Пусть \(\Gamma=\{\textbf{r}=\textbf{r}(t), \ \alpha\leq t\leq\beta\}\) — дважды дифференцируемая кривая, не имеющая особых точек. Тогда существует \(\displaystyle \frac{dr}{ds}=\tau\) и \(\displaystyle \frac{d\tau}{ds}=\frac{d^2\textbf{r}}{ds^2}\), где \(s=s(t)\) — переменная длина дуги кривой \(\Gamma\). Число \(k\), определяемое формулой
$$
k=\left|\frac{d\tau}{ds}\right|,\label{ref30}
$$
называют кривизной кривой в точке \(M\in\Gamma \ (\overrightarrow{OM}=\textbf{r}(t))\).
Утверждение 1.
Кривизна \(k\) дважды дифференцируемой кривой \(\Gamma=\{\textbf{r}=\textbf{r}(t), \ \alpha\leq t\leq\beta\}\), не имеющей особых точек, выражается формулой
$$
k=\frac{|[\textbf{r}'(t),\textbf{r}″(t)]|}{|\textbf{r}(t)|^{3}}.\label{ref32}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Заметим, что
$$
k=\left|\left[\frac{d\tau}{ds},\tau\right]\right|.\label{ref33}
$$
Действительно, так как \(\tau\) — единичный вектор, ортогональный вектору \(\displaystyle \frac{d\tau}{ds}\), то, используя определение кривизны (формула \eqref{ref30}), получаем
$$
\left|\left[\frac{d\tau}{ds},\tau\right]\right|=\left|\frac{d\tau}{ds}\right|\cdot|\tau|=\left|\frac{d\tau}{ds}\right|=k.\nonumber
$$Применяя формулы из данного утверждения и учитывая, что \([\textbf{r}'(t),\textbf{r}'(t)]=0, \ s'(t)=|\textbf{r}'(t)|\), из равенства \eqref{ref33} получаем формулу \eqref{ref32}. \(\bullet\)
Если \(\textbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))\), то \(\textbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))\), \(r″(t)=(x″(t),y″(t),z″(t))\),
$$
s'(t)=|r'(t)|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}},\nonumber
$$
и из формулы \eqref{ref32}, опуская аргументы, получаем
$$
k=\frac{\sqrt{\begin{vmatrix}y’&z’\\y″&z″\end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}z’&x’\\z″&x″\end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}x’&y’\\x″&y″\end{vmatrix}^2}}{((x’)^2+(y’)^2+(z’)^2)^{3/2}}\label{ref34}
$$
Если \(z(t)=0\) (\(\Gamma\) — плоская кривая), то формула \eqref{ref34} примет вид
$$
k=\frac{|x’y″-y’x″|}{((x)^{2}+(y)^{2})^{3/2}}.\label{ref35}
$$
В частности, если плоская кривая \(\Gamma\) задана уравнением \(y=f(x)\), то из формулы \eqref{ref35} находим
$$
k=\frac{|f″(x)|}{(1+(f'(x))^{2})^{3/2}}.\label{ref36}
$$
Пример 1.
Найти максимум кривизны кривой \(y=f(x)\), где
$$
f(x)=\ln(x+\sqrt{x^{2}+1}).\nonumber
$$
Решение.
\(\triangle\) Так как \(f'(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}, \ f″(x)=-\displaystyle \frac{x}{(x^{2}+1)^{3/2}}\), то по формуле \eqref{ref36} находим
$$
k(x)=\frac{|x|}{\displaystyle (x^{2}+1)^{3/2}\left(1+\frac{1}{x^{2}+1}\right)^{3/2}}=\frac{|x|}{(x^{2}+2)^{3/2}}.\nonumber
$$
Функция \(k(x)\) является четной и при \(x > 0\) получаем
$$
k'(x)=\frac{(x^2+2)^{3/2}-{\displaystyle\frac{3x}2}(x^2+2)^{1/2}2x}{(x^2+2)^3}=\frac{2(1-x^2)}{(x^2+2)^{5/2}}\nonumber
$$
откуда следует, что максимального значения \((k_{\max})\) кривизна достигает при \(x=\pm 1\), причем
$$
k_{max}=k(\pm 1)=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{9}.\qquad \blacktriangle\nonumber
$$
Выясним физический смысл кривизны кривой. Пусть кривая \(\Gamma\) задана натуральным уравнением, и пусть в точке \(M\in\Gamma\), где \(\overrightarrow{OM}=\textbf{r}(s)\), существует кривизна \(k(s)\). Тогда \(k(s)=\left|\displaystyle \frac{d\tau}{ds}\right|\), где \(|\tau (s)|=1\). Обозначим
$$
\Delta \tau=\tau(s+\Delta s)-\tau(s),\nonumber
$$
где \(\tau(s+\Delta s)\) и \(\tau(s)\) — единичные векторы, параллельные касательным к кривой \(\Gamma\) в точках кривой, определяемых значениями параметра \(s+\Delta s\) и \(s\).
Пусть \(\Delta\varphi\) — угол поворота касательной к кривой \(\Gamma\) при изменении ее параметра от \(s\) до \(s+\Delta s\), то есть угол между векторами \(\tau(s+\Delta s)\) и \(\tau(s)\), тогда (рис. 22.6)
$$
\frac{1}{2}|\Delta\tau|=\sin\frac{|\Delta\varphi|}{2}.\label{ref37}
$$
Назовем скоростью вращения вектора \(\tau\) величину
$$
\lim_{\Delta s\rightarrow 0}\left|\frac{\Delta\varphi}{\Delta s}\right|.\label{ref38}
$$
Так как
$$
k(s)=\left|\frac{d\tau}{ds}\right|=\lim_{\Delta s\rightarrow 0}\left|\frac{\Delta\tau}{\Delta s}\right|.\label{ref39}
$$
то, используя равенство \eqref{ref37} и учитывая, что \(2 \displaystyle \sin\frac{|\Delta\varphi|}{2}\sim|\Delta\varphi|\) при \(\Delta\varphi\rightarrow 0\), запишем формулу \eqref{ref39} в следующем виде:
$$
k(s)=\lim_{\Delta s\rightarrow 0}\left|\frac{\Delta\varphi}{\Delta s}\right|.\label{ref40}
$$
Из равенств \eqref{ref40} и \eqref{ref38} следует, что кривизна кривой \(\Gamma\), заданной натуральным уравнением, в точке \(M\in\Gamma\) равна скорости вращения вектора касательной к этой кривой в точке \(M\).
Число \(R=\displaystyle \frac{1}{k(s)}\) называют радиусом кривизны кривой \(\Gamma\) в точке \(M\in\Gamma (\overrightarrow{OM}=\textbf{r}(s))\). Заметим, что если \(\Gamma\) — окружность радиуса \(R\) (рис. 22.7), то угол \(\Delta\varphi\) равен углу между векторами \(\textbf{r}(s)\) и \(\textbf{r}(s+\Delta s)\). В этом случае \(\Delta s|=R|\Delta\varphi|\), и поэтому \(\displaystyle \lim_{\Delta s\rightarrow 0}\left|\frac{\Delta\varphi}{\Delta s}\right|=k=\frac{1}{R}\), то есть кривизна окружности равна обратной величине ее радиуса.