Лемма Римана

Пусть функция \(f(x)\) абсолютно интегрируема на конечном или бесконечном интервале \((a, b)\). Тогда
$$
\lim_{\omega \rightarrow \infty} \int\limits_{a}^{b} f(x) \sin \omega x\ dx = \lim_{\omega \rightarrow \infty} \int\limits_{a}^{b} f(x) \cos \omega x\ dx = 0.\label{ref1}
$$

1. \(\circ\) Пусть сначала функция \(f(x)\) интегрируема по Риману на отрезке \([a, b]\). В силу критерия интегрируемости для любого \(\varepsilon > 0\) найдется такое разбиение \(T = \{x_{i}, i = \overline{0, n}\}\) отрезка \([a, b]\), что разность \(S_{T}-s_{T}\) верхней и нижней сумм Дарбу будет меньше \(\varepsilon/2\), то есть
   $$
   S_{T}-s_{T} = \sum_{i=1}^{n} (M_{i}-m_{i}) \Delta x_{i} < \frac{\varepsilon}{2},\nonumber
   $$
   где \(M_{i} = \displaystyle\sup_{x \in [x_{i-1}, x_{i}]}f(x)\), \(m_{i} = \displaystyle\inf_{x \in [x_{i-1}, x_{i}]}f(x)\).Тогда для любого \(i = \overline{1, n}\) и для любого \(x \in [x_{i-1}, x_{i}]\) выполняется неравенство \(0 \leq f(x)-m_{i} \leq M_{i}-m_{i}\) и
   $$
   \left|\int\limits_{a}^{b} f(x) \sin \omega x\ dx\right| = \left|\sum_{i=1}^{n} \int\limits_{x_{i-1}}^{x_{i}} f(x) \sin \omega x\ dx\right| =\\= \left|\sum_{i=1}^{n} \int\limits_{x_{i-1}}^{x_{i}} (f(x)-m_{i}) \sin \omega x\ dx + \sum_{i=1}^{n} m_{i} \int\limits_{x_{i-1}}^{x_{i}} \sin \omega x\ dx\right| \leq\\\leq \sum_{i=1}^{n} \int\limits_{x_{i-1}}^{x_{i}} |f(x)-m_{i}| \cdot |\sin \omega x|\ dx + \sum_{i=1}^{n} \frac{|m_{i}|}{|\omega|} |\cos \omega x_{i}-\cos \omega x_{i-1}| \leq\\\leq \sum_{i=1}^{n} (M_{i}-m_{i}) \Delta x + \frac{2}{|\omega|} \sum_{i=1}^{n} |m_{i}| \leq \frac{\varepsilon}{2} + \frac{c_{0}}{|\omega|},\nonumber
   $$
   где \(c_{0} = 2n \displaystyle\sup_{x \in [a, b]} |f(x)|\). При фиксированном \(n\) найдется \(\omega_{0} > 0\) такое, что при \(|\omega| > \omega_{0}\) выполнено неравенство \(c_{0}/\omega_{0} < \varepsilon/2\). Таким образом, при \(|\omega| > \omega_{0}\) выполнено неравенство
   $$
   \left|\int\limits_{a}^{b} f(x) \sin \omega x\ dx\right| < \varepsilon,\nonumber
   $$
   то есть
   $$
   \lim_{\omega \rightarrow \infty} \int\limits_{a}^{b} f(x) \sin \omega x\ dx = 0.\nonumber
   $$
2. Пусть теперь функция \(f(x)\) абсолютно интегрируема на \((a, b)\). Без ограничения общности считаем, что единственная особая точка интеграла \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b} |f(x)|\ dx\) есть \(b\). Напомним, что рассматриваются только несобственные интегралы с конечным числом особых точек. Тогда для любого \(\varepsilon > 0\) существует \(b’ < b\) такое, что на отрезке \([a, b’]\) функция \(f(x)\) интегрируема по Риману, а несобственный интеграл \(\displaystyle\int\limits_{b’}^{b} |f(x)|\ dx < \frac{\varepsilon}{2}\). Так как для интегрируемых по Риману функций лемма доказана в п. а), то найдется \(\omega_{0} > 0\) такое, что при \(|\omega| > \omega_{0}\) выполнено неравенство
   $$
   \left|\int\limits_{a}^{b’} f(x) \sin \omega x\ dx\right| < \frac{\varepsilon}{2}.\nonumber
   $$Поэтому при \(|\omega| > \omega_{0}\) имеем
   $$
   \left|\int\limits_{a}^{b} f(x) \sin \omega x\ dx\right| = \left|\int\limits_{a}^{b’} f(x) \sin \omega x\ dx + \int\limits_{b’}^{b} f(x) \sin \omega x\ dx\right| \leq\\\leq \left|\int\limits_{a}^{b’} f(x) \sin \omega x\ dx\right| + \int\limits_{b’}^{b} |f(x)|\ dx < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.\nonumber
   $$Итак, \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x) \sin \omega x\ dx \rightarrow 0\) при \(\omega \rightarrow 0\). Аналогично доказывается, что \(\displaystyle\lim_{\omega \rightarrow \infty} \int\limits_{a}^{b} f(x) \cos \omega x\ dx = 0\). \(\bullet\)