Частные производные и дифференциалы высших порядков.

Содержание:

  1. Частные производные высших порядков.
  2. Теорема о смешанных производных.
  3. Дифференциалы высших порядков.

Частные производные высших порядков.

Пусть во всех точках открытого множества \(G\subset R^3\) существует частная производная \(\partial f(x)/\partial x_i\). Эта производная как функция х может иметь в некоторой точке \(x^0\) производную
$$
\frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)_{x=x^0},\nonumber
$$
которая называется частной производной второго порядка и обозначается одним из символов
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(x^0),\quad f_{x_i,x_j}(x^0),\quad D_{x_i,x_j}(x^0), \frac{\partial^2 f(x^0)}{\partial x_i \partial x_j}.\nonumber
$$
Если \(i=j\), то для частной производной применяется обозначение
$$
\frac{\partial^2 f(x^0)}{\partial x_i^2}.\nonumber
$$

Для функции двух переменных можно записать четыре производные второго порядка в точке \((x,y)\):
$$
\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2},\quad \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x \partial y},\quad \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y\partial x}, \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}.\nonumber
$$

Производные \(f_{xy}(x,y)\) и \(f_{yx}(x,y)\) называют смешанными. Вообще говоря, они могут быть неравны.

Пример 1.

Рассмотрим функцию
$$
f(x,y)=\left\{\begin{array}{lc}\displaystyle xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2},&x^2+y^2\;>\;0,\\0,&x=y=0.\end{array}\right.\nonumber
$$

Покажем, что \(f_{xy}(0,0)\neq f(yx)(0,0)\).

Решение.

\(\triangle\) Так как
$$
\begin{array}{c}f_x(0,0)=f_y(0,0)=0,\\\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+\frac{4x^2y^3}{(x^2+y^2)^2},\;при\;x^2+y^2\;>\;0\\\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=y\frac{\displaystyle x^2-y^2}{\displaystyle x^2+y^2}-\frac{\displaystyle4x^3y^2}{\displaystyle(x^2+y^2)^2},\;при\;x^2+y^2\;>\;0\end{array}\nonumber
$$
то
$$
\begin{array}{c}f_{yx}(0,0)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{f_y(x,0)-f_y(0,0)}x=1,\\f_{xy}(0,0)=\displaystyle\lim_{y\rightarrow0}\frac{f_x(0,y)-f_x(0,0)}y=-1.\end{array}\nonumber
$$
Таким образом, \(f_{xy}(0,0)\neq f_{yx}(0,0)\). \(\blacktriangle\)


Теорема о смешанных производных.

Теорема 1.

Если обе смешанные производные \(f_{xy}(x,y)\) и \(f_{yx}(x,y)\) определены в некоторой окрестности точки \((x_0,y_0)\) и непрерывны в этой точке, то \(f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)\).

Доказательство.

\(\circ\) Пусть смешанные производные определены в прямоугольнике \(\Pi=\{(x,y):\;|x-x_0|\;<\;\varepsilon,\;|y-y_0|\;<\;\eta\}\) и непрерывны в точке \((x_0,y_0)\). Рассмотрим в прямоугольнике \(\Pi\) функцию
$$
\omega(x,y)=f(x,y)-f(x_0,y)-f(x,y_0)+f(x_0,y_0).\nonumber
$$

При фиксированном \(y\in (y_0-\eta,y_0+\eta)\) рассмотрим на интервале \((x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)\) функцию
$$
\varphi(t)=f(t,y)-f(t,y_0).\nonumber
$$

Она дифференцируема на \((x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)\) и
$$
\varphi'(t)=f_x(t,y)-f_x(t,y_0).\nonumber
$$

Функцию \(\omega(x,y)\) можно записать в виде
$$
\omega(x,y)=\varphi(x)-\varphi(x_0).\nonumber
$$

Применяя формулу конечных приращений Лагранжа, получаем 
$$
\omega(x,y)=\varphi'(x+\Theta_1(x-x_0))(x-x_0)=\\=\Delta[f_x(x_0+\Theta_1\Delta x,y)-f_x(x_0+\Theta_1\Delta x,y_0)],\quad \Delta x=x-x_0,\quad 0\;<\Theta_1\;<\;1.\nonumber
$$

Применяя еще раз формулу конечных приращений Лагранжа, но уже по переменной \(y\), получаем
$$
\omega(x,y)=\Delta x\Delta y f_{xy}(x_0+\Theta_1\Delta x, y_0\Theta_2\Delta y),\; \Delta y=y-y_0,\;    0\;<\Theta_2\;<\;1.\label{ref1}
$$

Положим теперь
$$
\psi(\tau)=f(x,\tau)-f(x_0,\tau),\quad \tau\in(y_0-\eta,y_0+\eta).\nonumber
$$
Тогда
$$
\omega(x,y)=\psi(y)-\psi(y_0)=\frac{\partial\psi}{\partial\tau}(y_0+\Theta_3\Delta y)\Delta y=\\=\left[\frac{\partial f}{\partial y}(x,y_0+\Theta_3\Delta y)-\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0+\Theta_3\Delta y)\right]\Delta y=\\=\Delta x\Delta yf_{xy}(x_0+\Theta_4\Delta x,y_0+\Theta_3\Delta y),\quad 0\;<\;\Theta_3,\quad\Theta_4\;<\;1.\label{ref2}
$$
Из \eqref{ref1} и \eqref{ref2} следует, что
$$
f_{xy}(x_0+\Theta_1\Delta x,y_0+\Theta_2\Delta y)=f_{yx}(x_0+\Theta_4\Delta x,y_0+\Theta_3\Delta y).\nonumber
$$

Переходя к пределу при \((\Delta x,\Delta y)\rightarrow (0,0)\) и пользуясь непрерывностью смешанных производных в точке \((x_0,y_0)\) получаем равенство \(f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)\). \(\bullet\)


Замечание 1.
Поскольку для функции \(n\) переменных \(f(x_1,\ldots,x_n)\) при вычислении смешанных производных \(\partial^2 f/\partial x_i \partial x_j\) и \(\partial^2 f/\partial x_j \partial x_i\) все переменные, кроме \(x_i\) и \(x_j\), фиксируются, то фактически рассматривается функция только двух переменных и обе смешанные производные в точке \(x^0\) равны, если они в этой точке непрерывны.

Производные порядка выше первого определяются по индукции. Например, если \(f(x,y,z)\) — функция трех переменных, то
$$
\frac{\partial^3(x,y,z)}{\partial x \partial y \partial z}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial^2 f(x,y,z)}{\partial y \partial z}\right).\nonumber
$$

Если \(f(x)\) — функция \(n\) переменных, то
$$
\frac{\partial^mf}{\partial x_{i_1}...\partial x_{i_m}}=\frac\partial{\partial x_{i_m}}\left(\frac{\partial^{m-1}f}{\partial x_{i_1}...\partial x_{i_{m-1}}}\right).\label{ref3}
$$

По индукции легко доказать, что если производная \eqref{ref3} и все производные порядка \(m\), которые получаются при помощи всевозможных перестановок индексов \(i_1,i_2,\ldots,i_m\), определены в окрестности точки \(x^0\) и непрерывны в точке \(x^0\), то все эти производные равны в точке \(x^0\). Если вспомнить, что транспозицией называется такая перестановка, которая переставляет два соседних элемента, а все остальные оставляет на своих местах, то легко понять, что две производные \(m\)-го порядка, полученные при помощи транспозиции индексов, будут равны по теореме 1 о смешанной производной. В курсе алгебры доказывается, что все перестановки можно упорядочить таким образом, что каждая последующая перестановка получается из предыдущей при помощи транспозиции. Упорядочивая таким же образом и все производные \(m\)-го порядка, получающиеся перестановкой индексов, заключаем, что все они равны.


Дифференциалы высших порядков.

Пусть функция \(u(x)\) имеет в области \(G\subset R^n\) непрерывные частные производные первого и второго порядков. Тогда дифференциал
$$
du(x)=\sum_{i=1}^n\frac{\partial u}{\partial x_i}(x)dx_i,\qquad x\in G,\nonumber
$$  
 
есть функция \(2n\) переменных, а именно \(x_1,...,x_n\) и \(dx_1,...,dx_n\).
Если фиксировать переменные \(dx_1,...,dx_n\), то дифференциал \(du(x)\) будет функцией \(x\), имеющей в области \(G\) непрерывные частные производные. \(du(x)\) как функция \(x\) имеет в каждой точке \(x\in G\) дифференциал \(d(du)\). Если приращения независимых переменных обозначить через \(\delta x_1,...,\delta x_n\), то 
$$
d(du(x))=\sum_{k=1}^n\frac\partial{\partial x_k}(du(x))\delta x_k=\sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2u(x)}{\partial x_k\partial x_i}dx_i\delta x_k.\label{ref4}
$$
 
Выражение \(d(du(x))\) есть билинейная форма относительно приращений \(dx_1,\delta x_1,...,dx_n,\delta x_n\). Полагая в этой билинейной форме \(dx_1=\delta x_1,...,dx_n=\delta x_n\), получаем квадратичную форму, которая называется вторым дифференциалом функции \(u(x)\) в точке \(x\) и обозначается через \(d^2u(x)\). Таким образом, 
$$
d^2u(x)=\sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2u(x)}{\partial x_i\partial x_k}dx_i d x_k.\label{ref5}
$$
 
Аналогично, предполагая, что все частные производные третьего порядка непрерывны, можно вычислить первый дифференциал от \(d^2u(x)\), после чего положить \(\delta x_i=dx_i\) и полученную однородную форму третьего порядка назвать третьим дифференциалом функции \(u(x)\). Третий дифференциал обозначается через \(d^3u(x)\). Таким образом,
$$
d^3u(x)=\sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{\partial^3u(x)}{\partial x_i\partial x_j\partial x_k}dx_i\;d\;x_j\;dx_k.\nonumber
$$

По индукции определяется дифференциал \(m\)-го порядка в предположении, что все частные производные \(m\)-го порядка непрерывны в точке \(x\). Если дифференциал \(d^{m-1}u(x)\) вычислен как однородная форма порядка \(m-1\) относительно \(dx_1,...,dx_n\) с коэффициентами, являющимися функциями \(x\), то, вычисляя первый дифференциал от \(d^{m-1}u(x)\) и полагая затем \(\delta x_i=dx_i\) при \(i=\overline{1,n}\), получим, что \(d^{m}u(x)\) есть однородная форма порядка \(m\), т. е.
$$
d^{m}u(x)=\sum_{i_1=1}^n\ldots\sum_{i_m=1}^n\frac{\partial^{m}u(x)}{\partial x_{i_1}\ldots\partial x_{i_m}}dx_{i_1}\ldots dx{i_m}.\nonumber
$$

Покажем, что дифференциал второго порядка уже не обладает свойством инвариантности относительно замены переменных. Пусть \(f(x)=f(x_1,\ldots,x_n),\;x_i=\varphi_i(u),\;u\in R^m\), функции \(f(x)\) и \(\varphi(u)\) имеют все непрерывные частные производные до второго порядка включительно и сложная функция \(f(\varphi(u),\ldots,\varphi(u))\) определена в некоторой окрестности точки \(u\). Тогда в силу инвариантности формы первого дифференциала получаем равенство
$$
df(x(u))=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)dx_i(u).\nonumber
$$

Пользуясь правилом нахождения дифференциала произведения и суммы, получаем
$$
d^2f(x(u))=\sum_{i=1}^nd\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}(x(u))dx_i(u)\right)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{\partial^2f(x(u))}{\partial x_i\partial x_j}dx_idx_j+\sum_{i=1}^n\frac{\partial f(x(u))}{\partial x_i}d^2x_i.\label{ref6}
$$
Формула (\eqref{ref6} отличается от формулы \eqref{ref5} наличием суммы
$$
\sum_{i=1}^n\frac{\partial f(x)}{\partial x_i}d^2x_i.\nonumber
$$
которая обращается в нуль, если \(x_1,\ldots,x_n\) — независимые переменные.

Замечание 2.
Если замена переменных линейная, то \(d^2x_i=0,\;i=\overline{1,n}\). Таким образом, второй дифференциал \(d^2f(x)\) инвариантен относительно линейной замены переменных. То же самое справедливо и для дифференциалов всех порядков. 

Если функция \(u(x,y)\) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно, то, воспользовавшись теоремой о равенстве смешанных производных, получаем
$$
d^2u(x,y)=\frac{\partial^2u(x,y)}{\partial x^2}dx^2+\frac{\partial^2u(x,y)}{\partial x\partial y}dx\;dy+\frac{\partial^2u(x,y)}{\partial y\partial x}dy\;dx+\frac{\partial^2u(x,y)}{\partial y^2}dy^2=\\=u_{xx}dx^2+2u_{xy}dx\;dy+u_{yy}dy^2.\label{ref7}
$$

Замечание 3.

Если ввести формально дифференциальный оператор
$$
d=\sum_{i=1}^{n}dx_i\frac{\partial}{\partial x_i},\label{ref8}
$$
то выражения для дифференциалов можно записать в удобной символической форме:
$$
\begin{array}{c}d^2u(x)=(d^2)u(x)=\displaystyle\left(\sum_{i=1}^ndx_i\frac\partial{\partial x_i}\right)^2u(x),\\d^mu(x)=(d^m)u(x)=\displaystyle\left(\sum_{i=1}^{n}dx_i\frac\partial{\partial x_i}\right)^mu(x).\end{array}\nonumber
$$

Под произведением дифференциальных операторов понимается их последовательное применение. Например, если \(D_i=\partial/\partial x_i\), то
$$
(D_iD_j)u=D_i(D_ju)=\frac\partial{\partial x_i}\left(\frac{\partial u}{\partial x_j}\right)=\frac{\partial^2u}{\partial x_j\partial x_i},\quad D_iD_j=\frac{\partial^2}{\partial x_j\partial x_i}.\label{ref9}
$$

При перемножении дифференциальных операторов вида \eqref{ref8} нужно пользоваться правилом \eqref{ref9}. При этом дифференциалы независимых переменных \(dx_1,...,dx_n\) перемножаются как вещественные числа.