Сходимость функциональной последовательности и ряда.
Сходимость последовательности функций.
Пусть функции \(f_{n}(x)\), \(n \in \mathbb{N}\), определены на множестве \(E\) и пусть \(x_{0} \in E\). Если числовая последовательность \(\{f_{n}(x_{0})\}\) сходится, то последовательность функций \(\{f_{n}(x)\}\) сходится в точке \(x_{0}\).
Последовательность \(\{f_{n}(x)\}\), сходящуюся в каждой точке \(x \in E\), называют сходящейся на множестве \(E\). В этом случае на множестве \(E\) определена функция \(f(x)\), значение которой в любой точке \(x \in E\) равно пределу последовательности \(\{f_{n}(x)\}\). Эту функцию называют предельной функцией последовательности \(\{f_{n}(x)\}\) на множестве \(E\) и пишут
$$
\lim_{n \rightarrow \infty}f_{n}(x) = f(x),\ x \in E,\label{ref1}
$$
или
$$
f_{n}(x) \rightarrow f(x),\ x \in E,\nonumber
$$
или, короче,
$$
f_{n} \xrightarrow[E]{} f.\nonumber
$$
По определению предела запись \eqref{ref1} означает, что
$$
\forall x \in E\ \forall \varepsilon > 0\ \exists N = N_{\varepsilon}(x): \forall n \geq N \rightarrow |f_{n}(x)-f(x)| < \varepsilon.\nonumber
$$
Пример 1.
Найти предельную функцию \(f(x)\) последовательности \(\{f_{n}(x)\}\) на множестве \(E\), если:
- $$
f_{n}(x) = \frac{n + 1}{n + x^{2}},\ E = \mathbb{R};\nonumber
$$ - $$
f_{n}(x) = n \sin \frac{1}{nx},\ E = (0, + \infty).\nonumber
$$
Решение.
- \(\vartriangle\) Так как \(f_{n}(x) = \displaystyle\frac{1 + \displaystyle\frac{1}{n}}{1 + \frac{\displaystyle x^{2}}{n}}\), то \(f(x) = 1\).
- Используя асимптотическую формулу \(\sin t \sim t\) при \(t \rightarrow 0\), получаем \(\displaystyle n \sin \frac{1}{nx} \sim n\frac{1}{nx}\) при \(n \rightarrow \infty\), если \(x \neq 0\).Поэтому \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{x}\). \(\blacktriangle\)
Сходимость функционального ряда.
Пусть функции \(u_{n}(x)\), \(n \in \mathbb{N}\), определены на множестве \(E\) и пусть для каждого \(x \in E\) существует конечный предел последовательности \(\{S_{n}(x)\}\), где \(S_{n}(x) = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}u_{k}(x)\). Тогда ряд
$$
\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x),\label{ref2}
$$
называют сходящимся на множестве \(E\).
Если \(S(x)\) — предельная функция последовательности \(\{S_{n}(x)\}\) на множестве \(E\), то есть
$$
\lim_{n \rightarrow \infty}S_{n}(x) = S(x),\ x \in E,\nonumber
$$
то функцию называют \(S(x)\) суммой ряда \eqref{ref2} и пишут
$$
\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x) = S(x),\ x \in E.\nonumber
$$
Например, если \(u_{n}(x) = x^{n-1}\), \(E = (-1,1)\), то \(S_{n}(x) = \displaystyle\frac{1-x^{n}}{1-x}\), \(S(x) = \displaystyle\frac{1}{1-x}\). Если в каждой точке \(x \in E\) сходится ряд \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}|u_{n}(x)|\), то ряд \eqref{ref2} называют абсолютно сходящимся на множестве \(E\).
Равномерная сходимость функциональной последовательности.
Понятие равномерной сходимости последовательности функций.
Определение.
Последовательность функций
$$
\{f_{n}(x)\}\nonumber
$$
называется равномерно сходящейся на множестве \(E\) к функции \(f(x)\), если
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_{\varepsilon}:\ \forall n \geq N_{\varepsilon} \ \forall x \in E \rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon.\label{ref3}
$$
В этом определении существенно, что номер \(N_{\varepsilon}\) не зависит от \(x\). Если справедливо утверждение \eqref{ref3}, то пишут
$$
f_{n}(x) \rightrightarrows f(x),\ x \in E,\nonumber
$$
или
$$
f_{n} \underset{E}\rightrightarrows f.\nonumber
$$
Говорят, что последовательность \(\{f_{n}(x)\}\) равномерно сходится на множестве \(E\), если существует функция \(f\), удовлетворяющая условию \eqref{ref3}.
Если существуют числовая последовательность \(\{a_{n}\}\) и номер \(n_{0}\) такие, что
$$
\forall n \geq n_{0}\ \forall x \in E \rightarrow |f_{n}(x)-f(x)| \leq a_{n},\nonumber
$$
причем \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}a_{n} = 0\), то
$$
f_{n}(x) \underset{E}\rightrightarrows f(x),\ x \in E.\nonumber
$$
Пример 2.
Доказать, что последовательность \(\{f_{n}(x)\}\) равномерно сходится на множестве \(E\), и найти ее предельную функцию \(f(x)\), если:
- \(\displaystyle f_{n}(x) = \frac{n + 1}{n + x^{2}},\ E = [-1, 1];\)
- \(\displaystyle f_{n}(x) = \sqrt{x^{2} + \frac{1}{n}},\ E = \mathbb{R};\)
- \(\displaystyle f_{n}(x) = \frac{\operatorname{arctg} n^{2}x}{\sqrt[3]{n + x}},\ E = [0, +\infty)\);
- \(\displaystyle f_{n}(x) = n \sin \frac{1}{nx},\ E = [1, +\infty)\).
Решение.
- \(\vartriangle\) В этом случае \(f(x) = 1\) (пример 1) и \(|f_{n}(x)-f(x)| = \displaystyle\frac{1-x^{2}}{n + x^{2}} \leq \frac{1}{n}\), так как \(|x| \leq 1\). Следовательно,
$$
\frac{n + 1}{n + x^{2}} \rightrightarrows 1,\ x \in [-1, 1].\nonumber
$$ - Используя неравенство \(x^{2} + \displaystyle\frac{1}{n} \leq \left(|x| + \frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{2}\), получаем \(0 \leq \displaystyle\sqrt{x^{2} + \frac{1}{n}}-\sqrt{x^{2}} \leq |x| + \frac{1}{\sqrt{n}}-|x| = \frac{1}{\sqrt{n}}\), откуда следует, что
$$
\sqrt{x^{2} + \frac{1}{n}} \rightrightarrows |x|,\ x \in \mathbb{R}.\nonumber
$$ - Так как \(0 \leq \operatorname{arctg} x \leq \displaystyle\frac{\pi}{2}\) и \(\sqrt[3]{n + x} \geq \sqrt[3]{n}\) при \(x > 0\), то \(0 \leq f_{n}(x) \leq \displaystyle\frac{\pi}{2\sqrt[3]{n}}\), откуда получаем \(f_{n}(x) \rightrightarrows 0\), \(x \in E\).
- В этом случае \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{x}\) (пример 1). Используя неравенство \(|\sin t-t| \leq \displaystyle\frac{t^{2}}{2},\ t \in \mathbb{R}\) (пример разобран здесь), получаем
$$
|f_{n}(x)-f(x)| = n \left|\sin \frac{1}{nx}-\frac{1}{nx}\right| \leq \frac{n}{2(nx)^{2}} \leq \frac{1}{2n},\nonumber
$$
так как \(x \geq 1\). Следовательно,
$$
n \sin \frac{1}{nx} \rightrightarrows \frac{1}{x},\ x \in [1, +\infty).\ \blacktriangle\nonumber
$$
Критерии равномерной сходимости последовательности функций.
Теорема 1.
Чтобы последовательность функций \(\{f_{n}(x)\}\), определенных на множестве \(E\), сходилась равномерно на этом множестве к функции \(f(x)\), необходимо и достаточно, чтобы
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in E} |f_{n}(x)-f(x)| = 0.\label{ref4}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Обозначим \(\sigma_{n} = \displaystyle\sup_{x \in E} |f_{n}(x)-f(x)|\). Тогда условие \eqref{ref4} означает, что
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists n_{\varepsilon}: \forall n \geq n_{\varepsilon} \rightarrow \sigma_{n} < \varepsilon.\label{ref5}
$$
Если \(f_{n}(x) \rightrightarrows f(x)\), \(x \in E\), то
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon} \rightarrow |f_{n}(x)-f(x)| < \frac{\varepsilon}{2},\nonumber
$$
откуда следует, что \(\sigma_{n} \leq \displaystyle\frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon\) для \(n \geq N_{\varepsilon}\). Поэтому неравенство \(\sigma_{n} < \varepsilon\) выполняется при всех \(n \geq N_{\varepsilon}\), где \(n_{\varepsilon} = N_{\varepsilon}\). Обратно, если выполняется условие \eqref{ref4} или равносильное ему условие \eqref{ref5}, то, используя неравенство \(|f_{n}(x)-f(x)| \leq \sigma_{n}\) для \(x \in E\), \(n \in \mathbb{N}\), получаем \(|f_{n}(x)-f(x)| < \varepsilon\) для \(x \in E\), \(n \geq n_{\varepsilon}\), то есть \(f_{n}(x) \rightrightarrows 0\), \(x \in E\). \(\bullet\)
Пример 3.
Доказать, что последовательность \(\{f_{n}(x)\}\) сходится равномерно на множестве \(E\), и найти предельную функцию \(f(x)\), если:
- \(f_{n}(x) = \displaystyle\frac{2n^{2}x}{1 + n^{\alpha}x^{2}}\), \(\alpha > 4\), \(E = \mathbb{R}\);
- \(f_{n}(x) = \displaystyle x^{n}-x^{n + 1}\), \(E = [0, 1]\);
- \(f_{n}(x) = \displaystyle nx^{2}e^{-nx}\), \(E = [2, +\infty)\).
Решение.
- \(\vartriangle\) Если \(x = 0\), то \(f_{n}(0) = 0\) для всех \(n \in \mathbb{N}\), и поэтому \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}f_{n}(0) = f(0) = 0\). Если \(x \neq 0\), то \(|f_{n}(x)| \leq \displaystyle\frac{2n^{2}|x|}{n^{\alpha}x^{2}} = \frac{2}{|x|n^{\alpha-2}}\), откуда следует, что \(f_{n}(x) \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\), так как \(\alpha > 4\). Таким образом, предельная функция \(f(x) = 0\), \(x \in \mathbb{R}\).
Так как при \(x \neq 0\) справедливо неравенство \(1 + n^{\alpha}x^{2} \geq 2n^{\alpha/2}|x|\), причем это неравенство обращается в равенство лишь в случае, когда \(n^{\alpha}x^{2} = 1\), то есть \(|x| = n^{-\alpha/2}\), то
$$
|f_{n}(x)-f(x)| \leq \frac{2n^{2}|x|}{2n^{\alpha/2}|x|} = \frac{1}{n^{\alpha/2-2}},\ x \neq 0.\nonumber
$$
Следовательно, \(\displaystyle\sup_{x \in E} |f_{n}(x)-f(x)| = \frac{1}{n^{\alpha/2-2}} \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\), если \(\alpha > 4\), и поэтому \(f_{n}(x) \rightrightarrows 0\), \(x \in R\). - Если \(x \in [0, 1)\), то \(x^{n} \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\), и поэтому \(f_{n}(x) \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\). Если \(x = 1\), то \(f_{n}(1) = 0\), и поэтому \(f(1) = 0\). Следовательно, \(f(x) = 0\), \(x \in [0, 1]\).Чтобы вычислить \(\displaystyle\sup_{x \in E} |f_{n}(x)-f(x)| = \sup_{x \in E} |f_{n}(x)|\), найдем точки экстремума функции \(f_{n}(x)\).Уравнение \(f_{n}'(x) = nx^{n-1}-(n + 1)x^{n} = x^{n-1}(n-x(n + 1)) = 0\) имеет внутри отрезка [0,1] единственный корень \(x_{n} = \displaystyle\frac{n}{n + 1}\), причем \(f_{n}(x_{n}) = \displaystyle\left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n}\frac{1}{n}\). Заметим, что \(f_{n}'(x) > 0\) при \(x \in (0, x_{n})\) и \(f_{n}'(x) < 0\) при \(x \in (x_{n}, 1)\). Поэтому \(\displaystyle\sup_{x \in E} f_{n}(x) = \max_{x \in E} f_{n}(x) = f_{n}(x_{n} < \frac{1}{n}\) для всех \(n \in \mathbb{N}\) и, согласно теореме 1, \(f_{n}(x) \rightrightarrows 0\), \(x \in [0, 1]\).
- Учитывая, что \(te^{-\alpha t} \rightarrow 0\) при \(t \rightarrow +\infty\) (если \(\alpha > 0\)), находим \(\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) = f(x) = 0\), \(x \in [0, +\infty]\).
- Так как \(f_{n}'(x) = nxe^{-nx}(2-xn) < 0\) при \(x > \displaystyle\frac{2}{n}\), то функция \(f_{n}(x)\) является убывающей на промежутке \(\displaystyle\left[\frac{2}{n}, +\infty\right)\), и поэтому
$$
\sup_{x \in E} f_{n}(x) \leq f_{n}\left(\frac{2}{n}\right) = \frac{4}{n}e^{-2} \rightarrow 0\ \mbox{при}\ n \rightarrow \infty.\nonumber
$$По теореме 1 последовательность \(\{f_{n}(x)\}\) равномерно сходится к \(f(x) = 0\) на множестве \(E = [2, +\infty)\). \(\blacktriangle\)
Теорема 2.
(критерий Коши равномерной сходимости последовательности)
Чтобы последовательность функций \(\{f_{n}(x)\}\) сходилась равномерно на множестве \(E\), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon}\ \forall p \in \mathbb{N}\ \forall x \in E \rightarrow |f_{n + p}(x)-f_{n}(x)| < \varepsilon.\label{ref6}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Необходимость. Пусть \(f_{n}(x) \rightrightarrows f(x)\), \(x \in E\). Тогда по определению равномерной сходимости
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall k \geq N_{\varepsilon}\ \forall x \in E \rightarrow |f_{k}(x)-f(x)| < \frac{\varepsilon}{2}.\label{ref7}
$$
В частности, \eqref{ref7} выполняется при \(k = n\), если \(n \geq N_{\varepsilon}\), и при \(k = n + p\) для \(p \in \mathbb{N}\), то есть
$$
|f_{n}(x)-f_(x)| < \frac{\varepsilon}{2},\quad |f_{n + p}(x)-f_(x)| < \frac{\varepsilon}{2},\nonumber
$$
откуда следует, что
$$
|f_{n + p}(x)-f_{n}(x)| = |(f_{n + p}(x)-f(x))-(f_{n}(x)-f_(x))| \leq\\
\leq |f_{n + p}(x)-f(x)| + |f_{n}(x)-f_(x)| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon,\nonumber
$$
то есть выполняется условие \eqref{ref6}.
Достаточность. Заметим, что числовая последовательность \(\{f_{n}(x_{0})\}\), где \(x_{0}\) — фиксированная точка множества \(E\), удовлетворяет условию Коши \eqref{ref6} и в силу критерия Коши для числовой последовательности существует конечный
$$
\lim_{n \rightarrow \infty}f_{n}(x_{0}).\label{ref8}
$$
Так как предел \eqref{ref8} существует для каждого \(x_{0} \in E\), то на множестве \(E\) определена функция (обозначим ее \(f(x)\)), которая является предельной функцией для последовательности \(\{f_{n}(x)\}\) на множестве \(E\).
Запишем условие Коши \eqref{ref6} в виде
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon}\ \forall p \in \mathbb{N}\ \forall x \in E \rightarrow |f_{n + p}(x)-f_{n}(x)| < \frac{\varepsilon}{2}.\label{ref9}
$$
Переходя в неравенстве \eqref{ref9} к пределу при \(p \rightarrow \infty\) (при каждом фиксированном \(n \geq N_{\varepsilon}\) и фиксированном \(x \in E\)) и учитывая, что существует \(\displaystyle\lim_{p \rightarrow \infty}f_{n + p}(x) = f(x)\), получаем неравенство
$$
|f(x)-f_{n}(x)| \leq \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon,\nonumber
$$
справедливое при всех \(n \geq N_{\varepsilon}\) и для всех \(x \in E\). Это означает, что
$$
f_{n}(x) \rightrightarrows f(x),\ x \in E.\ \bullet\nonumber
$$
Неравномерная сходимость последовательности функций.
Последовательность \(\{f_{n}(x)\}\) не является равномерно сходящейся на множестве \(E\), если условие Коши \eqref{ref6} не выполняется, то есть
$$
\exists \varepsilon_{0} > 0: \forall k \in \mathbb{N}\ \exists n \geq k\ \exists p \in \mathbb{N}\ \exists \tilde{x} \in E: |f_{n + p}(\tilde{x})-f_{n}(\tilde{x})| \geq \varepsilon_{0}.\label{ref10}
$$
Пример 4.
Доказать, что последовательность \(\{f_{n}(x)\}\), где \(f_{n}(x) = \displaystyle\frac{\ln nx}{\sqrt{nx}}\), не является равномерно сходящейся на множестве \(E = (0, 1)\).
Решение.
\(\vartriangle\) Для любого \(k \in \mathbb{N}\) возьмем \(p = k = n\), \(\tilde{x} = 1/k = 1/n\). Тогда
$$
|f_{n + p}(\tilde{x})-f_{n}(\tilde{x})| = \left|f_{2n}(\frac{1}{n})-f_{n} (\frac{1}{n})\right| = \left|\frac{\ln 2}{\sqrt{2}}-\ln 1\right| = \frac{\ln 2}{\sqrt{2}} = \varepsilon_{0},\nonumber
$$
то есть выполняется условие \eqref{ref10}, и поэтому последовательность \(\{f_{n}(x)\}\) не является равномерно сходящейся на \(E\). \(\blacktriangle\)
Если существует предельная функция \(f(x)\) последовательности \(\{f_{n}(x)\}\) на множестве \(E\), но не выполняется условие \eqref{ref3}, то есть
$$
\exists \varepsilon_{0} > 0: \forall k \in \mathbb{N}\ \exists n \geq k\ \exists \tilde{x} \in E: |f_{n}(\tilde{x})-f(\tilde{x})| \geq \varepsilon_{0},\label{ref11}
$$
то говорят, что последовательность \(\{f_{n}(x)\}\) сходится неравномерно на множестве \(E\) к функции \(f(x)\).
Пример 5.
Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на множестве \(E\) последовательность \(\{f_{n}(x)\}\), если:
- \(\displaystyle f_{n}(x) = x^{n}-x^{2n},\ E = [0, 1];\)
- \(\displaystyle f_{n}(x) = n\sin \frac{1}{nx},\ E = (0, 1].\)
Решение.
- \(\vartriangle\) В этом случае предельная функция \(f(x) = 0\), \(x \in E\). Для любого \(k \in \mathbb{N}\) возьмем \(n = k\), \(\tilde{x} = 1/\sqrt[n]{2}\). Тогда \(\tilde{x} \in E\) при любом \(n \in \mathbb{N}\) и \(|f_{n}(\tilde{x})-f(\tilde{x})| = \displaystyle f_{n}\left(\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{2}-\frac{1}{4} = \varepsilon_{0}\), то есть выполняется условие \eqref{ref11}, и поэтому последовательность \(\{f_{n}(x)\}\) сходится неравномерно на множестве \(E\) к \(f(x) = 0\).
- Здесь предельная функция \(f(x) = x^{-1}\) на множестве \(x > 0\) (пример 1). Возьмем \(\tilde{x} = 1/n\). Тогда \(|f_{n}(\tilde{x})-f(\tilde{x})| = |n \sin 1-n| \geq 1-\sin 1 = \varepsilon_{0}\) для любого \(n \in \mathbb{N}\), и поэтому \(\{f_{n}(x)\}\) сходится неравномерно на множестве \(E\) к \(x^{-1}\). \(\blacktriangle\)
Неравномерную сходимость последовательности можно установить, используя теорему 1. Если условие \eqref{ref4} не выполняется, то есть
$$
\sup_{x \in E}|f_{n}(x)-f(x)| \nrightarrow 0\ \mbox{при}\ n \rightarrow \infty,\label{ref12}
$$
то \(\{f_{n}(x)\}\) сходится неравномерно на множестве \(E\) к \(f(x)\).
Пример 6.
Исследовать на сходимость и равномерную сходимость последовательность \(f_{n}(x) = n^{2}x^{2}e^{-nx}\), \(E = (0, 2)\).
Решение.
\(\vartriangle\) Предельная функция \(f(x) = 0\), \(x \in E\). Так как уравнение \(f_{n}'(x) = n^{2}xe^{-nx}(2-xn)\) имеет на интервале (0,2) единственный корень \(x_{n} = 2/n\), причем \(f_{n}'(x) > 0\) при \(x \in (0, x_{n})\) и \(f_{n}'(x) < 0\) при \(x \in (x_{n}, 2)\), то \(\displaystyle\sup_{x \in E} f_{n}(x_{n}) = f_{n}(x_{n}) = 4e^{-1}\). Таким образом, выполняется условие \eqref{ref12}, и поэтому \(\{f_{n}(x)\}\) сходится неравномерно на множестве \(E\) к 0. \(\blacktriangle\)
Определение и критерий равномерной сходимости функционального ряда.
Пусть функции \(u_{n}(x)\), \(n \in \mathbb{N}\), определены на множестве \(E\). Обозначим
$$
S_{n}(x) = \sum_{k = 1}^{n}u_{k}(x).\label{ref13}
$$
Определение.
Ряд
$$
\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x),\label{ref14}
$$
называется равномерно сходящимся на множестве \(E\), если на этом множестве определена функция \(S(x)\) такая, что
$$
S_{n}(x) \rightrightarrows S(x),\ x \in E.\label{ref15}
$$
Согласно определению равномерной сходимости последовательности функций запись \eqref{ref15} означает, что
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon}\ \forall x \in E \rightarrow |S_{n}(x)-S(x)| < \varepsilon.\label{ref16}
$$
где \(S(x)\) — сумма ряда (14), a \(S_{n}(x)\) определяется формулой \eqref{ref13}.
Пусть \(r_{n}(x) = S(x)-S_{n}(x)\), то есть \(r_{n}(x)\) — \(n\)-й остаток ряда \eqref{ref14}. Тогда условие \eqref{ref15} примет вид
$$
r_{n}(x) \rightrightarrows 0,\quad x \in E.\nonumber
$$
Это означает, что
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon}\ \forall x \in E \rightarrow |r_{n}(x)| < \varepsilon.\label{ref17}
$$
В силу теоремы 1 для равномерной сходимости ряда \eqref{ref14} на множестве \(E\) необходимо и достаточно, чтобы
$$
\sup_{x \in E}|r_{n}(x)| \rightarrow 0\ \mbox{при}\ n \rightarrow \infty,\label{ref18}
$$
Если ряд \eqref{ref14} сходится на множестве \(E\), но не выполняется условие \eqref{ref17} или равносильное ему условие \eqref{ref18}, то говорят, что ряд \eqref{ref14} сходится неравномерно на множестве \(E\).
Следовательно, если
$$
\exists \varepsilon_{0} > 0: \forall k \in \mathbb{N}\ \exists n \geq k\ \exists \tilde{x} \in E: |r_{n}(\tilde{x})| \geq \varepsilon_{0},\label{ref19}
$$
или
$$
\sup_{x \in E}|r_{n}(x)| \nrightarrow 0\ \mbox{при}\ n \rightarrow \infty,\label{ref20}
$$
то ряд \eqref{ref14} сходится неравномерно на множестве \(E\).
Пример 7.
Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на указанных множествах ряд \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x)\), если:
- \(u_{n}(x) = x^{n-1},\ E_{1} = (-q, q),\ \mbox{где}\ 0 < q < 1,\ E_{2} = (-1, 1)\);
- \(u_{n}(x) = \displaystyle\frac{x}{(1 + nx)(1 + (n + 1)x)},\ E_{1} = (\delta, +\infty),\ \mbox{где}\ \delta > 0,\ E_{2} = (0, +\infty)\);
- \(u_{n}(x) = \displaystyle\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n + x}},\ E = (0, +\infty)\).
Решение.
- \(\vartriangle\) В этом случае \(S_{n}(x) = \displaystyle\frac{1-x^{n}}{1-x}\), \(S(x) = \displaystyle\frac{1}{1-x}\) для любого \(x \in E_{2}\), то есть ряд сходится на множестве \(E_{2}\), а значит, и на \(E_{1}\).Для любого \(x \in E_{1}\) выполняется неравенство \(|r_{n}(x)| = \displaystyle\left|\frac{x^{n}}{1-x}\right| \leq \frac{|x|^{n}}{1-|x|}\), откуда следует, что \(\displaystyle\sup_{x \in E}|r_{n}(x)| \leq \frac{q^{n}}{1-q}\), и поэтому выполняется условие \eqref{ref18}. Следовательно, ряд сходится равномерно на множестве \(E_{1}\).На множестве \(E_{2}\) ряд сходится неравномерно. В самом деле, возьмем \(\tilde{x} = \displaystyle 1-\frac{1}{n}\). Тогда \(\tilde{x} \in E\) для любого \(n \in \mathbb{N}\) и \(r_{n}(\tilde{x}) = \displaystyle n\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n} \rightarrow +\infty\) при \(n \rightarrow \infty\), откуда следует, что выполняется условие \eqref{ref20}.
- Так как \(u_{n}(x) = \displaystyle\frac{1}{1 + nx}-\frac{1}{1 + (n + 1)x}\), то \(S_{n}(x) = \displaystyle\frac{1}{1 + x}-\frac{1}{1 + (n + 1)x}\). Если \(x \in E_{2}\), то \(S_{n}(x) \rightarrow S(x)\) при \(n \rightarrow \infty\), где \(S(x) = \displaystyle\frac{1}{1 + x}\), и поэтому \(r_{n}(x) = \displaystyle\frac{1}{1 + (n + 1)x}\).На множестве \(E_{1}\) ряд сходится равномерно, так как \(|r_{n}(x)| \leq \displaystyle\frac{1}{1 + (n + 1)\delta}\), и поэтому выполняется условие \eqref{ref18}, а на множестве \(E_{2}\) — неравномерно, так как \(\displaystyle r_{n}\left(\frac{1}{n + 1}\right) = \frac{1}{2}\), и поэтому выполняется условие \eqref{ref20}.
- При каждом \(x > 0\) последовательность \(\displaystyle\left\{\frac{1}{\sqrt{n + x}}\right\}\) монотонно стремится к нулю, и поэтому по признаку Лейбница ряд \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n + x}}\) сходится на множестве \(E\), причем \(|r_{n}(x)| \leq |u_{n + 1}(x)| = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n + 1 + x}} \leq \frac{1}{\sqrt{n + 1}}\), откуда следует, что выполняется условие \eqref{ref18}. Следовательно, ряд сходится равномерно на множестве \(E\). \(\blacktriangle\)
Теорема 3.
(критерий Коши равномерной сходимости ряда)
Для того чтобы ряд \eqref{ref14} равномерно сходился на множестве \(E\), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши, то есть
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon}\ \forall p \in \mathbb{N}\ \forall x \in E \rightarrow \left|\sum_{k = n + 1}^{n + p} u_{k}(x)\right| < \varepsilon.\label{ref21}
$$
Доказательство.
\(\circ\) По определению равномерная сходимость ряда \eqref{ref14} на множестве \(E\) означает равномерную сходимость последовательности \(\{S_{n}(x)\}\) на \(E\).
Согласно теореме 2 \(S_{n}(x) \rightrightarrows S(x)\) на \(E\) тогда и только тогда, когда
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon}\ \forall p \in \mathbb{N}\ \forall x \in E \rightarrow |S_{n + p}(x)-S_{n}(x)| < \varepsilon.\label{ref22}
$$
Так как \(S_{n + p}(x)-S_{n}(x) = u_{n + 1}(x) + \ldots + u_{n + p}(x)\), то условие \eqref{ref22} равносильно условию \eqref{ref21}. \(\bullet\)
Если условие \eqref{ref21} не выполняется, то есть
$$
\exists \varepsilon_{0} > 0: \forall m \in \mathbb{N}\ \exists n \geq m\ \exists p \in \mathbb{N}\ \exists\ \tilde{x} \in E: \left|\sum_{k = n + 1}^{n + p} u_{k}(\tilde{x})\right| \geq \varepsilon_{0},\label{ref23}
$$
то ряд \eqref{ref14} не является равномерно сходящимся на множестве \(E\). В частности, если
$$
\exists \varepsilon_{0} > 0: \forall n_{0} \in \mathbb{N}:\ \forall n \geq n_{0}\ \exists\ x_{n} \in E: |u_{n}(x_{n})| \geq \varepsilon_{0},\label{ref24}
$$
то ряд \eqref{ref14} не является равномерно сходящимся на множестве \(E\).
Пример 8.
Доказать, что ряд \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x)\) не является равномерно сходящимся на множестве \(E\), если:
- \(u_{n}(x) = \displaystyle\frac{n^{2}}{x}e^{-n^{2}/x},\ E = (0, +\infty)\);
- \(u_{n}(x) = \displaystyle\frac{n}{1 + n^{2}x^{2}}\operatorname{tg} \sqrt{\frac{x}{n}},\ E = (0, 1)\);
- \(u_{n}(x) = \displaystyle\frac{\sin nx}{n^{\alpha}},\ E = [0, 2\pi],\ 0 < \alpha \leq 1\).
Решение.
- \(\vartriangle\) Пусть \(x_{n} = x^{2}\), тогда \(u_{n}(x_{n}) = e^{-1}\), то есть выполняется условие \eqref{ref24}.
- Возьмем \(x_{n} = \displaystyle\frac{1}{n}\) и воспользуемся тем, что \(\operatorname{tg} x > x\) при \(0 < x < \displaystyle\frac{\pi}{2}\) (этот факт разбирали ранее). Тогда \(u_{n}(x_{n}) = \displaystyle\frac{n}{2}\operatorname{tg} \frac{1}{n} > \frac{1}{2}\) при всех \(n \in \mathbb{N}\), то есть выполняется условие \eqref{ref24}.
- Возьмем \(x_{n} = \displaystyle\frac{\pi}{4(n + 1)}\); тогда \(x_{n} \in E\) при любом \(n \in \mathbb{N}\). Если \(n + 1 \leq k \leq 2n\), то \(\displaystyle\frac{\pi}{4} \leq kx_{n} \leq \frac{\pi}{4} \frac{2n}{n + 1} < \frac{\pi}{2}\), и поэтому \(\displaystyle\sin kx_{n} \geq \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\) откуда следует, что
$$
\sum_{k = n + 1}^{2n} \frac{\sin kx_{n}}{k^{\alpha}} \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{k = n + 1}^{2n} \frac{1}{k^{\alpha}} \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{k = n + 1}^{2n} \frac{1}{k} > \frac{1}{\sqrt{2}}n\frac{1}{2n} = \frac{1}{2\sqrt{2}},\nonumber
$$
так как \(0 < \alpha \leq 1\). Следовательно, выполняется условие \eqref{ref23}, и поэтому ряд не является равномерно сходящимся на множестве \([0, 2\pi]\) при \(\alpha \in ()0, 1]\). \(\blacktriangle\)
Признаки равномерной сходимости функциональных рядов.
Признак Вейерштрасса.
Теорема 4.
Если для функционального ряда \eqref{ref14} можно указать такой сходящийся числовой ряд \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}\), что для всех \(n \geq n_{0}\) и для всех \(x \in E\) выполняется условие
$$
|u_{n}(x)| \leq a_{n},\label{ref25}
$$
то ряд \eqref{ref14} сходится абсолютно и равномерно на множестве \(E\).
Доказательство.
\(\circ\) Согласно условию \eqref{ref25} для любого \(n \geq n_{0}\), любого \(p \in \mathbb{N}\) и для каждого \(x \in E\) выполняется неравенство
$$
\left|\sum_{k = n + 1}^{n + p}u_{k}(x)\right| \leq \sum_{k = n + 1}^{n + p}|u_{k}(x)| \leq \sum_{k = n + 1}^{n + p}a_{k}.\label{ref26}
$$
Из сходимости ряда \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}\) следует (свойства сходящихся рядов можно посмотреть здесь), что для него выполняется условие Коши, то есть
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon}\ \forall p \in \mathbb{N}\ \rightarrow \sum_{k = n + 1}^{n + p}a_{k} < \varepsilon,\label{ref27}
$$
а из \eqref{ref26} и \eqref{ref27} следует, что для ряда \eqref{ref14} выполняется на множестве \(E\) условие Коши \eqref{ref21}, и в силу теоремы 3 этот ряд сходится равномерно на множестве \(E\).
Абсолютная сходимость ряда \eqref{ref14} для каждого \(x \in E\) следует из правого неравенства \eqref{ref26}. \(\bullet\)
Следствие.
Если сходится ряд \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}\), где \(a_{n} = \sup_{x \in E}|u_{n}(x)|\), то ряд \eqref{ref14} сходится абсолютно и равномерно на множестве \(E\).
Пример 9.
Доказать, что ряд \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x)\) сходится равномерно на множестве \(E\), если:
- \(u_{n}(x) = \displaystyle\ln \left(1 + \frac{x}{n\sqrt[3]{n + 1}}\right),\ E = [0, 3]\);
- \(u_{n}(x) = \displaystyle\frac{nx}{n^{2} + x^{2}} \operatorname{arctg} \frac{x}{n},\ E = [-1, 1]\);
- \(u_{n}(x) = \displaystyle\frac{\displaystyle\sin \frac{1}{nx}\cos nx}{\displaystyle4 + \ln^{2}(n + 1)x},\ E = [1, +\infty)\);
- \(u_{n}(x) = x^{2}e^{-nx},\ E = (0, +\infty)\).
Решение.
- \(\vartriangle\) Так как при \(t \geq 0\) справедливо неравенство \(\ln(1 + t) \leq t\) (§ 17, пример 1, а)), то \(|u_{n}(x)| \leq \displaystyle\frac{x}{n\sqrt[3]{n + 1}} \leq \frac{3}{n^{3/2}}\) при всех \(x \in [0, 3]\), и из сходимости ряда \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{3}{n^{3/2}}\) по теореме 4 следует равномерная сходимость ряда \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x)\) на множестве [0,3].
- Используя неравенство \(|\operatorname{arctg} t| \leq t\) для всех \(t \in \mathbb{R}\) (§ 17, (19)) и учитывая, что \(|x| \leq 1\) и \(n^{2} + x^{2} \geq n^{2}\), получаем \(|u_{n}(x)| \leq \displaystyle\frac{|nx|}{n^{2} + x^{2}} |\frac{x}{n}| \leq \frac{1}{n^{2}}\), откуда следует равномерная сходимость ряда на множестве [-1,1].
- Так как \(|\sin t| \leq |t|\) и \(|\cos t| \leq 1\) для всех \(t \in \mathbb{R}\), а \(x \geq 1\), то \(|u_{n}(x)| \leq \displaystyle\frac{1}{nx \ln^{2}(n + 1)x} \leq \frac{1}{n \ln^{2}(n + 1)}\). Из сходимости ряда \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n\ln^{2}(n + 1)}\) следует равномерная сходимость ряда \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x)\) на множестве \([1, +\infty)\).
- На промежутке \((0, +\infty)\) уравнение \(u_{n}'(x) = xe^{-nx}(2-nx) = 0\) имеет единственный корень \(x = x_{n} = \displaystyle\frac{2}{n}\), причем \(u_{n}'(x) > 0\) при \(x \in (0, x_{n})\) и \(u_{n}'(x) < 0\) при \(x > x_{n}\). Поэтому \(\displaystyle\sup_{x \in E}|u_{n}(x)| = u_{n}(x_{n}) = \frac{4}{n^{2}}e^{-2}\), и из сходимости ряда \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{4}{n^{2}}e^{-2}\) следует равномерная сходимость ряда \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x)\) на множестве \((0, +\infty)\). \(\blacktriangle\)
Признак Дирихле.
Теорема 5.
Ряд
$$
\sum_{k = 1}^{\infty}a_{k}(x)b_{k}(x),\label{ref28}
$$
сходится равномерно на множестве \(E\), если выполняются условия:
- последовательность \(\{B_{n}(x)\}\), где \(B_{n}(x) = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}b_{k}(x)\) равномерно ограничена на множестве \(E\), то есть
$$
\exists M > 0\ \forall x \in E\ \forall n \in \mathbb{N} \rightarrow |B_{n}(x)| \leq M;\label{ref29}
$$ - последовательность \(\{a_{n}(x)\}\) монотонна на множестве \(E\), то есть
$$
\forall x \in E\ \forall n \in \mathbb{N} \rightarrow a_{n + 1}(x) \leq a_{n}(x);\label{ref30}
$$
и равномерно стремится к нулю, то есть
$$
a_{n}(x) \rightrightarrows 0, \qquad x \in E.\label{ref31}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Воспользуемся оценкой
$$
\left|\sum_{k = n + 1}^{n + p}a_{k}(x)b_{k}(x)\right| \leq 2M(|a_{n + 1}(x)| + |a_{n + p}(x)|),\label{ref32}
$$
полученной при доказательстве признака Дирихле для числовых рядов.
Условие \eqref{ref31} означает, что
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall k \geq N_{\varepsilon}\ \forall x \in E \rightarrow |a_{k}(x)| < \frac{\varepsilon}{4M};\label{ref33}
$$
Из \eqref{ref29}, \eqref{ref32} и \eqref{ref33} следует, что для всех \(n \geq N_{\varepsilon}\), для всех \(p \in \mathbb{N}\) и для всех \(x \in E\) выполняется неравенство \(\displaystyle\left|\sum_{k = n + 1}^{n + p}a_{k}(x)b_{k}(x)\right| \leq \varepsilon\), и в силу критерия Коши ряд \eqref{ref28} сходится равномерно на множестве \(E\). \(\bullet\)
Пример 10.
Доказать, что при \(\alpha > 0\) ряд
$$
\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n^{\alpha}},\label{ref34}
$$
сходится равномерно на множестве \(E = [\delta, 2\pi-\delta]\), где \(0 < \delta < 2\pi-\delta < 2\pi\).
Решение.
\(\vartriangle\) Если \(\alpha > 1\), то по признаку Вейерштрасса ряд \eqref{ref34} сходится абсолютно и равномерно на \(\mathbb{R}\), так как \(|\sin x| \leq 1\), а ряд \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}\), где \(\alpha > 1\), сходится.
Пусть \(0 < \alpha < 1\). Тогда последовательность \(\{a_{n}\}\), где \(a_{n} = \displaystyle\frac{1}{n^{\alpha}}\), удовлетворяет условиям \eqref{ref30}, \eqref{ref31}. Полагая \(B_{n}(x) = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}\sin kx\) и используя неравенство \(|B_{n}(x)| \leq \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\left|\sin \frac{x}{2}\right|}\), справедливое при \(x \neq \pi m\), \(m \in \mathbb{Z}\), получаем \(|B_{n}(x)| \leq \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\sin \frac{\delta}{2}}\) для всех \(x \in E\). По признаку Дирихле ряд \eqref{ref34} сходится равномерно на множестве \(E\).
Заметим, что на множестве \([0, 2\pi]\) ряд \eqref{ref34} при \(\alpha \in (0, 1]\) сходится неравномерно (пример 8, в)). \(\blacktriangle\)
Признак Абеля.
Теорема 6.
Ряд \eqref{ref28} сходится равномерно на множестве \(E\), если выполняются условия:
- ряд
$$
\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}(x),\label{ref35}
$$
сходится равномерно на множестве \(E\); - последовательность \(\{a_{n}(x)\}\) монотонна на множестве \(E\), то есть
$$
\forall n \in \mathbb{N}\ \forall x \in E\ \rightarrow a_{n + 1}(x) \leq a_{n}(x);\label{ref36}
$$
и равномерно ограничена, то есть
$$
\exists M > 0: \forall n \in \mathbb{N}\ \forall x \in E\ \rightarrow |a_{n}(x)| \leq M;\label{ref37}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Обозначим \(B_{j}^{(n)}(x) = \displaystyle\sum_{k = n + 1}^{n + j}b_{k}(x)\). Тогда ряд \eqref{ref35} в силу теоремы 3 удовлетворяет условию Коши, то есть
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon} \forall j \in \mathbb{N}\ \rightarrow |B_{j}^{(n)}(x)| < \frac{\varepsilon}{3M}.\label{ref38}
$$
Используя преобразование Абеля, преобразуем сумму:
$$
\sigma = \sum_{k = n + 1}^{n + p}a_{k}(x)b_{k}(x) = \sum_{j = 1}^{p}a_{n + j}(x)b_{n + j}(x).\nonumber
$$
Так как \(b_{n + j}(x) = \displaystyle B_{j}^{(n)}(x)-B_{j-1}^{(n)}(x)\), где \(j = \overline{1, p}\), \(B_{0}^{(n)}(x) = 0\), то
$$
\sigma = \sum_{j = 1}^{p-1}(a_{n + j}(x)-a_{n + j + 1}(x)) B_{j}^{(n)}(x) + a_{n + p}(x)B_{p}^{(n)}(x),\nonumber
$$
откуда, используя условия \eqref{ref36}-\eqref{ref38}, получаем
$$
|\sigma| < \frac{\varepsilon}{3M} \sum_{j = 1}^{p-1}(a_{n + j}(x)-a_{n + j + 1}(x)) + \frac{\varepsilon}{3M} |a_{n + p}(x)| =\\= \frac{\varepsilon}{3M} (a_{n + 1}(x)-a_{n + p}(x) + |a_{n + p}(x)|) \leq \frac{\varepsilon}{3M} (2|a_{n + p}(x)| + |a_{n + 1}(x)| \leq \varepsilon.\nonumber
$$
Таким образом,
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon}\ \forall p \in \mathbb{N}\ \forall x \in E \rightarrow \left|\sum_{k = n + 1}^{n + p}a_{k}(x)b_{k}(x)\right| < \varepsilon,\nonumber
$$
и по теореме 3 ряд \eqref{ref28} сходится равномерно на множестве \(E\). \(\bullet\)
Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов.
Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда.
Теорема 7.
Если все члены ряда \eqref{ref14} — непрерывные на отрезке \([a, b]\) функции, а ряд \eqref{ref14} сходится равномерно на \([a, b]\), то его сумма \(S(x)\) также непрерывна на отрезке \([a, b]\).
Доказательство.
\(\circ\) Пусть \(x_{0}\) — произвольная точка отрезка \([a, b]\). Для определенности будем считать, что \(x_{0} \in (a, b)\).
Нужно доказать, что функция
$$
S(x) = \sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x)\nonumber
$$
непрерывна в точке \(x_{0}\), то есть
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta = \delta (\varepsilon) > 0: \forall x \in U_{\delta}(x_{0}) \rightarrow |S(x)-S(x_{0})| < \varepsilon,\label{ref39}
$$
где \(U_{\delta}(x_{0}) = (x_{0}-\delta, x_{0} + \delta) \subset [a, b]\).
По условию \(S_{n}(x) \rightrightarrows S(x)\), \(x \in [a, b]\), где \(S_{n}(x) = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}u_{k}(x)\), то есть
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon}\ \forall x \in [a, b] \rightarrow |S(x)-S_{n}(x)| < \frac{\varepsilon}{3}.\label{ref40}
$$
Фиксируем номер \(n_{0} \geq N_{\varepsilon}\). Тогда из \eqref{ref40} при \(n = n_{0}\) получаем
$$
|S(x)-S_{n_{0}}(x)| < \frac{\varepsilon}{3}\label{ref41}
$$
и, в частности, при \(x = x_{0}\) находим
$$
|S(x_{0})-S_{n_{0}}(x_{0})| < \frac{\varepsilon}{3}.\label{ref42}
$$
Функция \(S_{n_{0}}(x)\) непрерывна в точке \(x_{0}\) как сумма конечного числа непрерывных функций \(u_{k}(x)\), \(k = \overline{1, n_{0}}\). По определению непрерывности
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta = \delta (\varepsilon) > 0: \forall x \in U_{\delta}(x_{0}) \subset [a, b] \rightarrow |S_{n_{0}}(x)-S_{n_{0}}(x_{0})| < \frac{\varepsilon}{3}.\label{ref43}
$$
Воспользуемся равенством
$$
S(x)-S(x_{0}) =\\= (S(x)-S_{n_{0}}(x)) + (S_{n_{0}}(x)-S_{n_{0}}(x_{0})) + (S_{n_{0}}(x_{0})-S(x_{0})).\nonumber
$$
Из этого равенства, используя оценки \eqref{ref41}—\eqref{ref43}, получаем
$$
|S(x)-S(x_{0})| \leq\\\leq |S(x)-S_{n_{0}}(x)| + |S_{n_{0}}(x)-S_{n_{0}}(x_{0})| + |S_{n_{0}}(x_{0})-S(x_{0})| < \varepsilon
$$
для любого \(x \in U_{\delta}(x_{0}) \subset [a, b]\), то есть справедливо утверждение \eqref{ref39}.
Так как \(x_{0}\) — произвольная точка отрезка \([a, b]\), то функция S(x) непрерывна на отрезке \([a, b]\). \(\bullet\)
Замечание 1.
Теорема 8.
Если последовательность \(\{S_{n}(x)\}\) непрерывных на отрезке \([a, b]\) функций равномерно сходится на \([a, b]\), то ее предельная функция \(S(x)\) также непрерывна на отрезке \([a, b]\).
Доказательство.
\(\circ\) Доказательство этого утверждения следует из теоремы 7. \(\bullet\)
Почленное интегрирование функционального ряда.
Теорема 9.
Если все члены ряда \eqref{ref14} — непрерывные на отрезке \([a, b]\) функции, а ряд \eqref{ref14} сходится равномерно на \([a, b]\), то ряд
$$
\sum_{n = 1}^{\infty}\int\limits_a^x u_{n}(t)\ dt,\label{ref44}
$$
также равномерно сходится на \([a, b]\), и если
$$
S(x) = \sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x),\label{ref45}
$$
то
$$
\int\limits_a^x S(t)\ dt = \sum_{n = 1}^{\infty}\int\limits_a^x u_{n}(t)\ dt,\quad x \in [a, b],\label{ref46}
$$
то есть ряд \eqref{ref45} можно почленно интегрировать.
Доказательство.
\(\circ\) По условию ряд \eqref{ref45} сходится равномерно к \(S(x)\) на отрезке \([a, b]\), то есть \(S_{n}(x) = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}u_{k}(x) \rightrightarrows S(x)\), \(x \in [a, b]\). Это означает, что
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall n \in N_{\varepsilon}\ \forall t \in [a, b] \rightarrow |S(t)-S_{n}(t)| < \frac{\varepsilon}{b-a}.\label{ref47}
$$
Пусть \(\sigma(x) = \displaystyle\int\limits_a^x S(t)\ dt\), а \(\sigma_{n}(x) = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} \int\limits_a^x u_{k}(t)\ dt\) — \(n\)-я частичная сумма ряда \eqref{ref44}.
Функции \(u_{k}(x)\), \(k \in \mathbb{N}\), по условию непрерывны на отрезке \([a, b]\) и поэтому они интегрируемы на \([a, b]\). Функция \(S(x)\) также интегрируема на \([a, b]\), так как она непрерывна на этом отрезке (теорема 7). Используя свойства интеграла, получаем
$$
\sigma_{n}(x) = \int\limits_a^x \sum_{k = 1}^{n}u_{k}(t)\ dt = \int\limits_a^x S_{n}(t)\ dt.\nonumber
$$
Следовательно
$$
\sigma(x)-\sigma_{n}(x) = \int\limits_a^x (S(t)-S_{n}(t))\ dt,\nonumber
$$
откуда в силу условия \eqref{ref47} получаем
$$
|\sigma(x)-\sigma_{n}(x)| < \frac{\varepsilon}{b-a} \int\limits_a^x\ dt = \frac{\varepsilon}{b-a} (x-a) \leq \varepsilon,\nonumber
$$
причем это неравенство выполняется для всех \(n \geq N_{\varepsilon}\) и для всех \(x \in [a, b]\). Это означает, что ряд \eqref{ref44} сходится равномерно на отрезке \([a, b]\), и выполняется равенство \eqref{ref46}. \(\bullet\)
Замечание 2.
Равенство \eqref{ref46} остается в силе, если заменить \(a\) на \(c\), \(x\) на \(d\), где \(a \leq c \leq d \leq b\), то есть ряд \eqref{ref45} можно при условиях теоремы 9 почленно интегрировать на любом отрезке \([c, d] \subset [a, b]\).
Теорема 10.
Если \(S_{n}(t) \rightrightarrows S(t)\), \(x \in [a, b]\), а каждая из функций \(S_{n}(t)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\), то
$$
\int\limits_{x_{0}}^x S_{n}(t)\ dt \rightrightarrows \int\limits_{x_{0}}^x S(t)\ dt,\quad x \in [a, b],\nonumber
$$
для любой точки \(x_{0} \in [a, b]\).
Доказательство.
\(\circ\) Доказательство этого утверждения получено при доказательстве теоремы 9. \(\bullet\)
Почленное дифференцирование функционального ряда.
Теорема 11.
Если функции \(u_{n}(x)\), \(n \in \mathbb{N}\), имеют непрерывные производные на отрезке \([a, b]\), ряд
$$
\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}'(x),\label{ref48}
$$
сходится равномерно на отрезке \([a, b]\), а ряд
$$
\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x),\label{ref49}
$$
сходится хотя бы в одной точке \(x \in [a, b]\), то есть сходится ряд
$$
\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x_{0}),\label{ref50}
$$
то ряд \eqref{ref49} сходится равномерно на отрезке \([a, b]\), и его можно почленно дифференцировать, то есть
$$
S'(x) = \sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}'(x),\label{ref51}
$$
где
$$
S(x) = \sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x),\label{ref52}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Обозначим через \(\tau(x)\) сумму ряда \eqref{ref48}, то есть
$$
\tau(x) = \sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}'(x),\label{ref53}
$$
По теореме 9 ряд \eqref{ref53} можно почленно интегрировать, то есть
$$
\int\limits_{x_{0}}^x \tau(t)\ dt = \sum_{n = 1}^{\infty}\int\limits_{x_{0}}^x u_{n}'(t)\ dt,\label{ref54}
$$
где \(x_{0},\ x \in [a, b]\), причем ряд \eqref{ref54} сходится равномерно на отрезке \([a, b]\). Так как \(\displaystyle\int\limits_{x_{0}}^x u_{n}'(t)\ dt = u_{n}(x)-u_{n}(x_{0})\), то равенство \eqref{ref54} можно записать в виде
$$
\int\limits_{x_{0}}^x \tau(t)\ dt = \sum_{n = 1}^{\infty}v_{n}(x),\label{ref55}
$$
где
$$
v_{n}(x) = u_{n}(x)-u_{n}(x_{0}).\label{ref56}
$$
Ряд \eqref{ref55} сходится равномерно, а ряд \eqref{ref50} сходится (а значит, и равномерно сходится на отрезке \([a, b]\)). Поэтому ряд \eqref{ref49} сходится равномерно на \([a, b]\) как разность равномерно сходящихся рядов.
Из равенств \eqref{ref55}, \eqref{ref56} и \eqref{ref52} следует, что
$$
\int\limits_{x_{0}}^x \tau(t)\ dt = S(x)-S(x_{0}).\label{ref57}
$$
Так как функция \(\tau(t)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\) по теореме 7, то в силу свойств интеграла с переменным верхним пределом левая часть равенства \eqref{ref57} имеет производную, которая равна \(\tau(x)\). Следовательно, правая часть \eqref{ref57} — дифференцируемая функция, а ее производная равна \(S'(x)\). Итак, доказано, что \(\tau(x) = S'(x)\), то есть справедливо равенство \eqref{ref51} для всех \(x \in [a, b]\). \(\bullet\)
Замечание 3.
При условиях теоремы 11 функция \(S'(x)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\), то есть \(S(x)\) — непрерывно дифференцируемая на \([a, b]\) функция.
Если последовательность \(\{S_{n}(x)\}\) непрерывно дифференцируемых на \([a, b]\) функций сходится хотя бы в одной точке \(x_{0} \in [a, b]\), а последовательность \(\{S_{n}'(x)\}\) сходится равномерно на \([a, b]\), то последовательность \(\{S_{n}(x)\}\) также сходится равномерно на \([a, b]\) к некоторой функции \(S(x)\) и
$$
S'(x) = \lim_{n \rightarrow \infty}S_{n}'(x),\quad x \in [a, b].\nonumber
$$
\(\circ\) Доказательство этого утверждения получено при доказательстве теоремы 11. \(\bullet\)