Асимптоты

2 раздела

от теории до практики

1 пример

Примеры решения задач

видео

Примеры решения задач

Содержание

Вертикальная асимптота.
Начать изучение
Асимптота (невертикальная асимптота).
Начать изучение

Вертикальная асимптота.

Определение 1.

Если выполнено хотя бы одно из условий
$$
\lim_{x\rightarrow x_{0}-0}f(x)=\infty,\qquad\lim_{x\rightarrow x_{0}+0}f(x)=\infty,\nonumber
$$
то прямую $x=x_{0}$ называют вертикальной асимптотой графика функции $y=f(x)$.

Например, прямая $x=0$ — вертикальная асимптота графиков функций $y=\displaystyle \frac{1}{x}$, $y=\operatorname{lg}x^2$, $y=\displaystyle \frac{1}{x^{2}}$, $y=\operatorname{cth}x$, прямая $x=-1$ — вертикальная асимптота графика функции $y=\displaystyle \frac{3-2x}{x+1}$, прямые $x=\displaystyle \frac{\pi}{2} +\pi k\ (k\in \mathbb{Z})$ — вертикальные асимптоты графика функции $y=\operatorname{tg}x$.

Функции и их асимптоты
Асимптота	Функция	График функции
$x=0$	$y=\displaystyle \frac{1}{x}$	$y=\displaystyle \frac{1}{x}$
	$y=\operatorname{lg}x^2$	$y=\operatorname{lg}x^2$
	$y=\displaystyle \frac{1}{x^{2}}$	$y=\displaystyle \frac{1}{x^{2}}$
	$y=\operatorname{cth}x$	$y=\operatorname{cth}x$
$x=-1$	$y=\displaystyle \frac{3-2x}{x+1}$	$y=\frac{3-2x}{x+1}$

Асимптота (невертикальная асимптота).

Определение 2.

Прямую
$$
y=kx+b\nonumber
$$
называют асимптотой (невертикальной асимптотой) графика функции $y=f(x)$ при $ x\rightarrow+\infty$, если
$$
\lim_{x\rightarrow+\infty}(f(x)-(kx+b))=0.\label{ref29}
$$
Если $k\neq 0$, то асимптоту называют наклонной, а если $k=0$, то асимптоту $y=b$ называют горизонтальной.

Аналогично вводится понятие асимптоты при $x\rightarrow-\infty$.

Например, прямая $y=0$ — горизонтальная асимптота графиков функции $y=\displaystyle \frac{1}{x}$, $y=\displaystyle \frac{1}{x^{2}}$ при $x\rightarrow +\infty$ и $x\rightarrow -\infty$, графика функции $y=a^x,\ a > 1)$, при $x\rightarrow -\infty$. Прямая $y=1$ — асимптота графиков функций $y=e^{1/x}$, $y=\operatorname{th}x$ и $y=\operatorname{cth}x$ (см.график ниже) при $x\rightarrow +\infty$; прямая $y=\displaystyle \frac{\pi}{2}$ — асимптота графика функции $y=\operatorname{arctg}x$ при $x\rightarrow +\infty$ (см.график ниже), а прямая $y=\pi$ — асимптота графика функции $y=\operatorname{arcctg}x$ при $x\rightarrow -\infty$.

Функции и их асимптоты
Асимптота	Функция	График функции
$y=1$	$y=e^{1/x}$	$y=e^{1/x}$
	$y=\operatorname{th}x$
	$y=\operatorname{cth}x$
$y=\displaystyle \frac{\pi}{2}$	$y=\operatorname{arctg}x$
$y=\pi$	$y=\operatorname{arcctg}x$

Пример 1.

Найти асимптоту при $x\rightarrow+\infty$ и $x\rightarrow-\infty$ графика функции:

$y=\displaystyle \frac{3-2x}{x+1}$;
$y=\displaystyle \frac{x^{3}}{(x+1)^{2}}$;
$y=\sqrt[3]{x^{3}+x^{2}}$;
$y=\displaystyle \frac{x^{2}-4}{x}e^{-5/(3x)}$.

Решение.

$\triangle$ Так как $y=-2+\displaystyle \frac{5}{x+1}$, то прямая $y=-2$ — асимптота графика $y=\displaystyle \frac{3-2x}{x+1}$ (рис. 9.4) при $x\rightarrow+\infty$ и $x\rightarrow-\infty$.

$y = \frac{3-2x}{x+1}$
$y=\displaystyle \frac{3-2x}{x+1}$
Разделив числитель $x^{3}$ на знаменатель $(x+1)^2$ по правилу деления многочленов (можно воспользоваться равенством $x^{3}=((x+1)-1)^{3}=(x+1)^{3}-3(x+1)^{2}+3(x+1)-1$), получим
$$
\frac{x^{3}}{(x+1)^{2}}=x-2+\frac{3x+2}{(x+1)^{2}}.\label{ref30}
$$
Отсюда следует, что асимптотой графика функции $y=\displaystyle \frac{x^{3}}{(x+1)^{2}}$ при $x\rightarrow+\infty$ и $x\rightarrow-\infty$ является прямая $y=x-2$.
Используя равенство $y=\displaystyle \sqrt[3]{x^{3}+x^{2}}=x\left(1+\frac{1}{x}\right)^{1/3}$ и локальную формулу Тейлора, получаем $y=x\left(1+\displaystyle \frac{1}{3x}+o\left(\frac{1}{x}\right)\right)=x+\frac{1}{3}+o(1)$ при $x\rightarrow 0$, откуда следует, что прямая $y=x+\displaystyle \frac{1}{3}$ — асимптота графика функции $y=\sqrt[3]{x^3+x^2}$ при $x\rightarrow+\infty$ и $x\rightarrow-\infty$.
Применяя формулу Тейлора для экспоненты, получаем $y=\left(x-\displaystyle \frac{4}{x}\right)\left(1-\frac{5}{3x}+o\left(\frac{1}{x}\right)\right)=x-\frac{5}{3}+o(1)$ при $x\rightarrow \infty$, откуда следует, что $y=x-\displaystyle \frac{5}{3}$ — асимптота графика данной функции при $x\rightarrow+\infty$ и $x\rightarrow-\infty$. $\blacktriangle$

Теорема 1.

Для того, чтобы прямая $y=kx+b$ была асимптотой графика функции $y=f(x)$ при $ x\rightarrow+\infty$, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы
$$
\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x}=k,\label{ref31}
$$
$$
\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}(f(x)-kx)=b.\label{ref32}
$$

Доказательство.

$\circ$ Необходимость. Если прямая $y=kx+b$ — асимптота графика функции $y=f(x)$ при $x\rightarrow+\infty$, то выполняется условие \eqref{ref29} или равносильное ему условие
$$
f(x)=kx+b+\alpha(x),\quad \alpha(x)\rightarrow 0 \quad при \quad x\rightarrow +\infty.\label{ref33}
$$
Разделив обе части равенства \eqref{ref33} на $x$, получим
$$
\frac{f(x)}{x}=k+\frac{b}{x}+\frac{\alpha(x)}{x},\nonumber
$$
откуда следует, что существует предел \eqref{ref31}.

Из равенства \eqref{ref33} получаем
$$
f(x)-kx=b++\alpha(x),\ где \ \alpha(x)\rightarrow 0 \ при \ x\rightarrow+\infty,\nonumber
$$
откуда следует, что существует предел \eqref{ref32}.

Достаточность. Если существуют конечные пределы \eqref{ref31} и \eqref{ref32}, то $f(x)-(kx+b)=\alpha(x)$, где $\alpha(x)\rightarrow 0$ при $x\rightarrow+\infty$, то есть выполняется условие \eqref{ref29}. Это означает, что прямая $y=kx+b$ — асимптота графика функции $y=f(x)$ . $\bullet$

Замечание 1.

Для случая горизонтальной асимптоты данная теорема формулируется в следующем виде: для того, чтобы прямая $y=b$ была асимптотой графика функции $y=f(x)$ при $x\rightarrow+\infty$, необходимо и достаточно, чтобы $\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=b$.

Асимптота	Функция	График функции
\(y=1\)	\(y=e^{1/x}\)	$y=e^{1/x}$
	\(y=\operatorname{th}x\)
	\(y=\operatorname{cth}x\)
\(y=\displaystyle \frac{\pi}{2}\)	\(y=\operatorname{arctg}x\)
\(y=\pi\)	\(y=\operatorname{arcctg}x\)