Формула Тейлора для функций многих переменных.

Содержание:

  1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

В дальнейшем будет удобно наделить метрическое пространство \(\boldsymbol{R}^{n}\) еще и структурой линейного пространства, полагая для любых \(x = (x_{1}, \ldots, x_{n})\), \(y = (y_{1}, \ldots, y_{n})\) и \(\alpha \in \boldsymbol{R}\), что
$$
x + y = (x_{1} + y_{1}, \ldots, x_{n} + y_{n}),\ \alpha x = (\alpha x_{1}, \ldots, \alpha x_{n}).\nonumber
$$
Легко проверяется, что для введенных подобным образом операций сложения элементов и умножения элементов на вещественные числа выполняются все аксиомы линейного пространства. Роль нулевого элемента выполняет \(0 = (0, 0, \ldots, 0) \in \boldsymbol{R}^{n}\). Если \(x = (x_{1}, \ldots, x_{n})\), \(x^{0} = (x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0})\), то по определению
$$
\Delta x = dx = x - x^{0} = (x_{1} - x_{1}^{0}, \ldots, x_{n} - x_{n}^{0}) = (dx_{1}, \ldots, dx_{n}),\nonumber
$$
$$
|\Delta x| = \sqrt{\Delta x_{1}^{2} + \ldots + \Delta x_{n}^{2}} = \rho (x, x^{0}).\nonumber
$$

Теорема 1.

Пусть функция \(f(x)\) имеет в шаре \(S_{\delta} (x^{0}) \subset \boldsymbol{R}^{n}\) непрерывные частные производные всех порядков до \(m\) включительно. Тогда для любой точки \(x^{0} + \Delta x \in S_{\delta} (x^{0})\) найдется число \(\theta \in (0, 1)\) такое, что справедливо следующее равенство (формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа):
$$
f(x^{0} + \Delta x) = f(x^{0}) + \sum_{k=1}^{m=1} \frac{d^{k}f(x^{0})}{k!} + r_{m}(x),\label{ref1}
$$
где
$$
r_{m}(x) = \frac{1}{m!} d^{m}f(x^{0} + \theta \Delta x),\label{ref2}
$$
a \(d^{k} f(\xi)\) есть дифференциал \(k\)-го порядка функции \(f(x)\), вычисленный в точке \(\xi\) и являющийся однородной формой \(k\)-го порядка относительно дифференциалов независимых переменных \(dx_{1}, \ldots, dx_{n}\):
$$
d^{k} f(\xi) = \left(dx_{1} \frac{\partial}{\partial x_{1}} + \ldots + dx_{n} \frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)^{k} f(\xi) = \sum_{i_{1} = 1}^{n} \ldots \sum_{i_{k} = 1}^{n} \frac{\partial^{k} f(\xi)}{\partial x_{i_{1}} \ldots \partial x_{i_{k}}} dx_{i_{1}} \ldots dx_{i_{k}}.\label{ref3}
$$

Доказательство.

\(\circ\) Если точка \(x^{0} + \Delta x \in S_{\delta} (x^{0})\), то в силу симметрии шара и точка \(x^{0} - \Delta x \in S_{\delta} (x^{0})\). Так как шар есть выпуклое множество, то \(x^{0} + t\Delta x \in S_{\delta} (x^{0})\) при любом \(t \in [-1, 1]\). Поэтому на [—1,1] определена функция одной переменной:
$$
\varphi(t) = f(x^{0} + t\Delta t) = f(x_{1}^{0} + t\Delta x_{1}, \ldots, x_{n}^{0} + t\Delta x_{n}).\nonumber
$$

Функция \(\varphi(t)\) дифференцируема на отрезке [—1,1]. Действительно, применяя правило нахождения производной сложной функции, получаем
$$
\varphi'(t) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f(x^{0} + t\Delta x)}{\partial x_{i}} \Delta x_{i} = df (x^{0} + t\Delta x) = \left(dx_{1} \frac{\partial}{\partial x_{1}} + \ldots + dx_{n} \frac{\partial}{\partial x_{n}}\right) f(x^{0} + t\Delta x).\label{ref4}
$$
Аналогично
$$
\varphi''(t) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \frac{\partial^{2} f(x^{0} + t\Delta x)}{\partial x_{i}\partial x_{j}} \Delta x_{i} \Delta x_{j} = d^{2}f (x^{0} + t\Delta x) =\\= \left(dx_{1} \frac{\partial}{\partial x_{1}} + \ldots + dx_{n} \frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)^{2} f(x^{0} + t\Delta x).\nonumber
$$
По индукции получаем, что для \(k = \overline{1, m}\) справедливы формулы
$$
\varphi^{(k)}(t) = \sum_{i_{1} = 1}^{n} \ldots \sum_{i_{k} = 1}^{n} \frac{\partial^{k} f(x^{0} + t\Delta x)}{\partial x_{i_{1}} \ldots \partial x_{i_{k}}} dx_{i_{1}} \ldots dx_{i_{k}} =\\= d^{k}f(x^{0} + t\Delta x) = \left(dx_{1} \frac{\partial}{\partial x_{1}} + \ldots + dx_{n} \frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)^{k} f(x^{0} + t\Delta x).\label{ref5}
$$

Применим к функции \(\varphi(t)\) формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Существует число \(\theta \in (0, 1)\) такое, что
$$
\varphi(t) = \varphi(0) + t\varphi'(0) + \ldots + \frac{t^{m - 1}}{(m - 1)!} \varphi^{(m - 1)}(0) + r_{m}(t),\qquad r_{m}(t) = \frac{t^{m}}{m!} \varphi^{(m)}(\theta t).\nonumber
$$

Полагая \(t = 1\), получаем
$$
\varphi(1) = \varphi(0) + \varphi'(0) + \ldots + \frac{1}{(m - 1)!} \varphi^{(m - 1)}(0) + r_{m}(1),\qquad r_{m}(1) = \frac{1}{m!} \varphi^{(m)}(\theta).\nonumber
$$
Подставляя в эту формулу выражения \eqref{ref5} для производных \(\varphi^{(k)}(t)\) при \(t = 0\), получаем формулу \eqref{ref1}. \(\bullet\)


Замечание.

Для функции двух переменных \(f(x, y)\) формула Тейлора \eqref{ref1} принимает более простой вид
$$
f(x, y) = f(x_{0}, y_{0}) + \sum_{k=1}^{m=1} \frac{1}{k!}d^{k}f(x^{0}, y_{0}) + r_{m},\nonumber
$$
где
$$
d^{k}f(x_{0}, y_{0}) = \left((x - x_{0}) \frac{\partial}{\partial x} + (y - y_{0}) \frac{\partial}{\partial y}\right)^{k} f(x_{0}, y_{0}) = \sum_{p=0}^{k} C_{k}^{p} \frac{\partial^{k} f(x_{0}, y_{0})}{\partial x^{k - p} \partial y^{p}} (x - x_{0})^{k - p} (y - y_{0})^{p},\nonumber
$$
$$
r_{m} = \frac{1}{m!} d^{m} f(x + \theta(x - x_{0}), y + \theta(y - y_{0})).\nonumber
$$


Следствие.

Если выполнены условия теоремы 1, то для функции \(f(x)\) справедлива формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
$$
f(x) = f(x^{0}) + \sum_{k=1}^{m} \frac{1}{k!} d^{k}f(x^{0}) + o(|\Delta x|^{m})\label{ref6}
$$
при \(|\Delta x| \rightarrow 0\), где \(|\Delta x| = \sqrt{\Delta x_{1}^{2} + \ldots + \Delta x_{n}^{2}}\).

\(\circ\) Рассмотрим остаточный член в формуле \eqref{ref1}:
$$
r_{m}(x) = \frac{1}{m!} d^{m} f(x^{0} + \theta \Delta x) = \frac{1}{m!} \sum_{i_{1} = 1}^{n} \ldots \sum_{\substack{i_{m} = 1}}^{n} \frac{\partial^{m} f(x^{0} + \theta\Delta x)}{\partial x_{i_{1}} \ldots \partial x_{i_{m}}} \Delta x_{i_{1}} \ldots \Delta x_{i_{m}}.\label{ref7}
$$
Так как по условию все производные порядка \(m\) функции \(f(x)\) непрерывны в точке \(x_{0}\), то
$$
\frac{\partial^{m} f(x^{0} + \theta\Delta x)}{\partial x_{i_{1}} \ldots \partial x_{i_{m}}} = \frac{\partial^{m} f(x^{0})}{\partial x_{i_{1}} \ldots \partial x_{i_{m}}} + \alpha_{i_{1} \ldots i_{m}}(x),\label{ref8}
$$
где функции    \(\alpha_{i_{1} \ldots i_{m}}(x)\) бесконечно малые при \(|\Delta x| \rightarrow 0\).

Так как \(|\Delta x_{i}| \leq |\Delta x|\), то \(|\Delta x_{i_{1}} \ldots \Delta x_{i_{m}}| \leq |\Delta x|^{m}\). Следовательно,
$$
\sum_{i_{1} = 1}^{n} \ldots \sum_{\substack{i_{m} = 1}}^{n} \alpha_{i_{1} \ldots i_{m}}(x) \Delta x_{i_{1}} \ldots \Delta x_{i_{m}} = o(|\Delta x|^{m})\label{ref9}
$$
при \(|\Delta x| \rightarrow 0\).

Подставляя выражения \eqref{ref8} и \eqref{ref9} в формулу \eqref{ref7}, получаем
$$
r_{m}(x) = \frac{1}{m!} d^{m} f(x^{0} + \theta \Delta x) = \frac{1}{m!} \sum_{i_{1} = 1}^{n} \ldots \sum_{\substack{i_{m} = 1}}^{n} \frac{\partial^{m} f(x^{0})}{\partial x_{i_{1}} \ldots \partial x_{i_{m}}} \Delta x_{i_{1}} \ldots \Delta x_{i_{m}} +\\+ \frac{1}{m!} \sum_{i_{1} = 1}^{n} \ldots \sum_{\substack{i_{m} = 1}}^{n} \alpha_{i_{1} \ldots i_{m}}(x) \Delta x_{i_{1}} \ldots \Delta x_{i_{m}} = \frac{1}{m!} d^{m} f(x^{0}) + o(|\Delta x|^{m})\label{ref10}
$$
при \(|\Delta x| \rightarrow 0\).

Подставляя выражение \eqref{ref10} для \(r_{m}(x)\) в формулу \eqref{ref1}, получаем формулу \eqref{ref6}. \(\bullet\)