Понятие выпуклости.
Определение 1.
Непрерывная функция \(y=f(x)\) называется выпуклой вверх на отрезке \([a,b]\), если для любых точек \(x_{1}\) и \(x_{2}\) отрезка \([a,b]\) выполняется неравенство
$$
f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})\geq\frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}.\label{ref23}
$$
Дадим геометрическую интерпретацию понятия выпуклости (рис. 20.4). Пусть \(M_{1},\;M_{2},\;M_{0}\) — точки графика функции \(y=f(x)\), абсциссы которых равны соответственно \(x_1,\ x_2,\ x_0 = \displaystyle \frac{x_{1}+x_{2}}{2}\). Тогда \(\displaystyle \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}\) есть ордината точки \(К\) — середины отрезка \(M_{1}M_{2}\), а \(f\left(\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}\right)=f(x_0)\) — ордината точки \(M_0\) графика с абсциссой, равной абсциссе точки \(K\).
Условие \eqref{ref23} означает, что для любых точек \(M_{1}\) и \(M_{2}\) графика функции \(y=f(x)\) середина \(К\) хорды \(M_{1}M_{2}\) или лежит ниже соответствующей точки \(M_0\) графика, или совпадает с точкой \(M_0\).
Если неравенство \eqref{ref23} является строгим при любых \(x_{1},\ x_{2}\in[a,b]\) таких, что \(x_{1}\neq x_{2}\), то непрерывную функцию \(y=f(x)\) называют строго выпуклой вверх на отрезке \([a,b]\).
Аналогично, непрерывная функция \(y=f(x)\) называется выпуклой вниз на отрезке \([a,b]\), если для любых точек \(x_{1}\) и \(x_{2}\) отрезка \([a,b]\) выполняется неравенство
$$
f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)\leq\displaystyle\frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}.\label{ref24}
$$
Если неравенство \eqref{ref24} является строгим при любых \(x_{1},\ x_{2}\in[a,b]\) таких, что \(x_{1}\neq x_{2}\), то непрерывную функцию \(y=f(x)\) называют строго выпуклой вниз на отрезке \([a,b]\).
Пример 1.
Функция \(f(x)=x^{2}\) строго выпукла вниз на любом отрезке.
Решение.
\(\triangle\) В самом деле, при \(x_{1}\neq x_{2}\) неравенство \(\left(\displaystyle \frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right) < \displaystyle\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{2}\) равносильно очевидному неравенству \((x_1-x_2)^2 > 0\). \(\blacktriangle\)
Понятие выпуклости и строгой выпуклости вверх (вниз) можно ввести и на интервале. Например, если неравенство \eqref{ref23} выполняется для любых точек интервала \((a,b)\), то непрерывная функция \(y=f(x)\) называется выпуклой вверх на этом интервале.
Достаточные условия выпуклости.
Теорема 1.
Пусть \(f'(x)\) существует на отрезке \([a,b]\), а \(f″(x)\) — на интервале \((a,b)\).
Тогда:
- Если
$$
f″(x)\geq 0\ при \ всех \ x\in (a,b),\label{ref25}
$$
то функция \(у=f(x)\) выпукла вниз на отрезке \([a,b]\). - Если
$$
f″(x) > 0\ при \ всех \ x\in (a,b),\label{ref26}
$$
то функция \(y=f(x)\) строго выпукла вниз на отрезке \([a,b]\).
Аналогично, при выполнении на интервале \((a,b)\) условия \(f″(x)\leq 0\) (\(f″(x) < 0\)) функция \(y=f(x)\) выпукла вверх (строго выпукла вверх) на отрезке \([a,b]\).(x)\) — на интервале \((a,b)\).
Доказательство.
\(\circ\) Ограничимся доказательством для случая, когда выполняется условие \eqref{ref25}. Нужно доказать, что для любых точек \(x_{1},\ x_{2}\) отрезка \([a,b]\) выполняется условие \eqref{ref24}. Пусть, например, \(x_{1} < x_{2}\) (при \(x_{1}=x_{2}\) условие \eqref{ref24} выполняется).
Обозначим \(x_0=\displaystyle \frac{x_{1}+x_{2}}{2},\ x_{2}-x_{1}=2h\), тогда \(x_2-x_0=x_0-x_1=h\), откуда \(x_{1}=x_{0}-h,\;x_{2}=x_{0}+h\). Применяя к функции \(f(x)\) на отрезках \([x_{1},\ x_{0}]\) и \([x_{0},\ x_{2}]\) формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа при \(n=2\), получаем
$$
f(x_{1})=f(x_{0}-h)=f(x_{0})-f'(x_{0})h+\frac{f″(\xi_{1})}{2!}h^{2},\ x_{0}-h < \xi_{1} < x_{0},\nonumber
$$
$$
f(x_{2})=f(x_{0}+h)=f(x_{0})+f'(x_0)h+\displaystyle \frac{f″(\xi_{2})}{2!}h^{2},\ x_{0} < \xi_{2} < x_{0}+h.\nonumber
$$
Складывая эти равенства, находим
$$
f(x_1)+f(x_2)=2f(x_0)+\frac{h^{2}}{2}(f″(\xi_1)+f″(\xi_2)).\label{ref27}
$$
Так как \(\xi_1\in (a,b),\xi_2\in (a,b)\), то в силу условия \eqref{ref25} \(f″(\xi_{1})\geq 0,\ f″(\xi_{2})\geq 0\), и из равенства \eqref{ref27} следует неравенство \(f(x_{1})+f(x_{2})\geq 2f(x_{0})\), равносильное неравенству \eqref{ref24}. \(\bullet\)
Замечание 1.
Условие \(f″(x) > 0\) не является необходимым условием строгой выпуклости вниз функции \(y=f(x)\). Например, для функции \(f(x)=x^{4}\) условие \(f″(x) > 0\) нарушается при \(x=0\), так как \(f″(0)=0\), однако эта функция строго выпукла вниз.