Формула Остроградского-Гаусса.

Содержание:

  1. Общая формулировка теоремы.
  2. Некоторые применения формулы Остроградского—Гаусса.
  3. Соленоидальные векторные поля.

Общая формулировка теоремы.

Теорема (формула Остроградского-Гаусса).

Пусть \(G \subset \boldsymbol{R}^{3}\) — ограниченная область, граница которой \(\partial G\) есть кусочно гладкая поверхность, ориентированная внешними нормалями. В \(\overline{G} = G \cup \partial G\) задано непрерывно дифференцируемое векторное поле \(\boldsymbol{a} = (P, Q, R)\). Тогда поток векторного поля \(\boldsymbol{a}\) через границу области \(\partial G\) равен тройному интегралу от \(\operatorname{div} \boldsymbol{a}\) по области \(G\), т. е.
$$
\iint\limits_{\partial G} (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})\ dS = \iiint\limits_{G}\ \operatorname{div}\boldsymbol{a}\ dG,\label{ref1}
$$
или
$$
\iint\limits_{\partial G} P\ dy\ dz + Q\ dz\ dx + R\ dx \ dz = \iiint\limits_{G}\ \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial PQ}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right) dx\ dy\ dz.\label{ref2}
$$

Доказательство.

\(\circ\) Докажем сначала формулу Остроградского Гаусса в одном важном частном случае, когда область \(G\) еще и элементарна относительно всех трех координатных осей. Напомним, что область \(G\) называется элементарной относительно оси \(z\), если найдутся две такие непрерывные в замыкании области \(\Omega \subset \boldsymbol{R}^{2}\) функции \(\varphi(x, y)\) и \(\psi(x, y)\), что
$$
G = \{(x, y, z): \varphi(x, y)\;<\;z\;<\;\psi(x, y),\ (x, y) \ \in \Omega\}.\nonumber
$$

Применяя формулу сведения тройного интеграла к повторному, получаем
$$
\iiint\limits_{G} \frac{\partial R}{\partial z} (x, y, z)\ dx\ dy\ dz = \iint\limits_{\Omega} dx\ dy \int\limits_{\varphi(x, y)}^{\psi(x, y)}\frac{\partial R}{\partial z} (x, y, z)\ dz =\\=\iint\limits_{\Omega} R(x, y, \psi(x, y))\ dx\ dy - \iint\limits_{\Omega} R(x, y, \varphi(x, y))\ dx\ dy =\\= \iint\limits_{\Sigma_{1}} R(x, y, z)\ dx\ dy + \iint\limits_{\Sigma_{2}} R(x, y, z)\ dx\ dy.\label{ref3}
$$

Здесь \(\Sigma_{1}\) — поверхность, являющаяся графиком функции \(\psi(x, y)\), a \(\Sigma_{2}\) — поверхность, являющаяся графиком функции \(\varphi(x, y)\).

Мы воспользовались выражением поверхностного интеграла второго рода через двойной интеграл и тем, что поверхность \(\Sigma_{1}\) ориентирована внешними к \(\partial G\) нормалями, которые составляют с осью \(z\) острый угол, а на поверхности \(\Sigma_{2}\) внешние к \(\partial G\) нормали составляют с осью \(z\) тупой угол (рис. 56.1). Добавляя к двум поверхностным интегралам в формуле \eqref{ref3} еще равный нулю интеграл \(\displaystyle\iint\limits_{\Sigma_{3}}R\ dx\ dy\) по куску цилиндрической поверхности, построенной на \(\partial G\), и замечая, что \(\partial G = \displaystyle\bigcup_{i=1}^{3}\Sigma_{i}\), получаем
$$
\iiint\limits_{G} \frac{\partial R}{\partial z} (x, y, z)\ dx\ dy\ dz = \iint\limits_{\partial G} R\ dx\ dy.\label{ref4}
$$

Рис. 56.1
Рис. 56.1

Аналогично, воспользовавшись элементарностью области относительно осей \(x\) и \(y\), докажем, что
$$
\iiint\limits_{G} \frac{\partial P}{\partial x} dx\ dy\ dz = \iint\limits_{\partial G} P\ dy\ dz,\quad \iiint\limits_{G} \frac{\partial Q}{\partial y} dx\ dy\ dz = \iint\limits_{\partial G} Q\ dz\ dx.\label{ref5}
$$
Складывая равенства \eqref{ref4} и \eqref{ref5}, получим формулу \eqref{ref2}.

Примерами областей, элементарных относительно всех трех координатных осей, являются шар, куб, симплекс (фигура, получающаяся при пересечении четырех полупространств (рис. 56.2)).

Рис. 56.2
Рис. 56.2

Точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) — вершины симплекса, треугольники \(ABC\), \(ABD\), \(ACD\) и \(BCD\) — грани симплекса.

Дальнейшая схема последовательного расширения класса областей, для которых справедлива формула \eqref{ref2}, такая же, как и при доказательстве формулы Грина на плоскости.

Будем называть область \(G\) объемно односвязной, если для любой ограниченной области \(\Omega\) из условия \(\partial \Omega \subset G\) следует, что и \(\Omega \subset G\). Для простоты будем говорить просто “односвязная область”. Формулу \eqref{ref2} теперь можно обобщить на ограниченную односвязную область \(G\) с кусочно гладкой границей, которая кусочно гладкой перегородкой делится на две области, \(G_{1}\) и \(G_{2}\), элементарные относительно всех трех координатных осей. При этом \(\partial G_{1} = \Sigma_{1} \cup \Sigma_{3}\), \(\partial G_{2} = \Sigma_{2} \cup \Sigma_{3}^{-}\), \(\partial G = \Sigma_{1} \cup \Sigma_{2}\). Если \(\partial G_{1}\) и \(\partial G_{2}\) ориентированы внешними нормалями, то \(\Sigma_{3}\) и \(\Sigma_{3}^{-}\) ориентированы противоположно (рис. 56.3).

Рис. 56.3
Рис. 56.3

Применяя формулу \eqref{ref2} к каждой из областей \(G_{1}\) и \(G_{2}\), получаем
$$
\iiint\limits_{G_{1}} \operatorname{div}\ \boldsymbol{a}\ dx\ dy\ dz = \iint\limits_{\partial G_{1}} (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})\ dS = \iint\limits_{\Sigma_{1}} (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})\ dS + \iint\limits_{\Sigma_{3}} (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})\ dS,\nonumber
$$
$$
\iiint\limits_{G_{2}} \operatorname{div}\ \boldsymbol{a}\ dx\ dy\ dz = \iint\limits_{\partial G_{2}} (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})\ dS = \iint\limits_{\Sigma_{2}} (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})\ dS + \iint\limits_{\Sigma_{3}^{-}} (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})\ dS.\nonumber
$$

Складывая эти формулы и учитывая, что потоки через перегородку взаимно уничтожаются, получаем формулу \eqref{ref2} для области \(G\).

Далее индукцией формула \eqref{ref2} распространяется на односвязные области с кусочно гладкой границей, которые при помощи \(n\) непересекающихся гладких перегородок разбиваются на области, элементарные относительно всех трех координатных осей. Примером таких областей являются выпуклые многогранники, возникающие как пересечение конечного числа полупространств. Их всегда можно представить как объединение симплексов. Можно распространить формулу \eqref{ref2} и на произвольные многогранники — связные множества в \(\boldsymbol{R}^{3}\), являющиеся объединением конечного числа симплексов, причем два симплекса могут пересекаться только по одной из граней и каждая грань может быть общей не более чем для двух симплексов.

Предельный переход от многогранников к произвольной односвязной области с кусочно гладкой границей требует преодоления некоторых нетривиальных технических трудностей. \(\bullet\)


Формула \eqref{ref2} подобно формуле Грина может быть обобщена на некоторые неодносвязные области. Область с одной “дырой” будем называть двусвязной. Другими словами, двусвязная область — это область \(G\) такая, что \(G = G_{1}/\overline{G}_{2}\), где \(G_{1}\)\ и \(G_{2}\) — односвязные области и \(\overline{G}_{2} \subset G_{1}\). Будем поверхность \(\partial G_{1}\) называть внешней границей двусвязной области \(G\), a \(\partial G_{2}\) — внутренней границей \(G\) (рис. 56.4).

Рис. 56.4
Рис. 56.4

Будем каждую из поверхностей \(\partial G_{i}\) ориентировать внешними по отношению к соответствующей области \(G_{1}\) или \(G_{2}\) нормалями. Тогда, разрезая гладкой перегородкой область \(G\) на две односвязные области, применяя к каждой из областей формулу \eqref{ref2}, складывая полученные формулы и учитывая, что потоки через перегородку должны взаимно уничтожаться, получаем формулу \eqref{ref2} для двусвязной области
$$
\iiint\limits_{G} \operatorname{div}\ \boldsymbol{a}\ dx\ dy\ dz = \iint\limits_{\partial G_{1}} (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})\ dS - \iint\limits_{\partial G_{2}} (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})\ dS = \iint\limits_{\partial G} (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})\ dS.\label{ref6}
$$

Здесь под границей \(\partial G\) понимается объединение внешней и внутренней границ, ориентированных внешними по отношению к области \(G\) нормалями. Формула \eqref{ref2} обобщается на \(n\)-связную (с \(n\) “дырами”) ограниченную область с кусочно гладкими границами.


Некоторые применения формулы Остроградского—Гаусса.

Формула Остроградского-Гаусса является основным инструментом, позволяющим переходить от записи законов природы в виде законов сохранения к записи в виде дифференциальных уравнений. С многочисленными примерами читатель встретится при изучении основ гидродинамики и других разделов физики. Многочисленны применения формулы Остроградского-Гаусса и в математике.

Приведем несколько примеров.

а) Формула для вычисления объема через поверхностный интеграл. Если \(P = x\), \(Q = y\), \(R = z\), то
$$
\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 3\nonumber
$$
и по формуле \eqref{ref2} получаем
$$
m(G) = \frac{1}{3} \iint\limits_{\partial G} x\ dy\ dz + y\ dz\ dx + z\ dx\ dy.\nonumber
$$

б) Инвариантность \(\operatorname{div} \boldsymbol{a}\). Пусть в области \(G\) задано непрерывно дифференцируемое поле \(\boldsymbol{a} (P)\). Пусть \(S_{\varepsilon}(P)\) есть шар радиуса \(\varepsilon\) с центром в точке \(P\), a \(\partial S_{\varepsilon}(P)\) — его граница (сфера), ориентированная внешними нормалями. Тогда
$$
(\operatorname{div}\ \boldsymbol{a})_{P} = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{\displaystyle\iint\limits_{\partial S_{\varepsilon}(P)} (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})\ dS}{m(S_{\varepsilon}(P))}.\label{ref7}
$$

\(\circ\) Действительно, применяя к \(S_{\varepsilon}(P)\) формулу \eqref{ref2}, получаем
$$
\iiint\limits_{S_{\varepsilon}(P)} \operatorname{div} \boldsymbol{a}\ dx\ dy\ dz = \iint\limits_{\partial S_{\varepsilon}(P)} (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})\ dS.\nonumber
$$

Воспользуемся теперь интегральной теоремой о среднем:
$$
m(S_{\varepsilon}(P))(\operatorname{div}\ \boldsymbol{a})_{P^*} = \iint\limits_{\partial S_{\varepsilon}(P)} (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})\ dS,\quad P^{*} \in S_{\varepsilon}(P).\label{ref8}
$$

Формула \eqref{ref7} получается, если перейти к пределу в \eqref{ref8} при \(\varepsilon \rightarrow 0\) и воспользоваться непрерывностью функции \(\operatorname{div}\ \boldsymbol{a}(M)\) в точке \(P\).

Нетрудно видеть, что вместо шара \(S_{\varepsilon}(P)\) можно выбрать любое семейство окрестностей \(G_{\varepsilon}(P)\) с кусочно гладкими границами, диаметры которых стремятся к нулю при \(\varepsilon \rightarrow 0\).

Так как поток не зависит от выбора координатной системы, то из формулы \eqref{ref7} следует, что и \(\operatorname{div} \boldsymbol{a}\) не зависит от координатной системы. \(\bullet\)

В некоторых случаях применение формулы Остроградского-Гаусса упрощает вычисление поверхностных интегралов.

Пример 1.

Показать, что поверхностный интеграл
$$
J = \iint\limits_{\Sigma} (y - z)\ dy\ dz + (z - x)\ dz\ dx + (x - y)\ dx\ dy
$$
по внешней стороне части конической поверхности \(x^{2} + y^{2} = z^{2}\), \(0\leq z \leq R\) равен нулю.

Решение.

\(\vartriangle\) Запишем поверхностный интеграл в виде \(J = \displaystyle\iint\limits_{\Sigma} (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})\ dS\), где \(\boldsymbol{a} = (y - z) \boldsymbol{i} + (z - x) \boldsymbol{j} + (x - y) \boldsymbol{k}\). Тогда \(\operatorname{div} \boldsymbol{a} = 0\). Применим формулу Остроградского-Гаусса к области \(G\), изображенной на рис. 56.5. Граница \(G\) состоит из поверхности \(\Sigma\) и круга \(\Sigma_{1}\) радиуса \(R\) с центром в точке \((0, 0, R)\). Так как \(\operatorname{div} \boldsymbol{a} = 0\), то
$$
\iint\limits_{\Sigma} (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})\ dS + \iint\limits_{\Sigma_{1}} (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})\ dS = \iiint\limits_{G} \operatorname{div}\ \boldsymbol{a}\ dx\ dy\ dz = 0.\nonumber
$$

Следовательно,
$$
J = \iint\limits_{\Sigma} (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})\ dS = -\iint\limits_{\Sigma_{1}} (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})\ dS = -\iint\limits_{x^{2} + y^{2} \leq 1} (x - y)\ dx\ dy = 0.\ \blacktriangle\nonumber
$$

Рис. 56.5
Рис. 56.5


Соленоидальные векторные поля.

Кусочно гладкую поверхность, являющуюся границей ограниченной односвязной области, в дальнейшем для краткости будем называть допустимой. Непрерывно дифференцируемое в области \(G\) поле \(\boldsymbol{a}\) будем называть соленоидалъным, если поток вектора \(\boldsymbol{a}\) через любую допустимую поверхность \(\Sigma \subset G\) равен нулю.

Теорема 1.

Для того чтобы непрерывно дифференцируемое поле в области \(G\) было соленоидалъным, необходимо, а в случае односвязной (объемно) области и достаточно, чтобы \(\operatorname{div}\ \boldsymbol{a} = 0\) в области \(G\).

Доказательство.

\(\circ\) Необходимость. Пусть поле \(\boldsymbol{a}\) соленоидально. Тогда поток вектора \(\boldsymbol{a}\) через любую допустимую поверхность равен нулю. Возьмем произвольную точку \(P \in G\). При достаточно малом \(\varepsilon\) шар \(\overline{S}_{\varepsilon}(P) \subset G\). Поток же через границу шара равен нулю. Применяя формулу \eqref{ref7} для дивергенции, получаем, что \(\operatorname{div} \boldsymbol{a} = 0\).

Достаточность. Пусть область \(G\) объемно односвязна и пусть \(\operatorname{div} \boldsymbol{a} = 0\) в области \(G\). Возьмем произвольно кусочно гладкую поверхность \(\Sigma \subset G\), ограничивающую односвязную область \(\Omega\). В силу односвязности области \(G\) область \(\Omega \subset G\). Применяя к \(\Omega\) формулу Остроградского-Гаусса, получаем
$$
\iint\limits_{\Sigma} (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})\ dS = \iiint\limits_{G} \operatorname{div}\boldsymbol{a}\ dx\ dy\ dz = 0.\nonumber
$$
Таким образом, поток через любую допустимую поверхность равен нулю. \(\bullet\)


Покажем, что условие односвязности области существенно в формулировке теоремы 1. Рассмотрим поле “точечного источника”:
$$
\boldsymbol{a} = -\frac{Q}{4\pi} \operatorname{grad} \frac{1}{r} = \frac{Q}{4\pi} \frac{\boldsymbol{r}}{r^{3}},\quad \boldsymbol{r} = (x, y, z),\quad r = |\boldsymbol{r}|.\nonumber
$$
Векторное поле точечного источника определено в неодносвязной области \(G\), получающейся, если из пространства \(\boldsymbol{R}^{3}\) удалить одну точку (начало координат). Покажем, что \(\operatorname{div} \boldsymbol{a} = 0\) в \(G\). Воспользуемся примерами 1 и 3 п. 4 § 55 (впрочем, читатель может провести вычисления и непосредственно в координатах, не обращаясь к этим примерам). Получаем
$$
\operatorname{div} \boldsymbol{a} = \frac{Q}{4\pi}\ \operatorname{div} \frac{\boldsymbol{r}}{r^{3}} = \frac{Q}{4\pi r^{3}}\ \operatorname{div} \boldsymbol{r} + \frac{Q}{4\pi} \left(\boldsymbol{r}, \nabla \frac{1}{r^{3}}\right) =\\= \frac{3Q}{4\pi r^{3}} + \frac{Q}{4\pi} \left(\boldsymbol{r}, -\frac{3}{r^{4}} \frac{\boldsymbol{r}}{r}\right) = \frac{Q}{4\pi} \left(\frac{1}{r^{3}} - \frac{1}{r^{3}}\right) = 0.\nonumber
$$

Но если \(S_{\varepsilon}\) — шар радиуса \(\varepsilon\) с центром в начале координат и его поверхность \(\partial S_{\varepsilon}\) ориентирована внешними нормалями, то поток
$$
\iint\limits_{\partial S_{\varepsilon}} \left(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n}\right)\ dS = \iint\limits_{\partial S_{\varepsilon}} \left(\frac{Q}{4\pi} \frac{\boldsymbol{r}}{r^{3}}, \frac{\boldsymbol{r}}{r}\right) dS = \frac{Q}{4\pi} \iint\limits_{\partial S_{\varepsilon}} \frac{dS}{r^{2}} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon^{2}} \iint\limits_{\partial S_{\varepsilon}} dS = Q.\nonumber
$$

Теорема 1 неприменима из-за неодносвязности области \(G\), в которой задано поле точечного источника.