Неравенство Бесселя.
Введем класс функций \(L_{2}^{C}(a, b)\), более широкий, чем класс кусочно непрерывных функций. Функция \(f(x)\) принадлежит этому классу, если существует такое разбиение отрезка \([a, b]\) точками \(x_{i}\), \(i = \overline{1, n}\), что на каждом из интервалов \((x_{i — 1}, x_{i})\) функция \(f(x)\) непрерывна, а несобственный интеграл от функции \(|f(x)|^{2}\) сходится на интервале \((a, b)\).
Лемма 1.
Если функции \(f(x)\) и \(\varphi(x)\) принадлежат классу \(L_{2}^{C}(a, b)\), то произведение этих функций — абсолютно интегрируемая на \((a, b)\) функция.
Доказательство.
\(\circ\) Так как функции \(f(x)\) и \(\varphi(x)\) принадлежат классу \(L_{2}^{C}\), то существуют такие разбиения \(T_{1}\) и \(T_{2}\) отрезка \([a, b]\), что функция \(f(x)\) непрерывна на каждом из интервалов разбиения \(x_{i}\), функция \(\varphi(x)\) непрерывна на каждом из интервалов разбиения \(T_{2}\), а интегралы по интервалу \((a, b)\) от квадратов этих функций абсолютно сходятся. Объединяя точки разбиений \(T_{1}\) и \(T_{2}\), получаем разбиение \(T\), на всех интервалах которого непрерывны обе функции. Абсолютная интегрируемость произведения этих функций следует из неравенства
$$
2|f(x)\varphi(x)| \leq |f(x)|^{2} + |\varphi(x)|^{2}\nonumber
$$
и из теоремы сравнения для несобственных интегралов. \(\bullet\)
Пусть \(\{\varphi_{n}(x)\}\), \(n \in \boldsymbol{N}\), — ортогональная система непрерывных на отрезке \([a, b]\) функций, причем \(\varphi_{n}(x) \neq 0\) на \([a, b]\).
Если функция \(f(x) \in L_{2}^{C}(a, b)\), то в силу ранее доказанной леммы для нее могут быть вычислены коэффициенты Фурье
$$
a_{n} = \frac{1}{||\varphi_{n}||^{2}} \int\limits_{a}^{b} f(x) \varphi_{n}(x)\ dx,\ \mbox{где}\ ||\varphi_{n}|| = \sqrt{\int\limits_{a}^{b} \varphi_{n}^{2}(x)\ dx}.\label{ref1}
$$
Теорема 1.
Пусть \(f \in L_{2}^{C}(a, b)\), а \(\{\varphi_{n}(x)\}\), \(n \in \boldsymbol{N}\),— ортогональная система непрерывных на отрезке \([a, b]\) функций. Тогда для коэффициентов Фурье функции \(f(x)\) по ортогональной системе \(\{\varphi_{n}(x)\}\) справедливо неравенство Бесселя
$$
\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}^{2} ||\varphi_{k}||^{2} \leq \int\limits_{a}^{b} f^{2}(x)\ dx.\label{ref2}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Воспользовавшись ортогональностью системы функций \(\{\varphi_{n}(x)\}\) на отрезке \([a, b]\), получаем, что для любого \(n \in \boldsymbol{N}\)
$$
0 \leq \int\limits_{a}^{b} \left[f(x) — \sum_{k = 1}^{n} a_{k} \varphi_{k}(x)\right]^{2}\ dx =\\= \int\limits_{a}^{b} f^{2}(x)\ dx — 2\sum_{k=1}^{n} a_{k} \int\limits_{a}^{b} f(x) \varphi_{k}(x)\ dx + \sum_{k=1}^{n} a_{k}^{2} \int\limits_{a}^{b} \varphi_{k}^{2}(x)\ dx =\\= \int\limits_{a}^{b} f^{2}(x)\ dx — 2\sum_{k=1}^{n} a_{k}^{2} ||\varphi_{k}||^{2} + \sum_{k=1}^{n} a_{k}^{2} ||\varphi_{k}||^{2}.\nonumber
$$
Таким образом,
$$
\sum_{k=1}^{n} a_{k}^{2} ||\varphi_{k}||^{2} \leq \int\limits_{a}^{b} f^{2}(x)\ dx = ||f||^{2}.\nonumber
$$
Последнее неравенство означает, что все частичные суммы ряда, стоящего в левой части неравенства \eqref{ref2}, ограничены сверху числом \(||f||^{2}\). Поэтому этот ряд сходится и сумма его не превышает числа \(||f||^{2}\), то есть справедливо неравенство Бесселя \eqref{ref2}. \(\bullet\)
Следствие.
Для тригонометрической системы на отрезке \([-\pi, \pi]\) и для любой функции \(f \in L_{2}^{C}(-\pi, \pi)\) неравенство Бесселя имеет следующий вид:
$$
\frac{a_{0}^{2}}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} (a_{k}^{2} + b_{k}^{2}) \leq \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f^{2}(x)\ dx.\label{ref3}
$$
\(\circ\) Используя равенства
$$
\left\|\frac{1}{2}\right\|^{2} = \int\limits_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{4} dx = \frac{\pi}{2},\quad \left\|\cos nx\right\|^{2} = \left\|\sin nx\right\|^{2} = \int\limits_{-\pi}^{\pi} \cos^{2} nx\ dx = \pi
$$
и неравенство Бесселя \eqref{ref2}, получаем неравенство \eqref{ref3}. \(\bullet\)
Теорема 2.
Ряд Фурье \(2\pi\)-периодической непрерывной и кусочно гладкой функции сходится равномерно.
Доказательство.
\(\circ\) Пусть \(a_{n}\), \(b_{n}\) и \(a’_{n}\), \(b’_{n}\) — коэффициенты Фурье функций \(f(x)\) и \(f'(x)\). Из доказательства ранее приведенной теоремы следует, что
$$
a’_{0} = 0,\ b_{n} = \frac{a’_{n}}{n},\ a_{n} = -\frac{b’_{n}}{n}.\label{ref4}
$$
Запишем для функции \(f'(x)\) неравенство Бесселя:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} (a’_{n})^{2} + (b’_{n})^{2} \leq \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} (f'(x))^{2}\ dx.\label{ref5}
$$
Используя равенства \eqref{ref4} и неравенство \(|\alpha\beta| \leq \displaystyle\dfrac{\alpha^{2} + \beta^{2}}{2}\), получаем
$$
|a_{n} \cos nx + b_{n} \sin nx| \leq |a_{n}| + |b_{n}| = \frac{|a’_{n}|}{n} + \frac{|b’_{n}|}{n} \leq \frac{1}{2}|a’_{n}|^{2} + \frac{1}{2}|b’_{n}|^{2} + \frac{1}{n^{2}}.\nonumber
$$
Так как числовой ряд
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}|a’_{n}|^{2} + \frac{1}{2}|b’_{n}|^{2} + \frac{1}{n^{2}}\right)
$$
сходится, то по признаку Вейерштрасса функциональный ряд
$$
\frac{a_{0}^{2}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_{n} \cos nx + b_{n} \sin nx)\nonumber
$$
сходится равномерно на \(\boldsymbol{R}\). \(\bullet\)