Критерий возрастания (убывания) дифференцируемой функции на интервале.
Теорема 1.
Для того чтобы дифференцируемая на интервале \((a,b)\) функция \(f(x)\) была возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
$$
f'(x)\geq 0\ при \ всех\ x\in(a,b).\label{ref1}
$$
Аналогично, условие
$$
f'(x)\leq 0\ при \ всех \ x\in(a,b)\label{ref2}
$$
является необходимым и достаточным для убывания дифференцируемой функции \(f(x)\) на интервале \((a,b)\).
Доказательство.
\(\circ\) Ограничимся доказательством теоремы для случая возрастающей функции.
Необходимость. Пусть \(x_0\) — произвольная точка интервала \((a,b)\). Из определения возрастающей функции следует, что
$$
\forall x\in (a,b):\ x > x_{0}\ \rightarrow f(x)\geq f(x_{0}),\nonumber
$$
$$
\forall x\in (a,b):\ x < x_{0}\ \rightarrow f(x)\leq f(x_{0}),\nonumber
$$
Следовательно, если \(x\in(a,b)\) и \(x\neq x_0\), то выполняется неравенство
$$
\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_0}\geq 0.\label{ref3}
$$
Так как левая часть \eqref{ref3} имеет при \(x\rightarrow x_0\) предел, равный \(f'(x_{0})\), то из неравенства \eqref{ref3} по свойству сохранения знака нестрогого неравенства при предельном переходе получаем
$$
f'(x_0)\geq 0\ для \ любого \ x_{0}\in (a,b).\nonumber
$$
Достаточность. Пусть выполняется условие \eqref{ref1} и пусть \(x_1, x_2\) — произвольные точки интервала \((a,b)\), причем \(x_1 < x_2\). Применяя к функции \(f(x)\) на отрезке \([x_1,x_2]\) теорему Лагранжа, получаем
$$
f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1),\nonumber
$$
где \(f'(\xi)\geq 0\), так как \(\xi\in(a,b)\). Отсюда следует, что
$$
\forall x_{1},x_{2}\in (a,b):\ x_{2} > x_1\rightarrow f(x_2) \geq f(x_{1}).\label{ref4}
$$
Это означает, что функция \(f(x)\) является возрастающей на интервале \((a,b).\ \bullet\)
Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции.
Теорема 2.
Если для всех \(x\in (a,b)\) выполняется условие
$$
f'(x) > 0,\label{ref5}
$$
то функция \(f(x)\) строго возрастает на интервале \((a,b)\), а если для всех \(x\in (a,b)\) справедливо неравенство
$$
f'(x) < 0,\label{ref6}
$$
то функция \(f(x)\) строго убывает на интервале \((a,b)\).
Доказательство.
\(\circ\) Ограничимся доказательством теоремы для случая, когда выполняется условие \eqref{ref5}. Пусть \(x_1\) и \(x_2\) — произвольные точки интервала \((a,b)\) такие, что \(x_1 < x_2\). По теореме Лагранжа
$$
f(x_{2})-f(x_{1})=f'(\xi)(x_{2}-x_1),\ где \ \xi\in(a,b).\nonumber
$$
Отсюда и из условия \eqref{ref5} следует, что \(f(x_2) > f(x_{1})\). Это означает, что функция \(f(x)\) строго возрастает на интервале \((a,b)\). \(\bullet\)
Пример 1.
Доказать, что функции \(\operatorname{sh}x\) и \(\operatorname{th}x\) строго возрастают на \(\mathbb{R}\).
Решение.
\(\triangle\) Так как \((\operatorname{sh}x)’=\operatorname{ch}x > 0\) и \((\operatorname{th}x=\displaystyle \frac{1}{\operatorname{ch}^{2}x} > 0\) для всех \(x\in\mathbb{R}\), то по теореме 2 функции \(\operatorname{sh}x\) и \(\operatorname{th}x\) являются строго возрастающими на \(\mathbb{R}\). \(\blacktriangle\)
Замечание 1.
Условие \eqref{ref5} не является необходимым для строгого возрастания функции. Например, функция \(f(x)=x^{3}\) строго возрастает на \(\mathbb{R}\), но условие \eqref{ref5} не выполняется, так как \(f'(0)=0\).
Теорема 3.
Если функция \(f(x)\) непрерывна на отрезке \([a,b]\), дифференцируема на интервале \((a,b)\) и удовлетворяет условию \eqref{ref6}, то эта функция строго убывает на отрезке \([a,b]\).
\(\circ\) Теорема 3, как и теорема 2, доказывается с помощью формулы конечных приращений Лагранжа. \(\bullet\)
Пример 2.
Доказать, что если \(0 < x < \frac{\pi}{2}\), то
$$
\sin x > \frac{2}{\pi}x.\label{ref7}
$$
Решение.
\(\triangle\) Рассмотрим функцию \(f(x)=\displaystyle \frac{\sin x}{x},\;f(0)=1\). Эта функция непрерывна на отрезке \(\left[0,\displaystyle \frac{\pi}{2}\right]\) и дифференцируема на интервале \(\left(0,\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)\), причем \(f'(x)=\displaystyle \frac{\cos x}{x^{2}}(x-\operatorname{tg}x) < 0\), так как на интервале \(\left(0,\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)\) выполняются неравенства \(\cos x > 0,\ \operatorname{tg}x > x\). По теореме 3 функция \(f(x)\) строго убывает на отрезке \(\left[0,\displaystyle \frac{\pi}{2}\right]\), и поэтому \(f(x) > f(\displaystyle \frac{\pi}{2})\) для \(x\in\left(0,\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)\), то есть выполняется неравенство \(\displaystyle \frac{\sin x}{x} > \frac{2}{\pi}\), равносильное на интервале \(\left(0,\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)\) неравенству \eqref{ref7}. Геометрическая интерпретация неравенства \eqref{ref7}: на интервале \(\left(0,\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)\) график функции \(у=\sin x\) лежит выше графика функции \(y=\displaystyle \frac{2}{\pi}x\) (рис. 20.1).
Отметим, что
$$
\sin x\geq \displaystyle \frac{2}{\pi}x \ при \ x\in \left[0,\displaystyle \frac{\pi}{2}\right],\label{ref8}
$$
причем при \(x=0\) и \(x= \displaystyle \frac{\pi}{2}\) неравенство \(\sin x\geq \displaystyle \frac{2}{\pi}x\) обращается в равенство.\(\blacktriangle\)
Возрастание (убывание) функции в точке.
Будем говорить, что функция \(f(x)\) строго возрастает в точке \(x_0\) если существует \(\delta\;>\;0\) такое, что
$$
\begin{array}{l}
\forall x\in (x_{0}-\delta,x_0)\rightarrow f(x) < f(x_{0}),\\
\forall x\in (x_{0},x_0+\delta)\rightarrow f(x) > f(x_{0}),
\end{array}\label{ref9}
$$
Заметим, что условие \eqref{ref9} равносильно условию
$$
\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} > 0,\quad x\in\dot{U}_{\delta}(x_{0}).\label{ref10}
$$
Аналогично вводится понятие строгого убывания функции \(f(x)\) в точке \(x_0\). В этом случае
$$
\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} < 0,\quad x\in\dot{U}_{\delta}(x_{0}).\nonumber
$$
Если \(f'(x_0) > 0\), то функция \(f(x)\) строго возрастает в точке \(x_0\), а если \(f'(x_0) < 0\), то функция \(f(x)\) строго убывает в точке \(x_0\).
\(\circ\) Пусть, например, \(f'(x) > 0\). Из определения производной следует, что по заданному числу \(\varepsilon=f'(x_0) > 0\) можно найти \(\delta > 0\) такое, что для всех \(x\in\dot{U}_{\delta}(x_0)\) выполняется неравенство \(\left|\displaystyle \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}-f'(x_{0})\right| < f'(x_{0})\), откуда следует утверждение \eqref{ref10}.
Аналогично рассматривается случай \(f'(x_0) < 0\). \(\bullet\)