Комплексные числа.

Содержание:

  1. Определение комплексного числа.
  2. Свойства операций.
  3. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
  4. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
  5. Извлечение корня.
  6. Комплекснозначные функции действительного переменного.

Известно, что квадратное уравнение с вещественными коэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет вещественных корней. В частности, уравнение
$$
z^2+1=0\nonumber
$$
не имеет корней на множестве \(R\). Возникает потребность расширить множество \(R\) так, чтобы на более широком множестве было разрешимо квадратное уравнение с любыми вещественными коэффициентами.

Определение комплексного числа.

Комплексными числами называют пары \((x,y)\) вещественных (действительных) чисел \(x\) и \(y\), для которых следующим образом определены понятие равенства и операции сложения и умножения.
Обозначим комплексное число \((x,y)\) буквой \(z\), т. е. положим \(z=(x,y)\). Пусть \(z_1=(x_1,y_1),\;z_2=(x_2,y_2)\). Два комплексных числа \(z_1\) и \(z_2\) считаются равными тогда и только тогда, когда \(x_1=x_2\) и \(y_1=y_2\), т.е.
$$
\{(x_1,y_1) = (x_2,y_2)\}\Leftrightarrow \{x_1=x_2\}\ \wedge\ \{y_1 = y_2\}.\nonumber
$$

Сумма и произведение комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\) обозначаются соответственно \(z_1+z_2\) и \(z_1z_2\) и определяются формулами
$$
z_1+z_2=(x_1+x_2,y_1+y_2),\label{ref1}
$$
$$
z_1z_2=(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+x_2y_1).\label{ref2}
$$

Из формул \eqref{ref1} и \eqref{ref2} следуют соотношения
$$
(x_1,0) + (x_2,0) = (x_1+x_2,0),\qquad    (x_1,0)(x_2,0) = (x_1x_2,0),\nonumber
$$
которые показывают, что операции над комплексными числами вида \((x, 0)\) совпадают с операциями над действительными числами. Поэтому комплексное число вида \((x, 0)\) отождествляют с действительным числом \(x\), т. е. полагают \((x,0) = x\).

Среди комплексных чисел особую роль играет число \((0,1)\), которое называют мнимой единицей и обозначают \(i\), т. е.
$$
i = (0,1).\nonumber
$$
Вычислив произведение \(i\) на \(i\) по формуле \eqref{ref2}, получим
$$
i\cdot i = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1,\nonumber
$$
т. е. \(i^2 = -1\). Используя формулы \eqref{ref1}, \eqref{ref2}, находим
$$
i\cdot y = (0,1)(y,0) = (0,y),\qquad (x,y) = (x, 0) + (0,y) = x + iy.\nonumber
$$

Следовательно, любое комплексное число \(z= (x,y)\) можно записать в виде \(x + iy\), т.е.
$$
z = x + iy.\label{ref3}
$$

Запись комплексного числа \(z = (x,y)\) в виде \eqref{ref3} называют алгебраической формой комплексного числа.

В записи \eqref{ref3} число \(x\) называют действительной частью комплексного числа и обозначают \(Re\ z\), а число \(y\) — мнимой частью и обозначают \(Im\ z\), т.е.
$$
Re\ z = x,\quad Im\ z = y. \nonumber
$$

Если \(x= 0\), т. е. \(z = iy\), то такое комплексное число называют чисто мнимым.

Здесь и всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, в записи \(x+iy\) числа \(x\) и \(y\) считаются действительными (вещественными).

Число \(\displaystyle\sqrt{x^2+y^2}\) обозначают \(|z|\) и называют модулем комплексного числа \(z\), т. е.
$$
|z|=|x + iy|=\sqrt{x^2+y^2}.\label{ref4}
$$
Заметим, что \(|z|\geq 0\) и \(\{|z| = 0\}\Leftrightarrow \{z=0\}\).

Комплексное число \(x - iy\) называют сопряженным комплексному числу \(z = x + iy\) и обозначают \(\overline{z}\) т.е.
$$
\overline{z} = \overline{x+iy}= x - iy.\label{ref5}
$$
Из равенств \eqref{ref4} и \eqref{ref5} следует, что
$$
|z| = |\overline{z}|,\qquad    z\overline{z}=|z|^2,\label{ref6}
$$
так как \(z\overline{z}=(x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2\).


Свойства операций.

Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами:

а) коммутативности, т.е.
$$
z_1+z_2=z_2+z_1,\qquad z_1z_2=z_2z_1;\nonumber
$$
б) ассоциативности, т.е.
$$
(z_1+z_2)+z_3= z_1 + (z_2+z_3),\qquad (z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3);\nonumber
$$
в) дистрибутивности, т.е.
$$
z_1(z_2 + z_3) = z_1z_2+z_1z_3.\nonumber
$$

Эти свойства вытекают из определения операций сложения и умножения комплексных чисел и свойств операций для вещественных чисел.

Из этих свойств следует, что сложение и умножение комплексных чисел можно выполнять по правилам действий с многочленами, заменяя \(i\) на \(-1\). Например, равенство \eqref{ref2} можно получить так:
$$
z_1z_2=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=\\=x_1 x_2+i x_1 y_2+ix_2 y_1+i^2 y_1 y_2=x_1x_2-y_1y_2+i(x_1 y_2+x_2 y_1).\nonumber
$$
Множество комплексных чисел обозначают буквой \(\mathbb{C}\). Числа \(0= 0 + 0\cdot i\) и \(1 = 1 + 0\cdot i\) на множестве \(\mathbb{C}\) обладают такими же свойствами, какие они имеют на множестве \(\mathbb{R}\), а именно: для любого \(z \in \mathbb{C}\) справедливы равенства
$$
z+ 0 = z,\qquad z\cdot 1 = z.\nonumber
$$
На множестве \(\mathbb{C}\) вычитание вводится как операция, обратная сложению. Для любых комплексных чисел \(z_1=_1+iy_1\) и \(z_2 = x_2 + iy_2\) существует, и притом только одно, число \(z\) такое, что
$$
z+z_2=z_1.\label{ref7}
$$
Это число называют разностью чисел \(z_1\) и \(z_2\) и обозначают \(z_1-z_2\). В частности, разность \(0 -z\) обозначают \(-z\).

Из уравнения \eqref{ref7} в силу правила равенства и определения суммы комплексных чисел следует, что
$$
z_1-z_2=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2).\nonumber
$$

Деление на множестве \(\mathbb{C}\) вводится как операция, обратная умножению, а частным от деления комплексного числа \(z_1=_1+iy_1\) на число \(z_2 = x_2 + iy_2\) называют такое число \(z\), которое удовлетворяет уравнению
$$
zz_2=z_1\label{ref8}
$$
и обозначается \(z_1:z_2\) или \(\displaystyle \frac{z_1}{z_2}\).

Докажем, что уравнение \eqref{ref8} для любых комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\), где \(z_2\neq 0\), имеет единственный корень.

\(\circ\) Умножая обе части уравнения \eqref{ref8} на \(\overline{z}_2\), получим в силу равенства \eqref{ref6} уравнение
$$
z|z_2|^2 = z_1\overline{z}_2,\label{ref9}
$$
которое равносильно уравнению \eqref{ref8}, так как \(\overline{z}_2\neq 0\).

Умножая обе части \eqref{ref9} на \(\displaystyle\frac{1}{|z_2|^2}\), получаем \(z=\displaystyle\frac{z_1\overline{z}_2}{|z_2|^2}\), т.е.
$$
\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\overline{z}_2}{|z_2|^2},\nonumber
$$
или
$$
\frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=\frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{x_2^2+y_2^2}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+i\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}.\ \bullet\nonumber
$$

Эту формулу можно не запоминать — важно знать, что она получается умножением числителя и знаменателя на число, сопряженное со знаменателем.

Пример 1.

Найти частное \(\displaystyle \frac{z_1}{z_2}\), если \(z_1=5-2i,\ z_2=3 + 4i\).

Решение.

$$
\triangle\ \frac{z_1}{z_2}=\frac{(5-2i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}=\frac{15-26i+8i^2}{25}=\frac7{25}-\frac{26}{25}i.\ \blacktriangle\nonumber
$$


Геометрическая интерпретация комплексного числа.

а) Комплексная плоскость. Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число \(z=x+iy\) изображается точкой плоскости с координатами \((x,y)\), и эта точка обозначается той же буквой \(z\).

Такое соответствие между множеством \(\mathbb{C}\) и точками плоскости является взаимно однозначным: каждому числу \(z\in\mathbb{C}\) соответствует одна точка плоскости с координатами \((x,y)\), и наоборот, каждой точке плоскости с координатами \((x,y)\) соответствует одно комплексное число \(z=x+iy\). Поэтому слова “комплексное число” и “точка плоскости” часто употребляются как синонимы.

При этом действительные числа, т. е. числа вида \(x+0\cdot i\), изображаются точками оси абсцисс, а чисто мнимые числа, т.е. числа вида \(iy = 0 + iy\) — точками оси ординат. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью, а ось ординат — мнимой осью. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют комплексной плоскостью.

Рис. 31.1
Рис. 31.1

На рис. 31.1 изображены точки \(z,\ -z,\ \overline{z},\ -\overline{z}\). Отметим, что точки \(z\) и \(-z\) симметричны относительно точки \(O\), а точки \(z\) и \(\overline{z}\) симметричны относительно действительной оси.

б) Геометрический смысл модуля комплексного числа. Комплексное число \(z=x+iy\) можно изображать вектором с началом в точке \(O\) и концом в точке \(z\). Этот вектор будем обозначать той же буквой \(z\). Из рис. 31.1 или из формулы \eqref{ref4} видно, что длина вектора \(z\) равна \(|z|\) и справедливы неравенства \(|x|\leq |z|,\ |y|\leq |z|\), т.е.
$$
|Re\ z|\leq |z|,\quad |Im\ z|\leq |z|.\nonumber
$$

Рис. 31.2
Рис. 31.2
Рис. 31.3
Рис. 31.3

С помощью векторной интерпретации наглядно иллюстрируются сумма и разность комплексных чисел. Число \(z_1+z_2\) изображается вектором, построенным по правилу сложения векторов \(z_1\) и \(z_2\), а вектор \(z_1-z_2\) можно построить как сумму векторов \(z_1\) и \(-z_2\). Из рис. 31.2 видно, что расстояние между точками \(z_1\) и \(z_2\) равно длине вектора \(z_1-z_2\), т.е. равно \(|z_1-z_2|\). Это же утверждение следует из равенства
$$
|z_1-z_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.\nonumber
$$
Итак, \(|z_1-z_2|\) — расстояние между точками \(z_1\) и \(z_2\).


Пример 2.

Дать геометрическое описание множества всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:

а) \(|z-z_0| = R,\ R\;>\;0\);

б) \(1\;<\;|z- 1|\;<\;2\);

в)    \(|z - i| = |z + i|\).

Решение.

\(\triangle\) а) Условию \(z - z_0=R\), где \(R\;>\;0\), \(z_0\) — заданное комплексное число, удовлетворяют все точки, расстояние от которых до точки \(z_0\) равно \(R\), т. е. точки, лежащие на окружности радиуса \(R\) с центром в точке \(z_0\).

б) Условию \(|z - 1|\;<\;2\) удовлетворяют все точки, лежащие внутри круга радиуса 2 с центром в точке \(z = 1\), а условию \(|z - 1|\;>\;1\) — точки, лежащие вне круга радиуса 1 с центром в точке \(z = 1\).

Оба эти условия выполняются для точек, лежащих между окружностями  \(|z - 1| = 1\) и  \(|z - 1| = 2\) (рис. 31.3).

в) Условию \(|z - i = |z + i|\) удовлетворяют те и только те точки, которые равноудалены от точек \(i\) и \(-i\), т. е. все точки действительной оси. \(\blacktriangle\)


Покажем, что для любых комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\) справедливы неравенства
$$
||z_1|-|z_2||\leq |z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|.\label{ref10}
$$

\(\circ\) Рассмотрим треугольник с вершинами \(0,\ z_1\) и \(z_1+z_2\) (рис. 31.2). Длины его сторон равны \(|z_1|,\ |z_2|\) и \(|z_1+z_2|\). Поэтому неравенства \eqref{ref10} выражают известные из геометрии свойства длин сторон треугольника. \(\bullet\)


Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

Пусть \(r\) и \(\varphi\) — полярные координаты точки \(z = x + iy\) комплексной плоскости (рис. 31.4); тогда
$$
x= r\cos\varphi,\quad y=r\sin\varphi,\label{ref11}
$$
где \(r=\displaystyle\sqrt{x^2+y^2}=|z|,\ \varphi\) — угол между действительной осью и вектором \(z\), отсчитываемый от положительного направления действительной оси. Если отсчет ведется против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по часовой стрелке — отрицательной. Этот угол называют аргументом комплексного числа \(z\ (z\neq  0)\) и обозначают \(\operatorname{arg}z\):. Для числа \(z = 0\) аргумент не определяется, поэтому в дальнейшем при использовании понятия аргумента предполагается, что \(z\neq 0\).

Рис. 31.4
Рис. 31.4

Из равенств \eqref{ref11} следует, что любое комплексное число \(z = x + iy\), где \(z\neq 0\), представляется в виде
$$
z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi).\label{ref12}
$$

Запись комплексного числа \(z\neq 0\) в виде \eqref{ref12} называют тригонометрической формой комплексного числа.

Из формул \eqref{ref11} находим
$$
\cos\varphi=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\qquad \sin\varphi=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.\label{ref13}
$$

Решив систему \eqref{ref13}, найдем аргумент комплексного числа \(z\neq 0\). Эта система имеет бесконечно много решений вида \(\varphi= \varphi_0+2k\pi\), где \(k\in \mathbb{Z}\), \(\varphi_0\) — одно из решений системы \eqref{ref13}, т.е. аргумент комплексного числа определяется неоднозначно.

Для нахождения аргумента обычно пользуются не формулами \eqref{ref13}, а формулой
$$
\operatorname{tg}\varphi=\frac{y}{x},\label{ref14}
$$
получаемой почленным делением второго из равенств \eqref{ref13} на первое. Следует иметь в виду, что не все значения \(\varphi\), удовлетворяющие уравнению \eqref{ref14}, являются аргументами числа \(z\).


Пример 3.

Найти все аргументы числа \(-1+i\sqrt{3}\) и записать это число в тригонометрической форме.

Решение.

\(\triangle\) Комплексное число лежит во второй четверти, поэтому в качестве одного из решений уравнения \(\operatorname{tg}\varphi = -\sqrt{3}\) можно взять \(\varphi_0=\displaystyle\frac{2\pi}{3}\), а все значения аргумента данного комплексного числа определяются формулой
$$
\varphi= \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.\nonumber
$$

Так как \(|-1+i\sqrt{3}|=2\), то
$$
-1+i\sqrt{3}=2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right).\quad \blacktriangle
$$


Если \(|z|=1,\ \varphi=\operatorname{arg}z\), то из формулы \eqref{ref12} получаем \(z=\cos\varphi+i\sin\varphi\). Комплексное число \(\cos\varphi+i\sin\varphi\) обозначают символом \(e^{i\varphi}\), т.е. для любого \(\varphi\in\mathbb{R}\) функция \(e^{i\varphi}\) определяется формулой Эйлера
$$
e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi.\label{ref15}
$$

Равенство \eqref{ref15} находит свое обоснование в теории рядов.

Из формулы \eqref{ref15} следует, что \(e^{2\pi i}=1,\ e^{\pi i}=-1,\ e^{\pi i/2}=i,\ e^{-\pi i/2}=-i\) (рис. 31.5) и \(|e^{i\varphi}|=1\) для любого \(\varphi\in\mathbb{R}\).

Рис. 31.5
Рис. 31.5

Заменяя в равенстве \eqref{ref15} \(\varphi\) на \(-\varphi\), получаем
$$
e^{-i\varphi}=\cos\varphi-i\sin\varphi,\label{ref16}
$$
а из равенств \eqref{ref15} и \eqref{ref16} следует, что
$$
\cos\varphi=\frac{1}{2}(e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}),\qquad \sin\varphi=\frac{1}{2i}(e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}).\label{ref17}
$$
Отметим, что
$$
e^{i\varphi_1}e^{i\varphi_2}=e^{i(\varphi_1+\varphi_2)},\qquad \frac{e^{i\varphi_1}}{e^{i\varphi_2}}=e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}.\label{ref18}
$$

Для доказательства формул \eqref{ref18} следует воспользоваться формулами \eqref{ref15} и \eqref{ref2}, а также формулами синуса и косинуса суммы (разности) углов. С помощью индукции из \eqref{ref18} можно получить формулу Муавра
$$
e^{in\varphi}=(\cos\varphi+i\sin\varphi)^n=\cos n\varphi+i\sin n\varphi,\qquad n\in \mathbb{N}.\nonumber
$$

Используя формулы \eqref{ref12} и \eqref{ref15}, запишем комплексное число \(z\neq 0\) в показательной форме
$$
z = re^{i\varpi},\quad r=|r|,\quad \varphi=\operatorname{arg}z.\label{ref19}
$$

С помощью равенств \eqref{ref18} можно получить формулы для произведения и частного комплексных чисел: если \(z_1=r_1 e^{i\varphi_1},\ z_2=r_2 e^{i\varphi_2}\), то
$$
z_1z_2=r_1r_2e^{i(\varphi_1+\varphi_2)},\label{ref20}
$$
$$
\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\varphi_1-\varphi_2)},\quad z_2\neq 0.\label{ref21}
$$

Из формулы \eqref{ref20} следует, что при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, т. е.
$$
\begin{array}{c}\vert z_1z_2\vert=\vert z_1\vert\cdot\vert z_2\vert,\\\varphi_1+\varphi_2=arg(z_1+z_2),\end{array}\nonumber
$$
если \(\varphi_1=\operatorname{arg}z_1,\ \varphi_2=\operatorname{arg}z_2\).

Аналогично из формулы \eqref{ref21} следует, что модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел, а разность аргументов делимого и делителя является аргументом частного, т.е.
$$
\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|},\qquad z_2\neq 0,\nonumber
$$
и
$$
\varphi_1-\varphi_2=\operatorname{arg}\frac{z_1}{z_2},\nonumber
$$
если \(\varphi_1=\operatorname{arg}z_1,\ \varphi_2=\operatorname{arg}z_2\).


Пример 4.

Вычислить \(\displaystyle\frac{(1+i)^4}{(1-i\sqrt{3})^6}\).

Решение.

\(\triangle\) Так как
$$
1+i=\sqrt{2}e^{i\pi/4},\qquad 1-i\sqrt{3}=2e^{-i\pi/3},\nonumber
$$
то
$$
\frac{(1+i)^4}{(1-i\sqrt{3})^6}=\frac{(\sqrt{2})4 e^{i\pi}}{2^6 e^{-2\pi i}}=-\frac{1}{16}.\ \blacktriangle\nonumber
$$


Из геометрической интерпретации (рис. 31.4) следует правило равенства двух комплексных чисел в показательной форме: если \(z_1=r_1 e^{i\varphi_1}\) и \(z_2 = r_2 e^{i\varphi_2}\), то \(z_1=z_2\) тогда и только тогда, когда
$$
r_1=r_2,\qquad \varphi_1=\varphi_2+2k\pi,\quad k\in \mathbb{Z}.\nonumber
$$

Рассмотрим теперь некоторые важные свойства комплексно сопряженных чисел. Пусть \(z = re^{i\varphi} = r\cos\varphi + ir\sin\varphi\), тогда \(\overline{z} = r\cos\varphi - ir\sin\varphi = re^{-i\varphi}\), т.e. если \(\varphi = \operatorname{arg}z\), то \(-\varphi=\operatorname{arg}\overline{z}\). Отсюда и из равенств \eqref{ref20}, \eqref{ref21} следует, что
$$
\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\overline{z_2},\quad \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}},\quad \overline{(z^n)}=(\overline{z})^n,\quad n\in \mathbb{N},\nonumber
$$
а из определения комплексно сопряженного числа следует, что
$$
\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2},\quad \overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}.
$$


Извлечение корня.

Рассмотрим уравнение
$$
z^n=a,\label{ref22}
$$
где \(a\neq 0\) — комплексное число, \(n\) — натуральное число.

Если \(z=re^{i\varphi},\;a=\rho e^{i\theta}\), то уравнение \eqref{ref22} примет вид
$$
r^n e^{in\varphi}=\rho e^{i\theta},\nonumber
$$
откуда
$$
r^n=\rho,\quad n\varphi=\theta+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},\nonumber
$$
и поэтому
$$
r=\sqrt[n]{\rho},\qquad \varphi_k=\frac{1}{n}(\theta+2k\pi),\quad k\in \mathbb{Z},\label{ref23}
$$
т.е. числа
$$
z_k=\sqrt[n]{\rho}e^{i\varphi_k}\label{ref24}
$$
являются корнями уравнения \eqref{ref22} и других корней это уравнение не имеет.

Заметим, что числа \(z_0,\ z_1,\ ...,\ z_{n-1}\) различны, так как их аргументы \(\displaystyle\varphi_0=\frac{\theta}{n},\ \varphi_1=\frac{\theta}{n}+\frac{2\pi}{n},\ ...,\ \varphi_{n-1}=\frac{\theta}{n}+\frac{2\pi(n-1)}{n}\) различны и отличаются друг от друга меньше, чем на \(2\pi\). Далее, \(z_n = z_0\), так как \(|z_n| = |z_0|=\displaystyle\sqrt[n]{\rho}\) и \(\varphi_n=\varphi_0+2\pi\). Аналогично, \(z_{n+1} = z_1,\ z_{-1} = z_{n-1}\) и т. д.

Итак, при \(a\neq 0\) уравнение \eqref{ref22} имеет ровно \(n\) различных корней, определяемых формулами \eqref{ref23} и \eqref{ref24}, где \(k=0,1,...,n-1\).

На комплексной плоскости точки \(z_k\ (k=\overline{0,n-1})\) располагаются в вершинах правильного \(n\)-угольника, вписанного в окружность радиуса \(\displaystyle \sqrt[n]{\rho}\) с центром в точке 0.

Пример 5.

Найти все корни уравнения \(z^4 = 1 + i\).

Решение.

\(\triangle\) Корни \(z_k\ (k = \overline{0,3})\) этого уравнения определяются формулами \eqref{ref23} и \eqref{ref24}, где \(\displaystyle \rho=|1 + i| =\sqrt{2},\ \theta=\frac{\pi}{4}\), т.е.
$$
z_k=\sqrt[8]{2}e^{i\varphi_k},\nonumber
$$
где
$$
\varphi_k=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi k}{2},\quad k=0,1,2,3.\nonumber
$$

Рис. 31.6
Рис. 31.6

Точки \(z_k\) располагаются в вершинах квадрата (рис. 31.6). \(\blacktriangle\)


Комплекснозначные функции действительного переменного.

Если каждому значению \(t\in [\alpha,\beta]\) поставлено в соответствие комплексное число \(z=z(t)\), то говорят, что на отрезке \([\alpha,\beta]\) задана комплекснозначная функция действительного переменного.

Пусть \(\operatorname{Re}z(t) = x(t),\ \operatorname{Im}z(t) = y(t)\), тогда \(z(t) = x(t)+iy(t)\). Функцию \(z(t)\) можно рассматривать как вектор-функцию \(z(t)=(x(t),y(t))\). Определения предела, непрерывности, производной для комплекснозначной функции аналогичны соответствующим определениям для вектор-функции.

Например, производная функции \(z(t) = x(t) + iy(t)\) определяется формулой
$$
z'(t) = x'(t) + iy'(t).\label{ref25}
$$
Следовательно, производная \(z'(t)\) существует, если существуют производные \(x'(t)\) и \(y'(t)\).

Применяя формулу \eqref{ref25} к функции \(e^{it}=\cos t+i\sin t\), получаем \((e^{it})'=-\sin t+i\cos t=i^2\sin t + i\cos t = i(\cos t + i\sin t)\), т.е.
$$
(e^{it})'=i e^{it}.\label{ref26}
$$

Таким образом, формула для производной комплексной функции \(e^{it}\) имеет такой же вид, как и для функции \(e^{\alpha t}\), где \(\alpha\in\mathbb{R}\).

Определим теперь показательную функцию \(\displaystyle e^{(\alpha+i\beta)t}\), где \(\alpha,\beta\) — заданные действительные числа, \(t\) — действительное переменное. Функция \(f(t) = e^t\), где \(t\in\mathbb{R}\), удовлетворяет условию
$$
f(t_1)f(t_2) = f(t_1+t_2).\label{ref27}
$$

Аналогично функция \(e^{i\beta t}\), где \(\beta\in\mathbb{R}\), обладает свойством \eqref{ref27} в силу первого из равенств \eqref{ref18}.

Поэтому функцию    \(e^{(\alpha+i\beta)t}\) естественно определить так, чтобы для нее выполнялось условие \eqref{ref27}, т.е.
$$
e^{(\alpha+i\beta)t}=e^{\alpha t}e^{i\beta t}.\nonumber
$$

Используя формулу \eqref{ref15}, отсюда находим
$$
e^{(\alpha+i\beta)t} = e^{\alpha t} (\cos \beta t+i\sin\beta t).\label{ref28}
$$
Применяя к функции \(e^{\lambda t}\), где \(\lambda=\alpha+i\beta\), правило дифференцирования \eqref{ref25}, легко показать, что
$$
(e^{\lambda t})=\lambda e^{\lambda t},\quad \lambda=\alpha+i\beta.\label{ref29}
$$

По аналогии с производной неопределенный интеграл от комплекснозначной функции \(z(t)=x(t)+iy(t)\) определяется формулой
$$
\int z(t) dt = \int x(t) dt + i\int y(t) dt.\nonumber
$$

Если комплексная функция \(\omega(t) = \xi(t) + i\eta (t)\) такова, что \(\omega'(t)=z(t)\), то
$$
\int z(t)=\int \omega'(t)dt=\int \xi'(t)dt+i\int \eta'(t)dt = \xi(t) + C_1 + i\eta(t)+iC_2.\nonumber
$$
Следовательно,
$$
\int z(t) dt = \omega(t) + C,\quad C = C_1+iC_2.\nonumber
$$
Применяя это утверждение к функции \(e^{(\alpha+i\beta)t}\) и используя формулу \eqref{ref29}, получаем
$$
\int e^{(\alpha+i\beta)t}=\displaystyle \frac{e^{(\alpha+i\beta)t}}{\alpha+i\beta}+C_1+iC_2.\label{ref30}
$$

Выделяя в равенстве \eqref{ref30} действительные и мнимые части, находим
$$
\int e^{\alpha t}\cos\beta t dt + i\int e^{\alpha t}\sin\beta t dt = \frac{\alpha-i\beta}{\alpha^2+\beta^2}e^{\alpha t}(\cos\beta t+i\sin\beta t)+C_1+C_2,\nonumber
$$
откуда получаем
$$
\int e^{\alpha t}\cos\beta t dt=\frac{e^{\alpha t}}{\alpha^2+\beta^2}(\alpha\cos\beta t+\beta\sin\beta t)+C_1,\label{ref31}
$$
$$
\int e^{\alpha t}\sin\beta t dt=\frac{e^{\alpha t}}{\alpha^2+\beta^2}(\alpha\sin\beta t-\beta\cos\beta t)+C_2,\label{ref32}
$$

Заметим, что формула \eqref{ref31} была получена с помощью интегрирования по частям в решенном ранее примере.