Плоскость, проходящую через касательную и главную нормаль в данной точке кривой, называют соприкасающейся плоскостью.
Отсюда и из определения главной нормали следует, что соприкасающаяся плоскость определена для точек кривой, в которых кривизна \(k\neq 0\).
Утверждение 1.
Если гладкая кривая \(\Gamma=\{\textbf{r}=\textbf{r}(t),\;\alpha\leq t\leq\beta\}\) дважды дифференцируема и ее кривизна в точке \(M_{0}=M(t_{0})\) не равна нулю, то уравнение соприкасающейся плоскости \(Q\) в точке \(M_{0}\) имеет вид
$$
(r-r(t_0),r'(t_0),r″(t_0))=0.\label{ref41}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Если \(s=s(t)\) — переменная длина дуги кривой \(\Gamma\), то дифференцируя \(r(t)\) как сложную функцию и используя эту и эту формулы, получаем
$$
\textbf{r}_{t}’=\textbf{r}_{s}’s_{t}’=s_{t}’\tau,\quad \textbf{r}_{tt}″=\frac{d}{dt}(s_{t}’\tau)=s_{tt}″\tau+s_{t}’\tau_{s}’s_{t}’=s_{tt}″\tau+(s_{t}’)^{2}k\nu,\nonumber
$$
где индексы указывают, по каким переменным производится дифференцирование. Отсюда следует, что векторы \(\textbf{r}_{t}’\) и \(\textbf{r}_{tt}″\) параллельны плоскости \(Q\). По условию \(k\neq 0\), и поэтому \([\textbf{r}_{t}’,\textbf{r}_{tt}″]\neq 0\). Следовательно, векторы \(\textbf{r}_{t}’\) и \(\textbf{r}_{tt}″\) не коллинеарны.
Так как векторы \(\textbf{r}-\textbf{r}(t_{0}),\ \textbf{r}'(t_{0})=\textbf{r}_{t}'(t_{0}),\ \textbf{r}″(t_0)=\textbf{r}_{tt}″(t_{0})\) параллельны плоскости \(Q\) (рис. 22.8), то их смешанное произведение равно нулю, то есть во всех точках плоскости \(Q\) (и только в этих точках) должно выполняться условие \eqref{ref41}. \(\bullet\)
Запишем уравнение \eqref{ref41} в координатной форме:
$$
\begin{vmatrix}x-x(t_0)&y-y(t_0)&z-z(t_0)\\x'(t_0)&y'(t_0)&z'(t_0)\\x″(t_0)&y″(t_0)&z″(t_0)\end{vmatrix}=0\nonumber
$$