Степенные ряды

3 раздела

от теории до практики

2 примера

Примеры решения задач

видео

Примеры решения задач

Содержание

Радиус и круг сходимости степенного ряда.
Начать изучение
Регулярные функции.
Начать изучение
Свойства степенных рядов.
Начать изучение

Радиус и круг сходимости степенного ряда.

Функциональные ряды вида
$$
\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(\zeta — a)^{n},\label{ref1}
$$
где $c_{n}\ (n = 1, 2, \ldots)$ и $a$ — заданные комплексные числа, $\zeta$ — комплексное переменное, называют степенными рядами, а числа $c_{n}$ — коэффициентами степенного ряда \eqref{ref1}.

Полагая в \eqref{ref1} $z = \zeta — a$, получим ряд
$$
\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}z^{n},\label{ref2}
$$
исследование сходимости которого эквивалентно исследованию сходимости ряда \eqref{ref1}.

Теорема 1 (Абеля).

Если степенной ряд \eqref{ref2} сходится при $z = z_{0} \neq 0$, то он сходится, и притом абсолютно, при любом $z$ таком, что $|z| < |z_{0}|$; а если этот ряд расходится при $z = z_{1} \neq 0$, то он расходится при всяком $z$, для которого $|z| > |z_{1}|$.

Доказательство.

$\circ$ Пусть $K_{0} = \{z:\ |z| < |z_{0}|\}$ — круг на комплексной плоскости с центром в точке $O$ (рис. 43.1) радиуса $|z_{0}|$, и пусть $z$ — произвольная точка круга $K_{0}$, то есть $|z| < |z_{0}|$, и поэтому
$$
q = \left|\frac{z}{z_{0}}\right| < 1,\label{ref3}
$$

Рис. 43.1

Так как ряд \eqref{ref2} сходится в точке $z_{0}$, то должно выполняться условие
$$
\lim_{n \rightarrow \infty}c_{n}z_{0}^{n} = 0,\nonumber
$$
откуда следует ограниченность последовательности $\{c_{n}z_{0}^{n}\}$, то есть
$$
\exists M > 0: \forall n \in \mathbb{N} \rightarrow |c_{n}z_{0}^{n}| \leq M.\label{ref4}
$$
Используя неравенства \eqref{ref3} и \eqref{ref4}, получаем
$$
|c_{n}z^{n}| = |c_{n}z_{0}^{n}|\left|\frac{z}{z_{0}}\right|^{n} \leq M q^{n},\ \mbox{где}\ 0 \leq q < 1.\label{ref5}
$$
Так как ряд $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}M q^{n}$, где $0 \leq q < 1$, сходится, то по признаку сравнения сходится ряд $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|c_{n}z^{n}|$, то есть ряд \eqref{ref2} сходится абсолютно в каждой точке круга $K_{0}$.
Пусть ряд \eqref{ref2} расходится в точке $z_{1} \neq 0$. Тогда он должен расходиться в любой точке $\tilde{z}$ такой, что $|z_{1}| < |\tilde{z}|$, так как в противном случае по доказанному выше ряд \eqref{ref2} сходился бы в точке $z_{1}$. $\bullet$

Следствие 1.

Если ряд \eqref{ref2} сходится в точке $z_{0} \neq 0$, то в круге $K_{1} = \{z: |z| < p\}$, где $p < |z_{0}|$, этот ряд сходится абсолютно и равномерно.

$\circ$ Если $z \in K_{1}$, то $|c_{n}z^{n}| \leq M q_{1}^{n}$, где $q_{1} = \displaystyle\frac{p}{|z_{0}|}$ и поэтому $0 \leq q_{1} < 1$, причем $q_{1}$ не зависит от $z$. По признаку Вейерштрасса ряд \eqref{ref2} сходится абсолютно и равномерно в круге $K_{1}$. $\bullet$

Следствие 2.

Если ряд \eqref{ref2} сходится в точке $z_{0} \neq 0$, то ряды
$$
\sum_{n = m}^{\infty}c_{n}z^{n — m},\quad m \in \mathbb{N},\label{ref6}
$$
$$
\sum_{n = 1}^{\infty}nc_{n}z^{n — 1}\label{ref7}
$$
сходятся абсолютно в круге $K_{0}$, а в круге $K_{1}$ — абсолютно и равномерно.

$\circ$ Для ряда \eqref{ref6} в круге $K_{0}$ выполняется неравенство
$$
|c_{n}z^{n — m}| \leq \frac{M}{|z_{0}|^{m}}q^{n — m},\ 0 \leq q < 1,\nonumber
$$
в круге $K_{1}$ — неравенство
$$
|c_{n}z^{n — m}| \leq \frac{M}{|z_{0}|^{m}}q_{1}^{n — m},\ 0 \leq q < 1,\nonumber
$$
и $q_{1} = \displaystyle\frac{p}{|z_{0}|}$ не зависит от $z$. Для ряда \eqref{ref7} в кругах $K_{0}$ и $K_{1}$ справедливы соответственно неравенства
$$
|nc_{n}z^{n — 1}| \leq \frac{M}{|z_{0}|}nq^{n — 1} \qquad \mbox{и}\qquad |nc_{n}z^{n — 1}| \leq \frac{M}{|z_{0}|}nq_{1}^{n — 1}.\nonumber
$$
Далее следует использовать сходимость рядов $\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}Aq^{n}$ и $\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}Bnq^{n-1}$, где $A > 0$, $B > 0$, $0 \leq q < 1$. $\bullet$

Теорема 2.

Для всякого степенного ряда \eqref{ref2} существует $R$ ($R \geq 0$ — число или $+\infty$) такое, что:

если $R \neq 0$ и $R \neq +\infty$, то ряд \eqref{ref2} абсолютно сходится в круге $K = \{z: |z| < R\}$ и расходится вне круга $K$; этот круг называют кругом сходимости ряда \eqref{ref2}, а $R$ — радиусом сходимости ряда;
если $R = 0$, то ряд \eqref{ref2} сходится в одной точке $z = 0$;
если $R = +\infty$, то этот ряд сходится во всей комплексной плоскости.

Доказательство.

$\circ$ Пусть $D$ — множество всех точек сходимости ряда \eqref{ref2}. Это непустое множество, так как в точке $z = 0$ ряд \eqref{ref2} сходится.

Если $D$ — неограниченное множество, то ряд \eqref{ref2} сходится в произвольной точке $\tilde{z}$ комплексной плоскости. В самом деле, возьмем точку $z_{0} \in D$ такую, что $|\tilde{z}| < |z_{0}|$. Тогда по теореме Абеля ряд \eqref{ref2} будет сходиться в точке $\tilde{z}$.

Пусть $D$ — ограниченное множество. Если $D$ состоит из одной точки $z = 0$, то ряд \eqref{ref2} сходится при $z = 0$ и расходится при $z \neq 0$. В этом случае $R = 0$. Если $D$ содержит хотя бы одну точку, отличную от $z = 0$, то, обозначив $R = \sup_{z \in D} |z|$, докажем, что ряд \eqref{ref2} сходится в круге $K = \{z: |z| < R\}$ и расходится в каждой точке, лежащей вне этого круга. Пусть $\tilde{z}$ — произвольная точка круга $K$, тогда $|\tilde{z}| < R$. По определению точной верхней грани
$$
\exists z_{1} \in D: |\tilde{z}| < |z_{1}| < R.\nonumber
$$

Так как ряд \eqref{ref2} сходится в точке $z_{1}$, то по теореме Абеля он абсолютно сходится в точке $\tilde{z}$. Итак, в каждой точке, лежащей внутри круга $K$, ряд \eqref{ref2} абсолютно сходится.

Пусть точка $z’$ лежит вне круга $K$, то есть $|z’| > R$. Тогда $z’ \in D$ (по определению точной верхней грани), и поэтому ряд \eqref{ref2} расходится в точке $z’$. $\bullet$

Замечание 1.

На границе круга $K$ ряд \eqref{ref2} может как сходиться, так и расходиться. В любом меньшем круге $K_{1} = \{z:\ |z| \leq p < R\}$ ряд \eqref{ref2} сходится абсолютно и равномерно.

Теорема 3 (Абеля).

Если $R$ — радиус сходимости степенного ряда \eqref{ref2}, причем $0 < R < +\infty$, и если этот ряд сходится при $z = R$, то он сходится равномерно на отрезке $[0, R]$, а его сумма непрерывна на этом отрезке.

Доказательство.

$\circ$ Теорема приводится без доказательства. $\bullet$

Теорема 4.

Если существует конечный или бесконечный $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|c_{n}|}$, то для радиуса $R$ сходимости ряда \eqref{ref2} справедлива формула
$$
\frac{1}{R} = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|c_{n}|},\label{ref8}
$$
а если существует конечный или бесконечный $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \left|\frac{c_{n}}{c_{n + 1}}\right|$, то
$$
R = \lim_{n \rightarrow \infty} \left|\frac{c_{n}}{c_{n + 1}}\right|,\label{ref9}
$$

Доказательство.

$\circ$ Докажем формулу \eqref{ref8}. Обозначим $\rho = \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|c_{n}|}$.

Пусть $0 < \rho < +\infty$ и пусть $z_{0}$ — произвольная точка круга $K = \{z: |z| < 1/\rho\}$, тогда $|z_{0}| < 1/\rho$ и
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|c_{n}z_{0}^{n}|} = |z_{0}| \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|c_{n}|} = |z_{0}| \rho < 1.\nonumber
$$
По признаку Коши ряд $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}z_{0}^{n}$ абсолютно сходится. Так как $z_{0}$ — произвольная точка крута $K$, то ряд \eqref{ref2} абсолютно сходится в этом круге.Пусть точка $\tilde{z}$ лежит вне круга $K$. Тогда $|\tilde{z}| > 1/\rho$, и поэтому $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|c_{n}\tilde{z}^{n}|}$. Следовательно, ряд $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\tilde{z}^{n}$ расходится при $|\tilde{z}| > 1/\rho$.Таким образом, если правая часть равенства \eqref{ref8} — положительное число, то ряд \eqref{ref2} сходится в круге $K$ и расходится вне этого круга. Следовательно, $1/\rho$ — радиус сходимости ряда \eqref{ref2}.
Если $\rho = 0$, то $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|c_{n}z^{n}|} = |z|\rho = 0$ для любой точки $z$ комплексной плоскости, и поэтому ряд \eqref{ref2} сходится при любом $z$. Это означает, что радиус сходимости ряда $R = +\infty$ . И в этом случае формула \eqref{ref8} верна, если считать, что $1/\rho = 0$.
Если $\rho = +\infty$, то для любой точки $z \neq 0$ имеем $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|c_{n}z^{n}|} = |z| \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|c_{n}|} = +\infty$, и поэтому ряд \eqref{ref2} при $z \neq 0$ расходится. Это означает, что $R = 0$.Аналогично можно доказать формулу \eqref{ref9}, используя признак Д’Аламбера сходимости рядов. $\bullet$

Замечание 2.

Пределы \eqref{ref8} и \eqref{ref9} могут не существовать. Однако имеется универсальная формула для вычисления радиуса сходимости $R$ степенного ряда \eqref{ref2}, а именно формула
$$
\frac{1}{R} = \overline{\lim_{n \rightarrow \infty}} \sqrt[n]{|c_{n}|},\label{ref10}
$$
которую называют формулой Коши-Адамара.

Напомним, что символом $\displaystyle\overline{\lim_{n \rightarrow \infty}} x_{n}$ обозначается точная верхняя грань множества всех частичных пределов последовательности $\{x_{n}\}$.

Например, если $x_{n} = 1 + (-1)^{n}$, то $\displaystyle\overline{\lim_{n \rightarrow \infty}}x_{n} = 2$.

Пример 1.

Найти радиус сходимости $R$ степенного ряда $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}z^{n}$,

$c_{n} = \displaystyle\frac{a^{n}}{n!},\ a > 0;$
$c_{n} = \displaystyle\frac{(1 + i)^{n}}{n3^{n}};$
$c_{n} = \displaystyle\frac{n^{n}}{e^{n}n!}.$

Решение.

$\vartriangle$ Так как $\displaystyle\frac{c_{n}}{c_{n + 1}} = \frac{n + 1}{a} \rightarrow +\infty$, тo при $n \rightarrow \infty$, то по формуле \eqref{ref9} находим $R = +\infty$.
В этом случае $c_{n} = \displaystyle\frac{(\sqrt{2})^{n}}{n3^{n}}$, и поэтому $\displaystyle\sqrt[n]{|c_{n}|} \rightarrow \frac{\sqrt{2}}{3}$ при $n \rightarrow \infty$, так как $\sqrt[n]{n} \rightarrow 1$ при $n \rightarrow \infty$. По формуле \eqref{ref8} находим $R = \displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}}$.
Так как $c_{n + 1} = \displaystyle c_{n}\left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n}\frac{1}{e}$, то $\displaystyle\frac{c_{n}}{c_{n + 1}} = \frac{e}{\displaystyle\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}} \rightarrow 1$ при $n \rightarrow \infty$, и по формуле \eqref{ref9} находим $R = 1$. $\blacktriangle$

Пример 2.

Найти радиус сходимости $R$ степенного ряда $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}2^{n}z^{5n}$.

Решение.

$\vartriangle$ Обозначим $2z^{5} = t$. Тогда $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}2^{n}z^{5n} = \sum_{n=0}^{\infty}t^{n}$, причем ряд $\sum_{n=0}^{\infty}t^{n}$ сходится, если $|t| < 1$, и расходится, если $|t| > 1$. Поэтому ряд $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}2^{n}z^{5n}$ сходится, если $2|z|^{5} < 1$, то есть при $|z| < \displaystyle\frac{1}{\sqrt[5]{2}}$, и расходится при $|z| > \displaystyle\frac{1}{\sqrt[5]{2}}$. Итак, радиус сходимости $R = \displaystyle\frac{1}{\sqrt[5]{2}}$. Тот же результат следует из формулы \eqref{ref10}, так как
$$
\overline{\lim_{n \rightarrow \infty}} \sqrt[n]{|c_{n}|} = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[5n]{2^{n}} = \sqrt[5]{2}.\ \blacktriangle\nonumber
$$

Для степенного ряда $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(z — a)^{n}$ круг сходимости $K$ имеет вид $K = \{z:\ |z — a| < R\}$. Например, степенной ряд $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}n_{2}(z — 1)^{n}$ сходится в круге $K = \{z:\ |z — 1| < 1\}$ и расходится вне этого круга.

Для степенного ряда вида
$$
\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(x — x_{0})^{n},\label{ref11}
$$
где $a_{n} (n = 0, 1, 2, …)$, $x_{0}$ — заданные действительные числа, $x$ — действительное переменное, существует, согласно теореме 2, такое $R$ ($R \geq 0$ — число или $+\infty$), что при $R \neq 0, +\infty$ ряд \eqref{ref11} сходится, если $|x — x_{0}| < R$, и расходится, если $|x — x_{0}| > R$. Интервал $(x_{0} — R, x_{0} + R)$ называют интервалом сходимости, a $R$ — радиусом сходимости ряда \eqref{ref11}. Радиус сходимости ряда \eqref{ref11} совпадает с радиусом сходимости ряда $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z — x_{0})^{n}$, где $z$ — комплексное переменное. При $R = 0$ ряд \eqref{ref11} сходится лишь в точке $x = x_{0}$, а при $R = +\infty$ — на всей числовой прямой.

Регулярные функции.

Введем понятие функции комплексного переменного. Пусть каждой точке $z \in E$, где $E$ — множество точек комплексной плоскости, поставлено в соответствие комплексное число $w$. Тогда говорят, что на множестве $E$ определена функция комплексного переменного, и пишут $w = f(z)$, где символом $f$ обозначено правило (закон), определяющее это соответствие.

Понятия предела, непрерывности, производной для функции комплексного переменного вводятся по аналогии с соответствующими понятиями для функции действительного переменного. Если
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta = \delta_{\varepsilon} > 0: \forall z: |z — a| < \delta_{\varepsilon} \rightarrow |f(z) — f(a)| < \varepsilon,\nonumber
$$
то функцию $f(z)$ называют непрерывной в точке $a$.

Отметим еще, что понятие равномерной сходимости ряда $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}u_{n}(z)$ с комплексными членами формально вводится так же, как и для рядов с действительными членами, а сумма равномерно сходящегося ряда, составленного из непрерывных функций комплексного переменного, есть непрерывная функция.

Введем важное для функций комплексного переменного понятие регулярности.

Определение.

Функция комплексного переменного $f(z)$ называется регулярной (однозначной аналитической, голоморфной) в точке $a$, если она определена в некоторой окрестности точки $a$ и представима в некотором круге $|z — a| < \rho$, $\rho > 0$, сходящимся к $f(z)$ степенным рядом
$$
f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(z — a)^{n}.\label{ref12}
$$

Отметим, что любой многочлен, то есть функция вида $P(z) = \displaystyle\sum_{k = 0}^{\infty}a_{k}z^{k}$, является регулярной функцией в каждой точке комплексной плоскости.

Рациональная функция $f(z) = \displaystyle\frac{P_{n}(z)}{Q_{m}(z)}$, где $P_{n}$ и $Q_{m}$ — многочлены степени $n$ и $m$ соответственно, регулярна в каждой точке $a$, в которой $Q_{m} \neq 0$. Если многочлены $P_{n}$ и $Q_{m}$ не имеют общих корней и если $z = z_{0}$ — корень многочлена $Q_{m}(z)$, то $\displaystyle\lim_{z \rightarrow z_{0}}f(z) = \infty$, а точку $z_{0}$ называют полюсом функции $f(z)$. Полюсы — один из типов особых точек функций комплексного переменного.

В теории функций комплексного переменного доказывается, что на границе круга сходимости степенного ряда $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(z — a)^{n}$ лежит хотя бы одна особая точка его суммы $f(z)$ и что радиус сходимости этого ряда равен расстоянию от точки $a$ до ближайшей к $a$ особой точки функции $f(z)$.

В частности, если $f(z) = \displaystyle\frac{P_{n}(z)}{Q_{m}(z)}$, причем многочлены $P_{n}$ и $Q_{m}$ не имеют общих корней, то радиус сходимости $R$ степенного ряда $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(z — a)^{n}$ равен расстоянию от точки $a$ до ближайшего к этой точке корня многочлена $Q_{m}(z)$, то есть
$$
R = \min_{1 \leq k \leq m} |z_{k} — a|,\nonumber
$$
где $z_{k} (k = \overline{1, m})$ — корни многочлена $Q_{m}(z)$ (предполагается, что $a \neq z_{k}$, $k = \overline{1, m}$).

Например, если $f(z) = \displaystyle\frac{2z}{(z-3)(z^{2} + 1)}$, то корнями многочлена $(z-3)(z^{2} + 1)$ являются числа $z_{1} = 3$, $z_{2} = i$, $z_{3} = -i$. Поэтому радиус сходимости $R$ степенного ряда $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(z-1)^{2}$ равен наименьшему из чисел $|3-1|,\ |i-1|,\ |i+1|$, то есть равен $\sqrt{2}$.

Теорема 5.

Функция $f(z)$, регулярная в точке $a$, единственным образом представляется рядом \eqref{ref12}.

Доказательство.

$\circ$ Пусть функция $f(z)$ имеет два представления в виде степенного ряда \eqref{ref12} в круге $K = \{z:\ |z — a| < \rho\}$, где $\rho > 0$, то есть
$$
f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(z — a)^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}\tilde{c}_{n}(z — a)^{n}.\label{ref13}
$$
Докажем, что $c_{n} = \tilde{c}_{n}$ для $n = 0, 1, 2, …$

По условию ряды $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(z — a)^{n}$ и $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\tilde{c}_{n}(z — a)^{n}$ сходятся в круге $K$, и поэтому (см. следствие 1 из теоремы 1) эти ряды сходятся равномерно в круге $K_{1} = \{z:\ |z — a| \leq \rho_{1} < \rho\}$, а их общая сумма -непрерывная в круге $K_{1}$ функция. В частности, функция $f(z)$ непрерывна в точке $a$. Подходя к пределу при $z \rightarrow a$ в равенстве \eqref{ref13}, получаем $c_{0} = \tilde{c}_{0}$. Отбрасывая одинаковые слагаемые $c_{0}$ и $\tilde{c}_{0}$ в равенстве \eqref{ref13}, получаем после деления на $z — a$ равенство
$$
c_{1} + c_{2}(z — a) + c_{3}(z — a)^{2} + \ldots = \tilde{c}_{1} + \tilde{c}_{2}(z — a) + \tilde{c}_{3}(z — a)^{2} + \ldots,\label{ref14}
$$
которое справедливо в круге $K$ с выколотой точкой $а$. Ряды в левой и правой частях \eqref{ref14} сходятся равномерно в круге $K_{1}$ (следствие 2 из теоремы 1), а их общая сумма непрерывна в круге $K_{1}$. Переходя в равенстве \eqref{ref14} к пределу при $z \rightarrow a$, получаем $c_{1} = \tilde{c}_{1}$. Справедливость равенства $c_{n} = \tilde{c}_{n}$ при любом $n$ устанавливается с помощью индукции. $\bullet$

Свойства степенных рядов.

Теорема 6.

Степенные ряды
$$
\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}z^{n},\label{ref15}
$$
$$
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{c_{n}}{n + 1}z^{n + 1},\label{ref16}
$$
$$
\sum_{n=0}^{\infty}nc_{n}z^{n — 1}\label{ref17}
$$
имеют один и тот же радиус сходимости.

Доказательство.

$\circ$ Пусть $R$, $R_{1}$ и $R_{2}$ — радиусы сходимости рядов \eqref{ref15}, \eqref{ref16} и \eqref{ref17} соответственно, $K$, $K_{1}$ и $K_{2}$ — круги сходимости этих рядов. Докажем, что
$$
R_{1} = R = R_{2}.\label{ref18}
$$

Так как $\displaystyle\frac{1}{n + 1} \leq 1 \leq n$ для любого $n \in \mathbb{N}$, то
$$
\left|\frac{c_{n}}{n + 1}z^{n + 1}\right| \leq |z| \cdot |c_{n}z^{n}| \leq |z|^{2} \cdot |nc_{n}z^{n — 1}|.\label{ref19}
$$
Неравенства \eqref{ref19} справедливы при любом $n \in \mathbb{N}$ и при любом $z$.

Пусть $z = z_{0} \in K_{2}$ и $z_{0} \neq 0$. Тогда по теореме 2 ряд \eqref{ref17} сходится абсолютно в точке $z_{0}$, а из правого неравенства \eqref{ref19} в силу теоремы сравнения следует абсолютная сходимость ряда \eqref{ref15} в точке $z_{0}$. Итак, если $z_{0} \in K_{2}$, то $z_{0} \in K_{1}$, и поэтому
$$
R_{2} \leq R.\label{ref20}
$$
Аналогично, если $z = z_{0} \neq 0$ и $z_{0} \in K$, то из левого неравенства \eqref{ref19} следует, что ряд \eqref{ref16} абсолютно сходится в точке $z_{0}$. Таким образом, если $z_{0} \in K$, то $z_{0} \in K_{1}$ и поэтому
$$
R \leq R_{1}.\label{ref21}
$$
Из \eqref{ref20} и \eqref{ref21} получаем двойное неравенство
$$
R_{1} \leq R \leq R_{2}.\label{ref22}
$$
Докажем, что
$$
R_{1} \leq R_{2}.\label{ref23}
$$
Пусть $z_{0} \in K_{1}$ и $z_{0} \neq 0$. Тогда $|z_{0}| < R_{1}$, и ряд \eqref{ref16} абсолютно сходится в точке $z_{0}$ (теорема 2). Выберем $\rho$ так, чтобы выполнялись неравенства
$$
|z_{0}| < \rho < R_{1}.\label{ref24}
$$
Запишем следующее равенство:
$$
|nc_{n}z_{0}^{n — 1}| = \left|\frac{c_{n}\rho^{n + 1}}{n + 1}\right|\left(\frac{|z_{0}|}{\rho}\right)^{n + 1} \frac{n(n + 1)}{|z_{0}|^{2}}.\label{ref25}
$$
Так как $\rho \in K$ в силу условия \eqref{ref24}, то ряд \eqref{ref16} сходится при $z = \rho$, и поэтому
$$
\exists m > 0: \forall n \in \mathbb{N} \rightarrow \left|\frac{c_{n}\rho^{n + 1}}{n + 1}\right| \leq M.\label{ref26}
$$
Обозначим $\displaystyle\frac{|z_{0}|}{\rho} = q$. Тогда $0 < q < 1$, так как $z_{0} \neq 0$, и выполняется условие \eqref{ref24}. Из равенства \eqref{ref25} в силу условия \eqref{ref26} следует, что
$$
|nc_{n}z_{0}^{n — 1}| \leq \frac{M}{|z_{0}|^{2}}n(n + 1)q^{n + 1},\ 0 < q < 1.\label{ref27}
$$
Так как ряд $\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{M}{|z_{0}|^{2}}n(n + 1)q^{n + 1}$, где $0 < q < 1$, сходится по признаку Д’Аламбера, то из \eqref{ref27} следует абсолютная сходимость ряда \eqref{ref17} в точке $z_{0}$. Итак, если $z_{0} \in K_{1}$, то $z_{0} \in K_{2}$, откуда получаем
$$
R_{1} \leq R_{2}.\label{ref28}
$$
Из неравенств \eqref{ref22} и \eqref{ref28} следует равенство \eqref{ref18}. $\bullet$

Обратимся теперь к степенным рядам вида \eqref{ref11}, где коэффициенты ряда — действительные числа, а переменное $x$ принимает действительные значения.

Теорема 7.

Если ряд
$$
\sum_{\substack{k = 0} }^{\infty}a_{k}(x — x_{0})^{k} = f(x)\label{ref29}
$$
имеет радиус сходимости $R > 0$, то:

в интервале сходимости $(x_{0} — R, x_{0} + R)$ функция $f$ имеет производные любого порядка, получаемые почленным дифференцированием ряда \eqref{ref29};
внутри интервала сходимости этот ряд можно почленно интегрировать, то есть для любого $x \in (x_{0} — R, x_{0} + R)$ справедливо равенство
$$
\int\limits_{x_{0}}^x f(t)\ dt = \sum_{\substack{k = 0} }^{\infty}a_{k}\frac{(x — x_{0})^{k + 1}}{k + 1}.\label{ref30}
$$

Доказательство.

$\circ$ Рассмотрим ряд
$$
\sum_{k = 1}^{\infty} k a_{k} (x — x_{0})^{k — 1}.\label{ref31}
$$
составленный из производных членов ряда \eqref{ref29}. По теореме 6 ряд \eqref{ref31} имеет тот же радиус сходимости, что и ряд \eqref{ref29}, а по следствию 1 из теоремы 1 ряд \eqref{ref31} сходится равномерно на отрезке $\Delta_{\rho} = [x_{0} — \rho, x_{0} + \rho]$, где $\rho$ — произвольное число такое, что $0 < \rho < R$.

В силу теоремы о почленном дифференцировании рядов ряд \eqref{ref29} можно почленно дифференцировать на $\Delta_{\rho}$, а значит, и в любой точке $x \in (x_{0} — R, x_{0} + R)$, то есть справедливо равенство
$$
f'(x) = \sum_{k = 1}^{\infty} k a_{k} (x — x_{0})^{k — 1},\quad x \in (x_{0} — R, x_{0} + R).\label{ref32}
$$
По индукции доказывается, что
$$
f^{(n)}(x) = \sum_{k = n}^{\infty} a_{k} k(k — 1)\ldots(k — (n -1))(x — x_{0})^{k — n}.\label{ref33}
$$
где $n \in \mathbb{N}$, $x \in (x_{0} — R, x_{0} + R)$, то есть ряд \eqref{ref29} можно почленно дифференцировать любое число раз.

Справедливость равенства \eqref{ref30} следует из теоремы о почленном интегрировании функциональных рядов. $\bullet$

Следствие.

Коэффициенты ряда \eqref{ref29}, имеющего радиус сходимости $R > 0$, выражаются формулами
$$
a_{0} = f(x_{0}),\quad a_{n} = \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!},\quad n \in \mathbb{N}.\label{ref34}
$$

$\circ$ Формулы \eqref{ref34} получаются из равенств \eqref{ref29} и \eqref{ref33} при $x = x_{0}$. $\bullet$

Замечание 3.

Из формул \eqref{ref34} следует единственность разложения функции $f(x)$ в степенной ряд вида \eqref{ref29}.