Пусть \(\Gamma\) — дважды дифференцируемая кривая без особых точек, для которой выполняются условие, описанное здесь (\(\displaystyle\frac{d\tau}{ds}\neq 0\)). Тогда выполняются это и это равенства, где \(\boldsymbol\tau\) — единичный вектор касательной, \(\nu\) — единичный вектор нормали к кривой \(\Gamma\) в данной ее точке.
Рассмотрим вектор
$$
\boldsymbol\beta=[\boldsymbol\tau,\boldsymbol\nu].\label{ref47}
$$
Тогда \(\boldsymbol\beta\) — единичный вектор, ортогональный векторам \(\boldsymbol\tau\) и \(\boldsymbol\nu\):
$$
\boldsymbol\tau=[\boldsymbol\nu,\boldsymbol\beta],\qquad \boldsymbol\nu=[\boldsymbol\beta,\boldsymbol\tau].\label{ref48}
$$
Прямую, проходящую через точку кривой параллельно вектору \(\boldsymbol\beta\), называют бинормалью. Тетраэдр с вершиной в точке кривой, ребра которого имеют длину, равную единице, и параллельны векторам \(\boldsymbol{\tau, \ \nu, \ \beta}\), называют сопровождающим трехгранником Френе (рис. 22.12).
Утверждение 1.
Если \(\Gamma\) — трижды непрерывно дифференцируемая кривая, удовлетворяющая данному условию, то справедливы формулы Френе
$$
\frac{d\boldsymbol\tau}{ds}=k\boldsymbol\eta,\nonumber
$$
$$
\frac{d\boldsymbol\nu}{ds}=-k\boldsymbol\tau+\varkappa\boldsymbol\beta,\label{ref49}
$$
$$
\frac{d\boldsymbol\beta}{ds}=-\varkappa\boldsymbol\nu.\label{ref50}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Первая из формул Френе получена здесь. Докажем формулу \eqref{ref50}. Дифференцируя равенство \eqref{ref47} с учетом первой формулы Френе и равенства \([\boldsymbol\nu,\boldsymbol\nu]=0\), получаем
$$
\frac{d\boldsymbol\beta}{ds}=\left[\frac{d\boldsymbol\tau}{ds},\boldsymbol\nu\right]+\left[\boldsymbol\tau,\frac{d\boldsymbol\nu}{ds}\right]=\left[\boldsymbol\tau,\frac{d\boldsymbol\nu}{ds}\right].\nonumber
$$
Так как \(\boldsymbol\nu\) — единичный вектор, то он ортогонален вектору \(\displaystyle \frac{d\boldsymbol\nu}{ds}\). Кроме того, вектор \(\boldsymbol\nu\) ортогонален вектору \(\boldsymbol\tau\). Поэтому вектор \(\left[\tau,\displaystyle \frac{d\boldsymbol\nu}{ds}\right]\) параллелен вектору \(\boldsymbol\nu\) и справедливо равенство \eqref{ref50}. Коэффициент \(\varkappa\) в формуле \eqref{ref50} называют кручением кривой в данной ее точке.
Пользуясь первой формулой Френе, формулами \eqref{ref47}, \eqref{ref48} и \eqref{ref50}, получаем
$$
\frac{d\boldsymbol\nu}{ds}=\left[\frac{d\boldsymbol\beta}{ds},\boldsymbol\tau\right]+\left[\boldsymbol\beta,\frac{d\boldsymbol\tau}{ds}\right]=-\varkappa[\boldsymbol\nu,\boldsymbol\tau]+k[\boldsymbol\beta,\boldsymbol\nu]=-k\boldsymbol\tau+\varkappa\boldsymbol\beta,\nonumber
$$
то есть справедлива формула \eqref{ref49}. \(\bullet\)
Докажем, наконец, следующее: если кривая, заданная натуральным уравнением, трижды дифференцируема, а ее кривизна \(k=k(s)\) отлична от нуля, то кручение кривой \(\varkappa=x(s)\) выражается формулой
$$
\varkappa=\frac{\left(\frac{d\textbf{r}}{ds},\frac{d^{2}\textbf{r}}{ds^{2}},\frac{d^{3}\textbf{r}}{ds^{3}}\right)}{k^{2}}.\label{ref51}
$$
\(\circ\) Используя первую формулу Френе и \eqref{ref49}, находим
$$
\frac{d^{2}\textbf{r}}{ds^{2}}=k(s)\boldsymbol\nu,\quad \frac{d^{3}\textbf{r}}{ds^{3}}=k'(s)\boldsymbol\nu+k(s)\frac{d\boldsymbol\nu}{ds}=k'(s)\boldsymbol\nu-k^{2}(s)\boldsymbol\tau+k(s)\varkappa(s)\boldsymbol\beta.\nonumber
$$
Вычислим смешанное произведение векторов, указанных в формуле \eqref{ref51}, пользуясь тем, что \((\boldsymbol\tau,\boldsymbol\nu,\boldsymbol\nu)=(\boldsymbol\tau,\boldsymbol\nu,\boldsymbol\tau)=0\) и \((\boldsymbol\tau,\boldsymbol\nu,\boldsymbol\beta)=1\). Тогда из равенства
$$
\left(\frac{d\textbf{r}}{ds},\frac{d^{2}\textbf{r}}{ds^{2}},\frac{d^{3}\textbf{r}}{ds^{3}}\right)=(\boldsymbol\tau,k(s)\boldsymbol\nu,k'(s)\boldsymbol\nu-k^{2}(s)\boldsymbol\tau+k(s)\varkappa(s)\boldsymbol\beta)=\\=k^{2}(s)\varkappa(s)(\boldsymbol\tau,\boldsymbol\nu,\boldsymbol\beta)=k^{2}(s)\varkappa(s)\nonumber
$$
следует формула \eqref{ref51}. \(\bullet\)
Замечание 1.
Из формулы \eqref{ref50} следует, что \(\left|\displaystyle \frac{d\boldsymbol\beta}{ds}\right|=|\varkappa|\), так как \(|\nu|=1\). Повторяя рассуждения, связанные с выяснением физического смысла кривизны кривой, отсюда получим, что
$$
|\varkappa|=\lim_{\Delta s\rightarrow 0}\left|\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}\right|,\label{ref52}
$$
где \(\Delta\alpha\) — угол поворота бинормали к кривой \(\Gamma\) при изменении ее параметра от \(s\) до \(s+\Delta s\). Выражение в правой части \eqref{ref52} назовем скоростью вращения вектора бинормали. Эта скорость равна скорости вращения соприкасающейся плоскости кривой, так как вектор \(\boldsymbol\beta\) перпендикулярен этой плоскости. Таким образом, модуль кручения кривой равен скорости вращения соприкасающейся плоскости.
Пример 1.
Вычислим кривизну \(k\) и кручение \(\varkappa\) винтовой линии:
$$
x=a\cos t,\quad y=a\sin t,\quad z=bt,\quad 0\leq t\leq T,\nonumber
$$
где \(a > 0, \ b > 0\)
Решение.
\(\triangle\) В примере получено натуральное уравнение винтовой линии
$$
\textbf{r}=\textbf{r}(s)=(a\cos\lambda s,a\sin\lambda s,b\lambda s),\nonumber
$$
где
$$
\lambda=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.\nonumber
$$
Поэтому
$$
\tau=\frac{d\textbf{r}}{ds}=(-a\lambda\sin\lambda s,a\lambda\cos\lambda s,b\lambda),\nonumber
$$
$$
\frac{d\tau}{ds}=(-a\lambda^2\cos\lambda s,-a\lambda^{2}\sin\lambda s,0),\nonumber
$$
откуда по формуле отсюда находим
$$
k=\left|\frac{d\tau}{ds}\right|=a\lambda^{2}=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}.\nonumber
$$
используя первую формулу Френе, отсюда получаем
$$
\nu=(-\cos\lambda s,-\sin \lambda s,0).\nonumber
$$
Для нахождения \(\varkappa\) воспользуемся формулой \eqref{ref50}, а вектор \(\boldsymbol\beta\) найдем по формуле \eqref{ref47}. Имеем
$$
\boldsymbol\beta=(b\lambda\sin\lambda s,-b\lambda\cos\lambda s,a\lambda),\nonumber
$$
откуда
$$
\frac{d\boldsymbol\beta}{ds}=(b\lambda^{2}\cos \lambda s,b\lambda^{2}\sin\lambda s,0)=-b\lambda^{2}(-\cos\lambda s,-\sin\lambda s,0),\nonumber
$$
то есть
$$
\frac{d\boldsymbol\beta}{ds}=-b\lambda^{2}\boldsymbol\nu,\nonumber
$$
отсюда по формуле \eqref{ref50} находим
$$
\varkappa=b\lambda^2=\frac{b}{a^{2}+b^{2}}.\nonumber
$$
Таким образом, кривизна кривой и кручение для винтовой линии постоянные. \(\blacktriangle\)