Основные теоремы для дифференцируемых функций

Содержание:

  1. Локальный экстремум и теорема Ферма.
  2. Теорема Ролля о нулях производной.
  3. Формула конечных приращений Лагранжа.
  4. Некоторые следствия из теоремы Лагранжа.
  5. Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши).

1. Локальный экстремум и теорема Ферма.

Пусть существует число \(\delta\;>\;0\) такое, что функция \(f(x)\) определена в \(\delta\)-окрестности точки \(x_{0}\), т.е. на множестве \(U_{\delta}(x_0)=(x_0-\delta,x_{0}+\delta)\), и пусть для всех \(x\in U_{\delta}(x_0)\) выполняется неравенство
$$
f(x)\geq f(x_{0}).\label{ref1}
$$
Тогда говорят, что функция \(f(x)\) имеет в точке \(x_0\) локальный минимум.

Аналогично, если существует число \(\delta\;>\;0\) такое, что для всех \(x\in U_{\delta}(x_0)\) выполняется неравенство
$$
f(x)\leq f(x_{0}).\label{ref2}
$$
то говорят, что функция \(f(x)\) имеет в точке \(x_0\) локальный максимум.

Локальный минимум и локальный максимум объединяются общим термином локальный экстремум. Функция \(y=f(x)\), график которой изображен на рис. 17.1, имеет локальные экстремумы в точках \(x_1=1,\;x_2=3,\;x_3=4\), а именно минимумы при \(x=1\) и \(x=4\) и максимум при \(x=3\).

Рис. 17.1
Рис. 17.1
Рис. 17.2
Рис. 17.2

Теорема 1 (Ферма). Если функция \(f(x)\) имеет локальный экстремум в точке \(x_0\) и дифференцируема в этой точке, то
$$
f'(x_0)=0\label{ref3}
$$

Доказательство.

\(\circ\) Пусть, например, функция \(f(x)\) имеет локальный минимум в точке \(x_0\). Тогда в силу \eqref{ref1} для всех \(x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)\) выполняется неравенство
$$
f(x)-f(x_{0})\geq 0.\label{ref4}
$$
Если \(x\in (x_0-\delta,x_0)\), то \(x-x_0\;<\;0\), и из условия \eqref{ref4} следует, что
$$
\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\leq 0,\label{ref5}
$$
а если \(x\in (x_0,x_0+\delta)\), то выполняется неравенство
$$
\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\geq 0.\label{ref6}
$$
Так как функция \(f\) дифференцируема в точке \(x_0\), то существует предел при \(x\rightarrow x_0\) в левой части неравенства \eqref{ref5}, равный \(f_{-}'(x_{0})=f'(x_{0})\). По свойствам пределов из \eqref{ref5} следует, что
$$
f'(x_0)\leq 0.\label{ref7}
$$
Аналогично, переходя к пределу в неравенстве \eqref{ref6}, получаем
$$
f'(x_{0})\geq 0.\label{ref8}
$$
Из неравенств \eqref{ref7} и \eqref{ref8} следует, что \(f'(x_0)=0.\;\bullet\)


Замечание 1.
Теорема Ферма имеет простой геометрический смысл: касательная к графику функции \(y=f(x)\) в точке локального экстремума \((x_0,f(x_0))\) параллельна оси абсцисс (рис. 17.2).


2. Теорема Ролля о нулях производной.

Теорема 2 (Ролля). Если функция \(f(x)\) непрерывна на отрезке \([a,b]\), принимает в концах этого отрезка равные значения, т.е.
$$
f(a)=f(b),\label{ref9}
$$
и дифференцируема на интервале \((a,b)\), то существует точка \(\xi\in(a,b)\) такая, что
$$
f'(\xi)=0.\label{ref10}
$$

Доказательство.

\(\circ\) Обозначим \(M=\displaystyle \sup_{a\leq x\leq b}f(x),\;m=\displaystyle \inf_{a\leq x\leq b}f(x)\). По теореме Вейерштрасса (\S 11, теорема 4) на отрезке \([a,b]\) существуют такие точки \(c_{1}\) и \(c_{2}\), что \(f(c_{1})=m,\;f(c_{2})=M\).

Если \(m=M\), то \(f(x)=\operatorname{const}\), и в качестве \(\xi\) можно взять любую точку интервала \((a,b)\).

Если \(m\neq M\), то \(m\;<\;M\), и поэтому \(f(c_{1})\;<\;f(c_{2})\). В силу условия \eqref{ref9} по крайней мере одна из точек \(c_{1},\;c_2\) является внутренней точкой отрезка \([a,b]\). Пусть, например, \(c_1\in (a,b)\). Тогда существует число \(\delta\;>\;0\) такое, что \(U_{\delta}(c_{1})\subset (a,b)\). Так как для всех \(x\in U_{\delta}(c_{i})\) выполняется условие \(f(x)\geq f(c_{1})=m\), то по теореме Ферма \(f'(c_{1})=0\), т.е. условие \eqref{ref10} выполняется при \(\xi=c_{1}\). Аналогично рассматривается случай, когда \(c_{2}\in(a,b).\quad \bullet\)


Теорему Ролля можно кратко сформулировать так: между двумя точками, в которых дифференцируемая функция принимает равные значения, найдется хотя бы один нуль производной этой Функции. Для случая \(f(a)=f(b)=0\) теорема формулируется еще короче: между двумя нулями дифференцируемой функции лежит хотя бы один нуль ее производной.


Замечание 2.
Геометрический смысл теоремы Ролля: при условиях теоремы 2 существует значение \(\xi\in(a,b)\) такое, что касательная к графику функции \(y=f(x)\) в точке \((\xi,f(\xi))\) параллельна оси \(Ox\) (рис. 17.3).

Рис. 17.3
Рис. 17.3
Рис. 17.4
Рис. 17.4
Рис. 17.5
Рис. 17.5
Рис. 17.6
Рис. 17.6

Замечание 3.
Все условия теоремы Ролля существенны. На рис. 17.4-17.6 изображены графики функций, каждая из которых удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, кроме одного. Для всех этих функций не существует точки на интервале \((-2,2)\), в которой производная была бы равно нулю.


3. Формула конечных приращений Лагранжа.

Теорема 3 (Лагранжа). Если функция \(f(x)\) непрерывна на отрезке \([a,b]\) и дифференцируема на интервале \((a,b)\), то в этом интервале найдется хотя бы одна точка \(\xi\) такая, что
$$
f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).\label{ref11}
$$

Доказательство.

\(\circ\) Рассмотрим функцию
$$
\varphi(x)=f(x)+\lambda x,\nonumber
$$
где число \(\lambda\) выберем таким, чтобы выполнялось условие \(\varphi(a)=\varphi(b)\), т.е. \(f(a)+\lambda a=f(b)+\lambda b\). Отсюда находим
$$
\lambda=-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\label{ref12}
$$
Так как функция \(\varphi(x)\) непрерывна на отрезке \([a,b]\), дифференцируема на интервале \((a,b)\) и принимает равные значения в концах этого интервала, то по теореме Ролля существует точка \(\xi\in(a,b)\) такая, что \(\varphi'(\xi)=f'(\xi)+\lambda=0\). Отсюда в силу условия \eqref{ref12} получаем равенство
$$
f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},\label{ref13}
$$
равносильное равенству \eqref{ref11}. \(\bullet\)


Замечание 4.
Правая часть, формулы \eqref{ref13} равна угловому коэффициенту секущей, которая проходит через точки \(A(a,f(a))\) и \(B(b,f(b))\) графика функции \(y=f(x)\), а левая часть этой формулы равна угловому коэффициенту касательной к графику в точке \((\xi,f(\xi))\). Поэтому теорема Лагранжа имеет следующую геометрическую интерпретацию: существует значение \(\xi\in(a,b)\) такое, что касательная к графику функции \(y=f(x)\) в точке \((\xi,f(\xi))\) параллельна секущей (рис. 17.7), соединяющей точки \(A(a,f(a))\) и \(B(b,f(b))\).

Рис. 17.7
Рис. 17.7
Рис. 17.8
Рис. 17.8
Замечание 5.
Пусть функция \(f\) удовлетворяет условиям теоремы 3. Если \(x_{0}\in[a,b]\), а приращение \(\Delta x\neq 0\) таково, что точка \(x_{0}+\Delta x\) также принадлежит отрезку \([a,b]\), то, применив теорему Лагранжа к функции \(f(x)\) на отрезке \(l\) с концами \(x_0\) и \(x_0+\Delta x\) (\(\Delta x\) может быть и отрицательным), получим
$$
f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=\Delta xf'(\xi),\label{ref14}
$$
где \(\xi\) — некоторая внутренняя точка отрезка \(l\).

Пусть, \(\Delta x\;>\;0\); тогда \(0\;<\;\xi-x_0\;<\;\Delta x\) (рис. 17.8), и поэтому \(0\;<\;\displaystyle \frac{\xi-x_{0}}{\Delta x}\;<\;1\). Полагая \(\theta=\displaystyle \frac{\xi-x_{0}}{\Delta x}\), получаем
$$
\xi=x_0+\theta\Delta х,\;где\;0\;<\;\theta\;<\;1.\label{ref15}
$$
Аналогично, если \(\Delta x\;<\;0\), то \(0\;<\;x_0-\xi\;<\;|\Delta x|\), и поэтому \(0\;<\;\displaystyle \frac{x_{0}-\xi}{-\Delta x}\;<\;1\). Полагая \(\displaystyle \theta=\frac{x_{0}-\xi}{-\Delta x}=\frac{\xi-x_{0}}{\Delta x}\), снова получаем равенство \eqref{ref15}, где \(0\;<\;\theta\;<\;1\).

Следовательно, равенство \eqref{ref14} можно записать в виде
$$
f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=\Delta xf'(x_0+\theta \Delta x),\label{ref16}
$$
где \(0\;<\;\theta\;<\;1\).
Формулу \eqref{ref16} называют формулой конечных приращений Лагранжа. Она дает точное выражение для приращения функции, в отличие от приближенного равенства
$$
f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\approx\Delta xf'(x_{0}),\nonumber
$$
которое иногда называют формулой бесконечно малых приращений.


Пример 1.

Доказать, что
$$
\operatorname{ln}(1+x)\;<\;x\;при\;x\;>\;0,\label{ref17}
$$
$$
|\operatorname{arctg}x_2-\operatorname{arctg}x_1|\leq|x_{2}-x_{1}|,\quad x\in\mathbb{R},\;x\in\mathbb{R}.\label{ref18}
$$

Решение.

\(\triangle\) a) Применяя теорему Лагранжа к функции \(f(x)=\operatorname{ln}(1+x)\) на отрезке \([0,x]\), где \(x\;>\;0\), получаем \(\operatorname{ln}(1+x)=\displaystyle \frac{1}{1+\xi}x\) откуда следует неравенство \eqref{ref17}, так как \(0\;<\;\xi\;<\;x\).

6) По теореме Лагранжа для функции \(\operatorname{arctg}x\) на отрезке с концами \(x_1\) и \(x_2\) находим
$$
\operatorname{arctg}x_2-\operatorname{arctg}x_1=\frac{1}{1+\xi^{2}}(x_2-x_1),\nonumber
$$
откуда получаем \(|\operatorname{arctg}x_2-\operatorname{arctg}x_{2}|=\displaystyle \frac{|x_{2}-x_{1}|}{1+\xi^{2}}\leq|x_{2}-x_{1}|\), так как \(0\;<\;\displaystyle \frac{1}{1+\xi^{2}}\leq 1\). \(\blacktriangle\)


Полагая в соотношении \eqref{ref18} \(x_2=x,\;x_1=0\), получаем
$$
|\operatorname{arctg}x|\leq|x|,\quad x\in\mathbb{R},\label{ref19}
$$
и, в частности,
$$
0\leq\operatorname{arctg}x\leq x,\quad x\geq 0.\label{ref20}
$$


4. Некоторые следствия из теоремы Лагранжа.

Следствие 1. Если функция \(f(x)\) дифференцируема на интервале \((a,b)\) и \(f'(x)=0\) для всех \(x\in (a,b)\), то
$$
f(x)=C=\operatorname{const},\quad x\in (a,b).\nonumber
$$
\(\circ\) Пусть \(x_{0}\) — фиксированная точка интервала \((a,b)\), \(x\) — любая точка этого интервала. Применяя теорему Лагранжа к функции \(f(x)\) на отрезке с концами \(x_0\) и \(x\) получаем
$$
f(x)-f(x_0)=(x-x_0)f'(\xi),\nonumber
$$
где \(\xi\in(a,b),\;f'(\xi)=0\), откуда \(f(x)=f(x_{0})=C\). \(\bullet\)


Следствие 2. Если функция \(f(x)\) непрерывна на отрезке \([a,b]\), дифференцируема на интервале \((a,b)\) и для всех \(x\in (a,b)\) выполняется равенство \(f'(x)=k\), где \(k\) — постоянная, то
$$
f(x)=kx+B,\quad x\in[a,b],\nonumber
$$
т.е. \(f\) — линейная функция.

\(\circ\) Применяя теорему Лагранжа к функции \(f\) на отрезке \([a,x]\), где \(a\leq x\leq b\), получаем \(f(x)-f(a)=k(x-a)\), откуда следует, что \(f(x)=kx+B\), где \(B=f(a)-ka\). \(\bullet\)


Следствие 3. Пусть функция \(f(x)\) дифференцируема на интервале \((a,b)\), за исключением, быть может, точки \(x_0\in (a,b)\), и непрерывна в точке \(x_0\). Тогда если существует конечный или бесконечный
$$
\lim_{x\rightarrow x_{0}-0}f'(x)=A,\label{ref21}
$$
то в точке \(x_0\) существует левая производная, причем
$$
f_{-}'(x_{0})=A.\label{ref22}
$$

Аналогично, если существует
$$
\lim_{x\rightarrow x_{0}+0}f'(x)=B,\label{ref23}
$$
то
$$
f_{+}'(x_0)=B.\label{ref24}
$$
\(\circ\) Пусть приращение \(\Delta x\) таково, что \(\Delta x\neq 0\) и точка \(x_0+\Delta x\) принадлежит интервалу \((a,b)\). Запишем равенство \eqref{ref16} в виде
$$
\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}=f'(x_{0}+\theta\Delta x),\quad 0\;<\;\theta\;<\;1.\label{ref25}
$$
Если существует предел \eqref{ref21}, т.е. \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}-0}f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow -0}f'(x_0+\Delta x)=A\), то правая часть \eqref{ref25} имеет предел, равный \(A\), а поэтому существует предел в левой части \eqref{ref25} и справедливо равенство \eqref{ref22}.

Аналогично, из соотношения \eqref{ref23} следует равенство \eqref{ref24}. \(\bullet\)


Предположим, что функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x_0\), тогда
$$
f_{-}'(x_{0})=f_{+}'(x_{0})=f'(x_{0}).\label{ref26}
$$
Если пределы \eqref{ref21} и \eqref{ref23} существуют и конечны, то из соотношений \eqref{ref22}, \eqref{ref24} и \eqref{ref26} следует, что
$$
\lim_{x\rightarrow x_{0}-0}f'(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}+0}f' (x)=f'(x_0).\nonumber
$$
Это означает, что если функция \(f(x)\) дифференцируема на интервале \((a,b)\), то ее производная \(f'(x)\) не может иметь точек разрыва первого рода. Иначе говоря, каждая точка \(x_0\in(a,b)\) является либо точкой непрерывности функции \(f'(x)\), либо точкой разрыва второго рода.


Пример 2.

Найти \(f_{-}'(1)\) и \(f_{+}'(1)\), если \(f(x)=\arcsin{\displaystyle \frac{2x}{1+x^2}}\).

Решение.

\(\triangle\) Функция \(f\) определена на \(\mathbb{R}\), так как \(1+x^2\geq2|x|\). Вычислив производную, получим
$$
f'(x)=\frac{1}{\displaystyle\sqrt{1-\left(\frac{2x}{1+x^{2}}\right)^{2}}}\frac{2(1-x^{2})}{(1+x^{2})^{2}}=\frac{2(1-x^{2})}{|1-x^{2}|(1+x^{2})},\quad |x|\neq 1,\nonumber
$$
откуда
$$
f'(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{2}{1+x^{2}}, & если\ |x|\;<\;1,\\\nonumber
-\frac{2}{1+x^{2}}, & если\ |x|\;>\;1.\nonumber
\end{array}\right.
$$

Применяя следствие 3, получаем
$$
f_{-}'(1)=\lim_{x\rightarrow 1-0}f'(x)=\lim_{x\rightarrow 1-0}\frac{2}{1+x^{2}}=1.\nonumber
$$
Аналогично находим
$$
f_{+}'(1)=\lim_{x\rightarrow 1+0}(-\frac{2}{1+x^{2}})=-1.\quad\blacktriangle\nonumber
$$


Пример 3.

Найти точки разрыва функции \(f'(x)\), если
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\displaystyle x^2\sin{\frac{1}{x}} & при\ x\neq 0,\\\nonumber
0 & при\ x=0.\nonumber
\end{array}\right.
$$

Решение.

\(\triangle\) Если \(x\neq 0\), то \(f'(x)=2\displaystyle \sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}\), а если \(x=0\), то по определению производной \(f'(0)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\displaystyle x^2\sin{\frac{1}{x}}}{x}=0\). Следовательно, функция \(f'(x)\) определена на \(\mathbb{R}\) и непрерывна при \(x\neq 0\). В точке \(x=0\) эта функция имеет разрыв второго рода, так как не существует предела функции
$$
f'(x)=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}\quad при\;x\rightarrow 0.\quad \blacktriangle\nonumber
$$


Следствие 4. Если функции \(\varphi\) и \(\psi\) дифференцируемы при \(x\geq x_0\) и удовлетворяют условиям \(\varphi(x_0)=\psi(x_0),\;\varphi'(x)\;>\;\psi(x)\) при \(x\;>\;x_0\), то \(\varphi(x)\;>\;\psi(x)\) при \(x\;>\;x_{0}\).

\(\circ\) Применяя теорему Лагранжа к функции \(f(x)=\varphi(x)-\psi(x)\) на отрезке \([x_0,x]\), где \(x\;>\;x_0\), получаем \(f(x)=f'(\xi)(x-x_0)\), так как \(f(x_0)=0\). Отсюда, учитывая, что
$$
\xi\;>\;х_0,\;f'(\xi)=\varphi'(\xi)-\psi'(\xi)\;>\;0,\nonumber
$$
получаем \(f(x)\;>\;0\), т.е. \(\varphi(x)\;>\;\psi(x)\) при \(x\;>\;x_0\). \(\bullet\)


Пример 4.

Доказать, что
$$
\operatorname{ln}(1+x)\;>\;x-\frac{x^{2}}{2}\;при\;x\;>0.\label{ref27}
$$

Решение.

\(\triangle\) Пусть \(\varphi(х)=\operatorname{ln}(1+x),\;\psi(x)=x-\displaystyle \frac{x^{2}}{2}\), тогда \(\varphi(0)=\phi(0),\;\displaystyle \varphi'(x)=\frac{1}{1+x},\; \psi'(x)=1-x\), и при \(x\;>\;0\) справедливо неравенство \(\displaystyle \frac{1}{1+x}\;>\;1-x\), так как при \(x\;>\;0\) это неравенство равносильно очевидному неравенству \(1\;>\;1-x^2\). Применяя следствие 4 к функциям \(\varphi(x)\) и \(\psi(x)\), получаем неравенство \eqref{ref27}. \(\blacktriangle\)


5. Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши).

Теорема 4. Если функции \(f(x)\) и \(g(x)\) непрерывны на отрезке \([a,b]\), дифференцируемы на интервале \((a,b)\), причем \(g'(x)\neq 0\) во всех точках этого интервала, то найдется хотя бы одна точка \(\xi\in(a,b)\) такая, что
$$
\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g(\xi)}.\label{ref28}
$$

Доказательство.

\(\circ\) Рассмотрим функцию
$$
\varphi(x)=f(x)+\lambda g(x),\nonumber
$$
где число \(\lambda\) выберем таким, чтобы выполнялось равенство \(\varphi(a)=\varphi(b)\), которое равносильно следующему:
$$
f(b)-f(a)+\lambda(g(b)-g(a))=0.\label{ref29}
$$
Заметим, что \(g(b)\neq g(a)\), так как в противном случае согласно теореме Ролля существовала бы точка \(c\in(a,b)\) такая, что \(g'(c)=0\) вопреки условиям теоремы 4. Итак, \(g(b)-g(a)\neq 0\), и из равенства \eqref{ref29} следует, что
$$
\lambda=-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.\label{ref30}
$$
Так как функция \(\varphi\) при любом \(\lambda\) непрерывна на отрезке \([a,b]\) и дифференцируема на интервале \((a,b)\), а при значении \(\lambda\) определяемом формулой \eqref{ref30}, принимает равные значения в точках \(a\) и \(b\), то по теореме Ролля существует точка \(\xi\in(a,b)\) такая, что \(\varphi'(\xi)=0\) и , т.е. \(f'(\xi)+\lambda g'(\xi)=0\), откуда \(\displaystyle \frac{f'(\xi)}{g(\xi)}=-\lambda\). Из этого равенства и формулы \eqref{ref30} следует утверждение \eqref{ref28}. \(\bullet\)


Замечание 6.
Теорема Лагранжа — частный случай теорем Коши \((g(х)=x)\).

Замечание 7.
Теорему 4 нельзя получить, применением теоремы 3 к числителю и знаменателю дроби, стоящей в левой части равенства \eqref{ref28}. Действительно, эту дробь, по теореме 3 можно записать в виде \(\displaystyle \frac{f'(\xi_{1})}{g(\xi_{2})}\), где \(\xi_{1}\in (a,b),\;\xi_{2}\in (a,b)\), но, вообще говоря, \(\xi_{1}\neq\xi_{2}\).