следует, что
$$
|y_{i} - f(\xi_{i})| = |f(x_{i}) - f(\xi_{i})|\;<\;\frac{\varepsilon}{C},\quad |y_{i - 1} - f(\xi_{i})|\;<\;\frac{\varepsilon}{C},\nonumber
$$
и поэтому
$$
|y_{i} + y_{i - 1} - 2f(\xi_{i})|\;<\;\frac{2\varepsilon}{C}.\label{ref38}
$$

В силу непрерывности функции \(f'(x)\) на отрезке \([a, b]\) существует число \(M\;>\;0\) такое, что \(0\;<\;\displaystyle\sqrt{1 + (f'(x))^{2}}\;<\;M\) для всех \(x \in [a, b]\) и, в частности,
$$
0\;<\;\sqrt{1 + (f'(\xi_{i}))^{2}}\;<\;M,\quad i = \overline{1, n}.\label{ref39}
$$
Из \eqref{ref36}, \eqref{ref38} и \eqref{ref39} получаем следующую оценку:
$$
|\omega|\;<\;\pi \sum_{i=1}^{n} \frac{2\varepsilon}{C} M \Delta x_{i} = \frac{2\pi M (b - a)}{C}\varepsilon.\label{ref40}
$$
Возьмем \(C = 2\pi M (b - a)\) в условии \eqref{ref37}; тогда из \eqref{ref40} следует, что для любого \(\varepsilon\;>\;0\) существует \(\delta_{\varepsilon}\;>\;0\) такое, что для каждого разбиения \(T\), мелкость \(l(T)\) которого удовлетворяет условию \(l(T)\;<\;\delta_{\varepsilon}\), выполняется неравенство \(|\omega|\;<\;\varepsilon\). Это означает, что \(\omega \rightarrow 0\) при \(l(T) \rightarrow 0\). Формула \eqref{ref30} доказана. \(\bullet\)


Пример 7.

Пользуясь формулой \eqref{ref30}, вычислить площадь \(\mathcal{P}\) поверхности сферического пояса высоты \(h\), если радиус сферы равен \(R\).

Решение.

\(\triangle\) Сферический пояс высоты \(h\) можно получить вращением дуги полуокружности, заданной уравнением \(y = f(x) = \displaystyle\sqrt{R^{2} - x^{2}},\ a \leq x \leq b\), где \([a, b] \subset [-R, R],\ b - a = h\), вокруг оси \(Ox\) (рис. 37.9). Так как \(f'(x) = - \displaystyle\frac{x}{\sqrt{R^{2} - x^{2}}}\), то \(1 + (f'(x))^{2} = \displaystyle\frac{R^{2}}{R^{2} - x^{2}}\), \(f(x)\sqrt{1 + (f'(x))^{2}} = R\) и по формуле \eqref{ref30} получаем \(\mathcal{P}_{T} = 2\pi \displaystyle\int\limits_a^b R\ dx = 2\pi R(b - a) = 2\pi Rh\). В частности, площадь поверхности сферы радиуса \(R\) равна \(4\pi R^{2}\). \(\blacktriangle\)

Рис. 37.9
Рис. 37.9


Применение определенного интеграла при решении физических задач.

Определенный интеграл широко применяется при решении различных физических задач. С помощью определенного интеграла можно вычислять: путь, пройденный материальной точкой, если известна скорость движения; работу переменной силы; силу давления жидкости на плоскую фигуру; статические моменты и координаты центра масс плоской кривой и плоской фигуры и т. д.

Пусть плоская пластинка \(G\), имеющая форму криволинейной трапеции, определяемой условиями \eqref{ref1}, погружена вертикально в жидкость с плотностью \(\rho\) так, что ее боковые стороны параллельны поверхности жидкости и удалены от уровня жидкости на расстояния \(a\) и \(b\) (рис. 37.10). Требуется найти силу давления жидкости на пластинку.

Рис. 37.10
Рис. 37.10

Из курса физики известно, что если пластинка погружена в жидкость и расположена горизонтально на расстоянии \(h\) от поверхности жидкости, то сила давления \(\mathcal{P}\) на одну из сторон пластинки равна
$$
\mathcal{P} = g \rho hS,\nonumber
$$
где \(S\) — площадь пластинки, \(g\) — ускорение силы тяжести. Таким образом, сила давления — линейная функция от глубины погружения пластинки. Поэтому естественно разбить пластинку \(G\) на части прямыми, параллельными поверхности жидкости (оси \(Oy\)).

Пусть \(T = \{x_{i},\ i = \overline{0, n}\}\) — разбиение отрезка \([a, b]\). Прямыми, проведенными через точки \(x_{i}\ (i = \overline{1, n - 1})\), разобьем фигуру \(G\) на \(n\) частей (полосок) \(G_{i}\ (i = \overline{1, n})\). Выделим полоску \(G_{i}\), ограниченную прямыми \(x = x_{i - 1}\) и \(x = x_{i}\) (рис. 37.10). Площадь этой полоски приближенно равна площади прямоугольника с основанием \(\Delta x_{i}\) и высотой \(f(x_{i})\), глубину погружения всех точек полоски \(G_{i}\) можно считать равной \(x_{i}\). Поэтому сила давления жидкости на полоску \(G_{i}\) приближенно равна
$$
g \rho x_{i}f(x_{i})\Delta x_{i},\nonumber
$$
а сумма
$$
\mathcal{P}_{T} = \sum_{\substack{i=1}}^{\substack{n}} g \rho x_{i}f(x_{i})\Delta x_{i}\nonumber
$$
приближенно равна силе давления жидкости на пластинку \(G\).

Если \(l(T) \rightarrow 0\), где \(l(T)\) — мелкость разбиения \(T\), а функция \(f\) непрерывна на отрезке \([a, b]\), то    \(\mathcal{P}_{T} \rightarrow \mathcal{P}\), где
$$
\mathcal{P} = g \int\limits_a^b \rho x f(x)\ dx.\label{ref41}
$$
Число \(\mathcal{P}\) выражаемое формулой \eqref{ref41}, называют силой давления жидкости на пластинку \(G\).


Пример 8.

Вычислить силу давления \(\mathcal{P}\) жидкости с плотностью \(\rho\) на вертикальную стенку, имеющую форму полукруга радиуса \(R\) и погруженную в жидкость так, что диаметр полукруга расположен на поверхности жидкости (рис. 37.11).

Рис. 37.11
Рис. 37.11

Решение.

\(\triangle\) Выберем систему координат так, как указано на рис. 37.11. Пользуясь формулой \eqref{ref41}, где \(f(x) = \sqrt{R^{2} - x^{2}},\ a = 0,\ b = R\), получаем
$$
\mathcal{P} = 2g \rho \int\limits_0^R x \sqrt{R^{2} - x^{2}}\ dx = - \left.\frac{2}{3} g \rho (R^{2} - x^{2})^{3/2}\right|_{0}^{R} = \frac{2\rho g}{3} R^{3}.\ \blacktriangle\nonumber
$$