Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов.

Содержание:

  1. Сходимость функциональной последовательности и ряда.
    1. Сходимость последовательности функций.
    2. Сходимость функционального ряда.
  2. Равномерная сходимость функциональной последовательности.
    1. Понятие равномерной сходимости последовательности функций.
    2. Критерии равномерной сходимости последовательности функций.
    3. Неравномерная сходимость последовательности функций.
  3. Определение и критерий равномерной сходимости функционального ряда.
  4. Признаки равномерной сходимости функциональных рядов.
    1. Признак Вейерштрасса.
    2. Признак Дирихле.
    3. Признак Абеля.
  5. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов.
    1. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда.
    2. Почленное интегрирование функционального ряда.
    3. Почленное дифференцирование функционального ряда.

Сходимость функциональной последовательности и ряда.

Сходимость последовательности функций.

Пусть функции \(f_{n}(x)\), \(n \in \mathbb{N}\), определены на множестве \(E\) и пусть \(x_{0} \in E\). Если числовая последовательность \(\{f_{n}(x_{0})\}\) сходится, то последовательность функций \(\{f_{n}(x)\}\) сходится в точке \(x_{0}\).

Последовательность \(\{f_{n}(x)\}\), сходящуюся в каждой точке \(x \in E\), называют сходящейся на множестве \(E\). В этом случае на множестве \(E\) определена функция \(f(x)\), значение которой в любой точке \(x \in E\) равно пределу последовательности \(\{f_{n}(x)\}\). Эту функцию называют предельной функцией последовательности \(\{f_{n}(x)\}\) на множестве \(E\) и пишут
$$
\lim_{n \rightarrow \infty}f_{n}(x) = f(x),\ x \in E,\label{ref1}
$$
или
$$
f_{n}(x) \rightarrow f(x),\ x \in E,\nonumber
$$
или, короче,
$$
f_{n} \xrightarrow[E]{} f.\nonumber
$$
По определению предела запись \eqref{ref1} означает, что
$$
\forall x \in E\ \forall \varepsilon\;>\;0\ \exists N = N_{\varepsilon}(x): \forall n \geq N \rightarrow |f_{n}(x) - f(x)|\;<\;\varepsilon.\nonumber
$$


Пример 1.

Найти предельную функцию \(f(x)\) последовательности \(\{f_{n}(x)\}\) на множестве \(E\), если:
$$
\mbox{a)}\ f_{n}(x) = \frac{n + 1}{n + x^{2}},\ E = \mathbb{R};\qquad \mbox{б)}\ f_{n}(x) = n \sin \frac{1}{nx},\ E = (0, + \infty).\nonumber
$$

Решение.

\(\vartriangle\) а) Так как \(f_{n}(x) = \displaystyle\frac{1 + \frac{1}{n}}{\displaystyle 1 + \frac{\displaystyle x^{2}}{n}}\), то \(f(x) = 1\).

б) Используя асимптотическую формулу \(\sin t \sim t\) при \(t \rightarrow 0\), получаем \(\displaystyle n \sin \frac{1}{nx} \sim n\frac{1}{nx}\) при \(n \rightarrow \infty\), если \(x \neq 0\).

Поэтому \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{x}\). \(\blacktriangle\)


Сходимость функционального ряда.

Пусть функции \(u_{n}(x)\), \(n \in \mathbb{N}\), определены на множестве \(E\) и пусть для каждого \(x \in E\) существует конечный предел последовательности \(\{S_{n}(x)\}\), где \(S_{n}(x) = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}u_{k}(x)\). Тогда ряд
$$
\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x),\label{ref2}
$$
называют сходящимся на множестве \(E\).

Если \(S(x)\) — предельная функция последовательности \(\{S_{n}(x)\}\) на множестве \(E\), т. е.
$$
\lim_{n \rightarrow \infty}S_{n}(x) = S(x),\ x \in E,\nonumber
$$
то функцию называют \(S(x)\) суммой ряда \eqref{ref2} и пишут
$$
\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x) = S(x),\ x \in E.\nonumber
$$
Например, если \(u_{n}(x) = x^{n - 1}\), \(E =\) (—1,1), то \(S_{n}(x) = \displaystyle\frac{1 - x^{n}}{1 - x}\), \(S(x) = \displaystyle\frac{1}{1 - x}\). Если в каждой точке \(x \in E\) сходится ряд \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}|u_{n}(x)|\), то ряд \eqref{ref2} называют абсолютно сходящимся на множестве \(E\).


Равномерная сходимость функциональной последовательности.

Понятие равномерной сходимости последовательности функций.

Определение.
Последовательность функций
$$
\{f_{n}(x)\}\nonumber
$$
называется равномерно сходящейся на множестве \(E\) к функции \(f(x)\), если
$$
\forall \varepsilon>0\ \exists N_{\varepsilon}:\ \forall x \in E \rightarrow |f_{n}(x) - f(x)|<\varepsilon.\label{ref3}
$$

В этом определении существенно, что номер \(N_{\varepsilon}\) не зависит от \(x\). Если справедливо утверждение \eqref{ref3}, то пишут
$$
f_{n}(x) \rightrightarrows f(x),\ x \in E,\nonumber
$$
или
$$
f_{n} \underset{E}\rightrightarrows f.\nonumber
$$

Говорят, что последовательность \(\{f_{n}(x)\}\) равномерно сходится на множестве \(E\), если существует функция \(f\), удовлетворяющая условию \eqref{ref3}.

Если существуют числовая последовательность \(\{a_{n}\}\) и номер \(n_{0}\) такие, что
$$
\forall n \geq n_{0}\ \forall x \in E \rightarrow |f_{n}(x) - f(x)| \leq a_{n},\nonumber
$$
причем \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}a_{n} = 0\), то
$$
f_{n}(x) \underset{E}\rightrightarrows f(x),\ x \in E.\nonumber
$$


Пример 2.

Доказать, что последовательность \(\{f_{n}(x)\}\) равномерно сходится на множестве \(E\), и найти ее предельную функцию \(f(x)\), если:

а) \(\displaystyle f_{n}(x) = \frac{n + 1}{n + x^{2}},\ E = [-1, 1];\)

б) \(\displaystyle f_{n}(x) = \sqrt{x^{2} + \frac{1}{n}},\ E = \mathbb{R};\)

в) \(\displaystyle f_{n}(x) = \frac{\operatorname{arctg} n^{2}x}{\sqrt[3]{n + x}},\ E = [0, +\infty)\);

г) \(\displaystyle f_{n}(x) = n \sin \frac{1}{nx},\ E = [1, +\infty)\).

Решение.

\(\vartriangle\) а) В этом случае \(f(x) = 1\) (пример 1, а)) и \(|f_{n}(x) - f(x)| = \displaystyle\frac{1 - x^{2}}{n + x^{2}} \leq \frac{1}{n}\), так как \(|x| \leq 1\). Следовательно,
$$
\frac{n + 1}{n + x^{2}} \rightrightarrows 1,\ x \in [-1, 1].\nonumber
$$

б) Используя неравенство \(x^{2} + \displaystyle\frac{1}{n} \leq \left(|x| + \frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{2}\), получаем \(0 \leq \displaystyle\sqrt{x^{2} + \frac{1}{n}} - \sqrt{x^{2}} \leq |x| + \frac{1}{\sqrt{n}} - |x| = \frac{1}{\sqrt{n}}\), откуда следует, что
$$
\sqrt{x^{2} + \frac{1}{n}} \rightrightarrows |x|,\ x \in \mathbb{R}.\nonumber
$$

в) Так как \(0 \leq \operatorname{arctg} x \leq \displaystyle\frac{\pi}{2}\) и \(\sqrt[3]{n + x} \geq \sqrt[3]{n}\) при \(x\;>\;0\), то \(0 \leq f_{n}(x) \leq \displaystyle\frac{\pi}{2\sqrt[3]{n}}\), откуда получаем \(f_{n}(x) \rightrightarrows 0\), \(x \in E\).

г) В этом случае \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{x}\) (пример 1, б)). Используя неравенство \(|\sin t - t| \leq \displaystyle\frac{t^{2}}{2},\ t \in \mathbb{R}\) (пример разобран здесь), получаем
$$
|f_{n}(x) - f(x)| = n \left|\sin \frac{1}{nx} - \frac{1}{nx}\right| \leq \frac{n}{2(nx)^{2}} \leq \frac{1}{2n},\nonumber
$$
так как \(x \geq 1\). Следовательно,
$$
n \sin \frac{1}{nx} \rightrightarrows \frac{1}{x},\ x \in [1, +\infty).\ \blacktriangle\nonumber
$$


Критерии равномерной сходимости последовательности функций.

Теорема 1.

Чтобы последовательность функций \(\{f_{n}(x)\}\), определенных на множестве \(E\), сходилась равномерно на этом множестве к функции \(f(x)\), необходимо и достаточно, чтобы
$$
 \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in E} |f_{n}(x) - f(x)| = 0.\label{ref4}
$$

Доказательство.

\(\circ\) Обозначим \(\sigma_{n} = \displaystyle\sup_{x \in E} |f_{n}(x) - f(x)|\). Тогда условие \eqref{ref4} означает, что
$$
\forall \varepsilon\;>\;0\ \exists n_{\varepsilon}: \forall n \geq n_{\varepsilon} \rightarrow \sigma_{n}\;<\;\varepsilon.\label{ref5}
$$

Если \(f_{n}(x) \rightrightarrows f(x)\), \(x \in E\), то
$$
\forall \varepsilon\;>\;0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon} \rightarrow |f_{n}(x) - f(x)|\;<\;\frac{\varepsilon}{2},\nonumber
$$
откуда следует, что \(\sigma_{n} \leq \displaystyle\frac{\varepsilon}{2}\;<\;\varepsilon\) для \(n \geq N_{\varepsilon}\). Поэтому неравенство \(\sigma_{n}\;<\;\varepsilon\) выполняется при всех \(n \geq N_{\varepsilon}\), где \(n_{\varepsilon} = N_{\varepsilon}\). Обратно, если выполняется условие \eqref{ref4} или равносильное ему условие \eqref{ref5}, то, используя неравенство \(|f_{n}(x) - f(x)| \leq \sigma_{n}\) для \(x \in E\), \(n \in \mathbb{N}\), получаем \(|f_{n}(x) - f(x)|\;<\;\varepsilon\) для \(x \in E\), \(n \geq n_{\varepsilon}\), т. е. \(f_{n}(x) \rightrightarrows 0\), \(x \in E\). \(\bullet\)


Пример 3.

Доказать, что последовательность \(\{f_{n}(x)\}\) сходится равномерно на множестве \(E\), и найти предельную функцию \(f(x)\), если:

а) \(f_{n}(x) = \displaystyle\frac{2n^{2}x}{1 + n^{\alpha}x^{2}}\), \(\alpha\;>\;4\), \(E = \mathbb{R}\);

б) \(f_{n}(x) = \displaystyle x^{n} - x^{n + 1}\), \(E = [0, 1]\);

в) \(f_{n}(x) = \displaystyle nx^{2}e^{-nx}\), \(E = [2, +\infty)\).

Решение.

\(\vartriangle\) а) Если \(x = 0\), то \(f_{n}(0) = 0\) для всех \(n \in \mathbb{N}\), и поэтому \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}f_{n}(0) = f(0) = 0\). Если \(x \neq 0\), то \(|f_{n}(x)| \leq \displaystyle\frac{2n^{2}|x|}{n^{\alpha}x^{2}} = \frac{2}{|x|n^{\alpha - 2}}\), откуда следует, что \(f_{n}(x) \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\), так как \(\alpha\;>\;4\). Таким образом, предельная функция \(f(x) = 0\), \(x \in \mathbb{R}\).

Так как при \(x \neq 0\) справедливо неравенство \(1 + n^{\alpha}x^{2} \geq 2n^{\alpha/2}|x|\), причем это неравенство обращается в равенство лишь в случае, когда \(n^{\alpha}x^{2} = 1\), т. е. \(|x| = n^{-\alpha/2}\), то
$$
|f_{n}(x) - f(x)| \leq \frac{2n^{2}|x|}{2n^{\alpha/2}|x|} = \frac{1}{n^{\alpha/2 - 2}},\ x \neq 0.\nonumber
$$
Следовательно, \(\displaystyle\sup_{x \in E} |f_{n}(x) - f(x)| = \frac{1}{n^{\alpha/2 - 2}} \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\), если \(\alpha\;>\;4\), и поэтому \(f_{n}(x) \rightrightarrows 0\), \(x \in R\).

б) Если \(x \in [0, 1)\), то \(x^{n} \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\), и поэтому \(f_{n}(x) \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\). Если \(x = 1\), то \(f_{n}(1) = 0\), и поэтому \(f(1) = 0\). Следовательно, \(f(x) = 0\), \(x \in [0, 1]\).

Чтобы вычислить \(\displaystyle\sup_{x \in E} |f_{n}(x) - f(x)| = \sup_{x \in E} |f_{n}(x)|\), найдем точки экстремума функции \(f_{n}(x)\).

Уравнение \(f_{n}'(x) = nx^{n - 1} - (n + 1)x^{n} = x^{n - 1}(n - x(n + 1)) = 0\) имеет внутри отрезка [0,1] единственный корень \(x_{n} = \displaystyle\frac{n}{n + 1}\), причем \(f_{n}(x_{n}) = \displaystyle\left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n}\frac{1}{n}\). Заметим, что \(f_{n}'(x)\;>\;0\) при \(x \in (0, x_{n})\) и \(f_{n}'(x)\;<\;0\) при \(x \in (x_{n}, 1)\). Поэтому \(\displaystyle\sup_{x \in E} f_{n}(x) = \max_{x \in E} f_{n}(x) = f_{n}(x_{n}\;<\;\frac{1}{n}\) для всех \(n \in \mathbb{N}\) и, согласно теореме 1, \(f_{n}(x) \rightrightarrows 0\), \(x \in [0, 1]\).

в) Учитывая, что \(te^{-\alpha t} \rightarrow 0\) при \(t \rightarrow +\infty\) (если \(\alpha\;>\;0\)), находим \(\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) = f(x) = 0\), \(x \in [0, +\infty]\).

Так как \(f_{n}'(x) = nxe^{-nx}(2 - xn)\;<\;0\) при \(x\;>\;\displaystyle\frac{2}{n}\), то функция \(f_{n}(x)\) является убывающей на промежутке \(\displaystyle\left[\frac{2}{n}, +\infty\right)\), и поэтому
$$
\sup_{x \in E} f_{n}(x) \leq f_{n}\left(\frac{2}{n}\right) = \frac{4}{n}e^{-2} \rightarrow 0\ \mbox{при}\ n \rightarrow \infty.\nonumber
$$

По теореме 1 последовательность \(\{f_{n}(x)\}\) равномерно сходится к \(f(x) = 0\) на множестве \(E = [2, +\infty)\). \(\blacktriangle\)


Теорема 2 (критерий Коши равномерной сходимости последовательности).

Чтобы последовательность функций \(\{f_{n}(x)\}\) сходилась равномерно на множестве \(E\), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши
$$
\forall \varepsilon\;>\;0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon}\ \forall p \in \mathbb{N}\ \forall x \in E \rightarrow |f_{n + p}(x) - f_{n}(x)|\;<\;\varepsilon.\label{ref6}
$$

Доказательство.

\(\circ\) Необходимость. Пусть \(f_{n}(x) \rightrightarrows f(x)\), \(x \in E\). Тогда по определению равномерной сходимости
$$
\forall \varepsilon\;>\;0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall k \geq N_{\varepsilon}\ \forall x \in E \rightarrow |f_{k}(x) - f(x)|\;<\;\frac{\varepsilon}{2}.\label{ref7}
$$
В частности, \eqref{ref7} выполняется при \(k = n\), если \(n \geq N_{\varepsilon}\), и при \(k = n + p\) для \(p \in \mathbb{N}\), т. е.
$$
|f_{n}(x) - f_(x)|\;<\;\frac{\varepsilon}{2},\quad |f_{n + p}(x) - f_(x)|\;<\;\frac{\varepsilon}{2},\nonumber
$$
откуда следует, что
$$
|f_{n + p}(x) - f_{n}(x)| = |(f_{n + p}(x) - f(x)) - (f_{n}(x) - f_(x))| \leq\\
\leq |f_{n + p}(x) - f(x)| + |f_{n}(x) - f_(x)|\;<\;\frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon,\nonumber
$$
т. e. выполняется условие \eqref{ref6}.

Достаточность. Заметим, что числовая последовательность \(\{f_{n}(x_{0})\}\), где \(x_{0}\) — фиксированная точка множества \(E\), удовлетворяет условию Коши \eqref{ref6} и в силу критерия Коши для числовой последовательности существует конечный
$$
\lim_{n \rightarrow \infty}f_{n}(x_{0}).\label{ref8}
$$
Так как предел \eqref{ref8} существует для каждого \(x_{0} \in E\), то на множестве \(E\) определена функция (обозначим ее \(f(x)\)), которая является предельной функцией для последовательности \(\{f_{n}(x)\}\) на множестве \(E\).

Запишем условие Коши \eqref{ref6} в виде
$$
\forall \varepsilon\;>\;0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon}\ \forall p \in \mathbb{N}\ \forall x \in E \rightarrow |f_{n + p}(x) - f_{n}(x)|\;<\;\frac{\varepsilon}{2}.\label{ref9}
$$
Переходя в неравенстве \eqref{ref9} к пределу при \(p \rightarrow \infty\) (при каждом фиксированном \(n \geq N_{\varepsilon}\) и фиксированном \(x \in E\)) и учитывая, что существует \(\displaystyle\lim_{p \rightarrow \infty}f_{n + p}(x) = f(x)\), получаем неравенство
$$
|f(x) - f_{n}(x)| \leq \frac{\varepsilon}{2}\;<\;\varepsilon,\nonumber
$$
справедливое при всех \(n \geq N_{\varepsilon}\) и для всех \(x \in E\). Это означает, что
$$
f_{n}(x) \rightrightarrows f(x),\ x \in E.\ \bullet\nonumber
$$


Неравномерная сходимость последовательности функций.

Последовательность \(\{f_{n}(x)\}\) не является равномерно сходящейся на множестве \(E\), если условие Коши \eqref{ref6} не выполняется, т. е.
$$
\exists \varepsilon_{0}\;>\;0: \forall k \in \mathbb{N}\ \exists n \geq k\ \exists p \in \mathbb{N}\ \exists \tilde{x} \in E: |f_{n + p}(\tilde{x}) - f_{n}(\tilde{x})| \geq \varepsilon_{0}.\label{ref10}
$$


Пример 4.

Доказать, что последовательность \(\{f_{n}(x)\}\), где \(f_{n}(x) = \displaystyle\frac{\ln nx}{\sqrt{nx}}\), не является равномерно сходящейся на множестве \(E = (0, 1)\).

Решение.

\(\vartriangle\) Для любого \(k \in \mathbb{N}\) возьмем \(p = k = n\), \(\tilde{x} = 1/k = 1/n\). Тогда
$$
|f_{n + p}(\tilde{x}) - f_{n}(\tilde{x})| = \left|f_{2n}(\frac{1}{n}) - f_{n} (\frac{1}{n})\right| = \left|\frac{\ln 2}{\sqrt{2}} - \ln 1\right| = \frac{\ln 2}{\sqrt{2}} = \varepsilon_{0},\nonumber
$$
т. e. выполняется условие \eqref{ref10}, и поэтому последовательность \(\{f_{n}(x)\}\) не является равномерно сходящейся на \(E\). \(\blacktriangle\)


Если существует предельная функция \(f(x)\) последовательности \(\{f_{n}(x)\}\) на множестве \(E\), но не выполняется условие \eqref{ref3}, т. е.
$$
\exists \varepsilon_{0}\;>\;0: \forall k \in \mathbb{N}\ \exists n \geq k\ \exists \tilde{x} \in E: |f_{n}(\tilde{x}) - f(\tilde{x})| \geq \varepsilon_{0},\label{ref11}
$$
то говорят, что последовательность \(\{f_{n}(x)\}\) сходится неравномерно на множестве \(E\) к функции \(f(x)\).


Пример 5.

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на множестве \(E\) последовательность \(\{f_{n}(x)\}\), если:

а) \(\displaystyle f_{n}(x) = x^{n} - x^{2n},\ E = [0, 1];\)

б) \(\displaystyle f_{n}(x) = n\sin \frac{1}{nx},\ E = (0, 1].\)

Решение.

\(\vartriangle\) а) В этом случае предельная функция \(f(x) = 0\), \(x \in E\). Для любого \(k \in \mathbb{N}\) возьмем \(n = k\), \(\tilde{x} = 1/\sqrt[n]{2}\). Тогда \(\tilde{x} \in E\) при любом \(n \in \mathbb{N}\) и \(|f_{n}(\tilde{x}) - f(\tilde{x})| = \displaystyle f_{n}\left(\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \varepsilon_{0}\), т. е. выполняется условие \eqref{ref11}, и поэтому последовательность \(\{f_{n}(x)\}\) сходится неравномерно на множестве \(E\) к \(f(x) = 0\).

б) Здесь предельная функция \(f(x) = x^{-1}\) на множестве \(x\;>\;0\) (пример 1, б)). Возьмем \(\tilde{x} = 1/n\). Тогда \(|f_{n}(\tilde{x}) - f(\tilde{x})| = |n \sin 1 - n| \geq 1 - \sin 1 = \varepsilon_{0}\) для любого \(n \in \mathbb{N}\), и поэтому \(\{f_{n}(x)\}\) сходится неравномерно на множестве \(E\) к \(x^{-1}\). \(\blacktriangle\)


Неравномерную сходимость последовательности можно установить, используя теорему 1. Если условие \eqref{ref4} не выполняется, т. е.
$$
\sup_{x \in E}|f_{n}(x) - f(x)| \nrightarrow 0\ \mbox{при}\ n \rightarrow \infty,\label{ref12}
$$
то \(\{f_{n}(x)\}\) сходится неравномерно на множестве \(E\) к \(f(x)\).


Пример 6.

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость последовательность \(f_{n}(x) = n^{2}x^{2}e^{-nx}\), \(E = (0, 2)\).

Решение.

\(\vartriangle\) Предельная функция \(f(x) = 0\), \(x \in E\). Так как уравнение \(f_{n}'(x) = n^{2}xe^{-nx}(2 - xn)\) имеет на интервале (0,2) единственный корень \(x_{n} = 2/n\), причем \(f_{n}'(x)\;>\;0\) при \(x \in (0, x_{n})\) и \(f_{n}'(x)\;<\;0\) при \(x \in (x_{n}, 2)\), то \(\displaystyle\sup_{x \in E} f_{n}(x_{n}) = f_{n}(x_{n}) = 4e^{-1}\). Таким образом, выполняется условие \eqref{ref12}, и поэтому \(\{f_{n}(x)\}\) сходится неравномерно на множестве \(E\) к 0. \(\blacktriangle\)


Определение и критерий равномерной сходимости функционального ряда.

Пусть функции \(u_{n}(x)\), \(n \in \mathbb{N}\), определены на множестве \(E\). Обозначим
$$
S_{n}(x) = \sum_{k = 1}^{n}u_{k}(x).\label{ref13}
$$

Определение.
Ряд
$$
\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x),\label{ref14}
$$
называется равномерно сходящимся на множестве \(E\), если на этом множестве определена функция \(S(x)\) такая, что
$$
S_{n}(x) \rightrightarrows S(x),\ x \in E.\label{ref15}
$$

Согласно определению равномерной сходимости последовательности функций запись \eqref{ref15} означает, что
$$
\forall \varepsilon\;>\;0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon}\ \forall x \in E \rightarrow |S_{n}(x) - S(x)|\;<\;\varepsilon.\label{ref16}
$$
где \(S(x)\) — сумма ряда (14), a \(S_{n}(x)\) определяется формулой \eqref{ref13}.

Пусть \(r_{n}(x) = S(x) - S_{n}(x)\), т. е. \(r_{n}(x)\) — \(n\)-й остаток ряда \eqref{ref14}. Тогда условие \eqref{ref15} примет вид
$$
r_{n}(x) \rightrightarrows 0,\quad x \in E.\nonumber
$$
Это означает, что
$$
\forall \varepsilon\;>\;0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon}\ \forall x \in E \rightarrow |r_{n}(x)|\;<\;\varepsilon.\label{ref17}
$$

В силу теоремы 1 для равномерной сходимости ряда \eqref{ref14} на множестве \(E\) необходимо и достаточно, чтобы
$$
\sup_{x \in E}|r_{n}(x)| \rightarrow 0\ \mbox{при}\ n \rightarrow \infty,\label{ref18}
$$

Если ряд \eqref{ref14} сходится на множестве \(E\), но не выполняется условие \eqref{ref17} или равносильное ему условие \eqref{ref18}, то говорят, что ряд \eqref{ref14} сходится неравномерно на множестве \(E\).

Следовательно, если
$$
\exists \varepsilon_{0}\;>\;0: \forall k \in \mathbb{N}\ \exists n \geq k\ \exists \tilde{x} \in E: |r_{n}(\tilde{x})| \geq \varepsilon_{0},\label{ref19}
$$
или
$$
\sup_{x \in E}|r_{n}(x)| \nrightarrow 0\ \mbox{при}\ n \rightarrow \infty,\label{ref20}
$$
то ряд \eqref{ref14} сходится неравномерно на множестве \(E\).


Пример 7.

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на указанных множествах ряд \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x)\), если:

а) \(u_{n}(x) = x^{n - 1},\ E_{1} = (-q, q),\ \mbox{где}\ 0\;<\;q\;<\;1,\ E_{2} = (-1, 1)\);

б) \(u_{n}(x) = \displaystyle\frac{x}{(1 + nx)(1 + (n + 1)x)},\ E_{1} = (\delta, +\infty),\ \mbox{где}\ \delta\;>\;0,\ E_{2} = (0, +\infty)\);
    
в) \(u_{n}(x) = \displaystyle\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n + x}},\ E = (0, +\infty)\).

Решение.

\(\vartriangle\) а) В этом случае \(S_{n}(x) = \displaystyle\frac{1 - x^{n}}{1 - x}\), \(S(x) = \displaystyle\frac{1}{1 - x}\) для любого \(x \in E_{2}\), т. е. ряд сходится на множестве \(E_{2}\), а значит, и на \(E_{1}\).

Для любого \(x \in E_{1}\) выполняется неравенство \(|r_{n}(x)| = \displaystyle\left|\frac{x^{n}}{1 - x}\right| \leq \frac{|x|^{n}}{1 - |x|}\), откуда следует, что \(\displaystyle\sup_{x \in E}|r_{n}(x)| \leq \frac{q^{n}}{1 - q}\), и поэтому выполняется условие \eqref{ref18}. Следовательно, ряд сходится равномерно на множестве \(E_{1}\).

На множестве \(E_{2}\) ряд сходится неравномерно. В самом деле, возьмем \(\tilde{x} = \displaystyle 1 - \frac{1}{n}\). Тогда \(\tilde{x} \in E\) для любого \(n \in \mathbb{N}\) и \(r_{n}(\tilde{x}) = \displaystyle n\left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n} \rightarrow +\infty\) при \(n \rightarrow \infty\), откуда следует, что выполняется условие \eqref{ref20}.

б) Так как \(u_{n}(x) = \displaystyle\frac{1}{1 + nx} - \frac{1}{1 + (n + 1)x}\), то \(S_{n}(x) = \displaystyle\frac{1}{1 + x} - \frac{1}{1 + (n + 1)x}\). Если \(x \in E_{2}\), то \(S_{n}(x) \rightarrow S(x)\) при \(n \rightarrow \infty\), где \(S(x) = \displaystyle\frac{1}{1 + x}\), и поэтому \(r_{n}(x) = \displaystyle\frac{1}{1 + (n + 1)x}\).

На множестве \(E_{1}\) ряд сходится равномерно, так как \(|r_{n}(x)| \leq \displaystyle\frac{1}{1 + (n + 1)\delta}\), и поэтому выполняется условие \eqref{ref18}, а на множестве \(E_{2}\) — неравномерно, так как \(\displaystyle r_{n}\left(\frac{1}{n + 1}\right) = \frac{1}{2}\), и поэтому выполняется условие \eqref{ref20}.

в) При каждом \(x\;>\;0\) последовательность \(\displaystyle\left\{\frac{1}{\sqrt{n + x}}\right\}\) монотонно стремится к нулю, и поэтому по признаку Лейбница ряд \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n + x}}\) сходится на множестве \(E\), причем \(|r_{n}(x)| \leq |u_{n + 1}(x)| = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n + 1 + x}} \leq \frac{1}{\sqrt{n + 1}}\), откуда следует, что выполняется условие \eqref{ref18}. Следовательно, ряд сходится равномерно на множестве \(E\). \(\blacktriangle\)


Теорема 3 (критерий Коши равномерной сходимости ряда).

Для того чтобы ряд \eqref{ref14} равномерно сходился на множестве \(E\), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши, т. е.
$$
\forall \varepsilon\;>\;0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon}\ \forall p \in \mathbb{N}\ \forall x \in E \rightarrow \left|\sum_{k = n + 1}^{n + p} u_{k}(x)\right|\;<\;\varepsilon.\label{ref21}
$$

Доказательство.

\(\circ\) По определению равномерная сходимость ряда \eqref{ref14} на множестве \(E\) означает равномерную сходимость последовательности \(\{S_{n}(x)\}\) на \(E\).

Согласно теореме 2 \(S_{n}(x) \rightrightarrows S(x)\) на \(E\) тогда и только тогда, когда
$$
\forall \varepsilon\;>\;0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon}\ \forall p \in \mathbb{N}\ \forall x \in E \rightarrow |S_{n + p}(x) - S_{n}(x)|\;<\;\varepsilon.\label{ref22}
$$
Так как \(S_{n + p}(x) - S_{n}(x) = u_{n + 1}(x) + \ldots + u_{n + p}(x)\), то условие \eqref{ref22} равносильно условию \eqref{ref21}. \(\bullet\)

Если условие \eqref{ref21} не выполняется, т. е.
$$
\exists \varepsilon_{0}\;>\;0: \forall m \in \mathbb{N}\ \exists n \geq m\ \exists p \in \mathbb{N}\ \exists\ \tilde{x} \in E: \left|\sum_{k = n + 1}^{n + p} u_{k}(\tilde{x})\right| \geq \varepsilon_{0},\label{ref23}
$$
то ряд \eqref{ref14} не является равномерно сходящимся на множестве \(E\). В частности, если
$$
\exists \varepsilon_{0}\;>\;0: \forall n_{0} \in \mathbb{N}:\ \forall n \geq n_{0}\ \exists\ x_{n} \in E: |u_{n}(x_{n})| \geq \varepsilon_{0},\label{ref24}
$$
то ряд \eqref{ref14} не является равномерно сходящимся на множестве \(E\).


Пример 8.

Доказать, что ряд \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x)\) не является равномерно сходящимся на множестве \(E\), если:

а) \(u_{n}(x) = \displaystyle\frac{n^{2}}{x}e^{-n^{2}/x},\ E = (0, +\infty)\);

б) \(u_{n}(x) = \displaystyle\frac{n}{1 + n^{2}x^{2}}\operatorname{tg} \sqrt{\frac{x}{n}},\ E = (0, 1)\);

в) \(u_{n}(x) = \displaystyle\frac{\sin nx}{n^{\alpha}},\ E = [0, 2\pi],\ 0\;<\;\alpha \leq 1\).

Решение.

\(\vartriangle\) а) Пусть \(x_{n} = x^{2}\), тогда \(u_{n}(x_{n}) = e^{-1}\), т. е. выполняется условие \eqref{ref24}.

б) Возьмем \(x_{n} = \displaystyle\frac{1}{n}\) и воспользуемся тем, что \(\operatorname{tg} x\;>\;x\) при \(0\;<\;x\;<\;\displaystyle\frac{\pi}{2}\) (§ 12, (3)). Тогда \(u_{n}(x_{n}) = \displaystyle\frac{n}{2}\operatorname{tg} \frac{1}{n}\;>\;\frac{1}{2}\) при всех \(n \in \mathbb{N}\), т. е. выполняется условие \eqref{ref24}.

в) Возьмем \(x_{n} = \displaystyle\frac{\pi}{4(n + 1)}\); тогда \(x_{n} \in E\) при любом \(n \in \mathbb{N}\). Если \(n + 1 \leq k \leq 2n\), то \(\displaystyle\frac{\pi}{4} \leq kx_{n} \leq \frac{\pi}{4} \frac{2n}{n + 1}\;<\;\frac{\pi}{2}\), и поэтому \(\displaystyle\sin kx_{n} \geq \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\) откуда следует, что
$$
\sum_{k = n + 1}^{2n} \frac{\sin kx_{n}}{k^{\alpha}} \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{k = n + 1}^{2n} \frac{1}{k^{\alpha}} \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{k = n + 1}^{2n} \frac{1}{k}\;>\;\frac{1}{\sqrt{2}}n\frac{1}{2n} = \frac{1}{2\sqrt{2}},\nonumber
$$
так как \(0\;<\;\alpha \leq 1\). Следовательно, выполняется условие \eqref{ref23}, и поэтому ряд не является равномерно сходящимся на множестве \([0, 2\pi]\) при \(\alpha \in ()0, 1]\). \(\blacktriangle\)


Признаки равномерной сходимости функциональных рядов.

Признак Вейерштрасса.

Теорема 4.

Если для функционального ряда \eqref{ref14} можно указать такой сходящийся числовой ряд \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}\), что для всех \(n \geq n_{0}\) и для всех \(x \in E\) выполняется условие
$$
|u_{n}(x)| \leq a_{n},\label{ref25}
$$
то ряд \eqref{ref14} сходится абсолютно и равномерно на множестве \(E\).

Доказательство.

\(\circ\) Согласно условию \eqref{ref25} для любого \(n \geq n_{0}\), любого \(p \in \mathbb{N}\) и для каждого \(x \in E\) выполняется неравенство
$$
\left|\sum_{k = n + 1}^{n + p}u_{k}(x)\right| \leq \sum_{k = n + 1}^{n + p}|u_{k}(x)| \leq \sum_{k = n + 1}^{n + p}a_{k}.\label{ref26}
$$
Из сходимости ряда \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}\) следует (свойства сходящихся рядов можно посмотреть здесь), что для него выполняется условие Коши, т. е.
$$
\forall \varepsilon\;>\;0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon}\ \forall p \in \mathbb{N}\ \rightarrow \sum_{k = n + 1}^{n + p}a_{k}\;<\;\varepsilon,\label{ref27}
$$
а из \eqref{ref26} и \eqref{ref27} следует, что для ряда \eqref{ref14} выполняется на множестве \(E\) условие Коши \eqref{ref21}, и в силу теоремы 3 этот ряд сходится равномерно на множестве \(E\).

Абсолютная сходимость ряда \eqref{ref14} для каждого \(x \in E\) следует из правого неравенства \eqref{ref26}. \(\bullet\)


Следствие.
Если сходится ряд \(\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}\), где \(a_{n} = \sup_{x \in E}|u_{n}(x)|\), то ряд \eqref{ref14} сходится абсолютно и равномерно на множестве \(E\).

Пример 9.

Доказать, что ряд \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x)\) сходится равномерно на множестве \(E\), если:

а) \(u_{n}(x) = \displaystyle\ln \left(1 + \frac{x}{n\sqrt[3]{n + 1}}\right),\ E = [0, 3]\);
    
б) \(u_{n}(x) = \displaystyle\frac{nx}{n^{2} + x^{2}} \operatorname{arctg} \frac{x}{n},\ E = [-1, 1]\);
    
в) \(u_{n}(x) = \displaystyle\frac{\displaystyle\sin \frac{1}{nx}\cos nx}{\displaystyle4 + \ln^{2}(n + 1)x},\ E = [1, +\infty)\);
    
г) \(u_{n}(x) = x^{2}e^{-nx},\ E = (0, +\infty)\).

Решение.

\(\vartriangle\) а) Так как при \(t \geq 0\) справедливо неравенство \(\ln(1 + t) \leq t\) (§ 17, пример 1, а)), то \(|u_{n}(x)| \leq \displaystyle\frac{x}{n\sqrt[3]{n + 1}} \leq \frac{3}{n^{3/2}}\) при всех \(x \in [0, 3]\), и из сходимости ряда \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{3}{n^{3/2}}\) по теореме 4 следует равномерная сходимость ряда \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x)\) на множестве [0,3].

б) Используя неравенство \(|\operatorname{arctg} t| \leq t\) для всех \(t \in \mathbb{R}\) (§ 17, (19)) и учитывая, что \(|x| \leq 1\) и \(n^{2} + x^{2} \geq n^{2}\), получаем \(|u_{n}(x)| \leq \displaystyle\frac{|nx|}{n^{2} + x^{2}} |\frac{x}{n}| \leq \frac{1}{n^{2}}\), откуда следует равномерная сходимость ряда на множестве [-1,1].

в) Так как \(|\sin t| \leq |t|\) и \(|\cos t| \leq 1\) для всех \(t \in \mathbb{R}\), а \(x \geq 1\), то \(|u_{n}(x)| \leq \displaystyle\frac{1}{nx \ln^{2}(n + 1)x} \leq \frac{1}{n \ln^{2}(n + 1)}\). Из сходимости ряда \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n\ln^{2}(n + 1)}\) следует равномерная сходимость ряда \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x)\) на множестве \([1, +\infty)\).

г) На промежутке \((0, +\infty)\) уравнение \(u_{n}'(x) = xe^{-nx}(2 - nx) = 0\) имеет единственный корень \(x = x_{n} = \displaystyle\frac{2}{n}\), причем \(u_{n}'(x)\;>\;0\) при \(x \in (0, x_{n})\) и \(u_{n}'(x)\;<\;0\) при \(x\;>\;x_{n}\). Поэтому \(\displaystyle\sup_{x \in E}|u_{n}(x)| = u_{n}(x_{n}) = \frac{4}{n^{2}}e^{-2}\), и из сходимости ряда \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{4}{n^{2}}e^{-2}\) следует равномерная сходимость ряда \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x)\) на множестве \((0, +\infty)\). \(\blacktriangle\)


Признак Дирихле.

Теорема 5.

Ряд
$$
\sum_{k = 1}^{\infty}a_{k}(x)b_{k}(x),\label{ref28}
$$
сходится равномерно на множестве \(E\), если выполняются условия:

а) последовательность \(\{B_{n}(x)\}\), где \(B_{n}(x) = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}b_{k}(x)\) равномерно ограничена на множестве \(E\), т. е.
$$
\exists M\;>\;0\ \forall x \in E\ \forall n \in \mathbb{N} \rightarrow |B_{n}(x)| \leq M;\label{ref29}
$$
б) последовательность \(\{a_{n}(x)\}\) монотонна на множестве \(E\), т. е.
$$
\forall x \in E\ \forall n \in \mathbb{N} \rightarrow a_{n + 1}(x) \leq a_{n}(x);\label{ref30}
$$
и равномерно стремится к нулю, т. е.
$$
a_{n}(x) \rightrightarrows 0, \qquad x \in E.\label{ref31}
$$

Доказательство.

\(\circ\) Воспользуемся оценкой
$$
\left|\sum_{k = n + 1}^{n + p}a_{k}(x)b_{k}(x)\right| \leq 2M(|a_{n + 1}(x)| + |a_{n + p}(x)|),\label{ref32}
$$
полученной при доказательстве признака Дирихле для числовых рядов.

Условие \eqref{ref31} означает, что
$$
\forall \varepsilon\;>\;0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall k \geq N_{\varepsilon}\ \forall x \in E \rightarrow |a_{k}(x)|\;<\;\frac{\varepsilon}{4M};\label{ref33}
$$
Из \eqref{ref29}, \eqref{ref32} и \eqref{ref33} следует, что для всех \(n \geq N_{\varepsilon}\), для всех \(p \in \mathbb{N}\) и для всех \(x \in E\) выполняется неравенство \(\displaystyle\left|\sum_{k = n + 1}^{n + p}a_{k}(x)b_{k}(x)\right| \leq \varepsilon\), и в силу критерия Коши (теорема 3) ряд \eqref{ref28} сходится равномерно на множестве \(E\). \(\bullet\)


Пример 10.

Доказать, что при \(\alpha\;>\;0\) ряд
$$
\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n^{\alpha}},\label{ref34}
$$
сходится равномерно на множестве \(E = [\delta, 2\pi - \delta]\), где \(0\;<\;\delta\;<\;2\pi - \delta\;<\;2\pi\).

Решение.

\(\vartriangle\) Если \(\alpha\;>\;1\), то по признаку Вейерштрасса ряд \eqref{ref34} сходится абсолютно и равномерно на \(\mathbb{R}\), так как \(|\sin x| \leq 1\), а ряд \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}\), где \(\alpha\;>\;1\), сходится.

Пусть \(0\;<\;\alpha\;<\;1\). Тогда последовательность \(\{a_{n}\}\), где \(a_{n} = \displaystyle\frac{1}{n^{\alpha}}\), удовлетворяет условиям \eqref{ref30}, \eqref{ref31}. Полагая \(B_{n}(x) = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}\sin kx\) и используя неравенство \(|B_{n}(x)| \leq \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\left|\sin \frac{x}{2}\right|}\), справедливое при \(x \neq \pi m\), \(m \in \mathbb{Z}\) (§ 41, пример 2), получаем \(|B_{n}(x)| \leq \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\sin \frac{\delta}{2}}\) для всех \(x \in E\). По теореме 5 ряд \eqref{ref34} сходится равномерно на множестве \(E\).

Заметим, что на множестве \([0, 2\pi]\) ряд \eqref{ref34} при \(\alpha \in (0, 1]\) сходится неравномерно (пример 8, в)). \(\blacktriangle\)


Признак Абеля.

Теорема 6.

Ряд \eqref{ref28} сходится равномерно на множестве \(E\), если выполняются условия:

а) ряд
$$
\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}(x),\label{ref35}
$$
сходится равномерно на множестве \(E\);

б) последовательность \(\{a_{n}(x)\}\) монотонна на множестве \(E\), т. е.
$$
\forall n \in \mathbb{N}\ \forall x \in E\ \rightarrow a_{n + 1}(x) \leq a_{n}(x);\label{ref36}
$$
и равномерно ограничена, т. е.
$$
\exists M\;>\;0: \forall n \in \mathbb{N}\  \forall x \in E\ \rightarrow |a_{n}(x)| \leq M;\label{ref37}
$$

Доказательство.

\(\circ\) Обозначим \(B_{j}^{(n)}(x) = \displaystyle\sum_{k = n + 1}^{n + j}b_{k}(x)\). Тогда ряд \eqref{ref35} в силу теоремы 3 удовлетворяет условию Коши, т. е.
$$
\forall \varepsilon\;>\;0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon} \forall j \in \mathbb{N}\ \rightarrow |B_{j}^{(n)}(x)|\;<\;\frac{\varepsilon}{3M}.\label{ref38}
$$
Используя преобразование Абеля (§ 41), преобразуем сумму:
$$
\sigma = \sum_{k = n + 1}^{n + p}a_{k}(x)b_{k}(x) = \sum_{j = 1}^{p}a_{n + j}(x)b_{n + j}(x).\nonumber
$$
Так как \(b_{n + j}(x) = \displaystyle B_{j}^{(n)}(x) - B_{j - 1}^{(n)}(x)\), где \(j = \overline{1, p}\), \(B_{0}^{(n)}(x) = 0\), то
$$
\sigma = \sum_{j = 1}^{p - 1}(a_{n + j}(x) - a_{n + j + 1}(x)) B_{j}^{(n)}(x) + a_{n + p}(x)B_{p}^{(n)}(x),\nonumber
$$
откуда, используя условия \eqref{ref36}-\eqref{ref38}, получаем
$$
|\sigma|\;<\;\frac{\varepsilon}{3M} \sum_{j = 1}^{p - 1}(a_{n + j}(x) - a_{n + j + 1}(x)) + \frac{\varepsilon}{3M} |a_{n + p}(x)| =\\= \frac{\varepsilon}{3M} (a_{n + 1}(x) - a_{n + p}(x) + |a_{n + p}(x)|) \leq \frac{\varepsilon}{3M} (2|a_{n + p}(x)| + |a_{n + 1}(x)| \leq \varepsilon.\nonumber
$$
Таким образом,
$$
\forall \varepsilon\;>\;0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon}\ \forall p \in \mathbb{N}\ \forall x \in E \rightarrow \left|\sum_{k = n + 1}^{n + p}a_{k}(x)b_{k}(x)\right|\;<\;\varepsilon,\nonumber
$$
и по теореме 3 ряд \eqref{ref28} сходится равномерно на множестве \(E\). \(\bullet\)


Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов.

Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда.

Теорема 7.

Если все члены ряда \eqref{ref14} — непрерывные на отрезке \([a, b]\) функции, а ряд \eqref{ref14} сходится равномерно на \([a, b]\), то его сумма \(S(x)\) также непрерывна на отрезке \([a, b]\).

Доказательство.

\(\circ\) Пусть \(x_{0}\) — произвольная точка отрезка \([a, b]\). Для определенности будем считать, что \(x_{0} \in (a, b)\).
    
Нужно доказать, что функция
$$
S(x) = \sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x)\nonumber
$$
непрерывна в точке \(x_{0}\), т. е.
$$
\forall \varepsilon\;>\;0\ \exists \delta = \delta (\varepsilon)\;>\;0: \forall x \in U_{\delta}(x_{0}) \rightarrow |S(x) - S(x_{0})|\;<\;\varepsilon,\label{ref39}
$$
где \(U_{\delta}(x_{0}) = (x_{0} - \delta, x_{0} + \delta) \subset [a, b]\).

По условию \(S_{n}(x) \rightrightarrows S(x)\), \(x \in [a, b]\), где \(S_{n}(x) = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}u_{k}(x)\), т. е.
$$
\forall \varepsilon\;>\;0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon}\ \forall x \in [a, b] \rightarrow |S(x) - S_{n}(x)|\;<\;\frac{\varepsilon}{3}.\label{ref40}
$$
Фиксируем номер \(n_{0} \geq N_{\varepsilon}\). Тогда из \eqref{ref40} при \(n = n_{0}\) получаем
$$
|S(x) - S_{n_{0}}(x)|\;<\;\frac{\varepsilon}{3}\label{ref41}
$$
и, в частности, при \(x = x_{0}\) находим
$$
|S(x_{0}) - S_{n_{0}}(x_{0})|\;<\;\frac{\varepsilon}{3}.\label{ref42}
$$

Функция \(S_{n_{0}}(x)\) непрерывна в точке \(x_{0}\) как сумма конечного числа непрерывных функций \(u_{k}(x)\), \(k = \overline{1, n_{0}}\). По определению непрерывности        
$$
\forall \varepsilon\;>\;0\ \exists \delta = \delta (\varepsilon)\;>\;0: \forall x \in U_{\delta}(x_{0}) \subset [a, b] \rightarrow |S_{n_{0}}(x) - S_{n_{0}}(x_{0})|\;<\;\frac{\varepsilon}{3}.\label{ref43}
$$

Воспользуемся равенством
$$
S(x) - S(x_{0}) =\\= (S(x) - S_{n_{0}}(x)) + (S_{n_{0}}(x) - S_{n_{0}}(x_{0})) + (S_{n_{0}}(x_{0}) - S(x_{0})).\nonumber
$$
Из этого равенства, используя оценки \eqref{ref41}—\eqref{ref43}, получаем
$$
|S(x) - S(x_{0})| \leq\\\leq |S(x) - S_{n_{0}}(x)| + |S_{n_{0}}(x) - S_{n_{0}}(x_{0})| + |S_{n_{0}}(x_{0}) - S(x_{0})|\;<\;\varepsilon
$$
для любого \(x \in U_{\delta}(x_{0}) \subset [a, b]\), т. е. справедливо утверждение \eqref{ref39}.

Так как \(x_{0}\) — произвольная точка отрезка \([a, b]\), то функция S(x) непрерывна на отрезке \([a, b]\). \(\bullet\)


Замечание 1.

Согласно теореме 7
$$
\lim_{x \rightarrow x_{0}} \sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \lim_{x \rightarrow x_{0}} u_{n}(x)
$$
т. e. при условиях теоремы 7 возможен почленный предельный переход.


Теорема 8.

Если последовательность \(\{S_{n}(x)\}\) непрерывных на отрезке \([a, b]\) функций равномерно сходится на \([a, b]\), то ее предельная функция \(S(x)\) также непрерывна на отрезке \([a, b]\).

\(\circ\) Доказательство этого утверждения следует из теоремы 7. \(\bullet\)


Почленное интегрирование функционального ряда.

Теорема 9.

Если все члены ряда \eqref{ref14} — непрерывные на отрезке \([a, b]\) функции, а ряд \eqref{ref14} сходится равномерно на \([a, b]\), то ряд
$$
\sum_{n = 1}^{\infty}\int\limits_a^x u_{n}(t)\ dt,\label{ref44}
$$
также равномерно сходится на \([a, b]\), и если
$$
S(x) = \sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x),\label{ref45}
$$
то
$$
\int\limits_a^x S(t)\ dt = \sum_{n = 1}^{\infty}\int\limits_a^x u_{n}(t)\ dt,\quad x \in [a, b],\label{ref46}
$$
т. е. ряд \eqref{ref45} можно почленно интегрировать.

Доказательство.

\(\circ\) По условию ряд \eqref{ref45} сходится равномерно к \(S(x)\) на отрезке \([a, b]\), т. е. \(S_{n}(x) = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}u_{k}(x) \rightrightarrows S(x)\), \(x \in [a, b]\). Это означает, что
$$
\forall \varepsilon\;>\;0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall n \in N_{\varepsilon}\ \forall t \in [a, b] \rightarrow |S(t) - S_{n}(t)|\;<\;\frac{\varepsilon}{b - a}.\label{ref47}
$$
Пусть \(\sigma(x) = \displaystyle\int\limits_a^x S(t)\ dt\), а \(\sigma_{n}(x) = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} \int\limits_a^x u_{k}(t)\ dt\) — \(n\)-я частичная сумма ряда \eqref{ref44}.

Функции \(u_{k}(x)\), \(k \in \mathbb{N}\), по условию непрерывны на отрезке \([a, b]\) и поэтому они интегрируемы на \([a, b]\). Функция \(S(x)\) также интегрируема на \([a, b]\), так как она непрерывна на этом отрезке (теорема 7). Используя свойства интеграла, получаем
$$
\sigma_{n}(x) = \int\limits_a^x \sum_{k = 1}^{n}u_{k}(t)\ dt = \int\limits_a^x S_{n}(t)\ dt.\nonumber
$$
Следовательно
$$
\sigma(x) - \sigma_{n}(x) = \int\limits_a^x (S(t) - S_{n}(t))\ dt,\nonumber
$$
откуда в силу условия \eqref{ref47} получаем
$$
|\sigma(x) - \sigma_{n}(x)|\;<\;\frac{\varepsilon}{b - a} \int\limits_a^x\ dt = \frac{\varepsilon}{b - a} (x - a) \leq \varepsilon,\nonumber
$$
причем это неравенство выполняется для всех \(n \geq N_{\varepsilon}\) и для всех \(x \in [a, b]\). Это означает, что ряд \eqref{ref44} сходится равномерно на отрезке \([a, b]\), и выполняется равенство \eqref{ref46}. \(\bullet\)


Замечание 2. Равенство \eqref{ref46} остаегся в силе, если заменить \(a\) на \(c\), \(x\) на \(d\), где \(a \leq c \leq d \leq b\), т. е. ряд \eqref{ref45} можно при условиях теоремы 9 почленно интегрировать на любом отрезке \([c, d] \subset [a, b]\).


Теорема 10.

Если \(S_{n}(t) \rightrightarrows S(t)\), \(x \in [a, b]\), а каждая из функций \(S_{n}(t)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\), то
$$
\int\limits_{x_{0}}^x S_{n}(t)\ dt \rightrightarrows \int\limits_{x_{0}}^x S(t)\ dt,\quad x \in [a, b],\nonumber
$$
для любой точки \(x_{0} \in [a, b]\).

\(\circ\) Доказательство этого утверждения получено при доказательстве теоремы 9. \(\bullet\)


Почленное дифференцирование функционального ряда.

Теорема 11.

Если функции \(u_{n}(x)\), \(n \in \mathbb{N}\), имеют непрерывные производные на отрезке \([a, b]\), ряд
$$
\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}'(x),\label{ref48}
$$
сходится равномерно на отрезке \([a, b]\), а ряд
$$
\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x),\label{ref49}
$$
сходится хотя бы в одной точке \(x \in [a, b]\), т. е. сходится ряд
$$
\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x_{0}),\label{ref50}
$$
то ряд \eqref{ref49} сходится равномерно на отрезке \([a, b]\), и его можно почленно дифференцировать, т. е.
$$
S'(x) = \sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}'(x),\label{ref51}
$$
где
$$
S(x) = \sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x),\label{ref52}
$$

Доказательство.

\(\circ\) Обозначим через \(\tau(x)\) сумму ряда \eqref{ref48}, т. е.
$$
\tau(x) = \sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}'(x),\label{ref53}
$$

По теореме 9 ряд \eqref{ref53} можно почленно интегрировать, т. е.
$$
\int\limits_{x_{0}}^x \tau(t)\ dt = \sum_{n = 1}^{\infty}\int\limits_{x_{0}}^x u_{n}'(t)\ dt,\label{ref54}
$$
где \(x_{0},\ x \in [a, b]\), причем ряд \eqref{ref54} сходится равномерно на отрезке \([a, b]\). Так как \(\displaystyle\int\limits_{x_{0}}^x u_{n}'(t)\ dt = u_{n}(x) - u_{n}(x_{0})\), то равенство \eqref{ref54} можно записать в виде
$$
\int\limits_{x_{0}}^x \tau(t)\ dt = \sum_{n = 1}^{\infty}v_{n}(x),\label{ref55}
$$
где
$$
v_{n}(x) = u_{n}(x) - u_{n}(x_{0}).\label{ref56}
$$
Ряд \eqref{ref55} сходится равномерно, а ряд \eqref{ref50} сходится (а значит, и равномерно сходится на отрезке \([a, b]\)). Поэтому ряд \eqref{ref49} сходится равномерно на \([a, b]\) как разность равномерно сходящихся рядов.

Из равенств \eqref{ref55}, \eqref{ref56} и \eqref{ref52} следует, что
$$
\int\limits_{x_{0}}^x \tau(t)\ dt = S(x) - S(x_{0}).\label{ref57}
$$

Так как функция \(\tau(t)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\) по теореме 7, то в силу свойств интеграла с переменным верхним пределом левая часть равенства \eqref{ref57} имеет производную, которая равна \(\tau(x)\). Следовательно, правая часть \eqref{ref57} — дифференцируемая функция, а ее производная равна \(S'(x)\). Итак, доказано, что \(\tau(x) = S'(x)\), т. е. справедливо равенство \eqref{ref51} для всех \(x \in [a, b]\). \(\bullet\)


Замечание 3. При условиях теоремы 11 функция \(S'(x)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\), т. е. \(S(x)\) — непрерывно дифференцируемая на \([a, b]\) функция.


Теорема 12.

Если последовательность \(\{S_{n}(x)\}\) непрерывно дифференцируемых на \([a, b]\) функций сходится хотя бы в одной точке \(x_{0} \in [a, b]\), а последовательность \(\{S_{n}'(x)\}\) сходится равномерно на \([a, b]\), то последовательность \(\{S_{n}(x)\}\) также сходится равномерно на \([a, b]\) к некоторой функции \(S(x)\) и
$$
S'(x) = \lim_{n \rightarrow \infty}S_{n}'(x),\quad x \in [a, b].\nonumber
$$

\(\circ\) Доказательство этого утверждения получено при доказательстве теоремы 11. \(\bullet\)