Непрерывность функции в точке.
Определение 1.
Говорят, что функция \(f(x)\), определенная в окрестности \(O(x^0)\) точки \(x^0\) метрического пространства, непрерывна в точке \(x^0\), если \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x^0}f(x)=f(x^0)\).
Определение 2.
Говорят, что функция \(f(x)\), определенная в окрестности \(0(x^0)\), непрерывна в точке \(x^0\), если для любого \(\varepsilon > 0\) существует такая окрестность \(S_\delta(x^0)\), что для любого \(\forall x\in S_\delta(x^0)\) выполняется неравенство \(|f(x)-f(x^0)| < \varepsilon\).
Эквивалентность двух определений следует из определения предела на языке окрестностей.
Пользуясь определением предела по множеству, можно дать соответствующее определение непрерывности функции в точке по множеству.
Определение 3.
Пусть функция \(f(x)\) определена на множестве \(M\subset R^n\), точка \(x^0\in M\), причем \(x^0\) — предельная точка множества \(M\). Говорят, что функция \(f(x)\) непрерывна в точке \(x^0\) по множеству \(M\), если
$$
\lim_{x\rightarrow x^0,\;x\in M}f(x)=f(x^0).\nonumber
$$
Если \(x^0\) есть изолированная точка множества \(M\), то функция \(f(x)\) считается непрерывной в точке \(x^0\) по множеству \(M\).
Пример 1.
Функция
$$
f(x,y)=\left\{\begin{array}{lc}\frac{2x^2y}{x^4+y^2},&x^2+y^2 > 0,\\0,&x=y=0,\end{array}\right.\nonumber
$$
непрерывна в точке \((0,0)\) по любому лучу, но не является непрерывной в точке \((0,0)\).
Решение.
\(\triangle\) Из результата разобранного ранее примера следует, что функция \(f(x,y)\) не имеет предела при \((x,y)\rightarrow (0,0)\) и, следовательно, не является непрерывной в точке \((0,0)\). А из результата примера, решенного здесь следует, что в точке \((0,0)\) предел функции \(f(x,y)\) по любому направлению существует и равен нулю. Следовательно, функция \(f(x,y)\) непрерывна в точке \((0,0)\) по любому направлению. \(\blacktriangle\)
Основные теоремы о свойствах непрерывных в некоторой точке функций (например, теорема о непрерывности суммы непрерывных функций) доказываются для функций многих переменных так же, как и для функции одной переменной. Ниже будет доказано, что суперпозиция непрерывных функций есть непрерывная функция.
Непрерывность сложной функции.
Теорема 1.
Пусть функции \(\varphi_1(x),\ldots,\varphi_n(x)\) определены в некоторой окрестности точки \(x^0\in R^m\) и непрерывны в точке \(x^0\), а функция \(f(y)=f(y_1,\ldots,y_n)\) определена в окрестности точки \(y^0=(\varphi_1(x),\ldots,\varphi_n(x))\) и непрерывна в точке \(y^0\). Тогда в некоторой окрестности точки \(x^0\) определена сложная функция
$$
\Phi(x)=f(\varphi_1(x),\ldots,\varphi_n(x)),\nonumber
$$
причем функция \(\Phi(x)\) непрерывна в точке \(x^0\).
Доказательство.
\(\circ\) Так как функция \(f(y)=f(y_1,\ldots,y_n)\) непрерывна в точке \(y^0\), то для любого \(\varepsilon > 0\) найдется шар \(S_{\delta}(y^0)\) такой, что для всех \(y\in S_{\delta}(y^0)\) выполнено неравенство
$$
|f(y)-f(y^0)|=|f(y_1,\ldots,y_n)-f(y_1^0,\ldots,y_n^0)| < \varepsilon.\label{ref1}
$$
Так как при любом \(i\in{1,\ldots,n}\), функция \(\varphi_i(x)\) непрерывна в точке \(x^0\), то для числа \(\sigma\) найдется шар \(S_{\delta_i}(x^0)\) такой, что для всех \(x\in S_{\delta_i}(x^0)\) выполнено неравенство
$$
|\varphi_i(x)-\varphi_i(x^0)| < \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.\label{ref2}
$$
Пусть \(\delta\) есть наименьшее из чисел \(\delta_1,\ldots,\delta_n\). Тогда для любого \(x\in S_{\delta}(x^0)\) и для любого \(i\in{1,\ldots,n}\) выполнено неравенство \eqref{ref2}. Следовательно, для любого \(x\in S_{\delta}(x^0)\) выполняется неравенство
$$
\left(\overset n{\underset{i=1}{\sum(\varphi_i(x)-\varphi_i(x^0))^2}}\right)^{1/2} < \sigma,\label{ref3}
$$
которое означает, что точка \(\varphi_1(x),\ldots,\varphi_n(x)\) лежит в шаре \(S_{\sigma}(y^0)\). Но для любого \(y\in S_{\sigma}(y^0)\) определено значение функции \(f(y_1,\ldots,y_n)\). Значит, в \(S_{\delta}(x^0)\) определена сложная функция \(\Phi(x)=f(\varphi_1(x),\ldots,\varphi_n(x))\).
Покажем, что эта сложная функция непрерывна в точке \((x^0)\). При любом \(x\in S_{\delta}(x^0)\) подставим в неравенство \eqref{ref1} вместо \(y\in S_{\sigma}(y^0)\) точку \(\varphi_1(x),\ldots,\varphi_n(x)\). Получаем, что для любого \(x\in S_{\delta}(x^0)\) выполнено неравенство \(|\Phi(x)-\Phi(x^0)| < \varepsilon\), которое означает, что сложная функция \(\Phi(x)\) непрерывна в точке \(x^0\). \(\bullet\)
Свойства функций, непрерывных на компакте.
Функция \(f(x)\) называется непрерывной на множестве \(M\), если она непрерывна в каждой точке множества \(M\) по этому множеству, то есть если в каждой предельной точке множества \(x^0\) выполнено условие
$$
\lim_{x\rightarrow x^0,x\in M}f(x)=f(x^0).\label{ref4}
$$
Доказательства следующих двух теорем о свойствах функций, непрерывных на компакте в метрическом пространстве, практически не отличаются от соответствующих доказательств для функций одной переменной, непрерывных на отрезке.
Теорема 2.
(Теорема Вейерштрасса).
Функция \(f(x)\), непрерывная на компакте метрического пространства, ограничена на этом компакте.
Доказательство.
Доказательство практически идентично доказательству теореме Вейерштрасса для одной переменной.
Теорема 3.
(Теорема Вейерштрасса).
Функция \(f(x)\), непрерывная на компакте метрического пространства, принимает на этом компакте свои наибольшее и наименьшее значения.
Доказательство.
Аналог доказательства для функции одной переменной разобран нами ранее.
Равномерная непрерывность.
Введем фундаментальное понятие равномерной непрерывности функции на множестве.
Определение 4.
Говорят, что функция \(f(x)\) равномерно непрерывна на множестве \(G\) метрического пространства \(X\), если \(\forall\varepsilon > 0\ \exists\delta > 0\) такое, что для \(\forall x,\ x’\in G\) таких, что \(\rho(x,x’) < \delta\), выполнено неравенство
$$
|f(x)-f(x’)| < \varepsilon.\nonumber
$$
Функция, непрерывная на множестве, не обязательно будет равномерно непрерывной на этом множестве. Прежде чем приводить примеры, построим отрицание: функция \(f(x)\) не будет равномерно непрерывной на множестве \(G\), если \(\exists \varepsilon_0 > 0\) такое, что для любого \(\delta > 0\) существуют элементы \(x,\;x’\in G\) такие, что \(\rho(x,x’) < \delta\), но
$$
|f(x)-f(x’)|\geq 0.\nonumber
$$
Пример 2.
Покажем, что функция \(f(x)=x^2\) не является равномерно непрерывной на интервале \((0,+\infty)\).
Решение.
\(\triangle\) Пусть \(\varepsilon_0=1\). Для любого \(\delta > 0\) возьмем \(x_{\delta}=1/\delta,\;x’=1/\delta+\delta/2\). Тогда \(\rho(x_{\delta}’,x_{\delta})=|x_{\delta}’-x_{\delta}|=\delta/2 < \delta\), но
$$
|f(x_{\delta}’)-f(x_{\delta})=\\=(x_{\delta}’)^2-(x_{\delta})^2=(x_{\delta}’-x_{\delta})(x_{\delta}’+x_{\delta})=\frac{\delta}{2}\left(\frac{1}{\delta}+\frac{1}{\delta}+\frac{\delta}{2}\right)\geq 1.\quad \blacktriangle\nonumber
$$
Теорема 4.
(Теорема Кантора).
Функция \(f(x)\), непрерывная на компакте метрического пространства, равномерно непрерывна на этом компакте.
Доказательство.
\(\circ\) Пусть функция \(f(x)\) непрерывна на компакте \(M\), но не равномерно непрерывна на этом компакте. Тогда \(\exists \varepsilon_0 > 0\) такое, что \(\forall n\) найдутся точки \(x_n,\;x_n’\in M\) такие, что
$$
\rho(x_n,x_n’) < \frac{1}{n},\qquad |f(x_n’)-f(x_n)|\geq\varepsilon_0.\label{ref5}
$$
Так как \(M\) — компакт, то из последовательности \({x_n}\) можно выделить подпоследовательность \({x_{n_k}}\), сходящуюся к некоторой точке \(x^0\;\in M\).
Используя неравенство треугольника, получаем
$$
0\leq\rho(x_{n_k}’,x^0)\leq\rho(x_{n_k}’,x_{n_k})+\rho(x_{n_k},x^0)\;<\\<\;\frac{1}{n_k}+\rho(x_{n_k},x^0)\rightarrow 0,\qquad k\rightarrow 0,\nonumber
$$
следовательно,
$$
\lim_{k\rightarrow\infty}x_{n_k}’=x^0.\nonumber
$$
Но функция \(f(x)\) непрерывна в точке \(x^0\). Поэтому
$$
\lim_{k\rightarrow\infty}f(x_{n_k})=\lim_{k\rightarrow\infty}f(x_{n_k}’)=f(x^0).\nonumber
$$
Полагая теперь в \eqref{ref5} \(n=n_k\), получаем
$$
|f(x_{n_k}’)-f(x_{n_k})|\geq \varepsilon_0.\label{ref6}
$$
Переходя в неравенстве \eqref{ref6} к пределу, получаем
$$
0=|f(x^0)-f(x^0)|\geq\varepsilon_0 > 0.\nonumber
$$
Полученное противоречие доказывает, что функция \(f(x)\) должна быть равномерно непрерывной на множестве \(M\). \(\bullet\)
Пусть функция \(f(x)\) ограничена на множестве \(E\). Выражение
$$
\omega_f(\delta,E)=\sup_{x,x’\in E;\rho(x,x’) < \varepsilon}|f(x)-f(x’)|\label{ref7}
$$
называют модулем непрерывности функции \(f(x)\) на множестве \(E\). Очевидно, что модуль непрерывности возрастает при увеличении \(\delta\).
Теорема 5.
Функция \(f(x)\) равномерно непрерывна на множестве \(E\) в том и только том случае, когда
$$
\lim_{\delta\rightarrow +0}\omega_f(\delta,E)=0.\label{ref8}
$$
Доказательство.
(\circ\) Если функция \(f(x)\) равномерно непрерывна на множестве \(E\), то
$$
\forall\varepsilon > 0\;\exists\delta_{\varepsilon} > 0:\quad\forall x,x’\in E:\quad\rho(x,x’) < \delta_{\varepsilon}\rightarrow|f(x)-f(x’)| < \frac{\varepsilon}{2}.\label{ref9}
$$
Из \eqref{ref7} и \eqref{ref9} следует, что
$$
\omega_F(\delta_{\varepsilon},E)\leq\frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon.\nonumber
$$
Поскольку модуль непрерывности — возрастающая функция \(\delta\), то при \(0 < \delta < \delta_{\varepsilon}\) выполняется неравенство
$$
\omega)f(\delta,E) < \varepsilon\nonumber
$$
и, следовательно, справедливо равенство \eqref{ref8}.
Покажем, что из равенства \eqref{ref8} следует равномерная непрерывность функции \(f(x)\) на множестве \(E\). Из \eqref{ref8} следует, что
$$
\forall\varepsilon > 0\;\exists\delta_{\varepsilon} > 0:\quad\forall\delta < \delta_{\varepsilon}\rightarrow\omega_f(\delta,E) < \frac{\varepsilon}{2}.\label{ref10}
$$
Из \eqref{ref10} и \eqref{ref7} следует, что выполнено условие равномерной непрерывности \eqref{ref9}. \(\bullet\)
Промежуточные значения непрерывной функции.
Пусть функция \(f(x)\) непрерывна в области \(G\in R^n\) и принимает в этой области значения \(A\) и \(B\). Тогда функция \(f(x)\) принимает в области \(G\) все значения, заключенные между \(A\) и \(B\).
\(\circ\) По условию \(G\) — область, то есть открытое и связное множество. Пусть функция \(f(x)\) непрерывна в \(G\) и \(f(a)=A,\;f(b)=B,\;a,\;b\in G\).
Соединим \(a\) и \(b\) непрерывной кривой \(x=x(t),\;\alpha\leq t\leq \beta,\;x(\alpha)=a,\;x(\beta)=b\). Сложная функция \(f[x(t)]=\varphi(t)\) непрерывна на отрезке \([\alpha,\beta]\) и принимает на концах этого отрезка значения \(A\) и \(B\). Так как \(\varphi(t)\) есть непрерывная функция одной переменной, то в силу теоремы о промежуточных значениях для функции одной переменной она принимает на отрезке \([\alpha,\beta]\) все значения, заключенные между \(A\) и \(B\). Но множество значений функции \(\varphi(t)=f[x(t)]\) содержится в множестве значений функции \(f(x)\). Поэтому функция \(f(x)\) принимает все значения, заключенные между значениями \(A\) и \(B\). \(\bullet\)