Понятие точки перегиба.
Пусть функция \(f(x)\) непрерывна в точке \(x_0\) и имеет в этой точке либо конечную, либо бесконечную производную (\(f'(x_0)=+\infty\) или \(f(x_0)=-\infty\)). Тогда если эта функция при переходе через точку \(x_0\) меняет направление выпуклости, то есть существует \(\delta > 0\) такое, что на одном из интервалов \((x_0-\delta,x_0)\), \((x_0,x_{0}+\delta)\) она выпукла вверх, а на другом выпукла вниз, то \(x_{0}\) называют точкой перегиба функции \(f(x)\), а точку \((x_{0},f(x_0))\) — точкой перегиба графика функции \(y=f(x)\).
Например, для функций \(y=x^{3}\) и \(y=x^{1/3}\) \(x=0\) — точка перегиба.
 |
 |
Необходимое условие наличия точки перегиба.
Теорема 1.
Если \(x_{0}\) — точка перегиба функции \(f(x)\) и если функция \(f(x)\) имеет в некоторой окрестности точки \(x_{0}\) вторую производную, непрерывную в точке \(x_{0}\), то
$$
f″(x_0)=0.\label{ref28}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Пусть \(f″(x_{0})\neq 0\). Тогда в силу непрерывности функции \(f″(x)\) в точке \(x_{0}\)
$$
\exists\delta > 0:\ \forall x\in U_{\delta}(x_0)\ \rightarrow\ f″(x)=\operatorname{sign}f″(x_{0}),\nonumber
$$
то есть \(f″(x) > 0\) или \(f″(x) < 0\) для любого \(x\in U_{\delta}(x_{0})\).
По теореме о достаточном условии выпуклости функция \(f(x)\) либо строго выпукла вниз на интервале \(U_{\delta}(x_{0})\) (если \(f″(x) > 0\)), либо строго выпукла вверх на интервале \(U_{\delta}(x_{0})\). Но тогда \(x_{0}\) не является точкой перегиба. Следовательно, должно выполняться \eqref{ref28}. \(\bullet\)
Достаточные условия наличия точки перегиба.
Теорема 2.
(Первое достаточное условие).
Если функция \(f\) непрерывна в точке \(x_{0}\), имеет в этой точке конечную или бесконечную производную, и если функция \(f″(x)\) меняет знак при переходе через точку \(x_{0}\), то \(x_0\) — точка перегиба функции \(f(x)\).
Доказательство.
\(\circ\) Пусть, например, функция \(f″(x)\) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку \(x_0\) (в точке \(x_0\) вторая производная может и не существовать). Это означает, что существует \(\delta > 0\) такое, что на интервале \(\Delta_{1}=(x_{0}-\delta,x_{0})\) выполняется неравенство \(f″(x) < 0\), а на интервале \(\Delta_{2}=(x_0),x_{0}+\delta)\) — неравенство \(f″(x) > 0\).
Тогда gо теореме о достаточном условии выпуклости функция \(f(x)\) выпукла вверх на интервале \(\Delta_1\) и выпукла вниз на интервале \(\Delta_2\). Следовательно, точка \(x_{0}\) удовлетворяет всем условиям, указанным в определении точки перегиба. \(\bullet\)
Например, для функции \(f(x)=\operatorname{arctg}x\) точка \(x=0\) — точка перегиба, так как \(f″(x)=-\displaystyle \frac{2x}{(1+x^{2})^{2}}\) меняет знак при переходе через точку \(x=0\) (рис. 1.3).
Теорема 2.
(Второе достаточное условие).
Если \(f^{(2)}(x_0)=0,\ f^{(3)}(x_0)\neq 0\), то \(x_0\) — точка перегиба функции \(f(x)\).
Доказательство.
\(\circ\) Так как \(f^{(3)}(x_0)\neq 0\), то по теореме о строгом возрастании (убывании) функции \(f^{(2)}(x_0)\) либо строго возрастает, либо строго убывает в точке \(x_{0}\). По условию \(f^{(2)}(x_0)=0\), и поэтому \(f^{(2)}(x)\) имеет разные знаки на интервалах \((x_{0}-\delta,x_{0})\) и \((x_{0},x_{0}+\delta)\) при некотором \(\delta > 0\), откуда, используя теорему о первом достаточном условии наличия точек перегиба, заключаем, что \(x_0\) — точка перегиба функции \(f(x)\). \(\bullet\)
Например, для функции \(f(x)=\sin x\) (рис. 1.4) точка \(x=0\) — точка перегиба, так как \(f^{(2)}(0)=0,\;f^{(3)}(0)=-1\).
