Степенные ряды.

Содержание:

  1. Радиус и круг сходимости степенного ряда.
  2. Регулярные функции.
  3. Свойства степенных рядов.

Радиус и круг сходимости степенного ряда.

Функциональные ряды вида
$$
\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(\zeta - a)^{n},\label{ref1}
$$
где \(c_{n}\ (n = 1, 2, \ldots)\) и \(a\) — заданные комплексные числа, \(\zeta\) — комплексное переменное, называют степенными рядами, а числа \(c_{n}\) — коэффициентами степенного ряда \eqref{ref1}.

Полагая в \eqref{ref1} \(z = \zeta - a\), получим ряд
$$
\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}z^{n},\label{ref2}
$$
исследование сходимости которого эквивалентно исследованию сходимости ряда \eqref{ref1}.


Теорема 1 (Абеля).

Если степенной ряд \eqref{ref2} сходится при \(z = z_{0} \neq 0\), то он сходится, и притом абсолютно, при любом \(z\) таком, что \(|z|\;<\;|z_{0}|\); а если этот ряд расходится при \(z = z_{1} \neq 0\), то он расходится при всяком \(z\), для которого \(|z|\;>\;|z_{1}|\).

Доказательство.

\(\circ\) а) Пусть \(K_{0} = \{z:\ |z|\;<\;|z_{0}|\}\) — круг на комплексной плоскости с центром в точке \(O\) (рис. 43.1) радиуса \(|z_{0}|\), и пусть \(z\) — произвольная точка круга \(K_{0}\), т. е. \(|z|\;<\;|z_{0}|\), и поэтому
$$
q = \left|\frac{z}{z_{0}}\right|\;<\;1,\label{ref3}
$$

Рис. 43.1
Рис. 43.1

Так как ряд \eqref{ref2} сходится в точке \(z_{0}\), то должно выполняться условие
$$
\lim_{n \rightarrow \infty}c_{n}z_{0}^{n} = 0,\nonumber
$$
откуда следует ограниченность последовательности \(\{c_{n}z_{0}^{n}\}\), т. е.
$$
\exists M\;>\;0: \forall n \in \mathbb{N} \rightarrow |c_{n}z_{0}^{n}| \leq M.\label{ref4}
$$
Используя неравенства \eqref{ref3} и \eqref{ref4}, получаем
$$
|c_{n}z^{n}| = |c_{n}z_{0}^{n}|\left|\frac{z}{z_{0}}\right|^{n} \leq M q^{n},\ \mbox{где}\ 0 \leq q\;<\;1.\label{ref5}
$$
Так как ряд \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}M q^{n}\), где \(0 \leq q\;<\;1\), сходится, то по признаку сравнения сходится ряд \(\sum_{n=0}^{\infty}|c_{n}z^{n}|\), т. е. ряд \eqref{ref2} сходится абсолютно в каждой точке круга \(K_{0}\).

б) Пусть ряд \eqref{ref2} расходится в точке \(z_{1} \neq 0\). Тогда он должен расходиться в любой точке \(\tilde{z}\) такой, что \(|z_{1}|\;<\;|\tilde{z}|\), так как в противном случае по доказанному выше ряд \eqref{ref2} сходился бы в точке \(z_{1}\). \(\bullet\)


Следствие 1.

Если ряд \eqref{ref2} сходится в точке \(z_{0} \neq 0\), то в круге \(K_{1} = \{z: |z|\;<\;p\}\), где \(p\;<\;|z_{0}|\), этот ряд сходится абсолютно и равномерно.

\(\circ\) Если \(z \in K_{1}\), то \(|c_{n}z^{n}| \leq M q_{1}^{n}\), где \(q_{1} = \displaystyle\frac{p}{|z_{0}|}\) и поэтому \(0 \leq q_{1}\;<\;1\), причем \(q_{1}\) не зависит от \(z\). По признаку Вейерштрасса ряд \eqref{ref2} сходится абсолютно и равномерно в круге \(K_{1}\). \(\bullet\)


Следствие 2.

Если ряд \eqref{ref2} сходится в точке \(z_{0} \neq 0\), то ряды
$$
\sum_{n = m}^{\infty}c_{n}z^{n - m},\quad m \in \mathbb{N},\label{ref6}
$$
$$
\sum_{n = 1}^{\infty}nc_{n}z^{n - 1}\label{ref7}
$$
сходятся абсолютно в круге \(K_{0}\), а в круге \(K_{1}\) — абсолютно и равномерно.

\(\circ\) Для ряда \eqref{ref6} в круге \(K_{0}\) выполняется неравенство
$$
|c_{n}z^{n - m}| \leq \frac{M}{|z_{0}|^{m}}q^{n - m},\ 0 \leq q\;<\;1,\nonumber
$$    
в круге \(K_{1}\) — неравенство
$$
|c_{n}z^{n - m}| \leq \frac{M}{|z_{0}|^{m}}q_{1}^{n - m},\ 0 \leq q\;<\;1,\nonumber
$$
и \(q_{1} = \displaystyle\frac{p}{|z_{0}|}\) не зависит от \(z\). Для ряда \eqref{ref7} в кругах \(K_{0}\) и \(K_{1}\) справедливы соответственно неравенства
$$
|nc_{n}z^{n - 1}| \leq \frac{M}{|z_{0}|}nq^{n - 1} \qquad \mbox{и}\qquad |nc_{n}z^{n - 1}| \leq \frac{M}{|z_{0}|}nq_{1}^{n - 1}.\nonumber
$$

Далее следует использовать сходимость рядов \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}Aq^{n}\) и \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}Bnq^{n-1}\), где \(A\;>\;0\), \(B\;>\;0\), \(0 \leq q\;<\;1\). \(\bullet\)


Теорема 2.

Для всякого степенного ряда \eqref{ref2} существует \(R\) (\(R \geq 0\) — число или \(+\infty\)) такое, что:

а) если \(R \neq 0\) и \(R \neq +\infty\), то ряд \eqref{ref2} абсолютно сходится в круге \(K = \{z: |z|\;<\;R\}\) и расходится вне круга \(K\); этот круг называют кругом сходимости ряда \eqref{ref2}, а \(R\) — радиусом сходимости ряда;

б) если \(R = 0\), то ряд \eqref{ref2} сходится в одной точке \(z = 0\);

в) если \(R = +\infty\), то этот ряд сходится во всей комплексной плоскости.

Доказательство.

\(\circ\) Пусть \(D\) — множество всех точек сходимости ряда \eqref{ref2}. Это непустое множество, так как в точке \(z = 0\) ряд \eqref{ref2} сходится.

Если \(D\) — неограниченное множество, то ряд \eqref{ref2} сходится в произвольной точке \(\tilde{z}\) комплексной плоскости. В самом деле, возьмем точку \(z_{0} \in D\) такую, что \(|\tilde{z}|\;<\;|z_{0}|\). Тогда по теореме Абеля ряд \eqref{ref2} будет сходиться в точке \(\tilde{z}\).

Пусть \(D\) — ограниченное множество. Если \(D\) состоит из одной точки \(z = 0\), то ряд \eqref{ref2} сходится при \(z = 0\) и расходится при \(z \neq 0\). В этом случае \(R = 0\). Если \(D\) содержит хотя бы одну точку, отличную от \(z = 0\), то, обозначив \(R = \sup_{z \in D} |z|\), докажем, что ряд \eqref{ref2} сходится в круге \(K = \{z: |z|\;<\;R\}\) и расходится в каждой точке, лежащей вне этого круга. Пусть \(\tilde{z}\) — произвольная точка круга \(K\), тогда \(|\tilde{z}|\;<\;R\). По определению точной верхней грани
$$
\exists z_{1} \in D: |\tilde{z}|\;<\;|z_{1}|\;<\;R.\nonumber
$$

Так как ряд \eqref{ref2} сходится в точке \(z_{1}\), то по теореме Абеля он абсолютно сходится в точке \(\tilde{z}\). Итак, в каждой точке, лежащей внутри круга \(K\), ряд \eqref{ref2} абсолютно сходится.

Пусть точка \(z'\) лежит вне круга \(K\), т. е. \(|z'|\;>\;R\). Тогда \(z' \in D\) (по определению точной верхней грани), и поэтому ряд \eqref{ref2} расходится в точке \(z'\). \(\bullet\)


Замечание 1.
На границе круга \(K\) ряд \eqref{ref2} может как сходиться, так и расходиться. В любом меньшем круге \(K_{1} = \{z:\ |z| \leq p\;<\;R\}\) ряд \eqref{ref2} сходится абсолютно и равномерно.

Теорема 3 (Абеля).

Если \(R\) — радиус сходимости степенного ряда \eqref{ref2}, причем \(0\;<\;R\;<\;+\infty\), и если этот ряд сходится при \(z = R\), то он сходится равномерно на отрезке \([0, R]\), а его сумма непрерывна на этом отрезке.

Доказательство.

\(\circ\) Теорема приводится без доказательства. \(\bullet\)


Теорема 4.

Если существует конечный или бесконечный \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|c_{n}|}\), то для радиуса \(R\) сходимости ряда \eqref{ref2} справедлива формула
$$
\frac{1}{R} = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|c_{n}|},\label{ref8}
$$
а если существует конечный или бесконечный \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \left|\frac{c_{n}}{c_{n + 1}}\right|\), то
$$
R = \lim_{n \rightarrow \infty} \left|\frac{c_{n}}{c_{n + 1}}\right|,\label{ref9}
$$

Доказательство.

\(\circ\) Докажем формулу \eqref{ref8}. Обозначим \(\rho = \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|c_{n}|}\).

а) Пусть \(0\;<\;\rho\;<\;+\infty\) и пусть \(z_{0}\) — произвольная точка круга \(K = \{z: |z|\;<\;1/\rho\}\), тогда \(|z_{0}|\;<\;1/\rho\) и
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|c_{n}z_{0}^{n}|} = |z_{0}| \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|c_{n}|} = |z_{0}| \rho\;<\;1.\nonumber
$$
По признаку Коши (§ 40) ряд \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}z_{0}^{n}\) абсолютно сходится. Так как \(z_{0}\) — произвольная точка крута \(K\), то ряд \eqref{ref2} абсолютно сходится в этом круге.

Пусть точка \(\tilde{z}\) лежит вне круга \(K\). Тогда \(|\tilde{z}|\;>\;1/\rho\), и поэтому \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|c_{n}\tilde{z}^{n}|}\). Следовательно, ряд \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\tilde{z}^{n}\) расходится при \(|\tilde{z}|\;>\;1/\rho\).

Таким образом, если правая часть равенства \eqref{ref8} — положительное число, то ряд \eqref{ref2} сходится в круге \(K\) и расходится вне этого круга. Следовательно, \(1/\rho\) — радиус сходимости ряда \eqref{ref2}.

б) Если \(\rho = 0\), то \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|c_{n}z^{n}|} = |z|\rho = 0\) для любой точки \(z\) комплексной плоскости, и поэтому ряд \eqref{ref2} сходится при любом \(z\). Это означает, что радиус сходимости ряда \(R = +\infty\) . И в этом случае формула \eqref{ref8} верна, если считать, что \(1/\rho = 0\).

в) Если \(\rho = +\infty\), то для любой точки \(z \neq 0\) имеем \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|c_{n}z^{n}|} = |z| \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|c_{n}|} = +\infty\), и поэтому ряд \eqref{ref2} при \(z \neq 0\) расходится. Это означает, что \(R = 0\).

Аналогично можно доказать формулу \eqref{ref9}, используя признак Д’Аламбера сходимости рядов. \(\bullet\)


Замечание 2.
Пределы \eqref{ref8} и \eqref{ref9} могут не существовать. Однако имеется универсальная формула для вычисления радиуса сходимости \(R\) степенного ряда \eqref{ref2}, а именно формула
$$
\frac{1}{R} = \overline{\lim_{n \rightarrow \infty}} \sqrt[n]{|c_{n}|},\label{ref10}
$$
которую называют формулой Коши-Адамара (доказательство формулы \eqref{ref10} содержится, например, в [2]).

Напомним, что символом \(\displaystyle\overline{\lim_{n \rightarrow \infty}} x_{n}\) обозначается точная верхняя грань множества всех частичных пределов последовательности \(\{x_{n}\}\).

Например, если \(x_{n} = 1 + (-1)^{n}\), то \(\displaystyle\overline{\lim_{n \rightarrow \infty}}x_{n} = 2\).


Пример 1.

Найти радиус сходимости \(R\) степенного ряда \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}z^{n}\),

  1. \(c_{n} = \displaystyle\frac{a^{n}}{n!},\ a\;>\;0;\)

  2. \(c_{n} = \displaystyle\frac{(1 + i)^{n}}{n3^{n}};\)

  3. \(c_{n} = \displaystyle\frac{n^{n}}{e^{n}n!}.\)

Решение.

  1. \(\vartriangle\) Так как \(\displaystyle\frac{c_{n}}{c_{n + 1}} = \frac{n + 1}{a} \rightarrow +\infty\), тo при \(n \rightarrow \infty\), то по формуле \eqref{ref9} находим \(R = +\infty\).

  2. В этом случае \(c_{n} = \displaystyle\frac{(\sqrt{2})^{n}}{n3^{n}}\), и поэтому \(\displaystyle\sqrt[n]{|c_{n}|} \rightarrow \frac{\sqrt{2}}{3}\)    при \(n \rightarrow \infty\), так как \(\sqrt[n]{n} \rightarrow 1\) при \(n \rightarrow \infty\). По формуле \eqref{ref8} находим \(R = \displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}}\).

  3. Так как \(c_{n + 1} = \displaystyle c_{n}\left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n}\frac{1}{e}\), то \(\displaystyle\frac{c_{n}}{c_{n + 1}} = \frac{e}{\displaystyle\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}} \rightarrow 1\) при \(n \rightarrow \infty\), и по формуле \eqref{ref9} находим \(R = 1\). \(\blacktriangle\)


Пример 2.

Найти радиус сходимости \(R\) степенного ряда \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}2^{n}z^{5n}\).

Решение.

\(\vartriangle\) Обозначим \(2z^{5} = t\). Тогда \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}2^{n}z^{5n} = \sum_{n=0}^{\infty}t^{n}\), причем ряд \(\sum_{n=0}^{\infty}t^{n}\) сходится, если \(|t|\;<\;1\), и расходится, если \(|t|\;>\;1\). Поэтому ряд \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}2^{n}z^{5n}\) сходится, если \(2|z|^{5}\;<\;1\), т. е. при \(|z|\;<\;\displaystyle\frac{1}{\sqrt[5]{2}}\), и расходится при \(|z|\;>\;\displaystyle\frac{1}{\sqrt[5]{2}}\). Итак, радиус сходимости \(R = \displaystyle\frac{1}{\sqrt[5]{2}}\). Тот же результат следует из формулы \eqref{ref10}, так как
$$
\overline{\lim_{n \rightarrow \infty}} \sqrt[n]{|c_{n}|} = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[5n]{2^{n}} = \sqrt[5]{2}.\ \blacktriangle\nonumber
$$


Для степенного ряда \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(z - a)^{n}\) круг сходимости \(K\) имеет вид \(K = \{z:\ |z - a|\;<\;R\}\). Например, степенной ряд \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}n_{2}(z - 1)^{n}\) сходится в круге \(K = \{z:\ |z - 1|\;<\;1\}\) и расходится вне этого круга.

Для степенного ряда вида
$$
\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(x - x_{0})^{n},\label{ref11}
$$
где \(a_{n} (n = 0, 1, 2, ...)\), \(x_{0}\) — заданные действительные числа, \(x\) — действительное переменное, существует, согласно теореме 2, такое \(R\) (\(R \geq 0\) — число или \(+\infty\)), что при \(R \neq 0, +\infty\) ряд \eqref{ref11} сходится, если \(|x - x_{0}|\;<\;R\), и расходится, если \(|x - x_{0}|\;>\;R\). Интервал \((x_{0} - R, x_{0} + R)\) называют интервалом сходимости, a \(R\) — радиусом сходимости ряда \eqref{ref11}. Радиус сходимости ряда \eqref{ref11} совпадает с радиусом сходимости ряда \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z - x_{0})^{n}\), где \(z\) — комплексное переменное. При \(R = 0\) ряд \eqref{ref11} сходится лишь в точке \(x = x_{0}\), а при \(R = +\infty\) — на всей числовой прямой.


Регулярные функции.

Введем понятие функции комплексного переменного. Пусть каждой точке \(z \in E\), где \(E\) — множество точек комплексной плоскости, поставлено в соответствие комплексное число \(w\). Тогда говорят, что на множестве \(E\) определена функция комплексного переменного, и пишут \(w = f(z)\), где символом \(f\) обозначено правило (закон), определяющее это соответствие.

Понятия предела, непрерывности, производной для функции комплексного переменного вводятся по аналогии с соответствующими понятиями для функции действительного переменного. Если
$$
\forall \varepsilon\;>\;0\ \exists \delta = \delta_{\varepsilon}\;>\;0: \forall z: |z - a|\;<\;\delta_{\varepsilon} \rightarrow |f(z) - f(a)|\;<\;\varepsilon,\nonumber
$$
то функцию \(f(z)\) называют непрерывной в точке \(a\).

Отметим еще, что понятие равномерной сходимости ряда \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}u_{n}(z)\) с комплексными членами формально вводится так же, как и для рядов с действительными членами, а сумма равномерно сходящегося ряда, составленного из непрерывных функций комплексного переменного, есть непрерывная функция.

Введем важное для функций комплексного переменного понятие регулярности.

Функция комплексного переменного \(f(z)\) называется регулярной (однозначной аналитической, голоморфной) в точке \(a\), если она определена в некоторой окрестности точки \(a\) и представима в некотором круге \(|z - a|\;<\;\rho\), \(\rho\;>\;0\), сходящимся к \(f(z)\) степенным рядом
$$
f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(z - a)^{n}.\label{ref12}
$$
Отметим, что любой многочлен, т. е. функция вида \(P(z) = \displaystyle\sum_{k = 0}^{\infty}a_{k}z^{k}\), является регулярной функцией в каждой точке комплексной плоскости.

Рациональная функция \(f(z) = \displaystyle\frac{P_{n}(z)}{Q_{m}(z)}\), где \(P_{n}\) и \(Q_{m}\) — многочлены степени \(n\) и \(m\) соответственно, регулярна в каждой точке \(a\), в которой \(Q_{m} \neq 0\). Если многочлены \(P_{n}\) и \(Q_{m}\) не имеют общих корней и если \(z = z_{0}\) — корень многочлена \(Q_{m}(z)\), то \(\displaystyle\lim_{z \rightarrow z_{0}}f(z) = \infty\), а точку \(z_{0}\) называют полюсом функции \(f(z)\). Полюсы — один из типов особых точек функций комплексного переменного (см. [6]).

В теории функций комплексного переменного доказывается, что на границе круга сходимости степенного ряда \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(z - a)^{n}\) лежит хотя бы одна особая точка его суммы \(f(z)\) и что радиус сходимости этого ряда равен расстоянию от точки \(a\) до ближайшей к \(a\) особой точки функции \(f(z)\).

В частности, если \(f(z) = \displaystyle\frac{P_{n}(z)}{Q_{m}(z)}\), причем многочлены \(P_{n}\) и \(Q_{m}\) не имеют общих корней, то радиус сходимости \(R\) степенного ряда \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(z - a)^{n}\) равен расстоянию от точки \(a\) до ближайшего к этой точке корня многочлена \(Q_{m}(z)\), т. е.
$$
R = \min_{1 \leq k \leq m} |z_{k} - a|,\nonumber
$$
где \(z_{k} (k = \overline{1, m})\) — корни многочлена \(Q_{m}(z)\) (предполагается, что \(a \neq z_{k}\), \(k = \overline{1, m}\)).

Например, если \(f(z) = \displaystyle\frac{2z}{(z-3)(z^{2} + 1)}\), то корнями многочлена \((z-3)(z^{2} + 1)\) являются числа \(z_{1} = 3\), \(z_{2} = i\), \(z_{3} = -i\). Поэтому радиус сходимости \(R\) степенного ряда \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(z-1)^{2}\) равен наименьшему из чисел \(|3-1|,\ |i-1|,\ |i+1|\), т. е. равен \(\sqrt{2}\).


Теорема 5.

Функция \(f(z)\), регулярная в точке \(a\), единственным образом представляется рядом \eqref{ref12}.

Доказательство.

\(\circ\) Пусть функция \(f(z)\) имеет два представления в виде степенного ряда \eqref{ref12} в круге \(K = \{z:\ |z - a|\;<\;\rho\}\), где \(\rho\;>\;0\), т. е.
$$
f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(z - a)^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}\tilde{c}_{n}(z - a)^{n}.\label{ref13}
$$
Докажем, что \(c_{n} = \tilde{c}_{n}\) для \(n = 0, 1, 2, ...\)

По условию ряды \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(z - a)^{n}\) и \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\tilde{c}_{n}(z - a)^{n}\) сходятся в круге \(K\), и поэтому (см. следствие 1 из теоремы 1) эти ряды сходятся равномерно в круге \(K_{1} = \{z:\ |z - a| \leq \rho_{1}\;<\;\rho\}\), а их общая сумма -непрерывная в круге \(K_{1}\) функция. В частности, функция \(f(z)\) непрерывна в точке \(a\). Подходя к пределу при \(z \rightarrow a\) в равенстве \eqref{ref13}, получаем \(c_{0} = \tilde{c}_{0}\). Отбрасывая одинаковые слагаемые \(c_{0}\) и \(\tilde{c}_{0}\) в равенстве \eqref{ref13}, получаем после деления на \(z - a\) равенство
$$
c_{1} + c_{2}(z - a) + c_{3}(z - a)^{2} + \ldots = \tilde{c}_{1} + \tilde{c}_{2}(z - a) + \tilde{c}_{3}(z - a)^{2} + \ldots,\label{ref14}
$$
которое справедливо в круге \(K\) с выколотой точкой а. Ряды в левой и правой частях \eqref{ref14} сходятся равномерно в круге \(K_{1}\) (следствие 2 из теоремы 1), а их общая сумма непрерывна в круге \(K_{1}\). Переходя в равенстве \eqref{ref14} к пределу при \(z \rightarrow a\), получаем \(c_{1} = \tilde{c}_{1}\). Справедливость равенства \(c_{n} = \tilde{c}_{n}\) при любом \(n\) устанавливается с помощью индукции. \(\bullet\)


Свойства степенных рядов.

Теорема 6.

Степенные ряды
$$
\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}z^{n},\label{ref15}
$$
$$
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{c_{n}}{n + 1}z^{n + 1},\label{ref16}
$$
$$
\sum_{n=0}^{\infty}nc_{n}z^{n - 1}\label{ref17}
$$
имеют один и тот же радиус сходимости.

Доказательство.

\(\circ\) Пусть \(R\), \(R_{1}\) и \(R_{2}\) — радиусы сходимости рядов \eqref{ref15}, \eqref{ref16} и \eqref{ref17} соответственно, \(K\), \(K_{1}\) и \(K_{2}\) — круги сходимости этих рядов. Докажем, что
$$
R_{1} = R = R_{2}.\label{ref18}
$$

Так как \(\displaystyle\frac{1}{n + 1} \leq 1 \leq n\) для любого \(n \in \mathbb{N}\), то
$$
\left|\frac{c_{n}}{n + 1}z^{n + 1}\right| \leq |z| \cdot |c_{n}z^{n}| \leq |z|^{2} \cdot |nc_{n}z^{n - 1}|.\label{ref19}
$$
Неравенства \eqref{ref19} справедливы при любом \(n \in \mathbb{N}\) и при любом \(z\).

а) Пусть \(z = z_{0} \in K_{2}\) и \(z_{0} \neq 0\). Тогда по теореме 2 ряд \eqref{ref17} сходится абсолютно в точке \(z_{0}\), а из правого неравенства \eqref{ref19} в силу теоремы сравнения следует абсолютная сходимость ряда \eqref{ref15} в точке \(z_{0}\). Итак, если \(z_{0} \in K_{2}\), то \(z_{0} \in K_{1}\), и поэтому
$$
R_{2} \leq R.\label{ref20}
$$

б) Аналогично, если \(z = z_{0} \neq 0\) и \(z_{0} \in K\), то из левого неравенства \eqref{ref19} следует, что ряд \eqref{ref16} абсолютно сходится в точке \(z_{0}\). Таким образом, если \(z_{0} \in K\), то \(z_{0} \in K_{1}\) и поэтому
$$
R \leq R_{1}.\label{ref21}
$$
Из \eqref{ref20} и \eqref{ref21} получаем двойное неравенство
$$
R_{1} \leq R \leq R_{2}.\label{ref22}
$$

в) Докажем, что
$$
R_{1} \leq R_{2}.\label{ref23}
$$
Пусть \(z_{0} \in K_{1}\) и \(z_{0} \neq 0\). Тогда \(|z_{0}|\;<\;R_{1}\), и ряд \eqref{ref16} абсолютно сходится в точке \(z_{0}\) (теорема 2). Выберем \(\rho\) так, чтобы выполнялись неравенства
$$
|z_{0}|\;<\;\rho\;<\;R_{1}.\label{ref24}
$$
Запишем следующее равенство:
$$
|nc_{n}z_{0}^{n - 1}| = \left|\frac{c_{n}\rho^{n + 1}}{n + 1}\right|\left(\frac{|z_{0}|}{\rho}\right)^{n + 1} \frac{n(n + 1)}{|z_{0}|^{2}}.\label{ref25}
$$
Так как \(\rho \in K\) в силу условия \eqref{ref24}, то ряд \eqref{ref16} сходится при \(z = \rho\), и поэтому
$$
\exists  m\;>\;0: \forall n \in \mathbb{N} \rightarrow \left|\frac{c_{n}\rho^{n + 1}}{n + 1}\right| \leq M.\label{ref26}
$$
Обозначим \(\displaystyle\frac{|z_{0}|}{\rho} = q\). Тогда \(0\;<\;q\;<\;1\), так как \(z_{0} \neq 0\), и выполняется условие \eqref{ref24}. Из равенства \eqref{ref25} в силу условия \eqref{ref26} следует, что
$$
|nc_{n}z_{0}^{n - 1}| \leq \frac{M}{|z_{0}|^{2}}n(n + 1)q^{n + 1},\ 0\;<\;q\;<\;1.\label{ref27}
$$
Так как ряд    \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{M}{|z_{0}|^{2}}n(n + 1)q^{n + 1}\), где \(0\;<\;q\;<\;1\), сходится по признаку Д’Аламбера, то из \eqref{ref27} следует абсолютная сходимость ряда \eqref{ref17} в точке \(z_{0}\). Итак, если \(z_{0} \in K_{1}\), то \(z_{0} \in K_{2}\), откуда получаем
$$
R_{1} \leq R_{2}.\label{ref28}
$$
Из неравенств \eqref{ref22} и \eqref{ref28} следует равенство \eqref{ref18}. \(\bullet\)


Обратимся теперь к степенным рядам вида \eqref{ref11}, где коэффициенты ряда — действительные числа, а переменное \(x\) принимает действительные значения.


Теорема 7.

Если ряд
$$
\sum_{\substack{k = 0} }^{\infty}a_{k}(x - x_{0})^{k} = f(x)\label{ref29}
$$
имеет радиус сходимости \(R\;>\;0\), то:

1) в интервале сходимости \((x_{0} - R, x_{0} + R)\) функция \(f\) имеет производные любого порядка, получаемые почленным дифференцированием ряда \eqref{ref29};

2) внутри интервала сходимости этот ряд можно почленно интегрировать, т. е. для любого \(x \in (x_{0} - R, x_{0} + R)\) справедливо равенство
$$
\int\limits_{x_{0}}^x f(t)\ dt = \sum_{\substack{k = 0} }^{\infty}a_{k}\frac{(x - x_{0})^{k + 1}}{k + 1}.\label{ref30}
$$

Доказательство.

\(\circ\) Рассмотрим ряд
$$
\sum_{k = 1}^{\infty} k a_{k} (x - x_{0})^{k - 1}.\label{ref31}
$$
составленный из производных членов ряда \eqref{ref29}. По теореме 6 ряд \eqref{ref31} имеет тот же радиус сходимости, что и ряд \eqref{ref29}, а по следствию 1 из теоремы 1 ряд \eqref{ref31} сходится равномерно на отрезке \(\Delta_{\rho} = [x_{0} - \rho, x_{0} + \rho]\), где \(\rho\) — произвольное число такое, что \(0\;<\;\rho\;<\;R\).

В силу теоремы о почленном дифференцировании рядов ряд \eqref{ref29} можно почленно дифференцировать на \(\Delta_{\rho}\), а значит, и в любой точке \(x \in (x_{0} - R, x_{0} + R)\), т. е. справедливо равенство
$$
f'(x) = \sum_{k = 1}^{\infty} k a_{k} (x - x_{0})^{k - 1},\quad x \in (x_{0} - R, x_{0} + R).\label{ref32}
$$
По индукции доказывается, что
$$
f^{(n)}(x) = \sum_{k = n}^{\infty} a_{k} k(k - 1)\ldots(k - (n -1))(x - x_{0})^{k - n}.\label{ref33}
$$
где \(n \in \mathbb{N}\), \(x \in (x_{0} - R, x_{0} + R)\), т. е. ряд \eqref{ref29} можно почленно дифференцировать любое число раз.

Справедливость равенства \eqref{ref30} следует из теоремы о почленном интегрировании функциональных рядов. \(\bullet\)


Следствие.

Коэффициенты ряда \eqref{ref29}, имеющего радиус сходимости \(R\;>\;0\), выражаются формулами
$$
a_{0} = f(x_{0}),\quad a_{n} = \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!},\quad n \in \mathbb{N}.\label{ref34}
$$

\(\circ\) Формулы \eqref{ref34} получаются из равенств \eqref{ref29} и \eqref{ref33} при \(x = x_{0}\). \(\bullet\)


Замечание 3.
Из формул \eqref{ref34} следует единственность разложения функции \(f(x)\) в степенной ряд вида \eqref{ref29}.