Формула Стокса.

Содержание:

  1. Формула Стокса для простой гладкой поверхности.
  2. Формула Стокса для кусочно гладкой поверхности.
  3. Инвариантность \(\boldsymbol{\operatorname{rot} a}\) в ориентированном евклидовом пространстве.
  4. Потенциальные векторные поля.

Формула Стокса для простой гладкой поверхности.

Пусть в ориентированном евклидовом пространстве задана простая поверхность \(\Sigma\) уравнением
$$
\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(u, v),\ (u, v) \in \Omega \subset \boldsymbol{R}^{2}.\label{ref1}
$$
Здесь \(\Omega\) — замкнутая область, граница которой есть положительно ориентированный гладкий (или кусочно гладкий) контур (при обходе границы \(\partial\Omega\) область \(\Omega\) остается слева). Пусть \(\partial\Omega\) задается уравнениями
$$
u = u(t),\ v = v(t),\ \alpha \leq t \leq \beta.\label{ref2}
$$
Образ кривой \(\partial\Omega\) при отображении \eqref{ref1} мы назвали положительно ориентированным краем поверхности \(\Sigma\) и обозначили \(\partial\Sigma\).

Напомним, что ориентация поверхности \(\Sigma\), создаваемая полем нормалей \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{r}_{u}, \boldsymbol{r}_{v}]\), называется согласованной с положительной ориентацией края. Было показано, что такое согласование совпадает с известным правилом правого винта.

Пусть в окрестности поверхности \(\Sigma\) задано непрерывно дифференцируемое векторное поле \(\boldsymbol{a} = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))\). Если \(\gamma\) - замкнутый контур, то криволинейный интеграл \(\displaystyle\int\limits_{\gamma} (\boldsymbol{a}, d\boldsymbol{r})\) в физике называют циркуляцией векторного поля \(\boldsymbol{a}\) по контуру \(\gamma\). Если \(\gamma = \partial \Sigma\), то говорят, что поверхность \(\Sigma\) натянута на контур \(\gamma\).


Теорема 1 (Стокса).

Циркуляция векторного поля \(\boldsymbol{a}\) по контуру \(\gamma = \partial \Sigma\) равна потоку вихря этого поля через поверхность \(\Sigma\), натянутую на контур \(\gamma\), т. е.
$$
\int\limits_{\partial \Sigma} (\boldsymbol{a}, d\boldsymbol{r}) = \iint\limits_{\Sigma} (\operatorname{rot} \boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})\ dS.\label{ref3}
$$

Доказательство.

\(\circ\) Докажем теорему Стокса в тех предположениях, которые были сформулированы в начале п. 1. Из \eqref{ref1} и \eqref{ref2} получаем уравнение края поверхности
$$
\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(u(t), v(t)),\ \alpha \leq t \leq \beta.\nonumber
$$
Сводя криволинейные интегралы к определенным, получаем
$$
\int\limits_{\partial \Sigma} (\boldsymbol{a}, d\boldsymbol{r}) = \int\limits_{\alpha}^{\beta} (\boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(u(t), v(t))), \boldsymbol{r}_{u}(u(t), v(t)) u'(t) + \boldsymbol{r}_{v}(u(t), v(t)) v'(t))\ dt =\\= \int\limits_{\partial \Omega} (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{r}_{u})\ du + (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{r}_{v}\ dv).\nonumber
$$

Сделаем дополнительное предположение о непрерывности (а следовательно, и равенстве) смешанных производных \(\boldsymbol{r}_{uv}\) и \(\boldsymbol{r}_{vu}\). Тогда в силу формулы Грина (1), § 51 получаем равенство
$$
\int\limits_{\partial \Sigma} (\boldsymbol{a}, d\boldsymbol{r}) = \iint\limits_{\Omega} \left[\frac{\partial}{\partial u}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{r}_{v}) - \frac{\partial}{\partial v}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{r}_{u})\right] du\ dv = \int\limits_{\partial \Sigma} \left(\frac{\partial \boldsymbol{a}}{\partial x} x_{u} + \frac{\partial \boldsymbol{a}}{\partial y} y_{u} + \frac{\partial \boldsymbol{a}}{\partial z} z_{u}, \boldsymbol{r}_{v}\right) du\ dv -\\- \iint\limits_{\Omega}\left(\frac{\partial \boldsymbol{a}}{\partial x} x_{v} + \frac{\partial \boldsymbol{a}}{\partial y} y_{v} + \frac{\partial \boldsymbol{a}}{\partial z} z_{v}, \boldsymbol{r}_{u}\right) du\ dv = \int\limits_{\partial \Sigma} [\boldsymbol{r}_{v}, (\boldsymbol{r}_{u}, \nabla) \boldsymbol{a}) - (\boldsymbol{r}_{u}, (\boldsymbol{r}_{v}, \nabla) \boldsymbol{a})] du\ dv =\\= \iint\limits_{\Omega} (\boldsymbol{r}_{u}, \boldsymbol{r}_{v}, \operatorname{rot} \boldsymbol{a}) du\ dv = \iint\limits_{\Sigma} (\operatorname{rot} \boldsymbol{a}, \boldsymbol{n}) dS.\nonumber
$$
Здесь была использована формула (см. § 55, пример 8)
$$
(\boldsymbol{b}, (\boldsymbol{c} \nabla) \boldsymbol{a}) - (\boldsymbol{c}, (\boldsymbol{b} \nabla) \boldsymbol{a}) = (\boldsymbol{c}, \boldsymbol{b}, \operatorname{rot} \boldsymbol{a})\nonumber
$$
при \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{r}_{v}\), \(\boldsymbol{c} = \boldsymbol{r}_{u}\), а также формула, выражающая поток через двойной интеграл от смешанного произведения:
$$
\iint\limits_{\Sigma} (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n}) dS = \iint\limits_{\Omega} (\boldsymbol{r}_{u}, \boldsymbol{r}_{v}, \boldsymbol{a}) du\ dv.\nonumber
$$

Итак, формула Стокса доказана для простой гладкой поверхности, натянутой на кусочно гладкий контур. \(\bullet\)


Формула Стокса для кусочно гладкой поверхности.

Разрежем кусочно гладкую поверхность на конечное число гладких кусков и запишем формулу Стокса для каждого куска. Если эти формулы сложить, то криволинейные интегралы по разрезам взаимно уничтожатся, так как разрезы входят в ориентированные границы кусков с противоположными ориентациями. Останется только криволинейный интеграл по краю поверхности \(\partial \Sigma\). Сумма потоков через куски даст, в силу аддитивности поверхностного интеграла, поток через всю поверхность \(\Sigma\), следовательно, формула Стокса справедлива и для кусочно гладкой поверхности.


Инвариантность \(\boldsymbol{\operatorname{rot} a}\) в ориентированном евклидовом пространстве.

Пусть евклидово пространство \(E^{3}\) ориентировано, т. е. множество всех некомпланарных троек векторов разбито на два класса: “правых троек” и “левых троек”. Пусть \(\boldsymbol{a}\) — непрерывно дифференцируемое поле в области \(G\). Возьмем точку \(P \in G\) и произвольный вектор \(\boldsymbol{n}\), |\(\boldsymbol{n}\)| = 1. Проведем через \(P\) плоскость с нормалью \(\boldsymbol{n}\), возьмем в этой плоскости окружность \(\partial C_{\varepsilon}\) с центром в точке \(P\) и столь малого радиуса \(\varepsilon\), что круг, вырезаемый этой окружностью из плоскости, лежит внутри области \(G\). Ориентируем \(\partial C_{\varepsilon}\) по отношению к \(\boldsymbol{n}\) по правилу правого винта. Применим к \(C_{\varepsilon}\) теорему Стокса, а затем интегральную теорему о среднем. Получаем
$$
\int\limits_{\partial C_{\varepsilon}} (\boldsymbol{a}, d\boldsymbol{r}) = \iint\limits_{C_{\varepsilon}} (\operatorname{rot}\ \boldsymbol{a}, \boldsymbol{n}) dS = (\operatorname{rot} \boldsymbol{a}(M*), \boldsymbol{n}) \pi \varepsilon^{2},\ M* \in C_{\varepsilon}.
$$
Воспользовавшись непрерывностью \(\operatorname{rot}\ \boldsymbol{a}\), можем написать
$$
(\operatorname{rot} \boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})_{M} = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{\int\limits_{\partial C_{\varepsilon}} (\boldsymbol{a}, d\boldsymbol{r})}{\pi \varepsilon^{2}}.\label{ref4}
$$

Таким образом, проекция \((\operatorname{rot}\ \boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})\) есть инвариант; она не зависит от выбора любой правой системы координат. Так как вектор \(\boldsymbol{n}\) имеет произвольное направление, то и \(\operatorname{rot}\ \boldsymbol{a}\) не зависит от выбора правой координатной системы.

При изменении ориентации пространства на противоположную нормаль к площадке и направление обхода контура \(\partial C_{\varepsilon}\) уже нужно согласовывать по правилу левого винта, и вместо формулы (4) мы получим формулу со знаком минус. Таким образом, при изменении ориентации пространства вектор \(\operatorname{rot}\boldsymbol{a}\) меняет знак.


Потенциальные векторные поля.

Пусть в области \(G\) задано непрерывное поле \(\boldsymbol{a}(M) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))\). Поле называется потенциальным, если существует такая скалярная функция \(U(M)\), что \(\boldsymbol{a} = \operatorname{grad}\ U\), т. е.
$$
P(x, y, z) = \frac{\partial U(x, y, z)}{\partial x},\quad Q(x, y, z) = \frac{\partial U(x, y, z)}{\partial y},\quad R(x, y, z) = \frac{\partial U(x, y, z)}{\partial z}.\nonumber
$$

Непрерывно дифференцируемое в области \(G\) поле \(\boldsymbol{a}\) называется безвихревым, если \(\operatorname{rot}\ \boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}\) в \(G\). Аналогично плоскому случаю для условий независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования, рассмотренному в ранее, можно доказать следующую теорему.


Теорема 2.

Пусть поле \(\boldsymbol{a}(M)\) непрерывно в области \(G \subset \boldsymbol{R}^{3}\). Тогда следующие три условия эквивалентны:

a) \(\displaystyle\int\limits_{L} P\ dx + Q\ dy + R\ dz = 0\) для любой замкнутой ломаной \(L \subset G\);

б) \(\displaystyle\int\limits_{L_{AB}} P\ dx + Q\ dy + R\ dz\) не зависит от ломаной \(L_{AB}\), соединяющей точки \(A\) и \(B\);

в) поле \(\boldsymbol{a}\) потенциально.


Условимся называть область \(G\) поверхностно односвязной, если на любой простой кусочно гладкий контур \(\Gamma \subset G\) можно натянуть кусочно гладкую поверхность \(\Sigma \subset G\). Например, пространство, из которого удалена одна точка, — поверхностно односвязная область, но то же пространство, из которого удалена целая прямая, не является поверхностно односвязной областью.

Теорема 3.

Для того чтобы непрерывно дифференцируемое в области \(G\) поле \(\boldsymbol{a}\) было потенциальным, необходимо, а в случае поверхностно односвязной области и достаточно, чтобы поле было безвихревым, т. е. \(\operatorname{rot} \boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}\).

Доказательство.

\(\circ\) Необходимость. Пусть \(\boldsymbol{a} = \nabla U\). Тогда
$$
\operatorname{rot} \boldsymbol{a} = \operatorname{rot} \nabla U = \begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}&\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}&\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\\U_{x}&U_{y}&U_{z}\end{vmatrix} = \boldsymbol{0}.\nonumber
$$

Достаточность. Пусть \(\operatorname{rot} \boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}\) в \(G\). Возьмем произвольную замкнутую простую ломаную \(L \subset G\). Так как область поверхностно односвязна, то на эту ломаную можно натянуть кусочно гладкую поверхность \(\Sigma \subset G\). Применяя формулу Стокса, получаем
$$
\int\limits_{L} (\boldsymbol{a}, d\boldsymbol{r}) = \iint\limits_{\Sigma} (\operatorname{rot}\ \boldsymbol{a}, \boldsymbol{n}) dS = 0.\nonumber
$$

Как и в плоском случае, индукцией по числу звеньев ломаной теперь можно доказать, что \(\int\limits_{L} (\boldsymbol{a}, d\boldsymbol{r}) = 0\) по любой ломаной \(L\) (не обязательно простой). В силу теоремы 2 существует потенциал \(U(M)\). \(\bullet\)


Формула Стокса в некоторых случаях может упростить вычисление криволинейного интеграла.

Пример 1.

Вычислить криволинейный интеграл
$$
J = \int\limits_{\Gamma_{AB}} (x^{2} - yz)\ dx + (y^{2} - xz)\ dy + (z^{2} - xy)\ dz,\nonumber
$$
взятый по отрезку винтовой линии (рис. 57.1) \(x = a \cos t\), \(y = a \sin t\), \(z = \displaystyle\frac{h}{2\pi}\) от точки \(A(a, 0, 0)\) до точки \(B(a, 0, h)\).

Рис. 57.1
Рис. 57.1

Решение.

\(\triangle\) Дополним кривую \(\Gamma_{AB}\) отрезком \(\Gamma'_{BA}\) до замкнутой кривой \(\Gamma\). Тогда
$$
\int\limits_{\Gamma'_{BA}} (x^{2} - yz)\ dx + (y^{2} - xz)\ dy + (z^{2} - xy)\ dz = \int\limits_{0}^{h} z^{2}\ dz = -\frac{h^{3}}{3},\nonumber
$$
так как на отрезке \(\Gamma'_{BA}\) выполнены равенства \(x = a\), \(y = 0\).

Рассмотрим векторное поле \(\boldsymbol{a} = P \boldsymbol{i} + Q \boldsymbol{j} + R \boldsymbol{k}\), \(P = x^{2} - yz\), \(Q = y^{2} - xz\), \(R = z^{2} - xy\).

Простое вычисление показывает, что \(\operatorname{rot} \boldsymbol{a} = 0\). В силу формулы Стокса
$$
\int\limits_{\Gamma} P\ dx + Q\ dy + R\ dz = \iint\limits_{\Sigma} (\operatorname{rot} \boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})\ dS,\nonumber
$$
где \(\Sigma\) — любая кусочно гладкая поверхность, натянутая на контур \(\Gamma\).

Таким образом,
$$
J = \int\limits_{\Gamma_{AB}} (\boldsymbol{a}, d\boldsymbol{r}) = \int\limits_{\Gamma'_{BA}} (\boldsymbol{a}, d\boldsymbol{r}) = \frac{h^{3}}{3}.\ \blacktriangle\nonumber
$$