Необходимые условия экстремума.
Мы уже рассматривали понятие локального экстремума ранее. Необходимые условия экстремума легко получить из теоремы Ферма. Согласно этой теореме точки локального экстремума функции \(f(x)\) следует искать среди тех точек области ее определения, в которых производная этой функции либо равна нулю, либо не существует.
В дальнейшем будем часто опускать слово «локальный» при формулировке утверждений, связанных с понятием локального экстремума.
Точки, в которых производная данной функции равна нулю, называют стационарными точками этой функции, а точки, в которых функция непрерывна, а ее производная либо равна нулю либо не существует, — ее критическими точками. Поэтому все точки экстремума функции содержатся среди ее критических точек.
Точка \(x=0\) является критической точкой для каждой из функций \(y=x^2\), \(y=x^{3}\), \(y=|x|\), \(y=|x|^{1/2}\), \(у=\sqrt[3]{x}\), причем для функций \(у=x^2\), \(y=|x|\), \(у=|x|^{1/2}\) точка \(x=0\) — точка экстремума, а для функций \(у=x^3\), \(у=x^{1/3}\) эта точка не является точкой экстремума.
Таким образом, не всякая критическая точка является точкой экстремума функции.
Достаточные условия экстремума.
Введем понятие строгого экстремума.
Определение 1.
Точка \(x_0\) называется точкой строгого максимума функции \(f(x)\), если
$$
\exists\delta > 0:\ \forall x\in\dot{U}_{\delta}(x_0)\rightarrow f(x) < f(x_0).\label{ref11}
$$
Аналогично, \(x_0\) называют точкой строгого минимума функции \(f(x)\), если
$$
\exists\delta > 0:\ \forall x\in\dot{U}_{\delta}(x_0)\rightarrow f(x) > f(x_0).\label{ref12}
$$
Отметим, что если функция \(f(x)\), определенная в \(\delta\)-окрестности точки \(x_0\), строго возрастает на промежутке \((x_0-\delta,x_0]\) и строго убывает на промежутке \([x_0,x_0+\delta)\), то выполняется условие \eqref{ref11}, и поэтому \(x_0\) является точкой строгого максимума функции \(f(x)\).
Аналогично формулируется достаточное условие строгого минимума.
Обратимся к достаточным условиям экстремума дифференцируемых функций. Для формулировки первого достаточного условия и в дальнейшем нам потребуется понятие смены знака функции.
Определение 2.
Если функция \(g(x)\) определена в проколотой \(\delta\)-окрестности точки \(x_{0}\) и для всех \(х\in (x_0-\delta,x_0)\) выполняется неравенство \(g(x) < 0\), а для всех \(x\in(x_0,x_{0}+\delta)\) — неравенство \(g(x) > 0\), то говорят, что функция \(g(x)\) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку \(x_0\).
Аналогично вводится понятие смены знака с плюса на минус при переходе через точку \(x_0\).
Замечание 1.
Если \(x_{0}\) — точка строгого экстремума функции \(f(x)\), то есть выполняется одно из условий \eqref{ref11}, \eqref{ref12}, то разность \(f(x)-f(x_0)\) сохраняет знак в \(\dot{U}_{\delta}(x_{0})\).
Обратно: если разность \(f(x)-f(x_0)\) сохраняет знак в \(\dot{U}_{\delta}(x_{0})\), то \(x_{0}\) — точка строгого экстремума функции \(f(x)\). Если же эта разность меняет знак при переходе через точку \(x_0\), то функция \(f(x)\) не имеет экстремума в точке \(x_{0}\).
Теорема 1.
(Первое достаточное условие строгого экстремума).
Пусть функция \(f(x)\) дифференцируема в некоторой окрестности точки \(x_0\), кроме, быть может, самой точки \(x_0\) и непрерывна в точке \(x_0\). Тогда:
- Если \(f'(x)\) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку \(x_0\), то есть существует \(\delta > 0\) такое, что
$$
\begin{array}{l}
\forall x\in (x_{0}-\delta,x_0)\rightarrow f'(x) < 0,\\
\forall x\in (x_{0},x_0+\delta)\rightarrow f'(x) > 0,
\end{array}\label{ref13}
$$
то \(x_0\) — точка строгого минимума функции \(f\) (рис. 20.2).
Рис. 20.2 - Если \(f'(x)\) меняет знак с плюса на минус при переходе через точку \(x_0\), то \(x_0\) — точка строгого максимума функции \(f\) (рис. 20.3).
Рис. 20.3
Доказательство.
\(\circ\) Пусть функция \(f'(x)\) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку \(x_0\), тогда выполняется условие \eqref{ref13}.
Если \(x\) — произвольная точка интервала \((x_0-\delta,x_0)\), то функция \(f\) дифференцируема на интервале \((x,x_0)\) и непрерывна на отрезке \([x,x_{0}]\). По теореме Лагранжа
$$
f(x)-f(x_{0})=f'(\xi)(x-x_{0}),\nonumber
$$
где \(f'(\xi) < 0\), так как \(x_0-\delta < x < \xi < x_{0}\) и \(x-x_0 < 0\). Отсюда следует, что
$$
\forall x\in(x_0-\delta,x_0)\rightarrow f(x) > f(x_0).\label{ref14}
$$
Аналогично, применяя теорему Лагранжа к функции \(f(x)\) на отрезке \([x_0,x]\), где \(x_{0} < x < x_{0}+\delta\), получаем, что
$$
\forall x\in (x,x_0+\delta)\rightarrow f(x) > f(x_0).\label{ref15}
$$
Из условий \eqref{ref14}) и \eqref{ref15} следует утверждение \eqref{ref12}. Это означает, что \(x_{0}\) — точка строгого минимума функции \(f(x)\).
Аналогично рассматривается случай строгого максимума. \(\bullet\)
Замечание 2.
Если \(x_0\) — точка строгого экстремума функции \(f(x)\), то из этого не следует, что функция \(f'(x)\) меняет знак при переходе через точку \(x_0\).
Теорема 2.
(Второе достаточное условие строгого экстремума).
Пусть \(x_{0}\) — стационарная точка функции \(f(x)\), то есть
$$
f'(x_0)=0,\label{ref16}
$$
И пусть существует \(f″(x_0)\).
Тогда:
- если \(f″(x_0) > 0\), то \(x_0\) — точка строгого минимума функции \(f(x)\);
- если \(f″(x_0) < 0\), то \(x_0\) — точка строгого максимума функции \(f(x)\).
Доказательство.
\(\circ\) Если \(f″(x_0) > 0\), то функция \(f'(x)\) является возрастающей в точке \(x_0\) (мы это уже доказывали), то есть существует \(\delta > 0\) такое, что
$$
\forall x\in (x_0-\delta,x_0)\rightarrow f'(x) < f'(x_0)=0,\nonumber
$$
$$
\forall x\in(x_0,x_0+\delta)\rightarrow f'(x) > f'(x_0)=0,\nonumber
$$
откуда следует, что \(f'(x)\) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку \(x_0\). Согласно предыдущей теореме точка \(x_0\) — точка строгого минимума функции \(f(x)\). Аналогично рассматривается случай \(f″(x_{0}) < 0\). \(\bullet\)
Например, если \(f(x)=x^2\), то \(f'(0)=0,\ f″(0)=2\), и поэтому \(x_0=0\) — точка строгого минимума функции \(f(x)=x^2\).
Замечание 3.
Если \(f'(x_0)=0\) и \(f″(x_0)=0\), то в точке \(x_0\) функция \(f\) может иметь экстремум (\(f(x)=x^4,\ x_0=0\)), а может и не иметь (\(f(x)=x^3,\ x=0\)). Следующая теорема дает достаточные условия экстремума для случая \(f″(x)=0\).
Теорема 3.
(Третье достаточное условие строгого экстремума).
Пусть существует \(f^{(n)}(x_0)\), где \(n > 2\), и выполняются условия
$$
f'(x_0)=f″(x_0)=\ldots = f^{(n-1)}(x_0)=0,\label{ref17}
$$
$$
f^{(n)}(x_0)\neq 0.\label{ref18}
$$
Тогда:
- Если \(n\) — четное число, то \(x_0\) — точка экстремума функции \(f(x)\), а именно точка строгого максимума в случае \(f^{(n)}(x_0) < 0\) и точка строгого минимума в случае \(f^{(n)}(x_0) > 0\).
- Если \(n\) — нечетное число, то \(x_0\) не является точкой экстремума функции \(f(x)\).
Доказательство
\(\circ\) Используя локальную формулу Тейлора для функции \(f(x)\) в окрестности точки \(x_0\) и условия \eqref{ref17}, получаем
$$
f(x)-f(x_0)=\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_0)^{n}+o((x-x_0)^n).\label{ref19}
$$
Из условия \eqref{ref18} следует, что равенство \eqref{ref19} можно записать в виде
$$
f(x)-f(x_0)=\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_0)^{n}(1+\alpha(x)),\label{ref20}
$$
где \(\alpha(x)=o(1)\rightarrow 0\) при \(x\rightarrow x_0\), так как \(Co((x-x_0)^n)=o((x-x_0)^n)\) при \(C\neq 0\ (C=\operatorname{const})\). Поэтому \(\exists\delta > 0:\ \forall x\in \dot{U}_{\delta}(x_0)\rightarrow |\alpha(x)| < \displaystyle \frac{1}{2}\), откуда следует, что
$$
1+\alpha(x) > 0\ для \ x\in\dot{U}_{\delta}(x_{0}).\label{ref21}
$$
Из равенства \eqref{ref20} в силу условия \eqref{ref21} получаем
$$
\operatorname{sign}(f(x)-f(x_0))=\operatorname{sign}(f^{(n)}(x_{0})(x-x_0)^n)\ \forall x\in\dot{U}_{\delta}(x_{0}).\label{ref22}
$$
- Пусть \(n\) — четное число (\(n=2k\)), тогда
$$
\forall x\in \dot{U}_{\delta}(x_0)\rightarrow (x-x_0)^{n}=(x-x_0)^{2k} > 0,\nonumber
$$
и из равенства \eqref{ref22} получаем
$$
\operatorname{sign}(f(x)-f(x_0))=\operatorname{sign}f^{(n)}(x_{0}).\nonumber
$$Если \(f^{(n)}(x_{0}) > 0\), то для \(x\in \dot{U}_{\delta}(x_{0})\) выполняется неравенство
$$
f(x)-f(x_0) > 0.\nonumber
$$
Это означает, что \(x_0\) — точка строгого минимума функции \(f(x)\).Аналогично, если \(f^{(n)}(x_{0}) < 0\), то
$$
f(x)-f(x_0) < 0\ для \ x\in\dot{U}_{\delta}(x_{0}),\nonumber
$$
то есть \(x_0\) — точка строгого максимума функции \(f(x)\). - Пусть \(n=2k+1\), тогда из формулы \eqref{ref22} следует, что разность \(f(x)-f(x_0)\) меняет знак при переходе через точку \(x_0\), так как функция \((x-x_0)^{2k+1}\) меняет знак при переходе через точку \(x_0\). Это означает, что \(x_0\) не является точкой экстремума функции \(f(x)\). \(\bullet\)
Найти точки экстремума функции \(f(x)\), если:
- \(f(x)=(x-2)^2(x+1)^3\);
- \(f(x)=|x^2-4|е^{-|x|}\).
- \(\triangle\) Функция дифференцируема на \(\mathbb{R}\), поэтому все ее точки экстремума содержатся среди стационарных точек функции, являющихся корнями уравнения \(f'(x)=0\), то есть уравнения
$$
f'(x)=2(x-2)(x+1)^{3}+3(x+1)^{2}(x-2)^{2}=(x-2)(x+1)^{2}(5x-4)=0.\nonumber
$$
Это уравнение имеет корни \(x_1=-1,\ x_2=\frac{4}{5},\ x_3=2\), причем при переходе через точку \(x_1\) функция \(f'(x)\) не меняет знака, при переходе через точку \(x_2\) она меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку \(x_3\) — с минуса на плюс.Следовательно, \(x_2\) и \(x_3\) являются соответственно точками строгого максимума и строгого минимума функции \(f(x)\), a \(x_1\) не является точкой экстремума этой функции.
- Функция непрерывна на \(\mathbb{R}\), дифференцируема на \(\mathbb{R}\), кроме точек \(-2,0,2\), и является четной. Если \(x\geq 0\), то
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
-g(x)\ при \ x\in[0,2],\\
g(x)\ при \ x > 2,
\end{array}\right.\nonumber
$$
где \(g(x)=(x^2-4)e^{-x}\).Уравнение \(g'(x)=(-x^2+2x+4)e^{-x}=0\) имеет на промежутке \((0,+\infty)\) единственный корень \(x_1=1+\sqrt{5}\), причем \(g'(x)=f'(x)\) при \(x > 2\) и \(g'(x)\) меняет знак с плюса на минус при переходе через точку \(x_1\). Поэтому \(x_1\) — точка строгого максимума функции \(f(x)\).
При переходе через точку \(x_2=2\) функция \(f'(x)\) меняет знак с минуса на плюс, так как \(f'(x)=-g'(x)\) при \(x\in(0,2)\) и \(f'(x)=g'(x)\) при \(x > 2\). Поэтому \(x_2\) — точка строгого минимума функции \(f(x)\).
Учитывая, что функция \(f(x)\) строго убывает на интервале \((0,2)\) и четная, заключаем отсюда, что \(x=0\) — точка строгого максимума функции \(f(x)\).
Используя полученные результаты и четность функции \(f(x)\), получаем: \(x=-2\) и \(x=2\) — точки строгого минимума функции \(f(x):\ x=-(1+\sqrt{5}),\ x=0\) и \(x=1+\sqrt{5}\) — точки строгого максимума этой функции. \(\blacktriangle\)