Главная » Математический анализ » Производная и ее приложения » Наибольшее и наименьшее значения функции

Наибольшее и наименьшее значения функции

1 раздел
от теории до практики
3 примера
Примеры решения задач
видео
Примеры решения задач
Содержание

Ранее мы уже вводили понятие наибольшего (наименьшего) значения функции.

Для функции, непрерывной на отрезке, существует согласно теореме Вейерштрасса точка, в которой эта функция принимает наибольшее значение, и точка, в которой функция принимает наименьшее значение.

В случае когда непрерывная на отрезке \([a,b]\) функция имеет локальные максимумы в точках \(x_{1},\ldots x_{k}\) и локальные минимумы в точках \({\widetilde x}_1,\ldots {\widetilde x}_m\) и не имеет других точек локального экстремума, наибольшее значение функции \(f(x)\) на отрезке \([a,b]\) равно наибольшему из чисел \(f(a),\ f(x_{1}),\ f(x_k),\ f(b)\), а наименьшее значение этой функции на отрезке \([a,b]\) равно наименьшему из чисел \(f(a),f({\widetilde x}_1),\ldots,f({\widetilde x}_m),\ f(b)\).

В прикладных задачах при нахождении наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке \([a,b]\) или на интервале \((a,b)\) часто встречается случай, когда функция \(f\) дифференцируема на интервале \((a,b)\) и непрерывна на отрезке \([a,b]\), a уравнение \(f'(x)=0\) имеет единственный корень \(x_0\in(a,b)\) такой, что \(f'(x) > 0\) при \(x\in (a,x_0)\) и \(f'(x) < 0\) при \(x\in (x_0,b)\) или \(f'(x) < 0\) при \(x\in (a,x_0)\) и \(f'(x) > 0\) при \(x\in (x_0,b)\).

В этом случае число \(f(x_0)\) является не только локальным экстремумом функции \(f(x)\), но и наибольшим (наименьшим) значением этой функции на отрезке \([a,b]\) или на интервале \((a,b)\).

Пример 1.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x)\) на множестве E, если:

  1. \(f(x)=(x-2)^2(x+1)^3,\ E=[0,3]\);
  2. \(f(x)=|x^2-4|e^{-|x|},\ E=\mathbb{R}\).

Решение.

\(\triangle\) Пусть \(M\) и \(m\) — соответственно наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x)\) на множестве \(E\). Экстремумы \тих функций мы уже находили в другом примере.

  1. Для данной функции \(x=\displaystyle \frac{5}{4}\) — точка максимума, \(x=2\) — точка минимума (пример З, а) причем \(f(\displaystyle \frac{5}{4})=\frac{3^{8}}{4^5},\ f(2)=0\), а значения функции в концах отрезка \([0,3]\) равны \(f(0)=4,\ f(3)=4^{3}\). Так как \(M\) — наибольшее, а \(m\) — наименьшее из чисел \(f(0),\ f(\displaystyle \frac{5}{4}),\ f(2),\ f(3)\), то \(M=f(3)=64,\ m=f(2)=0\).
  2. Для данной функции \(x=-2\) и \(x=2\) — точки минимума; \(x=-(1+\sqrt{5}),\ x=0,\ x=1+\sqrt{5}\) — точки максимума (пример 3, б)). Функция убывает при \(x > 1+\sqrt{5}\) и является четной, \(f(0)=4,\ f(2)=2,\ f(1+\sqrt{5})=2(1+\sqrt{5})e^{-(1+\sqrt{5})} < 2\), так как \(e^{t} > t\) при \(t > 0\). Следовательно, выбирая из чисел \(f(0),\ f(2),\ f(1+\sqrt{5})\) наибольшее и наименьшее, получаем \(M=f(0)=4,\ m=f(2)=0\). \(\blacktriangle\)

Пример 2.

Определить отношение радиуса основания к высоте цилиндра, если при данном объеме цилиндра площадь его полной поверхности является наименьшей.

Решение.

\(\triangle\) Пусть x, h, v, S — соответственно радиус основания, высота, объем и площадь полной поверхности цилиндра. Тогда \(S=2\pi xh+2\pi x^2,\ v=\pi x^{2}h\), откуда \(h=\displaystyle \frac{v}{\pi x^{2}}\) при \(x > 0\), и поэтому
$$
S=S(x)=2\left(\displaystyle \frac{v}{x}+\pi x^{2}\right),\qquad S'(x)=2\left(2\pi x-\displaystyle \frac{v}{x^{2}}\right).\nonumber
$$
Уравнение \(S’=0\) имеет единственный корень \(x_0=\sqrt[3]{\frac{v}{2\pi}}\), причем \(S'(x) < 0\) при \(x\in (0,x_0)\) и \(S'(x) > 0\) при \(x > x_0\). Следовательно, \(x_0\) — точка минимума \(S(x)\), и наименьшее значение этой функции равно \(S(x_0)\), то есть площадь полной поверхности цилиндра является наименьшей, если его радиус равен \(x_0\). Но тогда \(h=\displaystyle \frac{v}{\pi x_0^2}=2x_0\), то есть цилиндр при заданном объеме имеет наименьшую площадь полной поверхности, если его высота в два раза больше радиуса, то есть в случае, когда осевое сечение цилиндра — квадрат.

Пример 3.

Доказать, что при \(x\in\left[0,\displaystyle \frac{\pi}{2}\right]\) справедливо равенство
$$
0 \leq \sin^3(x)\cos\left(x\right) \leq\frac{3\sqrt3}{16}\label{ref23}
$$

Решение.

\(\triangle\) Обозначим \(\varphi=\sin^3(x)\cos\left(x\right)\), тогда
$$
\varphi(x)=\frac14\sin(2x)(1-\cos(2x))=\frac14\sin(2x)-\frac18\sin(4x)\nonumber
$$
откуда
$$
\varphi'(x)=\frac12(\cos\left(2x\right)-\cos\left(4x\right))=\sin\left(x\right)\sin\left(3x\right)\nonumber
$$
Уравнение \(\varphi'(x)=0\) имеет единственный корень \(x=x_0=\displaystyle \frac{\pi}{3}\) на интервале \(\left(0,\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)\), причем \(\varphi'(x) > 0\) при \(x\in \left(0,\displaystyle \frac\pi3\right)\) и \(\varphi'(x) < 0\) при \(x\in \left(\displaystyle \frac\pi3,\frac\pi2\right)\). Следовательно, \(x_0\) — точка максимума функции \(\varphi(x)\) и \(\underset{x\in\left[0,{\textstyle\frac\pi2}\right]}{max}\varphi(x)=\varphi(x_0)=\displaystyle\frac{3\sqrt3}{16}\). Правое неравенство \eqref{ref23} доказано. Левое неравенство, очевидно, выполняется, так как \(\sin x \geq 0\) и \(\cos x \geq 0\) при \(x\in\left[0,\displaystyle \frac\pi2\right]\). \(\blacktriangle\)

Оставить комментарий