Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
Площадь криволинейной трапеции.
Пусть функция \(f\) непрерывна на отрезке \(\Delta = [a, b]\) и неотрицательна, то есть \(f(x) \geq 0\) при всех \(x \in \Delta\). Рассмотрим фигуру \(G\) (рис. 34.1), ограниченную отрезками прямых \(x = a,\ x = b,\ y = 0\) и графиком функции \(y = f(x)\), то есть
$$
G = \{(x, y): a \leq x \leq b,\ 0 \leq y \leq f(x)\}.\nonumber
$$
Такую фигуру называют криволинейной трапецией, а отрезок \(\Delta\) — ее основанием.
Разобьем отрезок \(\Delta\) на \(n\) частей точками \(x_{i}(i = \overline{1, n-1})\), где \(x_{1} < x_{2} < \ldots < x_{n-2} < x_{n-1}\), и проведем через эти точки прямые, параллельные оси \(Oy\). Тогда фигура \(G\) разобьется на \(n\) частей, каждая из которых является криволинейной трапецией.
Обозначим \(\Delta x_{i} = x_{i}-x_{i-1},\ x_{0} = a,\ x_{n} = b\), и пусть \(\xi_{i} \in\ \Delta_{i}\), где \(\Delta_{i} = [x_{i-1}, x_{i}],\ i = \overline{1, n}\). Тогда сумма
$$
\sigma = \sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i},\nonumber
$$
зависящая от разбиения отрезка \(\Delta\) и выбора точек \(\xi_{i}\), равна площади ступенчатой фигуры (рис. 34.1), составленной из \(n\) прямоугольников, причем основанием \(i\)-го прямоугольника служит отрезок \(\Delta_{i}\), а длина его высоты равна \(f(\xi_{i})\). Интуитивно ясно, что эта ступенчатая фигура будет мало отличаться от исходной фигуры \(G\) при достаточно мелком разбиении.
Будем увеличивать число точек разбиения так, чтобы наибольшая из длин отрезков \(\Delta_{i}\) стремилась к нулю. Если при этом сумма \(\sigma\) будет иметь предел \(S\), не зависящий ни от способа дробления отрезка \(\Delta\), ни от выбора точек то естественно считать, что площадь фигуры \(G\) равна \(S\). Существование этого предела будет доказано ниже в разделе «Классы интегрируемых функций».
Пример 1.
Найти площадь фигуры, ограниченной параболой \(y = x^{2}\) и отрезками прямых \(x = a\), где \(a > 0\), и \(y = 0\) (рис. 34.2).
Решение.
\(\triangle\) Пользуясь тем, что предел суммы \(\sigma\) для непрерывной функции \(f(x) = x^{2}\) (см. раздел «Классы интегрируемых функций») не зависит от способа дробления отрезка \(\Delta = [0, a]\) и выбора точек \(\xi_{i}\) будем считать, что отрезок \(\Delta\) разбит на \(n\) отрезков равной длины, а в качестве точки \(\xi_{i}\ (i = \overline{1, n})\) взят правый конец отрезка \(\Delta_{i}\). Тогда \(\xi_{i} = x_{i} = \displaystyle \frac{a}{n}i,\ \Delta x_{i} = \frac{a}{n},\ \sigma = \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}x_{i}^{2}\Delta x_{i} = \frac{a^{3}}{n^{3}}\sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}i^{2}\).
Так как \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\) (доказательство представлено здесь), то \(\sigma =\displaystyle \frac{a^{3}}{3}\left(1 + \frac{1}{n}\right)\left(1 + \frac{1}{2n}\right)\), откуда \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \sigma = \frac{a^{3}}{3}\). Поэтому искомая площадь равна \(\displaystyle \frac{a^{3}}{3}\). \(\blacktriangle\)
Заметим, что этот результат был получен еще Архимедом с помощью предельного перехода. Существует также простой способ нахождения предела для \(\sigma\), основанный на формуле Ньютона Лейбница.
Работа переменной силы.
Пусть материальная точка движется вдоль числовой прямой \(Ox\) под действием силы \(P\), причем направление действия силы совпадает с направлением движения материальной точки. Предположим, что сила \(P\) задана как непрерывная функция от координаты \(x\) этой прямой, то есть \(P = P(x)\).
Найдем работу силы \(P\) при перемещении материальной точки от \(x = a\) до \(x = b\). Разобьем отрезок [\(a, b\)], как и в задаче о площади криволинейной трапеции, точками \(x_{i}\) и выберем \(\xi_{i} \in \Delta_{i} (i = \overline{1, n})\). Тогда работа силы \(P\) на отрезке \(\Delta_{i}\) приближенно равна \(P(\xi_{i})\Delta x_{i}\), а на отрезке [\(a, b\)] работу этой силы можно считать приближенно равной сумме \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}P(\xi_{i})\Delta x_{i}\). Предел этой суммы (при тех же условиях, что и в задаче о площади) естественно назвать работой переменной силы при перемещении материальной точки из точки \(a\) в точку \(b\).
В рассмотренных задачах речь идет о нахождении предела сумм вида \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}\), которые называют интегральными суммами. К вычислению предела таких сумм сводится решение многих важных задач из геометрии, физики, техники и других дисциплин. Поэтому вопросы, связанные с обоснованием предельного перехода описанного типа, заслуживают всестороннего изучения.
Понятие определенного интеграла.
Пусть функция одного переменного \(f(x)\) определена на отрезке [\(a, b\)] и пусть \(x_{i} (i = \overline{0, n})\) — совокупность точек этого отрезка таких, что
$$
a = x_{0} < x_{1} < \ldots < x_{i-1} < x_{i} < \ldots < x_{n-1} < x_{n} = b.\nonumber
$$
Назовем эту совокупность точек разбиением отрезка [\(a, b\)], обозначим разбиение \(T = \{x_{i}, i = \overline{0, n}\}\), а отрезки \(\Delta_{i} = [x_{i-1}, x_{i}]\), где \(i = \overline{1, n}\), назовем отрезками разбиения \(T\).
Пусть \(\Delta x_{i} = x_{i}-x_{i-1}\) — длина \(i\)-ro отрезка разбиения \(T\). Тогда число \(l(T) = \displaystyle \max_{1\leq i \leq n}\Delta x_{i}\) назовем мелкостью разбиения \(T\) (или диаметром этого разбиения). Если \(\xi_{i} \in\ \Delta_{i}\), то совокупность точек \(\xi_{i} (i = \overline{1, n})\) назовем выборкой и обозначим \(\xi = \{\xi_{i}, i = \overline{1, n}\}\).
Сумму
$$
\sigma_{T} = (\xi, f) = \sigma_{T}(\xi) = \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}f(\xi_{i})\Delta x_{i}.\label{ref1}
$$
назовем интегральной суммой для функции \(f\) при заданном разбиении \(T\) и фиксированной выборке \(\xi\).
Определение.
Число \(J\) называется определенным интегралом от функции \(f\) на отрезке [\(a, b\)] и обозначается \(\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx\), если для любого \(\varepsilon > 0\) существует такое число \(\delta = \delta(\varepsilon) > 0\), что для любого разбиения \(T\), мелкость которого \(l(T) < \delta\), и для любой выборки \(\xi\) выполняется неравенство
$$
\left|\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}-J\right| < \varepsilon.\nonumber
$$
С помощью символов это определение можно записать так:
$$
\left\{ J = \int_{a}^{b}f(x)dx \right\} \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0:\ \forall T : l(T) < \delta(\varepsilon)\ \forall \xi \rightarrow |\sigma_{T}(\xi, f)-J| < \varepsilon.\label{ref2}
$$
Часто утверждение \eqref{ref2} кратко записывают в виде \(\sigma_{T}(\xi) \rightarrow J\) при \(l(T) \rightarrow 0\) или \(\displaystyle \lim_{l(T) \rightarrow 0}\sigma_{T}(\xi) = J\), имея в виду, что предел не зависит от выборки \(\xi\).
Определение.
Если существует число \(J\), определяемое условиями \eqref{ref2}, то функцию \(f\) называют интегрируемой (по Риману) на отрезке \([a, b]\) и говорят, что существует интеграл от функции \(f\) на отрезке \([a, b]\).
Необходимое условие интегрируемости функции.
Теорема 1.
Если функция \(f(x)\) интегрируема на отрезке [\(a, b\)], то она ограничена на этом отрезке.
Доказательство.
\(\circ\) Пусть функция \(f\) интегрируема на отрезке [\(a, b\)]. Тогда существует число \(J\), удовлетворяющее условию \eqref{ref2}. Полагая в \eqref{ref2} \(\varepsilon = 1\), получаем неравенство
$$
J-1 < \sigma_{T}(\xi, f) < J + 1.\label{ref3}
$$
которое должно выполняться для любого разбиения \(T\) такого, что \(l(T) < \delta_{1} = \delta(1)\), и при любой выборке \(\xi\).
Зафиксируем разбиение \(T\), удовлетворяющее условию \(l(T) < \delta_{1}\), и предположим, что функция \(f\) не ограничена на отрезке \([a, b]\). Тогда она не ограничена по крайней мере на одном из отрезков \(\Delta_{i}\) разбиения \(T\). Без ограничения общности можно считать, что функция \(f\) не ограничена на отрезке \(\Delta_{1} = [x_{0}, x_{1}] = [a, x_{1}]\).
Фиксируем точки \(\xi_{2}, \ldots, \xi_{n}\), где \(\xi_{i} \in \Delta_{i},\ i = \overline{2, n}\), и обозначим \(A =\displaystyle \sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}\). Тогда \(\sigma_{T} = A + f(\xi_{1})\Delta x_{1}\) и в силу \eqref{ref3} получаем неравенства
$$
J-1 < f(\xi_{1})\Delta x_{1} + A < J + 1.\label{ref4}
$$
которые должны выполняться для любого \(\xi_{1} \in\ \Delta_{1}\).
Так как \(\Delta x_{1} > 0\), то двойное неравенство \eqref{ref4} равносильно неравенству
$$
\frac{1}{\Delta x_{1}}(J-1-A) < f(\xi_{1}) < \frac{1}{\Delta x_{1}}(J + 1-A),\nonumber
$$
из которого следует, что функция \(f\) ограничена на \(\Delta_{1}\), что противоречит предположению о неограниченности функции \(f\) на отрезке \(\Delta_{1}\).
Итак, предположение о неограниченности \(f\) на \([a, b]\) приводит к противоречию. Теорема доказана. \(\bullet\)
Замечание 1.
Ограниченность функции не является достаточным условием ее интегрируемости. Так, функция Дирихле
$$
D(x)=\left\{\begin{array}{lc}1,&x\in Q,\\0,&x\in J,\end{array}\right.\nonumber
$$
не интегрируема на отрезке \([0,1]\), хотя и ограничена.
\(\circ\) Действительно, если выборки \(\xi\) и \(\xi’\) состоят соответственно из рациональных и иррациональных точек, то \(\sigma_{T}(\xi) = 1\), а \(\sigma_{T}(\xi’) = 0\) для любого разбиения \(T\) отрезка \([0,1]\). Поэтому не существует предела интегральных сумм при \(l(T) \rightarrow 0\). \(\bullet\)
Суммы Дарбу и их свойства.
Пусть функция \(f\), определенная на отрезке \([a, b]\), ограничена на этом отрезке и пусть \(T = \{x_{i},\ i = \overline{0, n}\}\) — разбиение отрезка \([a, b]\), \(\Delta_{i} = [x_{i-1}, x_{i}],\ \Delta x_{i} = x_{i}-x_{i-1}\ (i = \overline{1, n})\). Обозначим
$$
\begin{array}{cc}M_{i} = \displaystyle \sup_{x \in \Delta_{i}}f(x),&\displaystyle m_{i} = \inf_{x \in \Delta_{i}}f(x),\\\displaystyle S_{T} = \sum_{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}&\displaystyle s_{T} = \sum_{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i}\end{array}\label{ref5}
$$
Назовем \(S_{T}\) и \(s_{T}\) соответственно верхней и нижней суммами Дарбу для функции \(f\) при заданном разбиении \(T\) отрезка \([a, b]\). Заметим, что эти суммы не зависят от выборки \(\xi\). Рассмотрим свойства сумм Дарбу.
Свойство 1.
Для любой выборки \(\xi\) справедливы неравенства
$$
s_{T} \leq \sigma_{T}(\xi) \leq S_{T}.\label{ref6}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Так как для любого \(\xi_{i} \in\ \Delta_{i}\) выполняются неравенства
$$
m_{i} \leq f(\xi_{i}) \leq M_{i},\nonumber
$$
то
$$
m_{i}\Delta x_{i} \leq f(\xi_{i})\Delta x_{i} \leq M_{i}\Delta x_{i}.\nonumber
$$
Складывая эти неравенства, получаем
$$
\sum_{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i} \leq \sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i} \leq \sum_{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}.\label{ref7}
$$Согласно определению сумм Дарбу и интегральной суммы \(\sigma\) утверждения \eqref{ref7} и \eqref{ref6} равносильны. \(\bullet\)
Свойство 2.
Справедливы равенства
$$
S_{T} = \sup_{\xi}\sigma_{T}(\xi).\label{ref8}
$$
$$
s_{T} = \inf_{\xi}\sigma_{T}(\xi).\label{ref9}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Докажем утверждение \eqref{ref8}. Согласно определению точной верхней грани нужно доказать, что выполняются следующие условия:
$$
\forall \xi \rightarrow \sigma_{T}(\xi) \leq S_{T},\quad \varepsilon > 0\ \exists \xi’ :\ S_{T}-\sigma_{T}(\xi^{‘}) < \varepsilon\nonumber
$$Первое из этих условий выполняется в силу \eqref{ref6}. Докажем второе условие.Так как \(M_{i} =\displaystyle \sup_{x \in \Delta_{i}}f(x)\), то по определению точной верхней грани
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists\ \xi_{i}’ = \xi_{i}'(\varepsilon) \in \Delta_{i} :\ 0 \leq M_{i}-f(\xi_{i}’) < \frac{\varepsilon}{b-a},\ i = \overline{1, n}.\nonumber
$$
Умножая \(i\)-е неравенство на \(\Delta x_{i}\) и складывая все получаемые неравенства, находим
$$
0 \leq S_{T}-\sigma_{T}(\xi’) < \varepsilon,\nonumber
$$
где \(\xi’ = \{\xi_{i}’,\ i = \overline{1, n}\}\) — выборка. Итак, утверждение \eqref{ref8} доказано. Аналогично доказывается, что справедливо и утверждение \eqref{ref9}. \(\bullet\)
Следующее свойство сумм Дарбу связано с еще одним понятием для разбиений. Назовем разбиение \(T_{2}\) продолжением (измельчением) разбиения \(T_{1}\), если каждая точка разбиения \(T_{1}\) является точкой разбиения \(T_{2}\). Иначе говоря, разбиение \(T_{2}\) либо совпадает с разбиением \(T_{1}\), либо получено из \(T_{1}\) добавлением по крайней мере одной новой точки.
Свойство 3.
Если разбиение \(T_{2}\) — продолжение разбиения \(T_{1}\), то
$$
s_{T_{1}} \leq s_{T_{2}} \leq S_{T_{1}} \leq S_{T_{1}}.\label{ref10}
$$
то есть при измельчении разбиения нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя не увеличивается.
Доказательство.
\(\circ\) Для доказательства неравенств \eqref{ref10} достаточно рассмотреть случай, когда разбиение \(T_{2}\) получается из разбиения \(T_{1}\) добавлением только одной точки \(x’ \in (x_{i-1}, x_{i})\). Пусть \(\Delta_{i}’\) и \(\Delta_{i}″\) — отрезки, на которые точка \(x’\) разбивает отрезок \(\Delta_{i}\), a \(\lambda_{1}\) и \(\lambda_{2}\) — длины этих отрезков; тогда \(\Delta x_{i} = \lambda_{1} + \lambda_{2}\). Обозначим \(m_{i}’ =\displaystyle \inf_{x \in \Delta_{i}’}f(x),\ m_{i}″ = \inf_{x \in \Delta_{i}″}f(x)\). Очевидно, что \(m_{i}’ \geq m_{i},\ m_{i}″\geq m_{i}\).
В суммах \(s_{T_{2}}\) и \(s_{T_{1}}\) равны все соответствующие слагаемые, за исключением тех, которые связаны с отрезком \(\Delta_{i}\). Поэтому
$$
s_{T_{2}}-s_{T_{1}} = m_{i}’\lambda_{1} + m_{i}″\lambda_{2}-m_{i}(\lambda_{1} + \lambda_{2}),\nonumber
$$
где \(m_{i}^{‘} \geq m_{i},\ m_{i}^{″} \geq m_{i}\). Следовательно,
$$
s_{T_{2}}-s_{T_{1}} = (m_{i}’-m_{i})\lambda_{1} + (m_{i}″-m_{i})\lambda_{2} \geq 0,\nonumber
$$
то есть \(s_{T_{2}} \leq s_{T_{1}}\).
Аналогично доказывается неравенство \(S_{T_{2}} \leq S_{T_{1}}\). Отсюда, используя неравенство \(s_{T_{2}} \leq S_{T_{2}}\) (см. \eqref{ref6}), получаем цепочку неравенств \eqref{ref10}. \(\bullet\)
Свойство 4.
Для любых разбиений \(T’\) и \(T″\) справедливо неравенство
$$
s_{T’} \leq S_{T″}.\label{ref11}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Пусть разбиение \(T\) является продолжением как разбиения \(T’\), так и разбиения \(T″\) (в качестве \(T\) можно взять \(T’\) и добавить к нему те точки разбиения \(T″\), которые не входят в \(T’\)).Из неравенств \eqref{ref10} при \(T_{1} = T’,\ T_{2} = T\) получаем
$$
s_{T’} \leq s_{T} \leq S_{T}\nonumber
$$
Полагая в \eqref{ref10} \(T_{2} = T\) и \(T_{1} = T’\). находим
$$
S_{T} \leq S_{T″}.\nonumber
$$
Объединяя полученные неравенства, имеем
$$
s_{T’} \leq s_{T} \leq S_{T} \leq S_{T″},\nonumber
$$
откуда следует неравенство \eqref{ref11}. \(\bullet\)
Свойство 5.
Существуют числа
$$
\underline{J} = \sup_{T}s_{T},\ \overline{J} = \inf_{T}S_{T},\nonumber
$$
удовлетворяющие для любых разбиений \(T’\) и \(T″\) отрезка \([a, b]\) условию
$$
s_{T’} \leq \underline{J} \leq \overline{J} \leq S_{T″}.\label{ref12}
$$
Эти числа называют соответственно нижним и верхним интегралами Дарбу от функции \(f\) на отрезке \([a, b]\).
Доказательство.
\(\circ\) Из неравенства \eqref{ref11} по теореме об отделимости числовых множеств следует, что существуют \(\underline{J} = \sup s_{T}\) и \(\overline{J} = \inf S_{T}\) (супремум и инфимум по всевозможным разбиениям отрезка \([a, b]\) и для любых разбиений \(T’\) и \(T″\) выполняется неравенство \eqref{ref12}. \(\bullet\)
В заключение отметим, что все вышеперечисленные свойства справедливы для любой ограниченной на отрезке \([a, b]\) функции.
Критерий интегрируемости функции.
Теорема 2.
Для того чтобы функция \(f(x)\), определенная на отрезке \([a, b]\), была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы эта функция была ограничена и удовлетворяла условию
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta_{\varepsilon} > 0:\ \forall T : l(T) < \delta_{\varepsilon}\ \longrightarrow 0\leq S_T-s_T\leq \varepsilon.\label{ref13}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Необходимость. Пусть функция \(f\) интегрируема на отрезке \([a, b]\). Тогда она ограничена по теореме 1 и в силу определения интеграла
$$
\exists J: \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta_{\varepsilon} > 0:\ \forall T : l(T) < \delta_{\varepsilon}\ \forall \xi \longrightarrow J-\frac{\varepsilon}{3} < \sigma_{T}(\xi) < J + \frac{\varepsilon}{3}.\nonumber
$$
Таким образом, при каждом разбиении \(T\) отрезка \([a, b]\), мелкость которого удовлетворяет условию \(l(T) < \delta_{\varepsilon}\), неравенство
$$
J-\frac{\varepsilon}{3} < \sigma_{T}(\xi) < J + \frac{\varepsilon}{3}.\label{ref14}
$$
выполняется при любой выборке \(\xi\). Поэтому из левого неравенства \eqref{ref14} и равенства \eqref{ref9} следует, что
$$
J-\frac{\varepsilon}{3}\leq \inf_{\substack{\xi}}\sigma_{T}(\xi) = s_{T}.\label{ref15}
$$
Аналогично из правого неравенства \eqref{ref14} и равенства \eqref{ref8} следует, что
$$
S_{T} = \sup_{\substack{\xi}}\sigma_{T}(\xi) \leq J + \frac{\varepsilon}{3},\label{ref16}
$$
Из неравенств \eqref{ref15}, \eqref{ref6} и \eqref{ref16} получаем цепочку неравенств
$$
J-\frac{\varepsilon}{3} \leq s_{T} \leq S_{T} \leq J + \frac{\varepsilon}{3},\nonumber
$$
откуда следует, что
$$
0 \leq S_{T}-s_{T} \leq \frac{2\varepsilon}{3} < \varepsilon.\nonumber
$$
Итак, интегрируемая на отрезке функция \(f\) удовлетворяет условию \eqref{ref13}.
Достаточность. Пусть функция \(f\) ограничена на отрезке \([a, b]\) и удовлетворяет условию \eqref{ref13}. Докажем, что функция \(f\) интегрируема на отрезке \([a, b]\), то есть
$$
\exists J: \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta_{\varepsilon} > 0:\ \forall T : l(T) < \delta_{\varepsilon}\ \forall \xi \longrightarrow \left|\sigma_{T}(\xi)-J\right| < \varepsilon.\label{ref17}
$$
Воспользуемся свойством 5. Из неравенств \eqref{ref12} следует, что
$$
0 \leq \overline{J}-\underline{J} \leq S_{T}-s_{T},\nonumber
$$
откуда в силу \eqref{ref13} получаем неравенство
$$
0 \leq \overline{J}-\underline{J} \leq S_{T}-s_{T} < \varepsilon,\nonumber
$$
справедливое для любого разбиения \(T\) такого, что \(l(T) < \delta_{\varepsilon}\). Так как числа \(\overline{J}\) и \(\underline{J}\) не зависят от \(T\), то отсюда следует, что
$$
\overline{J} = \underline{J}.
$$
Обозначим
$$
J = \overline{J} = \underline{J}\label{ref18}
$$
и докажем, что число \(J\) есть интеграл от функции \(f\) на отрезке \([a, b]\). Из \eqref{ref12} и \eqref{ref18} следует, что
$$
s_{T} \leq J \leq S_{T},\label{ref19}
$$
а из \eqref{ref19} и \eqref{ref6} в силу \eqref{ref13} получаем
$$
\arrowvert\sigma_{T}(\xi)-J\arrowvert \leq S_{T}-s_{T} < \varepsilon.\nonumber
$$
Это означает, что функция \(f\) интегрируема на отрезке \([a, b]\), а число \(J\) есть интеграл от \(f(x)\) на \([a, b]\). \(\bullet\)
Следствие.
Если функция \(f\) интегрируема на отрезке \([a, b]\), а число \(J\) — ее интеграл на этом отрезке, то
$$
J = \sup s_{T} = \inf S_{T}.\nonumber
$$
Замечание 2.
Назовем колебанием функции \(f\) на отрезке \(\Delta_{i} = [x_{i-1}, x_{i}]\) разбиения \(T = \{x_{i}, i = \overline{0, n}\}\) число
$$
\omega_{i}(f) = \omega_{i} = M_{i}-m_{i},\nonumber
$$
где \(M_{i} = \displaystyle \sup_{x \in \Delta_{i}}f(x),\ m_{i} = \inf_{x \in \Delta_{i}}f(x)\). Тогда
$$
S_{T}-s_{T} = \sum_{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})\Delta x_{i} = \sum_{i=1}^{n}\omega_{i}\Delta x_{i},\nonumber
$$
Условие интегрируемости \eqref{ref13} часто записывают в виде
$$
S_{T}-s_{T} = \sum_{i=1}^{n}\omega_{i}\Delta x_{i} \rightarrow 0.\label{ref20}
$$
при \(l(T) \rightarrow 0\).
Замечание 3.
При доказательстве свойств интеграла (§ 35, п. 1) будет использовано следующее равенство:
$$
\omega_{i}(f) = \sup_{x’,\ x″ \in \Delta_{i}} \left|f(x^{″})-f(x^{‘})\right|.\label{ref21}
$$
\(\circ\) Согласно определению точной верхней грани равенство \eqref{ref21} означает, что выполняются следующие условия:
$$
|f(x″)-f(x’)| \leq M_{i}-m_{i}.\label{ref22}
$$
для любых \(x’,\ x″ \in \Delta_{i}\),
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists x_{i}’ \in \Delta_{i}\ \exists x_{i}″ \in \Delta_{i}:\ M_{i}-m_{i}-\varepsilon < |f(x_{\varepsilon}″)-f(x_{\varepsilon}’)|.\label{ref23}
$$
Заметим, что формула \eqref{ref21} справедлива, если \(M_{i} = m_{i}\), так как в этом случае \(f(x) = M_{i} = m_{i}\) для всех \(x \in \Delta_{i}\). Пусть \(M_{i} > m_{i}\), тогда для любых \(x’,\ x″ \in \Delta_{i}\) справедливы неравенства \(m_{i} \leq f(x’) \leq M_{i},\ m_{i} \leq f(x″) \leq M_{i}\), откуда следует, что выполняется условие \eqref{ref22}.
Для доказательства условия \eqref{ref23} зададим произвольное число \(\varepsilon > 0\), удовлетворяющее условию \(\varepsilon < M_{i}-m_{i}\). В силу определения точных граней найдутся точки \(x_{i}’ \in \Delta_{i},\ x_{i}″ \in \Delta_{i}\) такие, что
$$
f(x_{\varepsilon}’) < m_{i} + \frac{\varepsilon}{2} < M_{i}-\frac{\varepsilon}{2} < f(x_{\varepsilon}″),\nonumber
$$
откуда следует, что выполняется условие \eqref{ref23}. \(\bullet\)
Замечание 4.
Можно доказать, что если для любого \(\varepsilon > 0\) существует такое разбиение \(\tilde{T} = \tilde{T}(\varepsilon)\), что \(S_{\tilde{T}}-s_{\tilde{T}} < \varepsilon\), то найдется число \(\delta > 0\) такое, что для любого разбиения \(T\), мелкость которого \(l(T) < \delta\), выполняется неравенство \(S_{T}-s_{T} < \varepsilon\). Поэтому критерий интегрируемости можно сформулировать так: для того чтобы ограниченная функция \(f\) была интегрируема по Риману на отрезке \([a, b]\), необходимо и достаточно, чтобы для любого \(\varepsilon > 0\) существовало такое разбиение \(T\) отрезка \([a, b]\), что
$$
S_{T}-s_{T} < \varepsilon.\nonumber
$$
Классы интегрируемых функций.
Теорема 3.
Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке.
Доказательство.
\(\circ\) Пусть функция \(f\) непрерывна на отрезке \([a, b]\). Тогда по теореме Кантора она равномерно непрерывна на этом отрезке, то есть
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta = \delta_{\varepsilon} > 0\ \forall x_{i}’,\ x_{i}″\in [a, b]: |x’-x″| < \delta \rightarrow\\ \rightarrow |f(x″)-f(x’)| < \frac{\varepsilon}{b-a}.\label{ref24}
$$
Докажем, что для функции \(f\) выполняется условие \eqref{ref24}. Пусть \(T = \{x_{i}, i = \overline{0, n}\}\) — произвольное разбиение отрезка \([a, b]\) такое, что его мелкость \(l(T) = \displaystyle\max_{1 \leq i \leq n}\Delta x_{i}\), где \(\Delta x_{i} = x_{i}-x_{i-1}\). По теореме Вейерштрасса существуют точки \(\xi_{i}’,\ \xi_{i}″ \in \Delta_{i} = [x_{i-1}, x_{i}]\) такие, что \(f(\xi_{i}’) = m_{i},\ f(\xi_{i}″ = M_{i})\), где \(m_{i} = \displaystyle\inf_{x \in \Delta_{i}}f(x),\ M_{i} = \sup_{x \in \Delta_{i}}f(x),\ i = \overline{1, n}\). Поэтому из условия \eqref{ref24} следует, \(\displaystyle\omega_{i} = M_{i}-m_{i} = f(\xi_{i}″)-f(\xi_{i}’) < \frac{\varepsilon}{b-a}\) так как \(|\xi_{i}″-\xi_{i}’| \leq \Delta x_{i} \leq l(T) < \delta\). Отсюда получаем
$$
\sum_{i=1}^{n}\omega_{i}\Delta x_{i} < \frac{\varepsilon}{b-a} \sum_{i=1}^{n}\Delta x_{i} = \frac{\varepsilon}{b-a} (b-a) = \varepsilon.\nonumber
$$
Итак,
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta = \delta_{\varepsilon} > 0:\quad \forall T:\ l(T) < \delta \rightarrow S_{T}-s_{T} = \sum_{i=1}^{n}\omega_{i}\Delta x_{i} < \varepsilon,
$$
и по теореме 2 функция \(f\) интегрируема на отрезке \([a, b]\). \(\bullet\)
Пример 2.
Доказать, пользуясь определением интеграла и теоремой 3, что:
- $$
\int\limits_a^b dx = b-a,\nonumber
$$ - $$
\int\limits_a^b x\ dx = \frac{b^{2}-a^{2}}{2}.\nonumber
$$
Решение.
\(\triangle\) Функции \(f(x) = 1\) и \(f(x) = x\) непрерывны на отрезке и в силу теоремы 3 интегрируемы. Пусть \(T = \{x_{i}, i = \overline{0, n}\}\) — произвольное разбиение отрезка \([a, b]\).
- Если \(f(x) = 1\), то \(\sigma_{T}(\xi) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} 1 \cdot \Delta x_{i} = \sum_{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1}) = x_{n}-x_{0} = b-a\), откуда \(\displaystyle\lim_{l(T) \rightarrow 0} \sigma_{T}(\xi) = b-a\), и поэтому \(\displaystyle\int\limits_a^b dx = b-a\).
- Пусть \(\displaystyle\xi_{i} = \frac{x_{i} + x_{i-1}}{2}\), тогда \(\xi_{i} \in \Delta_{i} = [x_{i-1}, x_{i}]\) для \(i = \overline{1, n}\), и, следовательно,
$$
\sigma_{T}(\xi) = \sum_{i=1}^{n}\xi_{i}\Delta x_{i} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n}(x_{i} + x_{i-1})(x_{i}-x_{i-1}) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n}(x_{i}^{2}-x_{i-1}^{2}) = \frac{1}{2}(b^{2}-a^{2})\),\nonumber
$$
откуда \(\displaystyle\lim_{l(T) \rightarrow 0} \sigma_{T}(\xi) = (b^{2}-a^{2})\).Так как функция \(f(x) = x\) интегрируема на отрезке \([a, b]\), то из определения интеграла следует, что предел интегральной суммы не зависит от выбора точек \(\xi_{i}\) на отрезках \(\Delta_{i}\). Поэтому
$$
\int\limits_a^b x\ dx = \frac{b^{2}-a^{2}}{2}.\ \blacktriangle \nonumber
$$
Если функция определена на отрезке и монотонна, то она интегрируема на этом отрезке.
\(\circ\) Пусть, например, функция \(f\) является возрастающей на отрезке \([a, b]\); тогда для всех \(x \in [a, b]\) выполняется условие
$$
f(a) \leq f(x) \leq f(b),\nonumber
$$
и поэтому функция \(f\) ограничена на отрезке \([a, b]\).
Рассмотрим произвольное разбиение \(T = \{x_{i}, i = \overline{0, n}\}\) отрезка \([a, b]\). Тогда \(f(x_{i-1}) = m_{i},\ f(x_{i}) = M_{i}\), где \(m_{i} = \displaystyle\inf_{x \in \Delta_{i}}f(x),\ M_{i} = \sup_{x \in \Delta_{i}}f(x),\ \Delta_{i} = [x_{i-1}, x_{i}]\). Следовательно, получаем
$$
S_{T}-s_{T} = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})\Delta_{i} = \sum_{\substack{i=1}}^{\substack{n}}(f(x_{i})-f_{i-1})\Delta_{i}\nonumber
$$
откуда
$$
S_{T}-s_{T} \leq l(T) \sum_{i=1}^{n}(f(x_{i})-f(x_{i-1}) = l(T)(f(b)-f(a),\nonumber
$$
так как
$$
f(x_{i})-f(x_{i-1}) > 0,\quad \Delta x_{i} \leq \max_{1 \leq i \leq n}\Delta x_{i} = l(T).\nonumber
$$
Отсюда имеем, что \(S_{T}-s_{T} \rightarrow 0\) при \(l(T) \rightarrow 0\). По теореме 2 функция \(f\) интегрируема на отрезке \([a, b]\). \(\bullet\)