Теорема о локализации.
Сходимость ряда Фурье в точке \(x_{0}\) сводится к исследованию сходимости последовательности частичных сумм \(S_{n}(x_{0})\), определенных формулой Дирихле.
Теорема 1.
(Принцип локализации)
Пусть функция \(f(x)\) \(2\pi\)-периодическая и абсолютно интегрируемая на отрезке \([-\pi, \pi]\). Тогда сходимость ряда Фурье функции \(f(x)\) в точке \(x_{0} \in \boldsymbol{R}\) и сумма ряда Фурье функции \(f(x)\) в точке (если этот ряд сходится) зависят только от поведения функции \(f(x)\) в произвольно малом интервале \((x_{0}-\delta, x_{0}+\delta)\), \(\delta > 0\).
Доказательство.
\(\circ\) Используя формулу Дирихле и формулу ядра Дирихле, запишем частичную сумму ряда Фурье в следующем виде:
$$
S_{n}(x_{0}) = \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} \dfrac{f(x_{0}+u)+f(x_{0}-u)}{2\sin \displaystyle\frac{u}{2}} \sin \left(n+\frac{1}{2}\right)u\ du.\label{ref1}
$$
Так как функция \(f(x_{0}+u)+f(x_{0}-u)\) абсолютно интегрируема на отрезке \([-\pi, \pi]\), а для \(\delta \in (0, \pi)\) и всех \(u \in [\delta, \pi]\) выполнено неравенство
$$
\left|\dfrac{f(x_{0}+u)+f(x_{0}-u)}{2\sin \displaystyle\frac{u}{2}}\right| \leq \dfrac{1}{2\sin \displaystyle\frac{\delta}{2}} |f(x_{0}+u)+f(x_{0}-u)|,\nonumber
$$
то по признаку сравнения функция
$$
\Phi(u) = \dfrac{f(x_{0}+u)+f(x_{0}-u)}{2\sin \displaystyle\frac{u}{2}}\nonumber
$$
абсолютно интегрируема на отрезке \([\delta, \pi]\). В силу леммы Римана
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\pi} \int\limits_{\delta}^{\pi} \dfrac{f(x_{0}+u)+f(x_{0}-u)}{2\sin \displaystyle\frac{u}{2}} \sin \left(n+\frac{1}{2}\right)u\ du = 0.\nonumber
$$
Тогда из формулы \eqref{ref1} получаем, что
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \left[S_{n}(x_{0})-\frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\delta} \dfrac{f(x_{0}+u)+f(x_{0}-u)}{2\sin \displaystyle\frac{u}{2}} \sin \left(n+\frac{1}{2}\right)u\ du\right] = 0.\label{ref2}
$$
Из формулы \eqref{ref2} следует, что существование и величина предела \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} S_{n}(x_{0})\) зависит только от существования и величины предела
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\delta} \dfrac{f(x_{0}+u)+f(x_{0}-u)}{2\sin \displaystyle\frac{u}{2}} \sin \left(n+\frac{1}{2}\right)u\ du,\nonumber
$$
то есть от значений функции \(f\) на интервале \((x_{0}-\delta, x_{0}+\delta)\), \(\delta > 0\). \(\bullet\)
Замечание.
Для функции \(f(x) = \frac{1}{2}\) формула \eqref{ref2} принимает следующий вид:
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\delta} \dfrac{\sin \left(n+\displaystyle\frac{1}{2}\right)u}{2\sin \displaystyle\frac{u}{2}}\ du = \displaystyle\frac{1}{2},\ 0 < \delta < \pi.\label{ref3}
$$
Условие Гёльдера.
Определение.
Функция \(f(x)\) удовлетворяет в точке \(x_{0}\) условию Гёльдера, если существуют односторонние конечные пределы \(f(x_{0} \pm 0)\) и такие числа \(\delta > 0\), \(\alpha \in (0, 1]\) и \(c_{0} > 0\), что для всех \(u \in (0, \delta)\) выполнены неравенства
$$
|f(x_{0}+u)-f(x_{0}+u)| \leq c_{0}u^{\alpha},\ |f(x_{0}-u)-f(x_{0}-u)| \leq c_{0}u^{\alpha}.\label{ref4}
$$
Число \(\alpha\) называют показателем Гёльдера.
Заметим, что функция \(f(x)\), удовлетворяющая условию Гёльдера \eqref{ref4}, может иметь в точке \(x_{0}\) разрыв первого рода, если \(f(x_{0}+0) \neq f(x_{0}-0)\).
Можно расширить определение односторонних производных, полагая
$$
f’_{+}(x_{0}) = \lim_{u \rightarrow +0} \frac{f(x_{0}+u)-f(x_{0}+0)}{u},\nonumber
$$
$$
f’_{-}(x_{0}) = \lim_{u \rightarrow +0} \frac{f(x_{0}-u)-f(x_{0}-0)}{-u}.\nonumber
$$
Лемма 1.
Если в точке \(x_{0}\) функция \(f(x)\) имеет конечные односторонние производные \(f’_{+}(x_{0})\) и \(f’_{-}(x_{0})\), то функция \(f(x)\) удовлетворяет в точке \(x_0\) условию Гёльдера с показателем \(\alpha = 1\).
Доказательство.
\(\circ\) Функции
$$
\varphi(u) = \frac{f(x_{0}+u)-f(x_{0}+0)}{u},\quad \psi(u) = \frac{f(x_{0}-u)-f(x_{0}-0)}{-u}\nonumber
$$
имеют конечные пределы при \(u \rightarrow +0\) и поэтому ограничены на некотором интервале \((0, \delta)\), то есть существует \(c_{0} > 0\) такое, что
$$
\left|\frac{f(x_{0}+u)-f(x_{0}+0)}{u}\right| \leq c_{0},\quad \left|\frac{f(x_{0}-u)-f(x_{0}-0)}{-u}\right| \leq c_{0}.\nonumber
$$
Следовательно, функция \(f(x)\) удовлетворяет в точке \(x_{0}\) условию Гёльдера с показателем \(\alpha = 1\). \(\bullet\)
Следствие.
Если функция \(f(x)\) имеет в точке \(x_{0}\) производную, то она удовлетворяет в этой точке условию Гёльдера.
Обратное утверждение неверно: функция \(|x|^{\alpha}\) при \(0 < \alpha < 1\) удовлетворяет условию Гёльдера в точке \(x = 0\), но не дифференцируема в точке \(x = 0\).
Сходимость ряда Фурье в точке.
Теорема 2.
Пусть \(2\pi\)-периодическая функция \(f(x)\) абсолютно интегрируема на \([-\pi, \pi]\) и в точке \(x_{0}\) удовлетворяет условию Гёльдера. Тогда в точке \(x_{0}\) Ряд Фурье функции \(f(x)\) сходится к
$$
\frac{1}{2} (f(x_{0}+0)+f(x_{0}-0)).\nonumber
$$
Если в точке \(x_{0}\) функция \(f(x)\) еще и непрерывна, то в этой точке сумма ряда Фурье равна \(f(x_{0})\).
Доказательство.
\(\circ\) Так как функция \(f(x)\) удовлетворяет в точке \(x_{0}\) условию Гёльдера, то при \(0 < u < \delta\) и \(\alpha > 0\) выполнены неравенства \eqref{ref4}.
Запишем при заданном \(\delta > 0\) равенства \eqref{ref2} и \eqref{ref3}. Умножая равенство \eqref{ref3} на \(f(x_{0}+u)+f(x_{0}-u)\) и вычитая результат из равенства \eqref{ref2}, получаем
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \left[S_{n}(x_{0})-\frac{f(x_{0}+0)-f(x_{0}+0)}{2} -\\- \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\delta} \dfrac{f(x_{0}+u)-f(x_{0}+0)+f(x_{0}-u)-f(x_{0}-0)}{2\sin \displaystyle\frac{u}{2}} \sin \left(n+\frac{1}{2}\right)u\ du\right] = 0.\label{ref5}
$$
Из условия Гёльдера \eqref{ref4} следует, что функция
$$
\Phi(u) = \dfrac{f(x_{0}+u)-f(x_{0}+0)+f(x_{0}-u)-f(x_{0}-0)}{2\sin \displaystyle\frac{u}{2}}\label{ref6}
$$
абсолютно интегрируема на отрезке \([0, \delta]\). В самом деле, применяя неравенство Гёльдера, получаем, что для функции \(\Phi(u)\), определенной равенством \eqref{ref6}, справедливо следующее неравенство:
$$
|\Phi(u)| \leq \dfrac{2c_{o}u^{\alpha}}{\displaystyle\frac{2}{\pi}u} = \pi c_{0}u^{\alpha-1},\quad \alpha \in (0, 1].\label{ref7}
$$
В силу признака сравнения для несобственных интегралов из неравенства \eqref{ref7} следует, что функция \(\Phi(u)\) абсолютно интегрируема на отрезке \([0, \delta]\).
В силу леммы Римана
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{0}^{\delta} \Phi(u) \sin \left(n+\frac{1}{2}\right)u\ du = 0.\nonumber
$$
Из формулы \eqref{ref5} теперь следует, что
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} S_{n}(x_{0}) = \frac{f(x_{0}+0)+f(x_{0}-0)}{2}.\ \bullet\nonumber
$$
Следствие 1.
Если \(2\pi\)-периодическая и абсолютно интегрируемая на \([-\pi, \pi]\) функция \(f(x)\) имеет в точке \(x_{0}\) обе односторонние производные, то ее ряд Фурье сходится в точке \(x_{0}\) к \(\displaystyle\frac{1}{2}f(x_{0}+0)+\frac{1}{2}f(x_{0}-0)\).
Следствие 2.
Если \(2\pi\)-периодическая и абсолютно интегрируемая на \([-\pi, \pi]\) функция \(f(x)\) имеет в точке \(x_{0}\) производную, то ее ряд сходится в этой точке к \(f(x_{0})\).
Следствие 3.
Если \(2\pi\)-периодическая и абсолютно интегрируемая на \([-\pi, \pi]\) функция \(f(x)\) удовлетворяет в точках \(\pm \pi\) условию Гёльдера, то в силу периодичности сумма ряда Фурье в точках \(\pm \pi\) равна
$$
\frac{f(\pi-0)+f(-\pi+0)}{2}\nonumber
$$
Некоторые примеры.
Пример 1.
На отрезке \([-\pi, \pi]\) найти тригонометрический ряд Фурье функции
$$
f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
1, & x \in (0, \pi),\\
-1, & x \in (-\pi, 0),\\
0, & x = 0.
\end{array} \right.\nonumber
$$
Исследовать сходимость полученного ряда.
Решение.
\(\circ\) Продолжая периодически \(f(x)\) на всю вещественную ось, получим функцию \(\tilde{f}(x)\), график которой изображен на рис. 64.1.
Так как функция \(f(x)\) нечётна, то
$$
a_{k} = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos kx\ dx = 0;\nonumber
$$
$$
b_{k} = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin kx\ dx = \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} \sin kx\ dx = -\left.\frac{2}{\pi k} \cos kx\right|_{0}^{\pi} = \frac{2}{\pi k} (1-\cos k\pi),\nonumber
$$
$$
b_{2n} = 0,\quad b_{2n+1} = \dfrac{4}{\pi(2n+1)}.\nonumber
$$
Следовательно,
$$
\tilde{f}(x) \sim \frac{4}{\pi} \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{\sin(2n+1)x}{2n+1}.\nonumber
$$
Так как \(f'(x)\) существует при \(x \neq k\pi\), то
$$
\tilde{f}(x) = \frac{4}{\pi} \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{\sin(2n+1)x}{2n+1},\ x \neq k\pi,\ k \in \boldsymbol{Z}.\nonumber
$$
В точках \(x = k\pi\), \(k \in \boldsymbol{Z}\), функция \(f(x)\) не определена, а сумма ряда Фурье равна нулю.
Полагая \(x = \displaystyle\frac{\pi}{2}\), получаем равенство
$$
1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\ldots+\dfrac{(-1)^{n}}{2n+1}+\ldots = \frac{\pi}{4}.\ \blacktriangle\nonumber
$$
Пример 2.
На отрезке \([-\pi, \pi]\) найти тригонометрический ряд Фурье функции
$$
f(x) = \cos ax,\quad -\pi \leq x \leq \pi,\quad a \neq n,\ n \in \boldsymbol{Z},\nonumber
$$
и исследовать сходимость полученного ряда.
Решение.
\(\vartriangle\) Продолжая функцию \(f(x)\) периодически на всю вещественную прямую, получаем непрерывную и \(2\pi\)-периодическую функцию, имеющую в каждой точке обе односторонние производные (рис. 64.2). Ряд Фурье такой функции будет в любой точке сходиться к значению функции в этой точке.
Найдем коэффициенты Фурье. Так как функция \(f(x)\) четная, то все коэффициенты \(b_{n} = 0\), а коэффициенты \(a_{n}\) вычисляются следующим образом:
$$
a_{n} = \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} \cos ax \cos nx\ dx = \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} [\cos (a-n)x+\cos (a+n)x]\ dx =\\= \dfrac{\sin a\pi}{\pi} (-1)^{n} \left[\frac{1}{a+n}+\frac{1}{a-n}\right],\nonumber
$$
откуда
$$
\dfrac{\pi \cos ax}{\sin a\pi} = \frac{1}{a}+\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n} \left(\frac{1}{a-n}+\frac{1}{a+n}\right) \cos nx,\ -\pi \leq x \leq \pi.\ \blacktriangle\label{ref8}
$$
Замечание.
Полагая в формуле \eqref{ref8} \(x = \pi\) и \(a\pi = z\), получаем замечательную формулу, дающую разложение функции \(\operatorname{ctg} z\) на элементарные дроби:
$$
\operatorname{ctg} z = \frac{1}{z}+\sum_{n = 1}^{\infty} \left(\frac{1}{z-n\pi}+\frac{1}{z+n\pi}\right),\label{ref9}
$$
где точки \(\pm n\pi\) являются нулями функции \(\sin z\).
Если же положить в формуле \eqref{ref8} \(x = 0\) и \(z = a\pi\), то получаем разложение функции \(\operatorname{cosec} z\) на элементарные дроби:
$$
\frac{1}{\sin z} = \frac{1}{z}+\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n} \left(\frac{1}{z-n\pi}+\frac{1}{z+n\pi}\right).\label{ref10}
$$
Пример 3.
Найти ряд Фурье следующей \(2\pi\)-периодической, абсолютно интегрируемой на отрезке \([-\pi, \pi]\) функции:
$$
f(x) = -\ln \left|\sin \frac{x}{2}\right|,\ x \neq 2k\pi,\ k \in \boldsymbol{Z},\nonumber
$$
и исследовать сходимость полученного ряда.
Решение.
\(\vartriangle\) Так как \(f'(x)\) существует при \(x \neq 2k\pi\), то ряд Фурье функции \(f(x)\) будет сходиться во всех точках \(x \neq 2k\pi\) к значению функции. Очевидно, что \(f(x)\) — четная функция и поэтому ее разложение в ряд Фурье должно содержать только косинусы. Найдем коэффициент \(a_{0}\). Имеем
$$
\pi a_{0} = -2 \int\limits_{0}^{\pi} \ln \sin \frac{x}{2}\ dx = -2 \int\limits_{0}^{\pi/2} \ln \sin \frac{x}{2}\ dx -2 \int\limits_{\pi/2}^{\pi} \ln \sin \frac{x}{2}\ dx =\\= -2 \int\limits_{0}^{\pi/2} \ln \sin \frac{x}{2}\ dx -2 \int\limits_{0}^{\pi/2} \ln \cos \frac{x}{2}\ dx = -2 \int\limits_{0}^{\pi/2} \ln \left(\frac{1}{2} \sin x\right)\ dx =\\= \pi \ln 2 -2 \int\limits_{0}^{\pi/2} \ln \sin \frac{x}{2}\ dx = \pi \ln 2-\int\limits_{0}^{\pi} \ln \sin \frac{t}{2}\ dt = \pi \ln 2+\frac{\pi a_{0}}{2},\nonumber
$$
откуда \(a_{0} = 2 \ln 2\).
Найдем теперь \(a_{n}\) при \(n \neq 0\). Имеем
$$
\pi a_{n} = -2 \int\limits_{0}^{\pi} \cos nx \ln \sin \frac{x}{2}\ dx = -2 \left.\frac{\sin nx}{n} \ln \sin \frac{x}{2}\right|_{+0}^{\pi} +\\+ 2 \int\limits_{0}^{\pi} \frac{\sin nx}{n} \dfrac{\displaystyle\cos \frac{x}{2}}{2\displaystyle\sin \frac{x}{2}}\ dx = \int\limits_{0}^{\pi} \dfrac{\displaystyle\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)x+\sin\left(n-\frac{1}{2}\right)x}{2n \sin \displaystyle\frac{x}{2}}\ dx =\\= \frac{1}{2n} \int\limits_{-\pi}^{\pi} [D_{n}(x)+D_{n-1}(x)]\ dx.\nonumber
$$
Здесь \(D_{n}(x)\) — ядро Дирихле. Из одного из свойств ядра Дирихле получаем, что \(\pi a_{n} = \displaystyle\frac{\pi}{n}\) и, следовательно, \(a_{n} = \displaystyle\frac{1}{n}\). Таким образом,
$$
-\ln \left|\sin \frac{x}{2}\right| = \ln 2+\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\cos nx}{n},\quad x \neq 2k\pi,\ k \in \boldsymbol{Z}.\label{ref11}
$$
График функции \(-\displaystyle\ln \left|\sin \frac{x}{2}\right|\) изображен на рис. 64.3. \(\blacktriangle\)
Замечание.
Полагая в формуле \eqref{ref11} \(x = \pi\), получаем
$$
\ln 2 = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\ldots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}+\ldots\nonumber
$$
Пример 4.
На отрезке [0,4] найти тригонометрический ряд Фурье функции
$$
f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
1-x, & 0 \leq x \leq 1,\\
0, & 1 \leq x \leq 3,\\
x-3, & 3 \leq x \leq 4,
\end{array} \right. \nonumber
$$
периодически продолжив ее на \((-\infty, +\infty)\), и исследовать полученный ряд на сходимость.
Решение.
\(\vartriangle\) Продолжим функцию \(f(x)\) периодически. Получим четную функцию \(\tilde{f}(x)\) с периодом, равным 4 (рис. 64.4). Следовательно, разложение \(\tilde{f}(x)\) в тригонометрический ряд Фурье имеет следующий вид:
$$
\tilde{f}(x) = \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cos \frac{n \pi x}{2},\nonumber
$$
где
$$
a_{0} = \frac{2}{2} \int\limits_{0}^{2} f(x)\ dx = \int\limits_{0}^{1} (1-x)\ dx = \frac{1}{2},\nonumber
$$
$$
a_{n} = \int\limits_{0}^{2} f(x) \cos \frac{n \pi x}{2}\ dx = \int\limits_{0}^{1} (1-x) \cos \frac{n \pi x}{2}\ dx =\\= \frac{2}{n\pi}(1-x) \sin \frac{n \pi x}{2}|_{0}^{1}+\frac{2}{n\pi} \int\limits_{0}^{1} \sin \frac{n \pi x}{2}\ dx =\\= (\frac{2}{n\pi})^{2} (-\cos \frac{n \pi x}{2}|_{0}^{1}) = (\frac{2}{n\pi})^{2} [1-\cos \frac{\pi n}{2}].\nonumber
$$
Таким образом,
$$
\tilde{f}(x) = \frac{1}{4}+\frac{4}{\pi^{2}} \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1-\displaystyle\cos \frac{n\pi}{2}}{n^{2}} \cos \frac{n \pi x}{2},\ x \in \boldsymbol{R}.\nonumber
$$
Так как в каждой точке непрерывная функция \(f(x)\) имеет конечные односторонние производные, то ряд Фурье функции \(f(x)\) во всех точках сходится к значению функции. \(\blacktriangle\)
Кусочно непрерывные и кусочно гладкие функции.
Говорят, что функция \(f(x)\) кусочно непрерывна на \([a, b]\), если существует такое разбиение отрезка \([a, b]\) точками \(x_{i}\), \(i = \overline{1, n}\), где \(a = x_{0} < x_{1} < \ldots < x_{n} = b\), что на каждом из интервалов \((x_{i-1}, x_{i})\) функция \(f(x)\) непрерывна и существуют односторонние пределы \(f(a+0)\), \(f(b-0)\), \(f(x_{i} \pm 0)\), \(i = \overline{1, n-1}\).
Например, функции из примеров 1 и 2 являются кусочно непрерывными, функция примера 3, график которой изображен из рис. 64.3, кусочно непрерывной не является.
Говорят, что \(f(x)\) — кусочно гладкая функция на отрезке \([a, b]\), если найдется такое разбиение отрезка \([a, b]\), что на каждом из интервалов разбиения \((x_{i-1}, x_{i})\), \(i = \overline{1, n}\), функция \(f(x)\) имеет непрерывную производную \(f'(x)\) и существуют односторонние производные \(f'(a+0)\), \(f'(b-0)\), \(f'(x_{i} \pm 0)\), \(i = \overline{1, n-1}\). Ясно, что производная кусочно гладкой функции, определенная во всех точках отрезка \([a, b]\), кроме конечного числа точек, есть кусочно непрерывная функция. Ряд Фурье кусочно гладкой функции сходится в каждой точке непрерывности функции к значению функции в этой точке, а в каждой точке разрыва — к полусумме предельных значений функции в этой точке.
Для непрерывной и кусочно гладкой функции справедливы формула Ньютона-Лейбница и формула интегрирования по частям.