Ортогональные системы функций.
Определение 1.
Система непрерывных на отрезке \([a, b]\) функций называется ортогональной на отрезке \([a, b]\), если
$$
\int\limits_{a}^{b} \varphi_{n}(x) \varphi_{m} dx = 0\ \mbox{для}\ n, m \in \mathbb{N}\ \mbox{и}\ n \neq m.\label{ref1}
$$
Если, кроме того,
$$
\int\limits_{a}^{b} \varphi_{n}^{2}(x) dx = 1\ \mbox{для}\ n \in \mathbb{N},\label{ref2}
$$
то система функций \(\{\varphi_{n}\}\) называется ортонормированной на отрезке \([a, b]\).
Например, тригонометрическая система
$$
\frac{1}{2},\quad \cos \frac{\pi x}{l},\quad \sin \frac{\pi x}{l},\quad \ldots,\quad \cos \frac{n\pi x}{l},\quad \sin \frac{n\pi x}{l}, \ldots\label{ref3}
$$
ортогональна на отрезке \([-l, l]\) (ранее мы уже разбирали этот пример).
Так как
$$
2\int\limits_{-l}^{l} \left(\frac{1}{2}\right)^{2} dx = \int\limits_{-l}^{l} \cos^{2} \frac{n\pi x}{l} = \int\limits_{-l}^{l} \sin^{2} \frac{n\pi x}{l} = l,\ n \in \mathbb{N},\label{ref4}
$$
то, поделив все функции тригонометрической системы \eqref{ref3} на \(\sqrt{l}\), а первую из этих функций на \(\sqrt{l/2}\), получим ортонормированную на отрезке \([-l, l]\) тригонометрическую систему
$$
\frac{1}{\sqrt{2l}},\quad \frac{1}{\sqrt{l}} \cos \frac{\pi x}{l},\quad \frac{1}{\sqrt{l}} \sin \frac{\pi x}{l}, \ldots\label{ref5}
$$
При \(l = \pi\) тригонометрическая система \eqref{ref3} имеет особенно простой вид
$$
\frac{1}{2},\quad \cos x,\quad \sin x,\quad \ldots,\quad \cos nx,\quad \sin nx,\quad \ldots\label{ref6}
$$
и ортогональна на отрезке \([-\pi, \pi]\).
Пример 1.
Многочлены Лежандра
$$
L_{n}(x) = \frac{1}{2^{n}n!} \frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^{2}-1)^{n},\quad n \in \mathbb{N},\quad L_{0}(x) = 1,\label{ref7}
$$
образуют ортогональную систему функций на отрезке [—1,1].
Решение.
\(\vartriangle\) Доказательство ортогональности многочленов Лежандра на отрезке [—1,1] сводится к проверке при \(n > m\) тождества
$$
J = \int\limits_{-1}^{1} \frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^{2}-1)^{n} \frac{d^{m}}{dx^{m}}(x^{2}-1)^{m} dx = 0.\nonumber
$$
Воспользуемся тем, что \(x = 1\) и \(x = -1\) есть нули кратности \(n\) многочлена \((x^{2}-1)^{n}\). Поэтому все производные многочлена \((x^{2}-1)^{n}\) до порядка \(n-1\) включительно обращаются в нуль в точках \(x = 1\) и \(x = -1\).
Интегрируя выражение \(J\) по частям, получаем, что
$$
J = -\int\limits_{-1}^{1} \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^{2}-1)^{n} \frac{d^{m + 1}}{dx^{m + 1}}(x^{2}-1)^{m} dx = \ldots \\ \ldots = (-1)^{n} \int\limits_{-1}^{1}(x^{2}-1)^{n} \frac{d^{n + m}}{dx^{n + m}}(x^{2}-1)^{m} dx = 0,\nonumber
$$
так как \(n + m > 2m\), многочлен \((x^{2}-1)^{m}\) имеет степень \(2m\), а производная от многочлена порядка, более высокого, чем степень многочлена, тождественно равна нулю. \(\blacktriangle\)
Ряд Фурье по ортогональной системе.
Пусть функция \(f(x)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\), а \(\{\varphi_{k}(x)\}\) — ортогональная на \([a, b]\) система непрерывных функций, причем ни одна из функций \(\varphi_{k}(x)\) не обращается тождественно в нуль на отрезке \([a, b]\).
Определение 2.
Говорят, что функция \(f(x)\) разложена на отрезке \([a, b]\) в сходящийся ряд по ортогональной системе функций \(\{\varphi_{k}(x)\}\), если найдется такая числовая последовательность \(\{a_{k}\}\), что функциональный ряд \(\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}\varphi_{k}(x)\) сходится и его сумма равна \(f(x)\), то есть
$$
f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} a_{k}\varphi_{k}(x),\quad x \in [a, b].\label{ref8}
$$
Лемма 1.
Если функциональный ряд \eqref{ref8} сходится равномерно на отрезке \([a, b]\), то справедливы следующие выражения для коэффициентов этого ряда:
$$
a_{n} = \dfrac{\displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x)\varphi_{n}(x) dx}{\displaystyle\int\limits_{a}^{b} \varphi_{n}^{2}(x) dx},\ n \in \mathbb{N}.\label{ref9}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Так как функция \(\varphi_{n}(x)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\), то она ограничена на этом отрезке (теорема Вейерштрасса). Если равномерно сходящийся ряд умножить на ограниченную функцию, то получим равномерно сходящийся ряд (это непосредственно следует из определения равномерной сходимости функционального ряда). Поэтому, умножая ряд \eqref{ref8} на функцию \(\varphi_{n}(x)\), получаем
$$
f(x)\varphi_{n}(x) = \sum_{k=1}^{\infty} a_{k}\varphi_{k}(x)\varphi_{n}(x),\ n \in \mathbb{N},\label{ref10}
$$
причем ряд в правой части равенства \eqref{ref10} сходится равномерно на отрезке \([a, b]\).
Воспользовавшись теоремой о законности почленного интегрирования равномерно сходящегося ряда и ортогональностью функций \(\varphi_{k}(x)\) на отрезке \([a, b]\), получаем
$$
\int\limits_{a}^{b} f(x)\varphi_{n}(x) dx = \int\limits_{a}^{b} \left(\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}\varphi_{k}(x)\right)\varphi_{n}(x) dx =\\= \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} \int\limits_{a}^{b} \varphi_{k}(x)\varphi_{n}(x) dx = a_{n} \int\limits_{a}^{b} \varphi_{n}^{2}(x) dx.\label{ref11}
$$
Так как функция \(\varphi_{n}(x)\) не равна тождественно нулю на отрезке \([a, b]\) и непрерывна, то \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b} \varphi_{n}^{2}(x) dx > 0\). Поэтому из равенства \eqref{ref11} следует формула \eqref{ref9} для коэффициентов \(a_{n}\). \(\bullet\)
Числа \(a_{n}\) называются коэффициентами Фурье, а ряд \eqref{ref8} — рядом Фурье функции \(f(x)\) по ортогональной на \([a, b]\) системе функций \(\{\varphi_{k}(x)\}\).
Ряд Фурье функции \(f(x)\) по тригонометрической системе на отрезке \([-l, l]\) будем записывать в виде
$$
f(x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \left(a_{k} \cos \frac{k\pi x}{l} + b_{k} \sin \frac{k\pi x}{l}\right)\label{ref12}
$$
и называть тригонометрическим рядом Фурье функции \(f(x)\) на отрезке \([-l, l]\).
Коэффициенты \(a_{k}\) и \(b_{k}\) можно вычислить, если подставить в формулы \eqref{ref9} выражения для тригонометрических функций и воспользоваться формулами \eqref{ref4}:
$$
a_{0} = \frac{1}{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x)\ dx,\quad a_{n} = \frac{1}{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x) \cos \frac{n\pi x}{l}\ dx,\\ b_{n} = \frac{1}{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x) \sin \frac{n\pi x}{l}\ dx,\ n \in \mathbb{N}.\label{ref13}
$$
В частности, при \(l = \pi\) получаем
$$
a_{0} = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\ dx,\quad a_{n} = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx\ dx,\\b_{n} = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx\ dx,\ n \in \mathbb{N}.\label{ref14}
$$
Ряд Фурье абсолютно интегрируемой функции.
Коэффициенты Фурье могут быть вычислены при помощи формулы \eqref{ref9} для любой абсолютно интегрируемой на отрезке \([a, b]\) функции \(f(x)\), если функции \(\varphi_{k}(x)\) непрерывны и не обращаются тождественно в нуль на отрезке \([a, b]\).
В самом деле, пусть \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b} |f(x)|\ dx\) сходится как несобственный интеграл. Тогда
$$
|f(x)\varphi_{n}(x)| \leq k_{n}|f(x)|,\ k_{n} = \sup_{x \in [a, b]} |\varphi_{n}(x)|.\nonumber
$$
По признаку сравнения интеграл \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x)\varphi_{n}(x)\ dx\) сходится абсолютно. Следовательно, все коэффициенты Фурье могут быть вычислены при помощи формулы \eqref{ref9}.
Ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\varphi_{n}(x)\), где \(a_{n}\) — коэффициенты Фурье абсолютно интегрируемой на \([a, b]\) функции \(f(x)\), будем называть рядом Фурье функции \(f(x)\) по ортогональной системе функций \(\{\varphi_{n}(x)\}\). Так как этот ряд может оказаться расходящимся, то будем писать
$$
f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\varphi_{n}(x).\label{ref15}
$$
В частности, для тригонометрической системы \eqref{ref3} формула \eqref{ref15} имеет следующий вид:
$$
f(x) \sim \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos \frac{n\pi x}{l} + b_{n} \sin \frac{n\pi x}{l}.\label{ref16}
$$
Запись \eqref{ref15} означает, что \(\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\varphi_{n}(x)\) есть ряд Фурье функции \(f(x)\) по ортогональной системе \(\{f_{n}(x)\}\).