Условный экстремум.

Содержание:

  1. Понятие условного экстремума.
  2. Прямой метод отыскания точек условного экстремума.
  3. Метод множителей Лагранжа.
  4. Несколько замечаний о методе множителей Лагранжа.

Понятие условного экстремума.

Пусть на открытом множестве \(G \subset \boldsymbol{R}^{n}\) заданы функции \(f_{0}(x)\), \(f_{1}(x), \ldots, f_{m}(x)\), причем \(m\;<\;n\), и пусть \(E\) — множество точек множества \(G\), удовлетворяющих системе уравнений
$$
f_{1}(x) = 0,\ \ldots,\ f_{m}(x) = 0.\label{ref1}
$$
Уравнения \eqref{ref1} будем называть уравнениями связей (или просто связями).

Точка \(x^{0} = (x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}) \in G\) называется точкой условного минимума функции \(f_{0}(x)\) при наличии связей \eqref{ref1}, если найдется такая окрестность \(S_{\delta}(x^{0})\), что для всех \(x \in G \cap S_{\delta}(x^{0})\) выполнено неравенство \(f_{0}(x) \geq f_{0}(x^{0})\).

Точка \(x^{0} \in G\) называется точкой строгого условного минимума функции \(f_{0}(x)\) при наличии связей \eqref{ref1}, если найдется такая окрестность \(S_{\delta}(x^{0})\), что для всех \(x \in \dot{S}_{\delta}(x^{0}) \cap G\) выполнено неравенство \(f_{0}(x) \geq f_{0}(x^{0})\).

Аналогично определяются точки условного максимума. Точки условного максимума и минимума называются точками условного экстремума.


Прямой метод отыскания точек условного экстремума.

Предположим, что из системы уравнений \eqref{ref1} можно выразить какие-либо \(m\) переменных \(x_{i}\) через остальные переменные. Тогда, подставив вместо соответствующих переменных \(x_{i}\) их выражения через остальные \(n - m\) переменных в функцию \(f_{0}(x)\), получим функцию \(F\) от \(n - m\) переменных.

Задача о нахождении точек экстремума функции \(f_{0}(x)\) при наличии связей \eqref{ref1} сведется к задаче нахождения обычного (безусловного) экстремума функции \(F\), зависящей от \(n - m\) переменных.

Пример 1.

Найти точки условного экстремума функции \(z = 1 - x^{2} - y^{2}\), если \(x + y = 1\).

Решение.

\(\vartriangle\) Уравнение связи \(x + y = 1\) легко разрешается относительно переменной \(y\), а именно \(y = 1 - x\). Подставив это выражение для \(y\) в функцию \(z = 1 - x^{2} - y^{2}\), получаем, что \(z = 1 - x^{2} - (1 - x)^{2} = 2x - 2x^{2}\). Функция \(2x - 2x^{2}\) имеет максимум при \(x = \frac{1}{2}\). Точка \((\frac{1}{2}, \frac{1}{2})\) является точкой условного максимума функции \(z(x, y)\) при наличии связи \(x + y = 1\), причем \(z_{\max} = \displaystyle\frac{1}{2}\). \(\blacktriangle\)


Замечание.

Прямой метод нахождения условного экстремума редко бывает эффективным ввиду трудности разрешения уравнений связей относительно какой-либо группы переменных.


Метод множителей Лагранжа.

Рассмотрим функцию \(n + m\) переменных
$$
L(x, \lambda) = f_{0}(x) + \lambda_{1}f_{1}(x) + \ldots + \lambda_{m}f_{m}(x),\nonumber
$$
где \(x \in G\), а \(\lambda = (\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}) \in \boldsymbol{R}^{m}\). Числа \(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}\) называются множителями Лагранжа, а функция \(L(x, \lambda)\) называется функцией Лагранжа.

Будем говорить, что \(x^{0}, \lambda^{0}\) есть стационарная точка функции Лагранжа, если
$$
\begin{array}{cc}
     &  \displaystyle\frac{\partial L}{\partial x_{1}} (x^{0}, \lambda^{0}) = 0,\ \ldots,\ \frac{\partial L}{\partial x_{n}} (x^{0}, \lambda^{0}) = 0\\
     &\\
     & \displaystyle\frac{\partial L}{\partial \lambda_{1}} (x^{0}, \lambda^{0}) = f_{1}(x^{0}) = 0,\ \ldots,\ \frac{\partial L}{\partial \lambda_{m}} (x^{0}, \lambda^{0}) = f_{m}(x^{0}) = 0.
\end{array}\label{ref2}
$$

Теорема 1 (Лагранжа). Пусть \(x^{0}\) — точка условного экстремума функции \(f_{0}(x)\) при наличии связей \eqref{ref1}, и пусть функции \(f_{i}(x)\), \(i = \overline{0, m}\), непрерывно дифференцируемы в окрестности точки \(x^{0}\), причем в точке \(x^{0}\) ранг матрицы Якоби
$$
A = \begin{pmatrix}\displaystyle\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}(x)&\ldots&\displaystyle\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}(x)\\.........&.....&.......\\\displaystyle\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}}(x)&\ldots&\displaystyle\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}}(x)\end{pmatrix}\label{ref3}
$$
равен \(m\).

Тогда найдутся такие множители Лагранжа \(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}\), что \((x^{0}, \lambda^{0})\) будет стационарной точкой функции Лагранжа.

Доказательство.

\(\circ\) Так как \(m\;<\;n\), а ранг матрицы Якоби в точке \(x^{0}\) равен \(m\), то хотя бы один из миноров этой матрицы порядка \(m\) отличен от нуля.

Без ограничения общности можно считать, что
$$
\begin{vmatrix}\displaystyle\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}(x^{0})&\ldots&\displaystyle\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{m}}(x^{0})\\.........&.....&.......\\\displaystyle\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}}(x^{0})&\ldots&\displaystyle\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{m}}(x^{0})\end{vmatrix} \neq 0,\label{ref4}
$$
так как выполнения условия \eqref{ref4} всегда можно добиться, перенумеровывая переменные и уравнения связей в нужном порядке.

Пусть \(x^{0}\) есть точка условного минимума функции \(f_{0}(x)\). Тогда существует окрестность \(K'(x^{0}) = K'_{1}(x_{1}^{0}, \ldots, x_{m}^{0}) \times K'_{2}(x_{m + 1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0})\) такая, что
$$
f_{0}(x) - f_{0}(x^{0}) \geq 0\ \mbox{при всех}\ x \in E \cap K' (x^{0}).\label{ref5}
$$
В силу непрерывности частных производных и выполнения условия \eqref{ref4} можно применить теорему о неявных функциях (§ 28). В силу этой теоремы найдется такая окрестность
$$
K(x^{0}) = K_{1}(x_{1}^{0}, \ldots, x_{m}^{0}) \times K_{2}(x_{m + 1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}) \subset K'(x^{0}),\nonumber
$$
в которой система уравнений связей \eqref{ref1} определяет переменные \(x_{1}, \ldots, x_{m}\) как неявные функции переменных \(x_{m + 1}, \ldots, x_{m}\). Это означает, что найдется единственный набор непрерывно дифференцируемых в окрестности \(K'_{2}(x_{m + 1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0})\) функций \(\varphi_{i}(x_{m + 1}, \ldots, x_{n})\), \(i = \overline{1, m}\), таких, что
$$
\varphi_{i}(x_{m + 1}^{0}, \ldots, x_{m}^{0}) = x_{i}^{0},\ i = \overline{1, m};\label{ref6}
$$
$$
f_{i}(\varphi_{1}(x_{m + 1}, \ldots, x_{n}), \ldots, \varphi_{m}(x_{m + 1}, \ldots, x_{n}), x_{m + 1}, \ldots, x_{n}) \equiv 0,\label{ref7}
$$
$$
(\varphi_{1}(x_{m + 1}, \ldots, x_{n}), \ldots, \varphi_{m}(x_{m + 1}, \ldots, x_{n})) \in K_{1}(x_{1}^{0}, \ldots, x_{m}^{0})\nonumber
$$
при \((x_{m + 1}, \ldots, x_{n}) \in K_{2}(x_{1}^{0}, \ldots, x_{m}^{0})\), \(i = \overline{1, m}\).

Другими словами, множество \(E \cap K(x^{0})\) можно задать следующим образом:
$$
\begin{array}{cc}
     &  E \cap K(x^{0}) = \{x: x = (x_{1}, \ldots, x_{n}), (x_{m + 1}, \ldots, x_{n}) \in K_{2}(x_{m + 1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}),\\
     & \\
     & x_{i} = \varphi_{i}(x_{m + 1}, \ldots, x_{n}), i = \overline{1, m}\}.
\end{array}\label{ref8}
$$

Так как \(K(x^{0}) \subset K'(x^{0})\), то из неравенства \eqref{ref5} следует, что функция \(f_{0}(x)\) принимает на множестве \(E \cap K(x^{0})\) наименьшее значение в точке \(x^{0}\). Если взять представление множества \(E \cap K(x^{0})\) в виде \eqref{ref8}, то сложная функция
$$
F(x_{m + 1}, \ldots, x_{n}) = f_{0}(\varphi_{1}(x_{m + 1}, \ldots, x_{n}), \ldots, \varphi_{m}(x_{m + 1}, \ldots, x_{n}), x_{m + 1}, \ldots, x_{n})\label{ref9}
$$
определена в окрестности \(K_{2}(x_{m + 1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0})\) и принимает в этой окрестности наименьшее значение в точке \((x_{m + 1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0})\). Следовательно, в силу необходимых условий экстремума должно выполняться равенство \(dF(x_{m + 1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}) = 0\). Воспользовавшись инвариантностью формы первого дифференциала и равенством \eqref{ref9}, получаем, что
$$
\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial f_{0}(x^{0})}{\partial x_{k}} dx_{k} = 0.\label{ref10}
$$

В равенстве \eqref{ref10} \(dx_{m + 1}, \ldots, dx_{n}\) есть дифференциалы независимых переменных, a \(dx_{1}, \ldots, dx_{n}\) — дифференциалы функций \(\varphi_{i}, \ldots, \varphi_{m}\),    зависящих от \(x_{m + 1}, \ldots, x_{n}\). Для краткости будем говорить о независимых и зависимых дифференциалах.

Найдем связи между зависимыми и независимыми дифференциалами. Дифференцируя тождества \eqref{ref7} в точке \((x_{m + 1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0})\) и пользуясь инвариантностью формы первого дифференциала, получаем
$$
\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial f_{i}(x^{0})}{\partial x_{k}} dx_{k} = 0,\ i = \overline{1, m}.\label{ref11}
$$

Умножая равенства \eqref{ref11} на множители \(\lambda_{i}\) и складывая полученные равенства с равенством \eqref{ref10}, находим
$$
0 = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{\partial f_{0}}{\partial x_{k}} + \sum_{i=1}^{m} \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{k}} \lambda_{i}\right)_{x = x^{0}}\  dx_{k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial L(x^{0}, \lambda)}{\partial x_{k}} dx_{k},\label{ref12}
$$
где \(L(x^{0}, \lambda)\) есть функция Лагранжа.

Подберем множители \(\lambda_{1}^{0}, \ldots, \lambda_{m}^{0}\) так, чтобы коэффициенты при зависимых дифференциалах в равенстве \eqref{ref12} обратились в нуль, т. е.
$$
\frac{\partial L(x^{0}, \lambda)}{\partial x_{k}} = \frac{\partial f_{0}(x^{0})}{\partial x_{k}} + \sum_{i=1}^{m} \lambda_{i}^{0} \frac{\partial f_{i}(x^0)}{\partial x_{k}} = 0,\ k = \overline{1, m}.\label{ref13}
$$
Система уравнений \eqref{ref13} единственным образом определяет множители \(\lambda_{1}^{0}, \ldots, \lambda_{m}^{0}\), так как ее определитель \eqref{ref4} отличен от нуля.

При выполнении условий \eqref{ref13} уравнение \eqref{ref12} примет вид
$$
\sum_{k=m+1}^{n} \frac{\partial L(x^{0}, \lambda^{0})}{\partial x_{k}} dx_{k} = 0.\label{ref14}
$$

Так как дифференциалы независимых переменных \(dx_{m + 1}, \ldots, dx_{n}\), могут принимать любые значения, то из \eqref{ref14} следует, что
$$
\frac{\partial L(x^{0}, \lambda^{0})}{\partial x_{k}} = 0,\ k = m + 1, \ldots, n.\label{ref15}
$$

Объединяя равенства \eqref{ref13} и \eqref{ref15}, получаем
$$
\frac{\partial L(x^{0}, \lambda^{0})}{\partial x_{k}} = 0,\ k = \overline{1, n}.\nonumber
$$

Так как точка \(x^{0} \in E\) и, следовательно, удовлетворяет уравнениям связей, то
$$
\frac{\partial L(x^{0}, \lambda^{0})}{\partial \lambda_{j}} = f_{i}(x^{0}) = 0,\ j = \overline{1, m}.\nonumber
$$
Таким образом, \((x^{0}, \lambda^{0})\) есть стационарная точка функции Лагранжа \(L(x, \lambda)\). \(\bullet\)

Второй дифференциал функции Лагранжа, вычисленный при фиксированных \(\lambda_{1}^{0}, \ldots, \lambda_{m}^{0}\) по переменным \((x_{1}, \ldots, x_{n})\) в точке \((x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0})\), будем обозначать через \(d_{xx}^{2}L(x^{0}, \lambda^{0})\).

Таким образом,
$$
d_{xx}^{2}L(x^{0}, \lambda^{0}) = \sum_{k=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial^{2} L(x^{0}, \lambda^{0})}{\partial x_{k} \partial x_{j}} dx_{k} dx_{j}.\label{ref16}
$$
Иногда вместо \(d_{xx}^{2}L(x^{0}, \lambda^{0})\) будем писать \(d^{2}L(x^{0}, \lambda^{0})\).

Обозначим через \(E_{T}\) следующее линейное многообразие в \(\boldsymbol{R}^{n}\):
$$
E_{T} = \left\{\xi = (\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}) \in \boldsymbol{R}^{n}: \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial f_{i}(x^{0})}{\partial x_{k}} \xi_{k} = 0,\ i = \overline{1, m}\right\}.\label{ref17}
$$
Равенства \eqref{ref11} означают, что \(dx = (dx_{1}, \ldots, dx_{n}) \in E_{T}\).

Теорема 2.

Пусть \(x^{0}\) есть точка условного минимума функции \(f_{0}(x)\) при наличии связей \eqref{ref1}, и пусть функции \(f_{i}(x)\), \(i = \overline{1, m}\), имеют непрерывные частные производные второго порядка в окрестности точки \(x^{0}\), причем в точке \(x^{0}\) ранг функциональной матрицы \eqref{ref3} равен \(m\).

Тогда найдутся множители Лагранжа \(\lambda_{1}^{0}, \ldots, \lambda_{m}^{0}\) такие, что \((x^{0}, \lambda^{0})\) есть стационарная точка функции Лагранжа, a \(d^{2}L(x^{0}, \lambda^{0}) \geq 0\) при \((dx_{1}, \ldots, dx_{n}) \in E_{T}\).

Доказательство.

\(\circ\) Так как выполнены все условия теоремы 1, то найдутся множители Лагранжа \(\lambda_{1}^{0}, \ldots, \lambda_{m}^{0}\) такие, что \((x^{0}, \lambda^{0})\) будет стационарной точкой функции Лагранжа, т. е. выполняются условия \eqref{ref2}. Повторяя рассуждения теоремы 1, рассмотрим сложную функцию \eqref{ref9}, имеющую безусловный экстремум в точке \((x_{m + 1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0})\). Так как эта функция имеет непрерывные частные производные второго порядка, то, в силу теоремы 2, § 59 должно быть выполнено условие \(d^{2}F(x_{m + 1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}) \geq 0\).

Воспользовавшись правилом нахождения второго дифференциала сложной функции и формулой \eqref{ref9}, находим, что
$$
\sum_{k=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial^{2} f_{0}(x^{0})}{\partial x_{k} \partial x_{j}} dx_{k} dx_{j} + \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^{2} f_{0}}{\partial x_{k}}(x^{0}) d^{2}x_{k} \geq 0.\label{ref18}
$$

Дифференцируя два раза в точке \(x_{m + 1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\) тождества \eqref{ref7}, получаем равенства
$$
\sum_{k=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial^{2} f_{i}(x^{0})}{\partial x_{k} \partial x_{j}} dx_{k} dx_{j} + \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^{2} f_{i}}{\partial x_{k}}(x^{0}) d^{2}x_{k} = 0.\label{ref19}
$$

Если умножить каждое из равенств \eqref{ref19} на соответствующий множитель Лагранжа \(\lambda_{i}^{0}\) и сложить с неравенством \eqref{ref18}, то получаем неравенство
$$
d_{xx}^{2}L(x^{0}, \lambda^{0}) + \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial L(x^{0}, \lambda^{0})}{\partial x_{k}} d^{2}x_{k} \geq 0.\label{ref20}
$$
Последняя сумма в неравенстве \eqref{ref20} равна нулю, так как \((x^{0}, \lambda^{0})\) есть стационарная точка функции Лагранжа и в ней выполняются условия \eqref{ref2}. Таким образом, \(d_{xx}^{2}L(x^{0}, \lambda^{0}) \geq 0\) при \((dx_{1}, \ldots, dx_{n}) \in E_{T}\). \(\bullet\)

Теорема 3 (достаточные условия условного экстремума).

Пусть функции \(f_{i}(x)\), \(i = \overline{0, m}\), имеют непрерывные частные производные второго порядка в окрестности точки \(x^{0} \in \boldsymbol{R}^{n}\), причем в точке \(x^{0}\) ранг функциональной матрицы (3) равен \(m\), и пусть \((x^{0}, \lambda^{0})\) есть стационарная точка функции Лагранжа \(L(x, \lambda)\).
    
Тогда если \(d_{xx}L(x^{0}, \lambda^{0})\) есть положительно определенная квадратичная форма при \(dx \in E_{T}\), то \(x^{0}\) является точкой условного строгого минимума функции \(f_{0}(x)\) при наличии связей \eqref{ref1}. Если \(d_{xx}L(x^{0}, \lambda^{0})\) есть отрицательно определенная квадратичная форма при \(dx \in E_{T}\), то \(x^{0}\) — точка условного строгого максимума. Если \(d_{xx}L(x^{0}, \lambda^{0})\) есть неопределенная квадратичная форма при \(dx \in E_{T}\), то \(x^{0}\) не есть точна условного экстремума функции \(f_{0}(x)\) при наличии связей \eqref{ref1}.

Доказательство.

\(\circ\) Пусть
$$
E = \{x: f_{i}(x) = 0, i = \overline{1, m}\}.\label{ref21}
$$
По условию теоремы функции \(f_{i}(x)\), \(i = \overline{0, m}\), имеют непрерывные частные производные второго порядка, а ранг функциональной матрицы \eqref{ref3} равен \(m\). Повторяя рассуждения теоремы 1, можем без ограничения общности считать, что выполнено условие \eqref{ref4} и что найдется такая окрестность \(K(x^{0}) = K_{1}(x_{1}^{0}, \ldots, x_{m}^{0}) \times K_{2}(x_{m + 1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0})\), что множество \(E \cap K(x^{0})\) можно задать формулой \eqref{ref8}. На \(E \cap K(x^{0})\) функция \(f_{0}(x)\) становится функцией \(n - m\) переменных \(F(x_{m + 1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0})\), определенной формулой \eqref{ref9} и имеющей непрерывные частные производные второго порядка.

По условию теоремы \((x^{0}, \lambda^{0})\) есть стационарная точка функции Лагранжа, т. е.
$$
\begin{array}{cc}
     &  \displaystyle\frac{\partial L}{\partial x_{k}} (x^{0}, \lambda^{0}) = 0,\ k = \overline{1, n};\\
     &\\
     & \displaystyle\frac{\partial L}{\partial \lambda_{i}} (x^{0}, \lambda^{0}) = f_{i}(x^{0}) = 0,\ i = \overline{1, m}.
\end{array}\label{ref22}
$$

Из формул \eqref{ref22} следует, что \(x^{0} \in E\) и что
$$
d_{x}L(x^{0}, \lambda^{0}) = \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial L(x^{0}, \lambda^{0})}{\partial x_{k}} d^{2}x_{k} = 0.\label{ref23}
$$

Рассмотрим функцию \(L(x, \lambda^{0})\) на множестве \(E \cap K(x^{0})\). Очевидно, что
$$
L(x, \lambda^{0}) = f_{0}(x) = F(x_{m + 1}, \ldots, x_{n})\ \mbox{при}\ x \in E \cap K(x^{0}).\label{ref24}
$$
В силу инвариантности формы первого дифференциала из формулы \eqref{ref24} следует, что
$$
dF(x_{m + 1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}) = d_{x}L(x^{0}, \lambda^{0}) = 0.\label{ref25}
$$

Находя второй дифференциал от обеих частей равенства \eqref{ref24} и используя равенства \eqref{ref22}, получаем
$$
d^{2}F(x_{m + 1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}) = \sum_{k=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial^{2} L(x^{0}, \lambda^{0})}{\partial x_{j} \partial x_{k}} dx_{j} dx_{k} + \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial L(x^{0}, \lambda^{0})}{\partial x_{k}} d^{2}x_{k} = d_{xx}^{2}L(x^{0}, \lambda^{0}).\label{ref26}
$$

Пусть \(d_{xx}^{2}L(x^{0}, \lambda^{0})\;>\;0\) при \(dx \in E_{T}\), \(dx \neq 0\). Так как множество \(E \cap K(x^{0})\) можно задать в форме \eqref{ref8}, то, выбирая \(dx_{m + 1}, \ldots, dx_{n}\) произвольным образом, получим, что дифференциалы \(dx_{1},..., dx_{m}\) зависят от \((dx_{m + 1}, \ldots, dx_{n})\). Дифференцируя тождества \eqref{ref7} в точке \(x^{0}\), получаем соотношения \eqref{ref11}, которые означают, что \(dx \in E_{T}\).

Из формулы \eqref{ref26} тогда следует, что
$$
d^{2}F(x_{m + 1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0})\;>\;0\ \mbox{при}\ dx_{m + 1}^{2} + \ldots + dx_{n}^{2}\;>\;0.\label{ref27}
$$

Из \eqref{ref25} и \eqref{ref27} получаем, что \((x_{m + 1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0})\) есть точка строгого минимума функции \(F(x_{m + 1}, \ldots, x_{n})\), т. е. \(x^{0}\) есть точка строгого минимума функции \(f_{0}(x)\) на множестве \(E \cap K(x^{0})\). Таким образом, \(x^{0}\) есть точка строгого условного минимума функции \(f_{0}(x)\) при наличии связей \eqref{ref1}.

Аналогично рассматривается случай, когда \(d_{xx}^{2}L(x^{0}, \lambda^{0})\;<\;0\), \(dx \in E_{T}\), \(dx \neq 0\). Если же \(d_{xx}^{2}L(x^{0}, \lambda^{0})\) при \(dx \in E_{T}\) есть неопределенная квадратичная форма, то не выполняется условие \(d_{xx}^{2}L(x^{0}, \lambda^{0}) \geq 0\) при \(dx \in E_{T}\), являющееся, в силу теоремы 2, необходимым условием минимума. Поэтому \(x^{0}\) не есть точка условного минимума функции \(f_{0}(x)\) при связях \eqref{ref1}. Аналогично доказывается, что \(x^{0}\) не может быть точкой условного минимума функции \(-f_{0}(x)\), а следовательно, и точкой условного максимума функции \(f_{0}(x)\) при связях \eqref{ref1}. \(\bullet\)

Замечание. Если окажется, что \(d_{xx}^{2}L(x^{0}, \lambda^{0})\) есть положительно определенная квадратичная форма на всем пространстве \(\boldsymbol{R}^{n}\), то \(d_{xx}^{2}L(x^{0}, \lambda^{0})\;>\;0\) при \(dx \in E_{T}\), \(dx \neq 0\). Поэтому в этом случае в квадратичной форме \(d_{xx}^{2}L(x^{0}, \lambda^{0})\) не нужно исключать зависимые дифференциалы.

Пример 1.

Решение.

Найти экстремумы функции \(x - 2y + 2z = u\) и на сфере \(x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1\).\\
\(\vartriangle\) Строим функцию Лагранжа
$$
L(x, y, z, \lambda) = x - 2y + 2z + \lambda(x^{2} + y^{2} + x^{2} - 1)\nonumber
$$
Стационарные точки функции Лагранжа находим, решая систему уравнений
$$
\frac{\partial L}{\partial x} = 1 + 2\lambda x = 0,\quad \frac{\partial L}{\partial y} = -2 + 2\lambda y = 0,\quad \frac{\partial L}{\partial z} = 2 + 2\lambda z = 0,\nonumber
$$
$$
\frac{\partial L}{\partial \lambda} = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1 = 0.\nonumber
$$
Исключая из этой системы \(x, y, z\), получаем \(\displaystyle\left(\frac{1}{2\lambda}\right)^{2} + \left(\frac{1}{\lambda}\right)^{2} + \left(\frac{1}{\lambda}\right)^{2} - 1 = 0\), откуда \(\lambda_{1} = \displaystyle\frac{3}{2}\), \(\lambda_{2} = -\displaystyle\frac{3}{2}\).

У функции Лагранжа есть две стационарные точки,
$$
M_{1} = \left(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{3}{2}\right)\quad \mbox{и}\quad M_{2} = \left(\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{3}{2}\right).\nonumber
$$

Так как \(d^{2}L(M_{1}) = 3(dx^{2} + dy^{2} + dz^{2})\;>\;0\), a \(d^{2}L(M_{2}) = -3(dx^{2} + dy^{2} + dz^{2})\;<\;0\) при \(dx^{2} + dy^{2} + dz^{2}\;>\;0\), тo \(\displaystyle\left(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{3}{2}\right)\) — точка условного минимума, a \(\displaystyle\left(\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{3}{2}\right)\) — точка условного максимума функции \(u = x - 2y + 2x\) при наличии ограничения \(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1 = 0\), Причем \(u_{\min} = -3\), \(u_{\max} = 3\). \(\blacktriangle\)

Пример 2.

Найти условные экстремумы функции \(f_{0}(x, y) = e^{axy}\), \(a \neq 0\), при наличии ограничения \(f_{i}(x, y) = x^{3} + y^{3} + x + y - 4 = 0\).

Решение.

\(\vartriangle\) Построим функцию Лагранжа:
$$
L(x, y) = e^{axy} + \lambda(x^{3} + y^{3} + x + y - 4).\nonumber
$$
Стационарные точки функции Лагранжа определяются из системы уравнений
$$
\begin{array}{cc}
     &  \displaystyle\frac{\partial L}{\partial x} = aye^{axy} + \lambda(3x^{2} + 1) = 0,\\
     &\\
     & \displaystyle\frac{\partial L}{\partial y} = axe^{axy} + \lambda(3y^{2} + 1) = 0,\\
     &\\
     & \displaystyle\frac{\partial L}{\partial \lambda} = x^{3} + y^{3} + x + y - 4 = 0.
\end{array}\label{ref28}
$$

Умножая первое уравнение на \(x\), а второе на \(y\) и вычитая, получаем
$$
\lambda(3x^{3} - 3y^{3} + x - y) = \lambda(x - y)(3x^{2} + 3xy + 3y^{2} + 1) = 0.\label{ref29}
$$

Если \(\lambda = 0\), то из первых двух уравнений \eqref{ref28} получаем \(x = y = 0\). Но \(x = y = 0\) не удовлетворяет уравнению связи. Итак, \(\lambda \neq 0\), поэтому из \eqref{ref29} следует, что \(x = y\) (второй сомножитель всегда положителен: \(3(x^{2} + xy + y^{2}) + 1\;>\;0\)). Подставляя \(x = y\) в уравнение связи, получаем \(x^{3} + x = 2\), \(x = y = 1\). Первое из уравнений \eqref{ref28} дает при \(x = y = 1\) значение \(\lambda = -\displaystyle\frac{a}{4} e^{a}\).

Итак, \((1, 1, -\displaystyle\frac{a}{4} e^{a})\) есть единственная стационарная точка функции Лагранжа.

Так как
$$
d(e^{axy}) = a(x\ dy + y\ dx)\ e^{axy},\nonumber
$$
$$
d^{2}(e^{axy}) = a^{2}(x\ dy + y\ dx)^{2}\ e^{axy} + 2a\ dx\ dy\ e^{axy},\nonumber
$$
$$
d^{2}(x^{3} + y^{3} + x + y - 4) = 6x\ dx^{2} + 6y\ dy^{2},\nonumber
$$
то для второго дифференциала функции Лагранжа при \(\lambda_{0} = -\displaystyle\frac{a}{4} e^{a}\) и \(x = y = 1\) получается следующее выражение:
$$
d^{2}L(1, 1, \lambda_{0}) = ae^{a}\left[a(dx + dy)^{2} + 2\ dx\ dy - \frac{3}{2}(dx^{2} + dy^{2})\right].\label{ref30}
$$
Дифференцируя уравнение связи при \(x = y = 1\), получаем, что \(dy + dx = 0\). Подставляя \(dy = -dx\) в уравнение \eqref{ref30}, получаем равенство
$$
d^{2}L(1, 1, \lambda_{0}) = -5ae^{a}dx^{2}.\label{ref31}
$$

Поэтому при \(a\;<\;0\) в точке (1,1) будет условный минимум, а при \(a\;>\;0\) — условный максимум функции \(f_{0}(x, y)\) при наличии связи \(x^{3} + y^{3} + x + y = 4\), причем экстремальное значение функции равно \(e^{a}\). \(\blacktriangle\)

Замечание.

Уравнение связи \(x^{3} + y^{3} + x + y = 4\) было бы затруднительно разрешить относительно одной из переменных. Метод Лагранжа для примера 2 более эффективен, чем прямой метод исключения зависимых переменных.


Несколько замечаний о методе множителей Лагранжа.

Задачи об отыскании экстремумов функций (как числовых, так и функций более общей природы) при наличии ограничений являются весьма распространенными. Теория экстремальных задач интенсивно развивается и находит широкий круг приложений. В § 60 были рассмотрены ограничения типа равенств, задаваемые достаточно гладкими функциями (гладкие связи). Метод множителей Лагранжа имеет глубокие обобщения и на более общий случай, когда ограничения задаются системой равенств и неравенств при помощи недифференцируемых в обычном смысле функций.

В конкретных прикладных вопросах множители Лагранжа имеют содержательную интерпретацию. Так, в механике множители Лагранжа задают реакции связей, а в математической экономике — цены на продукты производства. Широко развиты приближенные методы решения экстремальных задач, использующие современную вычислительную технику.