Скалярные и векторные поля.

Содержание:

  1. Производная скалярного и векторного поля.
  2. Дивергенция и вихрь векторного поля.
  3. Оператор Гамильтона \(\nabla\).

Производная скалярного и векторного поля.

Будем рассматривать пространство, подчиняющееся законам геометрии Евклида. Напомним, что каждой паре точек \(A\) и \(B\) пространства можно поставить в соответствие вектор \(\overrightarrow{AB}\).Векторы складываются и умножаются на вещественные числа по известным из курса аналитической геометрии правилам, для любых двух векторов определено скалярное произведение.

Если выбрана декартова система координат, то каждая точка пространства определяется заданием трех чисел — координат точки, каждый вектор определяется заданием трех своих компонент по осям координат.

Если в некоторой области \(\Omega\) определена функция \(f: \Omega \rightarrow R\), то говорят, что в области \(\Omega\) задано скалярное поле. Если выбрана координатная система, то положение точки \(M \in \Omega\) определяется заданием трех ее координат, и функция \(f: \Omega \rightarrow R\) будет функцией трех переменных \(f(x, y, z)\). В физике рассматривают скалярные поля давлений, температур, плотностей и т. д.

Перефразируем некоторые известные понятия дифференциального исчисления па геометрическом языке.

Говорят, что скалярное поле \(f\) дифференцируемо в точке \(M_{0}\), если найдется такой вектор \(\boldsymbol{c}\), что
$$
f(M) - f(M_{0}) = (\overrightarrow{M_{0}M}, \boldsymbol{c}) + o(|\overrightarrow{M_{0}M}|)\ \mbox{при}\ M \rightarrow M_{0}.\label{ref1}
$$

Вектор \(\boldsymbol{c}\) будем называть производной скалярного поля \(f\) в точке \(M_{0}\) и обозначать \(\nabla f (M_{0})\).

Запись \(\nabla f\) читается как “набла эф”.

Если в пространстве задана декартова система координат, точки \(M(x, y, z)\), \(M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})\) и вектор \(\boldsymbol{c} = \boldsymbol{i} c_{1} + \boldsymbol{j} c_{2} + \boldsymbol{k} c_{3}\), то
$$
\overrightarrow{M_{0}M} = (x - x_{0})\boldsymbol{i} + (y - y_{0})\boldsymbol{j} + (z - z_{0})\boldsymbol{k},\nonumber
$$
$$
|\overrightarrow{M_{0}M}| = [(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2}]^{1/2}.\nonumber
$$

Записывая формулу \eqref{ref1} в координатах, получаем
$$
f(x, y, z) - f(x_{0}, y_{0}, z_{0}) = c_{1}(x - x_{0}) + c_{2}(y - y_{0}) + c_{3}(z - z_{0}) +\\+ o(\sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2}})\label{ref2}
$$
при \((x, y, z) \rightarrow (x_{0}, y_{0}, z_{0})\).

Из \eqref{ref2} следует, что функция \(f(x, y, z)\) дифференцируема в точке \((x_{0}, y_{0}, z_{0})\) и что
$$
\begin{array}{c}
c_{1} = \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0}, z_{0}),\quad c_{2} = \frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}, y_{0}, z_{0}),\quad c_{3} = \frac{\partial f}{\partial z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}),\\
\\
\nabla = \displaystyle\boldsymbol{i}\frac{\partial}{\partial x} + \boldsymbol{j}\frac{\partial}{\partial y} + \boldsymbol{k}\frac{\partial}{\partial z},\\
\\
\nabla f (M_{0}) = \displaystyle\boldsymbol{c} = \frac{\partial f(M_{0})}{\partial x} \boldsymbol{i} + \frac{\partial f(M_{0})}{\partial y} \boldsymbol{j} + \frac{\partial f(M_{0})}{\partial z} \boldsymbol{k}.
\end{array}\label{ref3}
$$

Будем в дальнейшем обращаться с \(\nabla\) как с символическим вектором (дифференциальным оператором), ставящим в соответствие скалярной функции ее производную. Тогда равенство \eqref{ref1} можно записать в следующем виде:
$$
f(M) - f(M_{0}) = (\overrightarrow{M_{0}M}, \nabla f (M_{0})) + o(|\overrightarrow{M_{0}M}|)\ \mbox{при}\ M \rightarrow M_{0}.\label{ref4}
$$

С оператором \(\nabla\) можно обращаться, как с обычным вектором, если договориться, что он действует как дифференциальный оператор на функции, стоящие в записи справа от оператора \(\nabla\), а с функциями и векторами, стоящими в записи слева, перемножается, как обычный вектор.

Пусть \(\boldsymbol{b} = b_{1} \boldsymbol{i} + b_{2} \boldsymbol{j} + b_{3} \boldsymbol{k}\) — произвольный вектор. Определим дифференциальный оператор \(\boldsymbol{b} \nabla\) равенством \(\boldsymbol{b}\ \nabla = (\boldsymbol{b}, \nabla)\). Тогда
$$
\boldsymbol{b} \nabla = (\boldsymbol{b}, \nabla) = b_{1} \frac{\partial}{\partial x} + b_{2} \frac{\partial}{\partial y} + b_{3} \frac{\partial}{\partial z}.\label{ref5}
$$
Используя этот оператор, можно формулу \eqref{ref4} переписать в следующем виде:
$$
f(M) - f(M_{0}) = (\overrightarrow{M_{0}M}, \nabla) f (M_{0}) + o(|\overrightarrow{M_{0}M}|)\ \mbox{при}\ M \rightarrow M_{0}.\label{ref6}
$$

Пусть \(\boldsymbol{l}\) — единичный вектор. Рассмотрим луч, состоящий из всех точек \(M\), для которых \(\overrightarrow{M_{0}M} = \boldsymbol{l}t\), \(t\;>\;0\).

Производной скалярного поля \(f\) по направлению \(\boldsymbol{l}\) в точке \(M_{0}\) будем называть следующий предел:
$$
\frac{\partial f}{\partial l}(M_{0}) = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(M) - f(M_{0})}{t},\quad \overrightarrow{M_{0}M} = \boldsymbol{l} t,\ t\;>\;0.\nonumber
$$

Из формулы \eqref{ref6} следует, что для дифференцируемой в точке \(M_{0}\) функции выполняется равенство
$$
\frac{\partial f}{\partial l} = (\boldsymbol{l} \nabla) f(M_{0}).\nonumber
$$
Символический вектор \(\nabla\) называют также оператором Гамильтона.

Пусть в каждой точке области \(\Omega\) задан вектор \(\boldsymbol{a}\). Будем говорить, что на \(\Omega\), задано векторное поле \(\boldsymbol{a}\). В физике рассматривают векторные поля сил, скоростей, ускорений и т. д.

Будем говорить, что векторное поле \(\boldsymbol{a}(M)\) дифференцируемо в точке \(M_{0}\), если существует такое линейное преобразование \(A\), что
$$
\boldsymbol{a}(M) - \boldsymbol{a}(M_{0}) = A(\overrightarrow{M_{0}M}) + o(|\overrightarrow{M_{0}M}|)\ \mbox{при}\ M \rightarrow M_{0}.\label{ref7}
$$

Проектируя уравнение \eqref{ref7} на координатные оси, получаем равенства
$$
a_{i}(M) - a_{i}(M_{0}) = A_{i1}(x - x_{0}) + A_{i2}(y - y_{0}) + A_{i3}(z - z_{0}) + o(|\overrightarrow{M_{0}M}|)\ \mbox{при}\ M \rightarrow M_{0},\ i = \overline{1, 3},\label{ref8}
$$
где \((A_{ij})\) — матрица линейного преобразования \(A\). Из равенств \eqref{ref8} следует, что компоненты \(a_{i}(M)\), \(i = \overline{1, 3}\), дифференцируемы в точке \(M_{0}\). Верно и обратное утверждение. Из дифференцируемости компонент \(a_{i}(M)\) следует и дифференцируемость векторного поля в точке \(M_{0}\).

Используя формулу \eqref{ref6}, запишем равенства \eqref{ref8} в следующем виде:
$$
a_{i}(M) - a_{i}(M_{0}) = (\overrightarrow{M_{0}M} \nabla)a_{i}(M_{0}) + o(|\overrightarrow{M_{0}M}|)\ \mbox{при}\ M \rightarrow M_{0}.
$$

Это равенство можно записать и в векторном виде:
$$
\boldsymbol{a}(M) - \boldsymbol{a}(M_{0}) = (\overrightarrow{M_{0}M} \nabla)\boldsymbol{a}(M_{0}) + \boldsymbol{o}(|\overrightarrow{M_{0}M}|)\ \mbox{при}\ M \rightarrow M_{0}.\label{ref9}
$$

Здесь дифференциальный оператор \(\overrightarrow{M_{0}M} \nabla\) применяется к вектору \(\boldsymbol{a}\). Из \eqref{ref7} и \eqref{ref9} следует, что
$$
A(\overrightarrow{M_{0}M}) = (\overrightarrow{M_{0}M} \nabla) \boldsymbol{a}(M_{0}).\nonumber
$$

Так как определение линейного преобразования \(A\) не зависит от выбора координатной системы, то и результат применения оператора \(\overrightarrow{M_{0}M} \nabla\) к \(\boldsymbol{a}(M_{0})\) не зависит от выбора координатной системы.

Лемма 1.

Линейное преобразование \(A\) в формуле \eqref{ref7} определено однозначно.

Доказательство.

\(\circ\) Допустим, что существуют два линейных преобразования \(A_{1}\) и \(A_{2}\) таких, что для них выполнено равенство \eqref{ref7}. Тогда, вычитая соответствующие равенства, получим, что
$$
(A_{1} - A_{2})\overrightarrow{M_{0}M} = \boldsymbol{o}(|\overrightarrow{M_{0}M}|)\ \mbox{при}\ M \rightarrow M_{0}.\label{ref10}
$$
Пусть \(\boldsymbol{l}\) — произвольный вектор, \(t\) — произвольное положительное число и \(\overrightarrow{M_{0}M} = \boldsymbol{l} t\). Тогда равенство \eqref{ref10} принимает следующий вид:
$$
t(A_{1} - A_{2})\boldsymbol{l} = \boldsymbol{o}(t)\ \mbox{при}\ t \rightarrow +0.\label{ref11}
$$

Деля равенство \eqref{ref11} на \(t\) и переходя к пределу при \(t \rightarrow +0\), получаем, что \((A_{1} - A_{2})\boldsymbol{l} = 0\). Так как вектор \(\boldsymbol{l}\) произвольный, то \(A_{1} = A_{2}\). \(\bullet\) 


Если векторное поле \(\boldsymbol{a}(M)\) дифференцируемо в точке \(M_{0}\), т. е. справедливо равенство \eqref{ref7}, то будем линейное преобразование \eqref{ref7} называть производной векторного поля в точке \(M_{0}\) и обозначать через \(\boldsymbol{a'}(M_{0})\).

Производная векторного поля по направлению \(\boldsymbol{l}\) в точке \(M_{0}\) определяется так же, как и производная по направлению для скалярного поля. Из формулы \eqref{ref9} получаем
$$
\frac{\partial \boldsymbol{a}}{\partial l}(M_{0}) = (\boldsymbol{l} \nabla) \boldsymbol{a}(M_{0}).\label{ref12}
$$

Пример 1.

Найти производную векторного поля
$$
\boldsymbol{a} = x \boldsymbol{i} + (x^{2} + y^{2}) \boldsymbol{j} + (x^{3} + y^{3} + z^{3}) \boldsymbol{k}
$$
по направлению \(\boldsymbol{l} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)\) в произвольной точке \(M(x, y, z)\).

Решение.

\(\vartriangle\) Воспользуемся формулой \eqref{ref12}. Так как
$$
\boldsymbol{l} \nabla = (\boldsymbol{l} \nabla) = \frac{1}{\sqrt{3}} \left(\frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial z}\right),\nonumber
$$
то справедливо равенство
$$
\frac{\partial \boldsymbol{a}}{\partial l} = (\boldsymbol{l} \nabla) \boldsymbol{a} = \frac{1}{\sqrt{3}} \boldsymbol{i} + \frac{2x + 2y}{\sqrt{3}} \boldsymbol{j} + \frac{3x^{2} + 3y^{2} + 3z^{2}}{\sqrt{3}} \boldsymbol{k}.\ \blacktriangle\nonumber
$$


Дивергенция и вихрь векторного поля.

Пусть в области \(\Omega\) определено дифференцируемое векторное поле \(\boldsymbol{a}(M)\). Выберем декартову систему координат \(Oxyz\). Тогда
$$
\boldsymbol{a}(M) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)).
$$

Дивергенцией векторного поля называется следующая скалярная функция:
$$
\operatorname{div} \boldsymbol{a} = (\nabla, \boldsymbol{a}) = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}.\nonumber
$$

В § 56 будет показано, что \(\operatorname{div}\boldsymbol{a}\) не зависит от выбора координатной системы.

Вихрь или ротор векторного поля определяется следующим образом:
$$
\operatorname{rot}\ \boldsymbol{a} = [\nabla, \boldsymbol{a}] = \begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}&\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}&\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R\end{vmatrix} = \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right).\nonumber
$$

В § 57, п. 3 будет показано, что в любой правой системе координат вихрь векторного поля одинаков, а при переходе от правой системы координат к левой меняет знак. Поэтому иногда \(\operatorname{rot}\ \boldsymbol{a}\) называют псевдовектором.


Оператор Гамильтона \(\nabla\). Некоторые формулы векторного анализа.

Многие формулы векторного анализа легко выводятся при использовании символического вектора \(\nabla\) (оператора Гамильтона). Нужно лишь помнить, что на функции и векторы, стоящие справа от \(\nabla\), этот оператор действует как дифференциальный, а функции и векторы, стоящие слева от \(\nabla\), перемножаются с \(\nabla\) как с обычным вектором по правилам векторной алгебры. В результате такого умножения получается новый дифференциальный оператор.

Применяя оператор \(\nabla\) к произведениям векторов и скаляров, будем пользоваться следующим правилом: запишем результат применения оператора \(\nabla\) к произведению в виде суммы произведений такой, что в каждом слагаемом оператор \(\nabla\) применяется только к одному из сомножителей, который мы отметим “стрелкой”, например \(\overset{\downarrow}{\boldsymbol{a}}\). Далее каждое слагаемое преобразуется так, чтобы все сомножители, не отмеченные стрелкой, оказались слева от \(\nabla\). После этого стрелки опускаются.

Как нетрудно видеть, в одномерном случае оператор \(\nabla\) есть оператор дифференцирования функции одной переменной, и предлагаемое правило сводится к правилу нахождения производной произведения
$$
\frac{d}{dx} (\varphi\psi) = \nabla (\varphi\psi) = \nabla (\overset{\downarrow}{\varphi}\psi) + \nabla (\varphi\overset{\downarrow}{\psi}) = \psi \nabla \overset{\downarrow}{\varphi} + \varphi \nabla \overset{\downarrow}{\psi} = \psi \frac{d\varphi}{dx} + \varphi \frac{d\psi}{dx}.\nonumber
$$

Можно показать, что предложенное правило не приводит к ошибкам в формулах, линейных относительно оператора \(\nabla\). На нижеследующих примерах можно усвоить некоторые элементы техники обращения с оператором \(\nabla\). Читатель всегда может проверить получающиеся формулы в координатах.

  1. Пусть \(\boldsymbol{r} = (x, y, z)\), \(r = |\boldsymbol{r}| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\). Тогда
    $$
    \nabla \varphi(r) = \left(\frac{\partial \varphi(r)}{\partial x}, \frac{\partial \varphi(r)}{\partial y}, \frac{\partial \varphi(r)}{\partial z}\right) = \varphi'(r) \left(\frac{\partial r}{\partial x}, \frac{\partial r}{\partial y}, \frac{\partial r}{\partial z}\right) = \varphi'(r) \left(\frac{x}{r}, \frac{y}{r}, \frac{z}{r}\right) = \frac{\varphi'(r)}{r} \boldsymbol{r},\ \boldsymbol{r} \neq \boldsymbol{0}.\nonumber
    $$


  2. $$
    \operatorname{grad}\ (\varphi\psi) = \nabla (\varphi\psi) = \nabla (\overset{\downarrow}{\varphi}\psi) + \nabla (\varphi\overset{\downarrow}{\psi}) = \psi \nabla \varphi + \varphi \nabla \psi = \psi\ \operatorname{grad}\ \varphi + \varphi\ \operatorname{grad}\ \psi.\nonumber
    $$


  3. $$
    \operatorname{div}\ (\rho\boldsymbol{a}) = (\nabla, \rho\boldsymbol{a}) = (\nabla, \overset{\downarrow}{\rho}\boldsymbol{a}) + (\nabla, \rho\overset{\downarrow}{\boldsymbol{a}}) =\\= (\nabla \overset{\downarrow}{\rho}, \boldsymbol{a}) + \rho(\nabla, \overset{\downarrow}{\boldsymbol{a}}) = (\boldsymbol{a}, \nabla\overset{\downarrow}{\rho}) + \rho(\nabla, \overset{\downarrow}{\boldsymbol{a}}) = (\boldsymbol{a}, \nabla \rho) + \rho\ \operatorname{div}\ \boldsymbol{a} = (\boldsymbol{a},\ \operatorname{grad}\ \rho) + \rho\ \operatorname{div}\ \boldsymbol{a}.\nonumber
    $$

    Наряду с обозначением векторного произведения \([\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}]\), будем использовать и более употребительное в физике обозначение \(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}\).


  4. $$
    \operatorname{div} [\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}] = (\nabla, \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}) = (\nabla, \overset{\downarrow}{\boldsymbol{a}}, \boldsymbol{b}) + (\nabla, \boldsymbol{a}, \overset{\downarrow}{\boldsymbol{b}}) = (\boldsymbol{b}, \nabla, \overset{\downarrow}{\boldsymbol{a}}) - (\boldsymbol{a}, \nabla, \overset{\downarrow}{\boldsymbol{b}}) = (\boldsymbol{b}, \nabla \times \boldsymbol{a}) - (\boldsymbol{a}, \nabla \times \boldsymbol{b}) = (\boldsymbol{b},\ \operatorname{rot}\ \boldsymbol{a}) - (\boldsymbol{a},\ \operatorname{rot}\ \boldsymbol{b}).\nonumber
    $$


  5. $$
    \operatorname{rot}\ (\rho \boldsymbol{a}) = \nabla \times (\rho \boldsymbol{a}) = \nabla \times (\overset{\downarrow}{\boldsymbol{\rho}} \boldsymbol{a}) + \nabla \times (\boldsymbol{\rho} \overset{\downarrow}{\boldsymbol{a}} = \nabla \overset{\downarrow}{\boldsymbol{\rho}} \times \boldsymbol{a} + \rho \nabla \times \overset{\downarrow}{\boldsymbol{a}} = \rho\ \operatorname{rot}\ \boldsymbol{a} - \boldsymbol{a} \times \operatorname{grad}\ \rho.\nonumber
    $$

    В последующих примерах применяется правило вычисления двойного векторного произведения
    $$
    \boldsymbol{c} \times (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) = (\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}) \boldsymbol{a} - (\boldsymbol{c}, \boldsymbol{a}) \boldsymbol{b}.\nonumber
    $$


  6. $$
    \operatorname{rot}(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) = \nabla \times (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) = \nabla \times (\overset{\downarrow}{\boldsymbol{a}} \times \boldsymbol{b}) + \nabla \times (\boldsymbol{a} \times \overset{\downarrow}{\boldsymbol{b}}) =\\= (\boldsymbol{b} \nabla) \overset{\downarrow}{\boldsymbol{a}} - \boldsymbol{b} (\nabla, \overset{\downarrow}{\boldsymbol{a}}) + \boldsymbol{a} (\nabla, \overset{\downarrow}{\boldsymbol{b}}) - (\boldsymbol{a} \nabla)\overset{\downarrow}{\boldsymbol{b}} = (\boldsymbol{b} \nabla)\boldsymbol{a} - (\boldsymbol{a} \nabla) \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a}\ \operatorname{div}\ \boldsymbol{b} - \boldsymbol{b}\ \operatorname{div} \boldsymbol{a}.\nonumber
    $$


  7. $$
    \boldsymbol{b} \times \operatorname{rot}\ \boldsymbol{a} = \boldsymbol{b} \times (\nabla \times \overset{\downarrow}{\boldsymbol{a}}) = \nabla (\boldsymbol{b}, \overset{\downarrow}{\boldsymbol{a}}) - (\boldsymbol{b} \nabla)\overset{\downarrow}{\boldsymbol{a}},\nonumber
    $$
    $$
    \boldsymbol{a} \times \operatorname{rot}\ \boldsymbol{b} = \nabla (\overset{\downarrow}{\boldsymbol{b}}, \boldsymbol{a}) - (\boldsymbol{a} \nabla)\overset{\downarrow}{\boldsymbol{b}}.\nonumber
    $$

    Складывая эти формулы, получаем
    $$
    \boldsymbol{b} \times \operatorname{rot}\ \boldsymbol{a} + \boldsymbol{a} \times \operatorname{rot}\ \boldsymbol{b} = \nabla (\boldsymbol{b}, \overset{\downarrow}{\boldsymbol{a}}) + \nabla (\boldsymbol{a}, \overset{\downarrow}{\boldsymbol{b}}) - (\boldsymbol{b} \nabla) \overset{\downarrow}{\boldsymbol{a}} - (\boldsymbol{a} \nabla) \overset{\downarrow}{\boldsymbol{b}},\nonumber
    $$
    или
    $$
    \nabla (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}) = \boldsymbol{a} \times \operatorname{rot}\ \boldsymbol{b} + \boldsymbol{b} \times \operatorname{rot}\ \boldsymbol{a} + (\boldsymbol{a} \nabla) \boldsymbol{b} + (\boldsymbol{b} \nabla) \boldsymbol{a},\nonumber
    $$
    $$
    \nabla \frac{\boldsymbol{a}^{2}}{2} = \boldsymbol{a} \times \operatorname{rot}\ \boldsymbol{a} + (\boldsymbol{a} \nabla) \boldsymbol{a},\ \mbox{где}\ \boldsymbol{a}^{2} = (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{a}).\nonumber
    $$


  8. $$
    (\boldsymbol{c}, \boldsymbol{b}, \operatorname{rot}\ \boldsymbol{a}) = (\boldsymbol{c}, \boldsymbol{b} \times \operatorname{rot}\ \boldsymbol{a}) = (\boldsymbol{c}, \nabla (\boldsymbol{b}, \overset{\downarrow}{\boldsymbol{a}}) - (\boldsymbol{b} \nabla) \overset{\downarrow}{\boldsymbol{a}}) = (\boldsymbol{c} \nabla)(\boldsymbol{b}, \overset{\downarrow}{\boldsymbol{a}}) - (\boldsymbol{c}, (\boldsymbol{b} \nabla) \overset{\downarrow}{\boldsymbol{a}}) = (\boldsymbol{b}, (\boldsymbol{c} \nabla) \boldsymbol{a}) - (\boldsymbol{c}, (\boldsymbol{b} \nabla) \overset{\downarrow}{\boldsymbol{a}}).\nonumber
    $$


  9. $$
    \operatorname{div}\ \operatorname{rot}\ \boldsymbol{a} = (\nabla, \nabla \times \boldsymbol{a}) = (\nabla, \nabla, \boldsymbol{a}) = 0.\nonumber
    $$


  10. $$
    \operatorname{rot}\ \operatorname{grad}\ f = \nabla \times \nabla f = (\nabla \times \nabla) f = \boldsymbol{0}.\nonumber
    $$


Последние две формулы легко проверяются в координатах.