Локальный экстремум и теорема Ферма.
Пусть существует число \(\delta > 0\) такое, что функция \(f(x)\) определена в \(\delta\)-окрестности точки \(x_{0}\), то есть на множестве \(U_{\delta}(x_0)=(x_0-\delta,x_{0}+\delta)\), и пусть для всех \(x\in U_{\delta}(x_0)\) выполняется неравенство
$$
f(x)\geq f(x_{0}).\label{ref1}
$$
Тогда говорят, что функция \(f(x)\) имеет в точке \(x_0\) локальный минимум.
Аналогично, если существует число \(\delta > 0\) такое, что для всех \(x\in U_{\delta}(x_0)\) выполняется неравенство
$$
f(x)\leq f(x_{0}).\label{ref2}
$$
то говорят, что функция \(f(x)\) имеет в точке \(x_0\) локальный максимум.
Локальный минимум и локальный максимум объединяются общим термином локальный экстремум. Функция \(y=f(x)\), график которой изображен на рис. 17.1, имеет локальные экстремумы в точках \(x_1=1,\ x_2=3,\ x_3=4\), а именно минимумы при \(x=1\) и \(x=4\) и максимум при \(x=3\).
Теорема Ферма.
Если функция \(f(x)\) имеет локальный экстремум в точке \(x_0\) и дифференцируема в этой точке, то
$$
f'(x_0)=0\label{ref3}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Пусть, например, функция \(f(x)\) имеет локальный минимум в точке \(x_0\). Тогда в силу \eqref{ref1} для всех \(x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)\) выполняется неравенство
$$
f(x)-f(x_{0})\geq 0.\label{ref4}
$$
Если \(x\in (x_0-\delta,x_0)\), то \(x-x_0 < 0\), и из условия \eqref{ref4} следует, что
$$
\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\leq 0,\label{ref5}
$$
а если \(x\in (x_0,x_0+\delta)\), то выполняется неравенство
$$
\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\geq 0.\label{ref6}
$$
Так как функция \(f\) дифференцируема в точке \(x_0\), то существует предел при \(x\rightarrow x_0\) в левой части неравенства \eqref{ref5}, равный \(f_{-}'(x_{0})=f'(x_{0})\). По свойствам пределов из \eqref{ref5} следует, что
$$
f'(x_0)\leq 0.\label{ref7}
$$
Аналогично, переходя к пределу в неравенстве \eqref{ref6}, получаем
$$
f'(x_{0})\geq 0.\label{ref8}
$$
Из неравенств \eqref{ref7} и \eqref{ref8} следует, что \(f'(x_0)=0.\ \bullet\)
Замечание 1.
Теорема Ферма имеет простой геометрический смысл: касательная к графику функции \(y=f(x)\) в точке локального экстремума \((x_0,f(x_0))\) параллельна оси абсцисс (рис. 17.2).
Теорема Ролля о нулях производной.
Теорема Ролля.
Если функция \(f(x)\) непрерывна на отрезке \([a,b]\), принимает в концах этого отрезка равные значения, то есть
$$
f(a)=f(b),\label{ref9}
$$
и дифференцируема на интервале \((a,b)\), то существует точка \(\xi\in(a,b)\) такая, что
$$
f'(\xi)=0.\label{ref10}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Обозначим \(M=\displaystyle \sup_{a\leq x\leq b}f(x),\ m=\displaystyle \inf_{a\leq x\leq b}f(x)\). По теореме Вейерштрасса на отрезке \([a,b]\) существуют такие точки \(c_{1}\) и \(c_{2}\), что \(f(c_{1})=m,\ f(c_{2})=M\).
Если \(m=M\), то \(f(x)=\operatorname{const}\), и в качестве \(\xi\) можно взять любую точку интервала \((a,b)\).
Если \(m\neq M\), то \(m < M\), и поэтому \(f(c_{1}) < f(c_{2})\). В силу условия \eqref{ref9} по крайней мере одна из точек \(c_{1},\ c_2\) является внутренней точкой отрезка \([a,b]\). Пусть, например, \(c_1\in (a,b)\). Тогда существует число \(\delta > 0\) такое, что \(U_{\delta}(c_{1})\subset (a,b)\). Так как для всех \(x\in U_{\delta}(c_{i})\) выполняется условие \(f(x)\geq f(c_{1})=m\), то по теореме Ферма \(f'(c_{1})=0\), то есть условие \eqref{ref10} выполняется при \(\xi=c_{1}\). Аналогично рассматривается случай, когда \(c_{2}\in(a,b).\quad \bullet\)
Теорему Ролля можно кратко сформулировать так: между двумя точками, в которых дифференцируемая функция принимает равные значения, найдется хотя бы один нуль производной этой функции. Для случая \(f(a)=f(b)=0\) теорема формулируется еще короче: между двумя нулями дифференцируемой функции лежит хотя бы один нуль ее производной.
Замечание 2.
Замечание 3.
Формула конечных приращений Лагранжа.
Теорема Лагранжа.
Если функция \(f(x)\) непрерывна на отрезке \([a,b]\) и дифференцируема на интервале \((a,b)\), то в этом интервале найдется хотя бы одна точка \(\xi\) такая, что
$$
f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).\label{ref11}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Рассмотрим функцию
$$
\varphi(x)=f(x)+\lambda x,\nonumber
$$
где число \(\lambda\) выберем таким, чтобы выполнялось условие \(\varphi(a)=\varphi(b)\), то есть \(f(a)+\lambda a=f(b)+\lambda b\). Отсюда находим
$$
\lambda=-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\label{ref12}
$$
Так как функция \(\varphi(x)\) непрерывна на отрезке \([a,b]\), дифференцируема на интервале \((a,b)\) и принимает равные значения в концах этого интервала, то по теореме Ролля существует точка \(\xi\in(a,b)\) такая, что \(\varphi'(\xi)=f'(\xi)+\lambda=0\). Отсюда в силу условия \eqref{ref12} получаем равенство
$$
f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},\label{ref13}
$$
равносильное равенству \eqref{ref11}. \(\bullet\)
Замечание 4.
Правая часть, формулы \eqref{ref13} равна угловому коэффициенту секущей, которая проходит через точки \(A(a,f(a))\) и \(B(b,f(b))\) графика функции \(y=f(x)\), а левая часть этой формулы равна угловому коэффициенту касательной к графику в точке \((\xi,f(\xi))\). Поэтому теорема Лагранжа имеет следующую геометрическую интерпретацию: существует значение \(\xi\in(a,b)\) такое, что касательная к графику функции \(y=f(x)\) в точке \((\xi,f(\xi))\) параллельна секущей (рис. 17.7), соединяющей точки \(A(a,f(a))\) и \(B(b,f(b))\).
Замечание 5.
Пусть функция \(f\) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа. Если \(x_{0}\in[a,b]\), а приращение \(\Delta x\neq 0\) таково, что точка \(x_{0}+\Delta x\) также принадлежит отрезку \([a,b]\), то, применив теорему Лагранжа к функции \(f(x)\) на отрезке \(l\) с концами \(x_0\) и \(x_0+\Delta x\) (\(\Delta x\) может быть и отрицательным), получим
$$
f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=\Delta xf'(\xi),\label{ref14}
$$
где \(\xi\) — некоторая внутренняя точка отрезка \(l\).
Пусть, \(\Delta x > 0\); тогда \(0 < \xi-x_0 < \Delta x\) (рис. 17.8), и поэтому \(0 < \displaystyle \frac{\xi-x_{0}}{\Delta x} < 1\). Полагая \(\theta=\displaystyle \frac{\xi-x_{0}}{\Delta x}\), получаем
$$
\xi=x_0+\theta\Delta х,\ где \ 0 < \theta < 1.\label{ref15}
$$
Аналогично, если \(\Delta x < 0\), то \(0 < x_0-\xi < |\Delta x|\), и поэтому \(0 < \displaystyle \frac{x_{0}-\xi}{-\Delta x} < 1\). Полагая \(\displaystyle \theta=\frac{x_{0}-\xi}{-\Delta x}=\frac{\xi-x_{0}}{\Delta x}\), снова получаем равенство \eqref{ref15}, где \(0 < \theta < 1\).
Следовательно, равенство \eqref{ref14} можно записать в виде
$$
f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=\Delta xf'(x_0+\theta \Delta x),\label{ref16}
$$
где \(0 < \theta < 1\).
Формулу \eqref{ref16} называют формулой конечных приращений Лагранжа. Она дает точное выражение для приращения функции, в отличие от приближенного равенства
$$
f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\approx\Delta xf'(x_{0}),\nonumber
$$
которое иногда называют формулой бесконечно малых приращений.
Пример 1.
Доказать, что
- $$
\operatorname{ln}(1+x) < x\ при\ x > 0,\label{ref17}
$$ - $$
|\operatorname{arctg}x_2-\operatorname{arctg}x_1|\leq|x_{2}-x_{1}|,\quad x\in\mathbb{R},\ x\in\mathbb{R}.\label{ref18}
$$
Решение.
- \(\triangle\) Применяя теорему Лагранжа к функции \(f(x)=\operatorname{ln}(1+x)\) на отрезке \([0,x]\), где \(x > 0\), получаем \(\operatorname{ln}(1+x)=\displaystyle \frac{1}{1+\xi}x\) откуда следует неравенство \eqref{ref17}, так как \(0 < \xi < x\).
- По теореме Лагранжа для функции \(\operatorname{arctg}x\) на отрезке с концами \(x_1\) и \(x_2\) находим
$$
\operatorname{arctg}x_2-\operatorname{arctg}x_1=\frac{1}{1+\xi^{2}}(x_2-x_1),\nonumber
$$
откуда получаем \(|\operatorname{arctg}x_2-\operatorname{arctg}x_{2}|=\displaystyle \frac{|x_{2}-x_{1}|}{1+\xi^{2}}\leq|x_{2}-x_{1}|\), так как \(0 < \displaystyle \frac{1}{1+\xi^{2}}\leq 1\). \(\blacktriangle\)
Полагая в соотношении \eqref{ref18} \(x_2=x,\ x_1=0\), получаем
$$
|\operatorname{arctg}x|\leq|x|,\quad x\in\mathbb{R},\label{ref19}
$$
и, в частности,
$$
0\leq\operatorname{arctg}x\leq x,\quad x\geq 0.\label{ref20}
$$
Некоторые следствия из теоремы Лагранжа.
Следствие 1.
Если функция \(f(x)\) дифференцируема на интервале \((a,b)\) и \(f'(x)=0\) для всех \(x\in (a,b)\), то
$$
f(x)=C=\operatorname{const},\quad x\in (a,b).\nonumber
$$
\(\circ\) Пусть \(x_{0}\) — фиксированная точка интервала \((a,b)\), \(x\) — любая точка этого интервала. Применяя теорему Лагранжа к функции \(f(x)\) на отрезке с концами \(x_0\) и \(x\) получаем
$$
f(x)-f(x_0)=(x-x_0)f'(\xi),\nonumber
$$
где \(\xi\in(a,b),\ f'(\xi)=0\), откуда \(f(x)=f(x_{0})=C\). \(\bullet\)
Следствие 2.
Если функция \(f(x)\) непрерывна на отрезке \([a,b]\), дифференцируема на интервале \((a,b)\) и для всех \(x\in (a,b)\) выполняется равенство \(f'(x)=k\), где \(k\) — постоянная, то
$$
f(x)=kx+B,\quad x\in[a,b],\nonumber
$$
то есть \(f\) — линейная функция.
\(\circ\) Применяя теорему Лагранжа к функции \(f\) на отрезке \([a,x]\), где \(a\leq x\leq b\), получаем \(f(x)-f(a)=k(x-a)\), откуда следует, что \(f(x)=kx+B\), где \(B=f(a)-ka\). \(\bullet\)
Следствие 3.
Пусть функция \(f(x)\) дифференцируема на интервале \((a,b)\), за исключением, быть может, точки \(x_0\in (a,b)\), и непрерывна в точке \(x_0\). Тогда если существует конечный или бесконечный
$$
\lim_{x\rightarrow x_{0}-0}f'(x)=A,\label{ref21}
$$
то в точке \(x_0\) существует левая производная, причем
$$
f_{-}'(x_{0})=A.\label{ref22}
$$
Аналогично, если существует
$$
\lim_{x\rightarrow x_{0}+0}f'(x)=B,\label{ref23}
$$
то
$$
f_{+}'(x_0)=B.\label{ref24}
$$
\(\circ\) Пусть приращение \(\Delta x\) таково, что \(\Delta x\neq 0\) и точка \(x_0+\Delta x\) принадлежит интервалу \((a,b)\). Запишем равенство \eqref{ref16} в виде
$$
\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}=f'(x_{0}+\theta\Delta x),\quad 0 < \theta < 1.\label{ref25}
$$
Если существует предел \eqref{ref21}, то есть \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}-0}f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow -0}f'(x_0+\Delta x)=A\), то правая часть \eqref{ref25} имеет предел, равный \(A\), а поэтому существует предел в левой части \eqref{ref25} и справедливо равенство \eqref{ref22}.
Аналогично, из соотношения \eqref{ref23} следует равенство \eqref{ref24}. \(\bullet\)
Предположим, что функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x_0\), тогда
$$
f_{-}'(x_{0})=f_{+}'(x_{0})=f'(x_{0}).\label{ref26}
$$
Если пределы \eqref{ref21} и \eqref{ref23} существуют и конечны, то из соотношений \eqref{ref22}, \eqref{ref24} и \eqref{ref26} следует, что
$$
\lim_{x\rightarrow x_{0}-0}f'(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}+0}f’ (x)=f'(x_0).\nonumber
$$
Это означает, что если функция \(f(x)\) дифференцируема на интервале \((a,b)\), то ее производная \(f'(x)\) не может иметь точек разрыва первого рода. Иначе говоря, каждая точка \(x_0\in(a,b)\) является либо точкой непрерывности функции \(f'(x)\), либо точкой разрыва второго рода.
Пример 2.
Найти \(f_{-}'(1)\) и \(f_{+}'(1)\), если \(f(x)=\arcsin{\displaystyle \frac{2x}{1+x^2}}\).
Решение.
\(\triangle\) Функция \(f\) определена на \(\mathbb{R}\), так как \(1+x^2\geq2|x|\). Вычислив производную, получим
$$
f'(x)=\frac{1}{\displaystyle\sqrt{1-\left(\frac{2x}{1+x^{2}}\right)^{2}}}\frac{2(1-x^{2})}{(1+x^{2})^{2}}=\frac{2(1-x^{2})}{|1-x^{2}|(1+x^{2})},\quad |x|\neq 1,\nonumber
$$
откуда
$$
f'(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{2}{1+x^{2}}, & если\ |x| < 1,\\\nonumber
-\frac{2}{1+x^{2}}, & если\ |x| > 1.\nonumber
\end{array}\right.
$$
Применяя следствие 3, получаем
$$
f_{-}'(1)=\lim_{x\rightarrow 1-0}f'(x)=\lim_{x\rightarrow 1-0}\frac{2}{1+x^{2}}=1.\nonumber
$$
Аналогично находим
$$
f_{+}'(1)=\lim_{x\rightarrow 1+0}(-\frac{2}{1+x^{2}})=-1.\quad\blacktriangle\nonumber
$$
Пример 3.
Найти точки разрыва функции \(f'(x)\), если
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\displaystyle x^2\sin{\frac{1}{x}} & при\ x\neq 0,\\\nonumber
0 & при\ x=0.\nonumber
\end{array}\right.
$$
Решение.
\(\triangle\) Если \(x\neq 0\), то \(f'(x)=2\displaystyle \sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}\), а если \(x=0\), то по определению производной \(f'(0)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\displaystyle x^2\sin{\frac{1}{x}}}{x}=0\). Следовательно, функция \(f'(x)\) определена на \(\mathbb{R}\) и непрерывна при \(x\neq 0\). В точке \(x=0\) эта функция имеет разрыв второго рода, так как не существует предела функции
$$
f'(x)=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}\quad при \ x\rightarrow 0.\quad \blacktriangle\nonumber
$$
Следствие 4.
Если функции \(\varphi\) и \(\psi\) дифференцируемы при \(x\geq x_0\) и удовлетворяют условиям \(\varphi(x_0)=\psi(x_0)\), \(\varphi'(x) > \psi(x)\) при \(x > x_0\), то \(\varphi(x) > \psi(x)\) при \(x > x_{0}\).
\(\circ\) Применяя теорему Лагранжа к функции \(f(x)=\varphi(x)-\psi(x)\) на отрезке \([x_0,x]\), где \(x > x_0\), получаем \(f(x)=f'(\xi)(x-x_0)\), так как \(f(x_0)=0\). Отсюда, учитывая, что
$$
\xi > х_0,\ f'(\xi)=\varphi'(\xi)-\psi'(\xi) > 0,\nonumber
$$
получаем \(f(x) > 0\), то есть \(\varphi(x) > \psi(x)\) при \(x > x_0\). \(\bullet\)
Пример 4.
Доказать, что
$$
\operatorname{ln}(1+x) > x-\frac{x^{2}}{2}\ при\ x > 0.\label{ref27}
$$
Решение.
\(\triangle\) Пусть \(\varphi(х)=\operatorname{ln}(1+x)\), \(\psi(x)=x-\displaystyle \frac{x^{2}}{2}\), тогда \(\varphi(0)=\psi(0)\), \(\displaystyle \varphi'(x)=\frac{1}{1+x}\), \(\psi'(x)=1-x\), и при \(x > 0\) справедливо неравенство \(\displaystyle \frac{1}{1+x} > 1-x\), так как при \(x > 0\) это неравенство равносильно очевидному неравенству \(1 > 1-x^2\). Применяя следствие 4 к функциям \(\varphi(x)\) и \(\psi(x)\), получаем неравенство \eqref{ref27}. \(\blacktriangle\)
Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши).
Теорема Коши.
Если функции \(f(x)\) и \(g(x)\) непрерывны на отрезке \([a,b]\), дифференцируемы на интервале \((a,b)\), причем \(g'(x)\neq 0\) во всех точках этого интервала, то найдется хотя бы одна точка \(\xi\in(a,b)\) такая, что
$$
\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g(\xi)}.\label{ref28}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Рассмотрим функцию
$$
\varphi(x)=f(x)+\lambda g(x),\nonumber
$$
где число \(\lambda\) выберем таким, чтобы выполнялось равенство \(\varphi(a)=\varphi(b)\), которое равносильно следующему:
$$
f(b)-f(a)+\lambda(g(b)-g(a))=0.\label{ref29}
$$
Заметим, что \(g(b)\neq g(a)\), так как в противном случае согласно теореме Ролля существовала бы точка \(c\in(a,b)\) такая, что \(g'(c)=0\) вопреки условиям теоремы. Итак, \(g(b)-g(a)\neq 0\), и из равенства \eqref{ref29} следует, что
$$
\lambda=-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.\label{ref30}
$$
Так как функция \(\varphi\) при любом \(\lambda\) непрерывна на отрезке \([a,b]\) и дифференцируема на интервале \((a,b)\), а при значении \(\lambda\) определяемом формулой \eqref{ref30}, принимает равные значения в точках \(a\) и \(b\), то по теореме Ролля существует точка \(\xi\in(a,b)\) такая, что \(\varphi'(\xi)=0\) и , то есть \(f'(\xi)+\lambda g'(\xi)=0\), откуда \(\displaystyle \frac{f'(\xi)}{g(\xi)}=-\lambda\). Из этого равенства и формулы \eqref{ref30} следует утверждение \eqref{ref28}. \(\bullet\)
Замечание 6.
Теорема Лагранжа — частный случай теоремы Коши \((g(x)=x)\).
Замечание 7.
Теорему Коши нельзя получить, применением теоремы Лагранжа к числителю и знаменателю дроби, стоящей в левой части равенства \eqref{ref28}.
Действительно, эту дробь, по теореме Лагранжа можно записать в виде \(\displaystyle \frac{f'(\xi_{1})}{g(\xi_{2})}\), где \(\xi_{1}\in (a,b),\ \xi_{2}\in (a,b)\), но, вообще говоря, \(\xi_{1}\neq\xi_{2}\).