Нормальная плоскость.
Плоскость \(\mathcal{P}\), проходящую через точку \(M_{0}\) кривой \(\Gamma\) и перпендикулярную касательной к этой кривой в точке \(M_{0}\), называют нормальной плоскостью кривой \(\Gamma\) в точке \(M_{0}\).
Если кривая \(\Gamma\) задана уравнением в векторной форме
$$
\Gamma={\textbf{r}=\textbf{r}(t),\ \alpha\leq t\leq\beta},\label{ref3}
$$
где
$$
\textbf{r}=(x,y,z),\quad \textbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)),\nonumber
$$
\(t_{0}\in[\alpha,\beta]\), \(\overrightarrow{OM_0}=\textbf{r}(t_0)\) и \(\textbf{r}'(t_0)\neq 0\), то вектор \(\textbf{r}'(t_0)\) параллелен касательной к кривой \(\Gamma\) в точке \(M_{0}\). Пусть \(M\) — произвольная точка нормальной плоскости \(\mathcal{P}\) (рис. 22.5), \(\overrightarrow{OM}=\textbf{r}\). Тогда вектор \(\overrightarrow{MM}_{0}=\textbf{r}-\textbf{r}(t_0)\) перпендикулярен вектору \(\textbf{r}'(t_{0})\), и поэтому уравнение нормальной плоскости \(\mathcal{P}\) к кривой \(\Gamma\) в точке \(M_{0}\) можно записать в виде
$$
(\textbf{r}-\textbf{r}(t_{0}),\textbf{r}'(t_{0}))=0\nonumber
$$
или
$$
(x-x(t_{0}))x'(t_0)+(y-y(t_{0}))y'(t_{0})+(z-z(t_0))z'(t_0)=0.\nonumber
$$
Главная нормаль.
Любую прямую, лежащую в нормальной плоскости \(\mathcal{P}\) к кривой \(\Gamma\) в точке \(M_{0}\), называют нормалью кривой \(\Gamma\) в точке \(M_{0}\). Среди всех нормалей выделяют одну — главную нормаль.
Понятие главной нормали требует введения дополнительных ограничений на вектор-функции, с помощью которых записываются уравнения кривых. Пусть \(\Gamma\) — гладкая кривая, заданная уравнением \eqref{ref3}, причем для всех \(t\in[\alpha,\beta]\) существует \(\textbf{r}″(t)\). В этом случае говорят, \(\Gamma\) — дважды дифференцируемая кривая без особых точек.
Если \(\Gamma\) — дважды дифференцируемая кривая без особых точек, заданная уравнением \eqref{ref3}, \(s\) — переменная длина дуги кривой \(\Gamma\), то существуют \(\displaystyle \frac{d\textbf{r}}{ds}\) и \(\displaystyle \frac{d^{2}\textbf{r}}{ds^{2}}\) и справедливы равенства
$$
\frac{d\textbf{r}}{ds}=\frac{\textbf{r}'(t)}{s'(t)},\label{ref26}
$$
$$
\frac{d^{2}r\textbf{}}{ds^{2}}=\frac{s'(t)\textbf{r}″(t)-s″(t)\textbf{r}'(t)}{(s(t))^{3}}.\label{ref27}
$$
\(\circ\) Применяя правило дифференцирования вектор-функции при замене переменного, получаем формулу \eqref{ref26}:
$$
\frac{d\textbf{r}}{ds}=\frac{d\textbf{r}}{dt}\frac{dt}{ds}=\frac{d\textbf{r}}{dt}\frac{1}{s'(t)}=\frac{\textbf{r}'(t)}{s'(t)}.\nonumber
$$
Используя формулу \eqref{ref26} и правило дифференцирования произведения векторной функции на скалярную, находим
$$
\frac{d^{2}\textbf{r}}{ds^{2}}=\frac{d}{dt}\left(\frac{d\textbf{r}}{ds}\right)\frac{dt}{ds}=\frac{d}{dt}\left(\frac{\textbf{r}'(t)}{s'(t)}\right)\frac{1}{s'(t)}=\left(\frac{\textbf{r}″(t)}{s'(t)}-\frac{s″(t)\textbf{r}'(t)}{(s(t))^{2}}\right)\frac{1}{s'(t)},\nonumber
$$
откуда следует формула \eqref{ref27}.
Заметим, что \(s″(t)\) существует, так как \(s'(t)=|\textbf{r}'(t)|\),
$$
s″(t)=\frac{d}{dt}(|\textbf{r}'(t)|)=\frac{d}{dt}(\textbf{r}'(t),\textbf{r}'(t))^{1/2},\nonumber
$$
а \(\textbf{r}″(t)\) существует и \(|\textbf{r}'(t)|\neq 0\). \(\bullet\)
Перейдем к определению главной нормали. Будем считать, что \(\Gamma\) — дважды дифференцируемая кривая без особых точек, заданная уравнением \eqref{ref3}. Тогда существуют \(\displaystyle \frac{d\textbf{r}}{ds}\) и \(\displaystyle\frac{d^{2}\textbf{r}}{ds^{2}}\), причем \(\displaystyle \frac{d\textbf{r}}{ds}\) — единичный вектор в силу данного утверждения. Обозначим этот вектор буквой \(\tau\). Тогда
$$
\frac{d\textbf{r}}{ds}=\tau,\quad |\tau|=1,\label{ref28}
$$
и поэтому (см. данный пример) вектор \(\displaystyle \frac{d\tau}{ds}=\frac{d^{2}\textbf{r}}{ds^{2}}\) ортогонален вектору \(\tau\).
Предположим, что
$$
\frac{d\tau}{ds}\neq 0,\label{ref29}
$$
и обозначим
$$
k=|\frac{d\tau}{ds}|.\label{ref30}
$$
Пусть \(\nu\) — единичный вектор, параллельный вектору \(\displaystyle \frac{d\tau}{ds}\). Тогда
$$
\frac{d\tau}{ds}=k\nu,\quad|\nu|=1,\label{ref31}
$$
причем вектор \(\nu\) ортогонален вектору \(\tau\).
Так как вектор \(\tau=\displaystyle \frac{d\textbf{r}}{ds}\) параллелен вектору касательной \(r'(t)\) к кривой \(\Gamma\) в силу равенства \eqref{ref26}, то из \eqref{ref31} следует, что вектор \(\nu\) параллелен нормальной плоскости кривой \(\Gamma\) в точке \(M\) (\(\overrightarrow{OM}=r(t)\)). Поэтому вектор \(\nu\) параллелен одной из нормалей кривой \(\Gamma\) в точке \(M\). Эту нормаль называют главной.
Итак, если в точке \(M\in\Gamma\) выполняется условие \eqref{ref29}, то нормаль к кривой \(\Gamma\) в точке \(M\), параллельная вектору \(\nu\) (формула \eqref{ref31}), называется главной нормалью.