Пространство \(R^{n}\)

Содержание:

  1. Метрическое пространство.
  2. Метрическое пространство \(R^{n}\).
  3. Сходимость последовательности точек в метрическом пространстве.
  4. Открытые и замкнутые множества в метрическом пространстве.
  5. Предельные точки. Замкнутые множества.
  6. Компакт в метрическом пространстве.
  7. Граница множества.

Метрическое пространство.

Будем множество \(X\) называть метрическим пространством, если каждой паре элементов \(x\) и \(y\) этого множества поставлено в соответствие неотрицательное число \(p(x,y)\), называемое расстоянием между элементами \(x\) и \(y\), такое, что для любых элементов \(x, y, z\) множества \(X\) выполнены следующие условия:

  1. \(\rho(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y\)
  2. \(\rho(x,y) = \rho(y,x)\);
  3. \(\rho(x,y) \leq \rho(x,z) + \rho(z,y)\) (неравенство треугольника).

Элементы метрического пространства будем называть точками, функцию \(\rho(x,y)\), определенную на множестве пар точек метрического пространства \(X\), \(\rho\) — метрикой, а условия 1)-3)аксиомами метрики.

Например, определяя расстояние между вещественными числами \(\alpha\) и \(\beta\) при помощи формулы \(\rho(\alpha,\beta)=|\beta - \alpha|\), получаем метрическое пространство, которое обозначается через \(R\).

Рассмотрим множество пар вещественных чисел \(x = (x_{1},x_{2})\). Если \(x = (x_{1},x_{2})\), а \(y = (y_{1},y_{2})\), то полагая
$$
\rho(x,y) = ((x_{1} - y_{2})^{2} + (x_{2} - y_{2})^{2})^{1/2}\nonumber
$$
получаем метрическое пространство, которое обозначается через \(R^{2}\). Для проверки аксиом 1)-3) воспользуемся тем, что между множеством точек евклидовой плоскости и множеством пар вещественных чисел можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором евклидово расстояние между точками плоскости совпадает с введенным выше расстоянием между соответствующими этим точкам парами вещественных чисел (декартовыми координатами точек). При такой геометрической интерпретации пространства \(R^{2}\) доказательство неравенства треугольника следует из того, что длина любой стороны треугольника не превышает суммы длин двух других его сторон.

На одном и том же множестве можно различными способами определять расстояние между элементами и получать тем самым различные метрические пространства. На множестве пар вещественных чисел можно расстояние между точками определить также и следующим образом:
$$
\tilde{\rho}(x,y) = \max (|x_{1} - y_{1}|,|x_{2} - y_{2}|).\label{ref1}
$$

Аксиомы метрики 1) и 2), очевидно, выполняются. Проверим неравенство треугольника.

\(\circ\) Из \eqref{ref1} следует, что
$$
|x_{1}-y_{1}| \leq \tilde\rho(x,y),\qquad |x_{2}-y_{2}| \leq \tilde{\rho}(x,y),\nonumber
$$
а поэтому
$$
|x_{i}-y_{i}|\leq |x_{i}-z_{i}|+|z_{i}-y_{i}|\leq \tilde{\rho}(x,z)+\tilde{\rho}(z,y),\qquad i=1,2.\nonumber
$$
Следовательно,
$$
\tilde{\rho}(x,y) = \max(|x_{1} - y_{1}|, |x_{2} - y_{2}|) \leq \tilde{\rho}(x,z) + \tilde{\rho}(z,y).\quad\bullet\nonumber
$$ 

Если рассмотреть множество всевозможных упорядоченных троек вещественных чисел \(x = (x_{1}, x_{2}, x_{3})\) и для \(x = (x_{1}, x_{2}, x_{3})\) и \(y = (y_{1}, y_{2}, y_{3})\) определить расстояние \(\rho(x,y)\) при помощи формулы
$$
\rho(x,y) = ((x_{1} - y_{1})^{2} + (x_{2} - y_{2})^{2} + (x_{3} - y_{3})^{2})^{1/2},\nonumber
$$        
то получим метрическое пространство \(R^{3}\).

Если в евклидовом пространстве выбрать декартову прямоугольную систему координат, то между этим пространством и пространством \(R^{3}\) устанавливается взаимно однозначное соответствие, при котором расстояние между любыми двумя точками евклидового пространства совпадает с расстоянием между соответствующими им точками пространства \(R^{3}\). Проверка аксиом метрики проводится так же, как и в \(R^{2}\).


Метрическое пространство \(R^{n}\).

Точками пространства \(R^{n}\) являются упорядоченные совокупности из \(n\) вещественных чисел
$$
x = (x_{1}, \ldots, x_{n}),\quad y=(y_{1}, \ldots, y_{n}),\quad z = (z_{1}, \ldots, z_{n}).\nonumber
$$
Расстояние между точками \(x\) и \(y\) определяется формулой
$$
\rho(x,y) = \left(\sum_{i=1}^{n}(x_{i} - y_{i})^{2}\right)^{1/2}.\label{ref2}
$$

Свойства 1) и 2) расстояния, очевидно, выполняются. Сложнее проверить, что справедливо неравенство треугольника.

Докажем сначала неравенство Коши
$$
\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2} \leq \sum_{i=1}^{n}a_i^{2}\sum_{i=1}^{n}b_i^{2},\nonumber
$$
справедливое для любых вещественных чисел \(a_{1}, b_{1},\dots, a_{n}, b_{n}\).

\(\circ\) Рассмотрим квадратный трехчлен
$$
P(\xi) = \sum_{i=1}^{n}(a_{i} + \xi b_{i})^{2} = A + 2B\xi + C \xi^{2},\label{ref3}
$$

где \(A = \displaystyle\sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}a^{2}_{i}\), \(B = \displaystyle \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}a_{i}b_{i}\), \(C = \displaystyle\sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}b^{2}_{i}\).
    
Так как квадратный трехчлен \(P(\xi)\) принимает только неотрицательные значения, то его дискриминант неположителен, а именно, \(B^{2} - AC \leq 0\). Подставляя в неравенство значения коэффициентов \(A\), \(B\) и \(C\), получаем неравенство Коши. \(\bullet\)
    
Докажем неравенство Минковского
$$
\left(\sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}(a_{i} + b_{i})^{2}\right)^{1/2} \leq \left(\sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}a^{2}_{i}\right)^{1/2} + \left(\sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}b^{2}_{i}\right)^{1/2}.\label{ref4}
$$
    
\(\circ\) Используя неравенство Коши, получаем
$$
\sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}(a_{i} + b_{i})^{2} = \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}a^{2}_{i} + 2 \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}a_{i}b_{i} + \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}b^{2}_{i} \leq\\\leq
\sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}a^{2}_{i} + 2 \left(\sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}a^{2}_{i}\right)^{\frac{1}{2}} \left(\sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}b^{2}_{i}\right)^{\frac{1}{2}} + \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}b^{2}_{i} =\\=
\left(\left(\sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}a^{2}_{i}\right)^{\frac{1}{2}} + \left(\sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}b^{2}_{i}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{2}.\nonumber
$$
Извлекая из обеих частей этого неравенства квадратные корни, получаем неравенство Минковского \eqref{ref4}. \(\bullet\)
    
Полагая в неравенстве \eqref{ref4} \(a_{i} = x_{i} - z_{i},\;b_{i} = z_{i} - y_{i}\), получаем неравенство
$$
\left(\sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}(x_{i} - y_{i})^{2}\right)^{1/2} \leq \left(\sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}(x_{i} - z_{i})^{2}\right)^{1/2} + \left(\sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}(z_{i} - y_{i})^{2}\right)^{1/2},\nonumber
$$    
т. е. неравенство треугольника для расстояния \(\rho(x,y)\), определяемого формулой \eqref{ref2}.

На множестве всех упорядоченных совокупностей из \(n\) вещественных чисел расстояние между элементами можно определить и другими способами. Например, можно положить
$$
\tilde{\rho}(x,y) = \max_{\substack{i=\overline{1, n}}}|x_{i} - y_{i}|,\qquad \hat{\rho}(x,y) = \sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}|x_{i} - y_{i}|.\nonumber
$$
Неравенство треугольника в этих случаях проверяется так же, как в случае \(n = 2\). Расстояние, определяемое формулой \eqref{ref2}, будем называть евклидовым.

В этой главе, посвященной функциям многих переменных, используется только метрическое пространство \(R^{n}\). Но те свойства пространства \(R^{n}\), при доказательстве которых существенны лишь свойства расстояния, будут справедливы и для произвольного метрического пространства. Поэтому в некоторых случаях доказательства будут проводиться для произвольного метрического пространства.


Сходимость последовательности точек в метрическом пространстве.

Пусть \(\{x^{(k)}\}\) — последовательность точек метрического пространства \(X\). Говорят, что последовательность точек \(\{x^{(k)}\}\) сходится к точке \(a\) (имеет предел \(a\)) и пишут \(\displaystyle\lim_{k\longrightarrow\infty}x^{(k)} = a\), если
\(\displaystyle\lim_{\substack{k\longrightarrow\infty}}\rho(x^{(k)}, a) = 0\). Последовательность точек \(\{x^{(k)}\}\) называется ограниченной, если \(\exists C \in R\) и \(\exists a \in X\) такие, что для любого \(k \in \mathbb{N}\) выполнено неравенство \(\rho(x^{(k)},a) \leq C\).

Докажем несколько простых свойств сходящихся последовательностей.


Лемма 1.

Если последовательность \(\{x^{(k)}\}\) имеет предел, то она ограничена.

\(\circ\) Пусть \(\displaystyle\lim_{\substack{k\rightarrow\infty}}x^{(k)} = a\), тогда \(\displaystyle\lim_{\substack{k\rightarrow\infty}}\rho(x^{(k)}, a) = 0\). Поэтому числовая последовательность \(\{\rho(x^{(k)}, a)\}\) ограничена, т. е. \(\exists C \in R\) такое, что для любого \(k \in \mathbb{N}\) выполнено неравенство \(\rho(x^{(k)}, a) \leq C\). \(\bullet\)


Лемма 2.

Последовательность \(\{x^{(k)}\}\)    не может сходиться к двум различным точкам.

\(\circ\) Пусть \(\displaystyle\lim_{\substack{k\rightarrow\infty}}x^{(k)} = a\) и \(\displaystyle\lim_{\substack{k\rightarrow\infty}}x^{(k)} = b\). В силу неравенства треугольника для любого \(k \in \mathbb{N}\) выполнено неравенство
$$
0 \leq \rho(a, b) \leq \rho(a, x^{(k)}) + \rho(x^{(k)}, b).\nonumber
$$
Так как числовые последовательности \(\rho(a, x^{(k)})\) и \(\rho(x^{(k)}, b)\) бесконечно малые, то \(\rho(a, b) = 0\). Поэтому \(a = b\). \(\bullet\)


Лемма 3.

Для того чтобы последовательность точек \(\{x^{(k)}\}\) метрического пространства \(R^{n}\), где \(x^{(k)} = (x_{1}^{(k)}, \ldots, x_{n}^{(k)})\), сходилась к
пределу \(a = (a_{1}, \ldots, a_{n})\), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства
$$
\lim_{\substack{k\longrightarrow\infty}}x_{i}^{(k)} = a_{i},\quad i = \overline{1, n}.\nonumber
$$

\(\circ\) Пусть \(\displaystyle\lim_{\substack{k\rightarrow\infty}}x_{i}^{(k)} = a\). Так как \(\displaystyle\lim_{\substack{k\rightarrow\infty}}\rho(x^{(k)}, a) = 0\), то при \(i = \overline{1, n}\) получаем
$$
0 \leq |x_{i}^{(k)} - a_{i}| \leq \left(\sum_{\substack{j=1} }^{\substack{n}}(x_{j}^{(k)} - a_{j})^{2}\right)^{1/2} = \rho(x^{(k)}, a) \rightarrow 0,\quad при\; k \rightarrow 0.\nonumber
$$

Наоборот, если при любом \(i = \overline{1, n}\) выполнено условие \(\displaystyle\lim_{\substack{k\rightarrow\infty}}|x_{i}^{(k)} - a_{i}| = 0\), то
$$    
\rho(x^{(k)}, a) = \left(\sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}(x_{i}^{(k)} - a_{i})^{2}\right)^{1/2} \rightarrow 0,\quad при\;  k \rightarrow \infty.\quad\bullet\nonumber
$$


Последовательность точек \(\{x^{(k)}\}\) метрического пространства \(X\) называется фундаментальной, если \(\forall \varepsilon\;>\;0\;\exists N \in \mathbb{N}\) такое, что \(\forall k \geq N\) и \(\forall m \geq N\) выполнено неравенство \(\rho(x^{(k)}, x^{(m)})\;<\;\varepsilon\).

Лемма 4.

Если последовательность точек \(\{x^{(k)}\}\) метрического пространства \(X\) сходится, то она фундаментальна.

\(\circ\) Пусть \(\displaystyle\lim_{k\rightarrow\infty}x^{(k)} = a\). Тогда \(\forall \varepsilon\;>\;0\;\exists N \in \mathbb{N}\) такое, что \(\forall k \geq N\) и \(\forall m \geq N\) выполнены неравенства \(\rho(x^{(k)}, a)\;<\;\displaystyle\frac{\varepsilon}{2}\) и \(\rho(x^{(m)}, a)\;<\;\displaystyle\frac{\varepsilon}{2}\). Поэтому \(\forall k \geqslant N\) и \(\forall m \geqslant N\) в силу неравенства треугольника
$$
\rho(x^{(k)}, x^{(m)}) \leq \rho(x^{(k)}, a) + \rho(a, x^{(m)})\;<\; \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.\quad\bullet\nonumber
$$


Обратное утверждение для произвольного метрического пространства неверно. Фундаментальная последовательность может и не быть сходящейся.

Метрическое пространство \(X\) называется полным, если любая фундаментальная последовательность его точек сходится.

В силу критерия Коши сходимости числовой последовательности пространство \(R\) вещественных чисел полное.


Теорема 1.

Пространство \(R^{n}\) полное.

Доказательство.

\(\circ\) Пусть \(\{x^{(k)}\}\) — фундаментальная последовательность точек в \(R^{n}\). Если
$$
x^{(k)} = (x_{1}^{(k)}, \ldots, x_{n}^{(k)}),\nonumber
$$
то числовые последовательности \(\{x_{i}^{(k)}\}\) фундаментальны при \(i = \overline{1, n}\). В самом деле, \(\forall \varepsilon\;>\;0\) \(\exists N\) такое, что для любых \(k, m \geq N\) выполнено неравенство \(\rho(x^{(k)}, x^{(m)})\;<\;\varepsilon\). Но
$$
|x_{i}^{(k)} - x_{i}^{(m)}| \leq \rho(x^{(k)}, x^{(m)})\;<\;\varepsilon,\quad i = \overline{1, n}.\nonumber
$$
Числовая последовательность \(\{x_{i}^{(k)}\}\) в силу критерия Коши является сходящейся при \(i = \overline{1, n}\). По лемме 3 сходится и последовательность точек \(\{x^{(k)}\}\) в \(R^{n}\). \(\bullet\)


Открытые и замкнутые множества в метрическом пространстве.

Шар радиуса \(r\) с центром в точке \(a\) определяется как множество \(S_{r}(a) = \{x:\;x \in X,\; \rho(x, a)\;<\;r\}\).

Шар в \(R\) есть интервал \((a - r, a + r)\), шар в \(R^{2}\) — круг \((x_{1} - a_{1})^{2} + (x_{2} - a_{2})^{2}\;<\;r^{2}\), шар в \(R^{n}\) — множество
$$
S_{r}(a) = \left\{x:\;x = (x_{1}, \ldots, x_{n}) \in R^{n},\quad\sum_{\substack{i=1} }^{\substack{n}}(x_{i} - a_{i})^{2}\;<\;r^{2}\right\}.\nonumber
$$

Пусть \(M\) есть множество точек в метрическом пространстве \(X\). Точка \(x^{0} \in M\) называется внутренней точкой множества \(M\), если \(\exists S_{\varepsilon}(x^{0}) \subset M\), т. е. точка \(x\) принадлежит множеству \(M\) вместе с некоторым шаром с центром в точке \(x\). Совокупность всех внутренних точек множества \(M\) называется его внутренностью и обозначается int \(M\). Очевидно, что int \(M\subset M\). Если int \(M=M\), т. е. все точки множества \(M\) внутренние, то множество \(M\) называется открытым в метрическом пространстве \(X\). Пустое множество считается открытым по определению.


Пример 1.

Шар в метрическом пространстве — открытое множество.

Решение.

\(\triangle\) Действительно, пусть
$$
S_{C}(a) = \{x:\;\rho(x, a)\;<\;C\},\nonumber
$$
и пусть точка \(\overline{x} \in S_{C}(a),\;\rho(\overline{x}, a)\;<\;C\). Положим \(\varepsilon = C - \rho(\overline{x}, a)\). Шар \(S_{\varepsilon}(\overline{x}) \subset S_{C}(a)\) (рис. 23.1). В самом деле, если \(x \in S_{\varepsilon}(\overline{x})\), то \(\rho(x, \overline{x})\;<\;\varepsilon\). В силу неравенства треугольника получаем
$$
\rho(x, a) \leq \rho(x, \overline{x}) + \rho(\overline{x}, a)\;<\;\varepsilon + \rho(\overline{x}, a) = C - \rho(\overline{x}, a) + \rho(\overline{x}, a) = C.\nonumber
$$
Следовательно, \(x \in S_{C}(a)\). Так как \(x\) — произвольная точка шара \(S_{\varepsilon}(\overline{x})\), то \(S_{\varepsilon}(\overline{x}) \subset S_{C}(a)\).
    
Итак, любая точка \(\overline{x}\) шара \(S_{C}(a)\) принадлежит ему вместе с некоторым шаром \(S_{\varepsilon}(\overline{x})\). Поэтому \(S_{C}(a)\) есть открытое множество. \(\blacktriangle\)

Рис. 23.1
Рис. 23.1

Теорема 2.

Открытые множества в метрическом пространстве обладают следующими свойствами:
    
1)    все пространство \(X\) и пустое множество \(\varnothing\) — открытые множества;
    
2)    объединение любого множества открытых множеств — открытое множество;
    
3)    пересечение конечного числа открытых множеств — открытое множество.

Доказательство.

\(\circ\) Свойство 1) очевидно. Докажем свойство 2). Пусть \(G = \displaystyle\bigcup_{\substack{\alpha \in \Lambda} }G_{\alpha}\), где \(G_{\alpha}\) — открытые множества. Пусть точка \(a \in G\). Тогда существует \(\overline{\alpha} \in \Lambda\) такое, что \(a \in G_{\overline{\alpha}}\). Но множество \(G_{\overline{\alpha}}\) открытое. Поэтому существует шар \(S_{\varepsilon}(a) \subset G_{\overline{\alpha}}\). Тем более, \(S_{\varepsilon}(a) \subset G\). Итак, \(a\) — внутренняя точка множества \(G\). В силу произвольности точки \(a\) множество \(G\) открытое.

Докажем 3). Пусть \(G = \displaystyle\bigcap_{\substack{\alpha \in \Lambda} }^{n}G_{i}\), где \(G_{i}\) — открытые множества. Возьмем любую точку \(a \in G\). Тогда \(a \in G_{i}\) при \(i = \overline{1, n}\). Так как множества \(G_{i}\) открытые, то существуют шары \(S_{\varepsilon_{i}}(a) \subset G_{i}\). Пусть \(\varepsilon = \displaystyle\min_{\substack{i-\overline{1, n}}}\varepsilon_{i}\). Тогда \(S_{\varepsilon}(a) \subset G_{i}\), \(i = \overline{1, n}\). Поэтому
$$
S_{\varepsilon}(a) \subset \bigcap_{\substack{\alpha \in \Lambda} }^{n}G_{i} = G,\nonumber
$$
и, следовательно, \(G\) есть открытое множество. \(\bullet\)


Предельные точки. Замкнутые множества.

Пусть \(X\) - метрическое пространство. Окрестностью точки \(x^{0}\in X\) будем называть любое множество \(O(x^{0})\), для которого точка \(x^{0}\) является внутренней. Например, шар \(S_{\varepsilon}(x^{0})\) является окрестностью (шаровой) точки \(x^{0}\).

Точка \(x^{0}\) называется предельной точкой множества \(M \subset X\), если в любой окрестности точки \(x^{0}\) есть точки множества \(M\), отличные от точки \(x^{0}\). Предельная точка множества \(M\) может принадлежать множеству \(M\), а может и не принадлежать. Например, все точки интервала \((a, b)\) будут его предельными точками. Концы интервала \(a\) и \(b\) — тоже его предельные точки, но концы не принадлежат интервалу.

Точка множества \(M\), не являющаяся предельной точкой множества \(M\), называется изолированной точкой множества \(M\). Если \(x^{0}\) есть изолированная точка множества \(M\), то существует такая окрестность \(O(x^{0})\), в которой нет точек множества \(M\), отличных от точки \(x^{0}\). Каждая точка множества \(M\) является или предельной точкой множества \(M\), или изолированной точкой множества \(M\).

Множество \(M \subset X\) называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Например, отрезок [\(a, b\)] замкнут в \(R\), а интервал \((a, b)\) не является замкнутым множеством в \(R\).

Множество, которое получается, если присоединить к множеству \(M\) все его предельные точки, называется замыканием \(M\) и обозначается \(\overline{M}\).


Теорема 3.

Для того чтобы множество \(F\) в метрическом пространстве \(X\) было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение \(X \setminus F\) было открытым.

Доказательство.

\(\circ\) Необходимость. Пусть множество \(F \subset X\) содержит все свои предельные точки. Докажем, что его дополнение \(G = X \setminus F\) есть открытое множество. Если это не так, то существует точка \(a \in G\), не являющаяся внутренней точкой множества \(G\). Тогда в любой окрестности \(O(a)\) точки \(a\) есть точки, не принадлежащие \(G\), т. е. принадлежащие множеству \(F\). Поэтому \(a\) есть предельная точка множества \(F\). Так как \(F\) замкнуто, то \(a \in F\). С другой стороны, \(a \in G = X \setminus F\) и, следовательно, \(a \notin F\). Полученное противоречие доказывает, что все точки \(G = X \setminus F\) внутренние, т. е. \(G\) — открытое множество.

Достаточность. Пусть теперь \(X \setminus F = G\) — открытое множество. Покажем, что \(F\) замкнуто. Пусть \(a\) — предельная точка \(F\). Предположим, что \(a \notin F\). Тогда \(a \in G\), а так как \(G\) — открытое множество, то найдется окрестность \(O(a) \subset G\). Но тогда \(O(a) \bigcap F = \varnothing\), следовательно, \(a\) не может быть предельной точкой множества \(F\). Поэтому множество \(F\) содержит все свои предельные точки, т. е. \(F\) замкнуто. \(\bullet\)


Теорема 4.

Замкнутые множества обладают следующими свойствами:

1)    все пространство \(X\) и пустое множество \(\varnothing\) замкнуты;

2)    пересечение любого множества замкнутых множеств замкнуто;

3)    объединение конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.

Доказательство.

\(\circ\) Свойство 1) очевидно, так как \(X\) и \(\varnothing\) являются друг для друга дополнениями и открыты.

Докажем 2). Пусть \(F = \displaystyle\bigcap_{\substack{\alpha \in \Lambda} }F_{\alpha}\), где \(F_{\alpha}\) — замкнутые множества.

В силу закона двойственности (легко проверяемого)
$$
X \setminus F = \bigcup_{\substack{\alpha \in \Lambda} }(X \setminus F_{\alpha}).\nonumber
$$
Однако в силу теоремы 3 множества \(X \setminus F_{\alpha}\) открыты как дополнения замкнутых множеств. Их объединение \(X \setminus F\) есть открытое множество. В силу той же теоремы 3 множество \(F\) замкнуто. Столь же просто доказывается и свойство 3). \(\bullet\)


Компакт в метрическом пространстве.

Множество \(M\) в метрическом пространстве \(X\) называется компактом в \(X\), если из любой последовательности точек \(x_{n} \in M\) можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке, принадлежащей множеству \(M\). Например, отрезок \([a, b]\) есть компакт в \(R\), а промежуток \([a, b)\) не является компактом в \(R\).

На пространство \(R^{n}\) обобщается теорема Больцано-Вейерштрасса.


Теорема 5.

Из любой ограниченной последовательности точек пространства \(R^{n}\) можно выделить сходящуюся подпоследовательность точек.

Доказательство.

\(\circ\) Ограничимся случаем пространства \(R^{2}\). В общем случае доказательство аналогично. Пусть \(x^{(k)} = (x_{1}^{(k)}, x_{2}^{(k)})\) - произвольная ограниченная последовательность точек пространства \(R^{2}\). Числовая последовательность \(\{x_{1}^{(k)}\}\) ограничена. В силу теоремы Больцано Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность \(\{x_{1}^{(k_{m})}\}\). Тогда у последовательности точек \(x^{(k_{m})}\) последовательность первых координат сходится, а последовательность вторых координат ограничена. Применим еще раз теорему Больцано-Вейерштрасса и выделим из ограниченной числовой последовательности \(\{x_{2}^{(k_{m})}\}\) сходящуюся подпоследовательность \(\{x_{2}^{(k_{m_{l}})}\}\). У последовательности точек \(\{x^{(k_{m_{l}})}\}\) сходится и последовательность первых координат, и последовательность вторых координат. В силу леммы 3 подпоследовательность точек \(\{x^{(k_{m_{l}})}\}\) сходится в \(R^{2}\). \(\bullet\)


Следствие. Для того чтобы множество \(M \subset R^{n}\) было компактом, необходимо и достаточно, чтобы множество \(M\) было ограниченным и замкнутым.

\(\circ\) Докажем достаточность. Пусть множество \(M\) ограничено и замкнуто в пространстве \(R^{n}\). Возьмем произвольную последовательность точек \(\{x^{(k)}\} \in M \). Так как эта последовательность ограничена, то из нее можно выделить подпоследовательность \(\{x^{(k_{m})}\}\), сходящуюся к точке \(a\). В силу замкнутости множества \(M\) точка \(a \in M\). \(\bullet\)


Справедлива следующая лемма, доказательство которой не приводится.

Лемма (Гейне-Бореля). Для того чтобы множество \(M\) в метрическом пространстве \(X\) было компактом, необходимо и достаточно, чтобы из любого его открытого покрытия можно было выделить конечное подпокрытие.

Поясним понятие покрытия, участвующего в формулировке леммы Гейне-Бореля. Система множеств \(\{{G_{\alpha},\;\alpha \in \Lambda}\}\) называется покрытием множества \(G\), если \(G \subset \displaystyle\bigcup_{\substack{\alpha \in \Lambda}}G_{\alpha}\). Покрытие называется конечным, если множество \(\Lambda\) конечно, и открытым, если все множества \(G_{\alpha}\) открыты. Подмножество покрытия называется подпокрытием, если это подмножество само образует покрытие.


Граница множества.

Точка \(a\) метрического пространства \(X\) называется граничной точкой множества \(M \subset X\), если в любой окрестности точки \(a\) есть как точки, принадлежащие множеству \(M\), так и точки, не принадлежащие множеству \(M\).

Граничная точка \(a\) множества М может не принадлежать множеству \(M\).

Совокупность всех граничных точек множества \(M\) называется границей множества \(М\) и обозначается \(\partial M\). Например,
$$
\partial (a, b) = \{a, b\},\;\partial [a, b] = \{a, b\},\;a, b \in R;\nonumber
$$
$$
\partial\{x: \rho(x, a)\;<\;\varepsilon,\;x \in R^{n}\} = \{x:\;\rho(x, a) = \varepsilon,\; x \in R^{n}\}.\nonumber
$$

Прямые, лучи и отрезки в \(R^{n}\).

До сих пор рассматривались только такие объекты в \(R^{n}\), при исследовании которых используются лишь свойства расстояния. Такая метрическая геометрия не очень содержательна. В ней есть точки, шары, но нет прямых, векторов, плоскостей и т. д.

В этой главе ограничимся тем, что введем в \(R^{n}\) такие не связанные с метрикой объекты, как прямые, лучи и отрезки.

Прямой в \(R^{n}\), проходящей через точки \(a = (a_{1}, \ldots. a_{n})\) и \(b = (b_{1}, \ldots. b_{n})\), будем называть следующее множество точек:
$$
\{x:\;x \in R^{n},\;x_{i} = a_{i}t + b_{i}(1 - t),\;t \in R,\;i = \overline{1, n}\}.\nonumber
$$
Лучом с вершиной в точке \(a\) в направлении \(l = (l_{1}, \ldots. l_{n})\), где \(l_{1}^{2} + \ldots + l_{n}^{2} = 1\), назовем множество
$$
\{x:\;x \in R^{n},\;x_{i} = a_{i} + tl_{i},\;0 \leq t \leq + \infty,\;i = \overline{1, n}\}.\nonumber
$$
Отрезком, соединяющим точки \(a\) и \(b\), назовем множество
$$
\{x:\;x \in R^{n},\;x_{i} = a_{i}t + b_{i}(1 - t),\;0 \leq t \leq 1,\;i = \overline{1, n}\}.\nonumber
$$
Множество в \(R^{n}\) будем называть выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит отрезок, который эти точки соединяет.

Кривая в \(R^{3}\) была определена нами ранее в другой статье. Это определение без существенных изменений переносится на \(R^{n}\) . Кривая в \(R^{n}\) задается параметрическими уравнениями
$$
x_{i} = \varphi_{i}(t),\;\alpha \leq t \leq \beta,\;i = \overline{1, n},\nonumber
$$
где \(\varphi_{i}(t)\) — непрерывные функции на отрезке \([\alpha, \beta]\).

Множество \(M \subset R^{n}\) называется связным, если любые две его точки можно соединить кривой \(\Gamma\), лежащей в множестве \(M\). Открытое и связное множество в \(R^{n}\) называют областью. Замыкание области называют замкнутой областью.

Кривая в \(R^{n}\), являющаяся объединением конечного числа отрезков, называется ломаной в \(R^{n}\).