Понятие простой кривой.
Пусть в трехмерном пространстве выбрана прямоугольная система координат \(Oxyz\), и пусть на отрезке \([\alpha,\beta]\) заданы непрерывные функции \(x=x(t),y=y(t),z=z(t)\). Тогда говорят, что задано непрерывное отображение отрезка \([\alpha,\beta]\) в трехмерное пространство.
Числа \(x(t),y(t),z(t)\) можно рассматривать как координаты точки M (рис. 22.1), где \(M=M(t)\), или как координаты вектора \(r(t)\) с началом в точке \(O\) и концом в точке \(M\), то есть
$$
\overrightarrow{OM}=r(t)=(x(t),y(t),z(t)).\nonumber
$$
Если считать, что переменное \(t\) есть время, то уравнения
$$
x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t),\quad \alpha\leq t\leq\beta,\label{ref1}
$$
определяют закон движения точки \(M(t)\), а множество точек \(M(t)\), соответствующих всевозможным значениям \(t\) на отрезке \([\alpha,\beta]\), можно рассматривать как след (путь) точки, движущейся по закону \eqref{ref1}.
Замечание 1.
В общем случае закон движения может быть очень сложным. Например, существуют такие непрерывные на отрезке \([\alpha,\beta]\) функции \(x(t),y(t),z(t)\), что точка \(M(t)\), движущаяся в соответствии с законом \eqref{ref1}, пройдет через каждую точку некоторого куба.
Предположим, что любым двум различным значениям \(t_{1}\) и \(t_{2}\) из отрезка \([\alpha,\beta]\) соответствуют различные точки \(M(t_1)\) и \(M(t_2)\) пространства, и обозначим через \(K\) множество всех точек \(M(x,y,z)\) пространства, координаты которых определяются формулами \eqref{ref1}.
Будем говорить, что точка \(M(t_2)\in K\) следует за точкой \(M(t_{1})\in K\) или точка \(M(t_1)\) предшествует точке \(M(t_{2})\), если \(\alpha\leq t_{1} < t_{2}\leq\beta\). Введенное правило следования точек устанавливает порядок на множестве \(K\). Упорядоченное указанным способом множество \(K\) будем называть простой кривой \(\Gamma\) и записывать уравнение этой кривой либо в координатной форме
$$
\Gamma={x=x(t),\ y=y(t),\ z=z(t),\ \alpha\leq t\leq\beta},\label{ref2}
$$
либо в векторной форме
$$
\Gamma={\textbf{r}=\textbf{r}(t),\ \alpha\leq t\leq\beta},\label{ref3}
$$
где
$$
\textbf{r}=(x,y,z),\quad \textbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)).\nonumber
$$
Условимся переменное \(t\) в уравнениях \eqref{ref2}, \eqref{ref3} называть параметром кривой \(\Gamma\). Точки \(M(\alpha)\) и \(M(\beta)\), соответствующие значениям \(\alpha\) и \(\beta\) параметра кривой \(\Gamma\), будем называть начальной точкой (началом) кривой и конечной точкой (концом) кривой.
Согласно определению простой кривой отображение \eqref{ref1} является взаимно однозначным: каждому значению \(t\in[\alpha,\beta]\) соответствует единственная точка \(M(t)\in\Gamma\), и наоборот, каждой точке \( M\in\Gamma\) соответствует единственное значение \(t\in[\alpha,\beta]\).
Если простая кривая \(\Gamma\) лежит в некой плоскости \(\mathcal{P}\), то эту кривую называют плоской. В частности, если плоскость \(\mathcal{P}\) совпадает с плоскостью \(Oxy\), то уравнение кривой \(\Gamma\) имеет вид
$$
\Gamma={x=x(t),\ y=y(t),\ z=0,\ \alpha\leq t\leq\beta}.\nonumber
$$
Обычно в этом случае опускают уравнение \(z=0\) и записывают уравнение кривой в виде
$$
\Gamma={x=x(t),\ y=y(t),\ \alpha\leq t\leq\beta}.\nonumber
$$
Например, уравнением
$$
\Gamma={x=R\cos t,\ y=R\sin t,\ 0\leq t\leq\pi},\nonumber
$$
где \(R > 0\), задается полуокружность радиуса \(R\), лежащая в верхней полуплоскости (\(y\geq 0\)) и «пробегаемая» против часовой стрелки. График функции \(y=f(x)\), непрерывной на отрезке \([\alpha,\beta]\), можно рассматривать как простую плоскую кривую \(\Gamma\), заданную уравнением
$$
\Gamma={x=t,\ y=f(t),\ \alpha\leq t\leq\beta}.\nonumber
$$
Параметризуемые кривые.
Если существуют два различных значения \(t_1\) и \(t_2\) из отрезка \([\alpha,\beta]\) таких, что \(M(t_{1})=M(t_{2})\), то отображение \eqref{ref1} отрезка в трехмерное пространство не является взаимно однозначным.
Предположим, что отрезок \([\alpha,\beta]\) можно разбить на отрезки \(\delta_{k}=[t_{k-1},t_{k}],\ k=\overline{1,n}\), где \(\alpha=t_{0} < t_{1} < \ldots < t_{n-1} < t_{n}=\beta\), такие, что каждое из непрерывных отображений
$$
x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t),\quad t\in\delta_{k},\quad k=\overline{1,n},\nonumber
$$
является однозначным и, следовательно, определяет простую кривую
$$
\Gamma_{k}={x=x(t),\ y=y(t),\ z=z(t),\ t\in\delta_{k}}.\nonumber
$$
Тогда будем говорить, что уравнения \eqref{ref2} задают параметризуемую кривую \(\Gamma\), или, что кривая \(\Gamma\) параметризована при помощи уравнений \eqref{ref2}, где под кривой \(\Gamma\) упорядоченную совокупность (\(\Gamma_{1},\ldots,\Gamma_{n}\)) простых кривых таких, что конечная точка кривой \(\Gamma_{k}\) совпадает с начальной точкой кривой \(\Gamma_{k+1},\ k=\overline{1,n-1}\). В этом случае говорят также, что «кривая \(\Gamma\) разбита на простые кривые \(\Gamma_{1},\ldots\Gamma_{n}\)» или что «кривая \(\Gamma\) составлена из простых кривых \(\Gamma_{k},\ k=\overline{1,n}\)» и пишут \(\Gamma=\Gamma_{1}\Gamma_{2}\ldots\Gamma_{n}\), а каждую из кривых \(\Gamma_{k}\) называют частью кривой \(\Gamma\) или простой дугой кривой \(\Gamma\).
Замечание 2.
Одна и та же кривая \(\Gamma\) может быть параметризована различными способами. Мы будем рассматривать только такие параметризации, которые получаются из данной параметризации \eqref{ref2} путем представления параметра \(t\) в виде непрерывной строго возрастающей функции другого параметра.
Это означает, что если наряду с представлением кривой \(\Gamma\) через параметр \(t\) уравнением \eqref{ref3} эта кривая представлена через параметр \(s\) уравнением
$$
\Gamma={\rho=\rho(s),\ \alpha_{1}\leq s\leq\beta_{1}},\label{ref4}
$$
то должно выполняться условие: \(s=s(t)\) — непрерывная строго возрастающая функция на отрезке \([\alpha,\beta]\), причем
$$
s(\alpha)=\alpha_{1},\quad s(\beta)=\beta_1,\quad \rho(s(t))=\textbf{r}(t)\quad для\ всех\ t\in [\alpha,\beta].\label{ref5}
$$
В этом случае на отрезке \([\alpha_{1},\beta_{1}]\) определена непрерывная и строго возрастающая функция \(t=t(s)\), обратная к функции \(s=s(t)\), и для всех \(s\in[\alpha_{1},\beta_{1}]\) выполняется равенство
$$
\rho(s)=\textbf{r}(t(s)).\label{ref6}
$$
Замечание 3.
Условимся в дальнейшем, если не оговорено противное, для записи уравнений кривых использовать, только параметризации, указанные в замечании 2, и называть их допустимыми.
Пусть параметризуемая кривая \(\Gamma\) задана уравнением \eqref{ref3}, и пусть существуют значения \(t_{1}\) и \(t_{2}\) (\(t_{1}\neq t_{2}\)) из отрезка \([\alpha,\beta]\) такие, что \(\textbf{r}(t_1)=\textbf{r}(t_2)\). Тогда говорят, что точка \(M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})\), где \(x_{1}=x(t_1)=x(t_2),\ y_{1}=y(t_{1})=y(t_2),\ z_1=z(t_1)=z(t_{2})\), является точкой самопересечения (кратной точкой) кривой \(\Gamma\).
Если равенство \(\textbf{r}(t_1)=\textbf{r}(t_2\)) выполняется при \(t_{1}=\alpha,\ t_{2}=\beta\), то кривую \(\Gamma\) называют замкнутой. Замкнутую кривую, не имеющую точек самопересечения, отличных от точки \(M_{1}(x(\alpha),y(\alpha),z(\alpha))\), будем называть простым контуром.
Например, кривая
$$
\Gamma=\{x=\cos t,\ y=\sin t,\ 0\leq t\leq 2\pi\}\nonumber
$$
является простым контуром. При изменении \(t\) от 0 до \(2\pi\) точка \(M(\cos t,\sin t)\) «описывает» единичную окружность, двигаясь против часовой стрелки. Точка плоскости \(Oxy\) с координатами \((0,1)\) является одновременно начальной и конечной точкой кривой \(\Gamma\).
Касательная к кривой.
Пусть кривая \(\Gamma\) задана уравнением \eqref{ref3}, где \(\textbf{r}(t)\) — вектор-функция, дифференцируемая в точке \(t_{0}\in [\alpha,\beta]\), причем \(\textbf{r}'(t_{0})\neq 0\). Тогда
$$
\Delta \textbf{r}=\textbf{r}(t_0+\Delta t)-\textbf{r}(t_0)=r'(t_0)\Delta t+\Delta t\alpha(\Delta t),\label{ref7}
$$
где \(\alpha(\Delta t)\rightarrow 0\) при \(\Delta t\rightarrow 0\). Из условия \(\textbf{r}'(t0)\neq 0\) и равенства \eqref{ref7} следует, что при всех достаточно малых \(\Delta t\neq 0\) правая часть \eqref{ref7} есть ненулевой вектор, и поэтому \(\Delta \textbf{r} \neq 0\), то есть существует число \(\delta > 0\) такое, что если
$$
0 < |\Delta t| < \delta,\quad t_{0}+\Delta t\in[\alpha,\beta],\label{ref8}
$$
то \(r(t_0+\Delta t)\neq r(t_0)\).
Пусть \(M_{0}\) и \(M\) — точки кривой \(\Gamma\), соответствующие значениям параметра \(t_0\) и \(t_0+\Delta t\). Проведем через эти точки прямую и назовем ее секущей.
Если \(\textbf{r}'(t_{0})\neq 0\), то при всех значениях \(\Delta t\), удовлетворяющих условиям \eqref{ref8}, ненулевой вектор \(\Delta \textbf{r}=\textbf{r}(t_0+\Delta t)-\textbf{r}(t_0)\) параллелен секущей, и поэтому вектор \(\displaystyle \frac{\Delta r}{\Delta t}\) также параллелен секущей. Уравнение секущей имеет вид
$$
r=r(t_0)+\frac{\Delta r}{\Delta t}\lambda,\qquad \lambda \in\mathbb{R}.\label{ref9}
$$
Пусть существует предельное положение секущей, то есть существует \(\displaystyle \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta r}{\Delta t}\neq 0\). Тогда прямая, уравнение которой получается из уравнения \eqref{ref9} заменой отношения \(\displaystyle \frac{\Delta r}{\Delta t}\) его пределом, называется касательной к кривой \(\Gamma\) в точке \(M_{0}\).
Утверждение 1.
Если \(r'(t_0)\neq 0\), то существует касательная к кривой \(\Gamma\) в точке \(M_{0}\), и уравнение этой касательной можно записать в виде
$$
\textbf{r}=\textbf{r}(t_{0})+\textbf{r}'(t_{0})\lambda,\qquad\lambda\in\mathbb{R}.\label{ref10}
$$\(\circ\) Если функция \(\textbf{r}(t)\) дифференцируема при \(t=t_0\) и \(\textbf{r}'(t_{0})\neq 0\), то существует \(\displaystyle \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta \textbf{r}}{\Delta t}=\textbf{r}'(t_0)\), и по определению прямая \eqref{ref10} является касательной к кривой \(\Gamma\) в точке \(M_{0}\). \(\bullet\)В координатной форме уравнение \eqref{ref10} имеет вид
$$
x=x(t_{0})+\lambda x'(t_{0}),\quad y=y(t_0)+\lambda y'(t_0),\quad z=z(t_{0})+\lambda z'(t_{0}),\quad \lambda\in \mathbb{R},\nonumber
$$
a в канонической форме уравнение касательной записывается в виде
$$
\frac{x-x(t_{0})}{x'(t_{0})}=\frac{y-y(t_{0})}{y'(t_{0})}=\frac{z-z(t_{0})}{z'(t_{0})}.\quad\bullet\nonumber
$$
Доказательство
Понятие гладкой кривой.
Пусть кривая \(\Gamma\) задана уравнением \eqref{ref3}, где \(\textbf{r}(t)\) — дифференцируемая на отрезке \([\alpha,\beta]\) функция, тогда говорят, что \(\Gamma\) — дифференцируемая кривая.
Если \(r'(t_0)\neq 0\), то точку \(M_{0}\in\Gamma\), где \(\overrightarrow{OM}=r(t_0)\), называют неособой точкой кривой \(\Gamma\); если же \(\textbf{r}'(t_0)=0\), то говорят, что \(M_{0}\) — особая точка кривой \(\Gamma\).
Пусть \(\textbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))\), тогда \(r'(t_0)=(x'(t_{0}),y'(t_{0}),z'(t_{0}))\), и поэтому точка \(M_0\) является неособой точкой кривой \(\Gamma\) тогда и только тогда, когда \((x'(t_0))^2+(y'(t_0))^2+(z'(t_0))^2 > 0\). из определения неособой точки и утверждения 1 следует, что во всякой неособой точке кривой \(\Gamma\) существует касательная.
Если функция \(r'(t)\) непрерывна на отрезке \([\alpha,\beta]\), то будем говорить, что кривая \(\Gamma\), заданная уравнением \eqref{ref3}, непрерывно дифференцируема.
Условимся называть кривую гладкой, если она является непрерывно дифференцируемой и не имеет особых точек. Следовательно, кривая \(\Gamma\), заданная уравнением \eqref{ref3}, является гладкой, если функция \(\textbf{r}'(t)\neq 0\) при всех \(t\in[\alpha,\beta]\). Если кривая составлена из конечного числа гладких кривых, то такую кривую будем называть кусочно гладкой.
Для непрерывно дифференцируемой кривой \(\Gamma\) в качестве допустимых преобразований параметра (см. замечания выше) рассматриваются функции \(s(t)\), непрерывно дифференцируемые и такие, что \(s'(t) > 0\).
В этом случае на отрезке \([\alpha,\beta]\) определена непрерывно дифференцируемая функция \(t=t(s)\), обратная к функции \(s=s(t)\), причем \(t'(s) > 0\) и выполняется равенство \eqref{ref6}.