Разложение рациональной функции на простые дроби.

Содержание:

  1. Разложение многочлена на множители.
  2. Теорема о разложении правильной рациональной дроби.

Разложение многочлена на множители.

а) Корни многочлена. Пусть задан многочлен \(n\)-й степени

$$
Q_{n}(x) = c_{n}x^{n} + c_{n - 1}x^{n - 1} + \ldots + c^{1}x + c_{0},\ c_{n} \neq 0.\label{ref1}
$$

Коэффициенты \(c_{n},c_{n - 1},\ldots,c^{1},c_{0}\) многочлена могут быть как действительными, так и комплексными числами, переменное \(x\) может принимать любые значения из множества \(R\) или \(C\).

Число \(a\) называют корнем многочлена \(Q_{n}(x)\), если \(Q_{n}(a) = 0\). Например, число \(x = 1\) — корень многочлена \(x^{3} - 3x^{2} + 2\), а число \(x = i\) — корень многочлена \(x^{2} + 1\).

Рассмотрим вопрос о делении многочлена \(Q_{n}(x)\) на двучлен \(x - a\). Разделить многочлен \(Q_{n}(x)\) на двучлен \(x - a\), где \(a\) — заданное число, означает по определению представить его в виде

$$
Q_{n}(x) = (x - 1)\tilde{Q}_{n - 1}(x) + r,\label{ref2}
$$

где \(\tilde{Q}_{n - 1}\) — многочлен степени \(n - 1\), \(n\) — некоторое число (его называют остатком от деления многочлена на \(x - a\)). Предполагается, что равенство \eqref{ref2} справедливо при всех значениях \(x \in R\) (или \(x \in C\)). Если \(r = 0\), то говорят, что многочлен делится без остатка (нацело) на \(x - a\).


Теорема 1 (Безу).

Число \(a\) является корнем многочлена \(Q_{n}(x)\) тогда и только тогда, когда этот многочлен делится без остатка на \(x - a\), т. е. справедливо равенство
    
$$
Q_{n}(x) = \tilde{Q}_{n - 1}(x)(x - a).\label{ref3}
$$

Доказательство.        

\(\circ\) Пусть \(x = a\) — корень многочлена \(Q_{n}(x)\), тогда \(Q_{n}(a) = 0\). С другой стороны, из равенства \eqref{ref3} при \(x = a\) получаем \(r = Q_{n}(a)\). Следовательно, \(r = 0\), т. е. многочлен \(Q_{n}(x)\) делится без остатка на \(x - a\), если \(a\) — корень этого многочлена.

Обратно, если многочлен делится без остатка на \(x - a\), т. е. справедливо равенство \eqref{ref3}, то из этого равенства следует, что \(Q_{n}(a) = 0\). Следовательно, \(x = a\) — корень многочлена \(Q_{n}(x)\). \(\bullet\)


Ведем понятие кратности корня. Число \(x = a\) называют корнем многочлена \(Q_{n}(x)\) кратности \(k\), если существуют число \(k \in N\) и многочлен \(Q_{n - k}^{*}(x)\) такие, что для всех \(x \in R\) (\(x \in C\)) выполняется равенство
        
$$
Q_{n}(x) = (x - a)^{k}Q_{n - k}^{*}(x),\label{ref4}
$$
где
$$
Q_{n - k}^{*}(a) \neq 0.\label{ref5}
$$


б) Многочлен с действительными коэффициентами. Рассмотрим многочлен второй степени (квадратный трехчлен) с действительными коэффициентами
$$        
Q(x) = x^{2} + px + q.\nonumber
$$        
Предположим, что его дискриминант отрицателен, т. е.
$$
D = p^{2} - 4q\;<\;0.\nonumber
$$
Тогда
$$
Q(x) = (x + \frac{p}{2})^{2} + q - \frac{p^{2}}{4} = (x + \frac{p}{2})^{2} - i^{2}(- \frac{D}{4}),\nonumber
$$
или
$$
Q(x) = (x + \frac{p}{2} - i\frac{\sqrt{-D}}{2})(x + \frac{p}{2} + i\frac{\sqrt{-D}}{2})\nonumber
$$
откуда следует, что корнями многочлена \(Q(x)\) являются комплексно сопряженные числа
$$
x_{1} = - \frac{p}{2} + i\sqrt{q - \frac{p^{2}}{4}},\ x_{2} = - \frac{p}{2} - i\sqrt{q - \frac{p^{2}}{4}}\nonumber
$$
и других корней этот многочлен не имеет. Это утверждение остается в силе и для многочлена любой степени \(n\) \(n \geqslant 2\) с действительными коэффициентами, т. е. справедлива следующая теорема.


Теорема 2.

Если число \(x_{0} = \gamma + i \delta\) — невещественный корень (\(\delta \neq 0\)) многочлена \(Q_{n}(x)\) с действительными коэффициентами, то число \(\bar{x} = \gamma - i \delta\) также является корнем этого многочлена.

Доказательство.

\(\circ\) По условию \(Q_{n}(x_{0} = 0)\), т. е.
$$
c_{n}x_{0}^{n} + c_{n - 1}x_{0}^{n - 1} + \ldots + c_{1}x_{0} + c_{0} = 0,\nonumber
$$
откуда следует, что \(\overline{Qn(x0)} = 0\), или
$$
\overline{c_{n}x_{0}^{n} + c_{n - 1}x_{0}^{n - 1} + \ldots + c_{1}x_{0} + c_{0}} = 0.\label{ref6}
$$
В силу свойств сопряженных чисел равенство \eqref{ref6} можно записать в виде        
$$
\overline{c}_{n}\overline{x_{0}^{n}} + \overline{c}_{n - 1}\overline{x_{0}^{n - 1}} + \ldots + \overline{c}_{1}\overline{x}_{0} + \overline{c}_{0} = 0\nonumber
$$
или
$$
c_{n}\overline{x}_{0}^{n} + c_{n - 1}\overline{x}_{0}^{n - 1} + \ldots + c_{1}\overline{x}_{0} + c_{0} = 0.\label{ref7}
$$
так как \(\overline{c}_{k} = c_{k}\) (по условию все коэффициенты многочлена \(Q_{n}(x)\) — действительные числа), \(k = \overline{0, n}\). Равенство \eqref{ref7} можно записать так:
$$
Q_{n}(\overline{x}_{0}) = 0.\nonumber
$$
Это означает, что \(\overline{x}_{0}\) — корень многочлена \(Q_{n}(x)\). \(\bullet\)


Теоремы 1 и 2 доказаны в предположении, что многочлен \(Q_{n}(x)\) имеет корень. Ответ на вопрос о существовании корня многочлена дает сформулированная ниже теорема 3.

в) Основная теорема алгебры.

Теорема 3.

Всякий многочлен степени \(n \geqslant 1\) с действительными или комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень.

Эта теорема, доказательство которой обычно приводится в курсе теории функций комплексного переменного, называется основной теоремой алгебры.

Пусть \(x_{1}\) — корень многочлена \(Q_{n}(x)\), степень которого равна \(n\). Тогда по теореме 1 этот многочлен представляется в виде
$$
Q_{n}(x) = (x - x_{1})\tilde{Q}_{n - 1}(x),\nonumber
$$
где \(\tilde{Q}_{n - 1}\) — многочлен степени \(n - 1\).

Применяя к многочлену \(\tilde{Q}_{n - 1}\) теоремы 1 и 3, находим \(Q_{n}(x) = (x - x_{1})(x - x_{2})\tilde{Q}_{n - 2}(x)\).
    
С помощью индукции получим следующий результат:
$$
Q_{n}(x) = c_{n}(x - x_{1})(x - x_{2}) \ldots (x - x_{n}).\label{ref8}
$$

Здесь \(c_{n}\) — коэффициент при \(x^{n}\) многочлена \(Q_{n}(x)\); \(x_{1},\ldots,x_{n}\) — его корни, среди этих корней могут быть равные.

г) Разложение многочлена с действительными коэффициентами на множители. Если \(x = a\) — действительный корень кратности \(k\) многочлена степени \(n\) с действительными коэффициентами \(Q_{n}(x)\), то выполняется равенство \eqref{ref4}, где \(Q_{n - k}^{*}(x)\) — многочлен степени \(n - k\) с действительными коэффициентами, для которого число \(x = a\) не является его корнем.

Пусть \(x_{0} = \gamma + i \delta\) — невещественный корень (\(\delta \neq 0\)) многочлена \(Q_{n}(x)\); тогда число \(x_{0} = \gamma - i \delta\) также является корнем этого многочлена (теорема 2), и поэтому правая часть \eqref{ref8} содержит множители (\(x - x_{o}\)) и (\(x - \overline{x}_{0}\)), произведение которых равно

$$
(x - x_{o})(x - \overline{x}_{0}) = (x - \gamma - i \delta)(x - \gamma + i \delta) = (x - \gamma)^{2} + \delta^{2} = x^{2} + px + q,\nonumber
$$
где \(p = -2\gamma,\ q = \gamma^{2} + \delta^{2},\ p^{2} - 4q = -4\delta^{2} < 0\). Таким образом, многочлен \(Q_{n}(x)\) в этом случае делится без остатка на квадратный трехчлен \(x^{2} + px + q\), коэффициенты которого являются действительными числами, а дискриминант трехчлена отрицателен, т.е. \(p^{2} - 4q < 0\). Это означает, что существует такой многочлен \(\tilde{Q}_{n - 2}(x)\) с действительными коэффициентами, что
$$
Q_{n}(x) = (x^{2} + px + q)\tilde{Q}_{n - 2}(x).\nonumber
$$
Если число \(x_{0} = \gamma + i \delta\), где \(\delta \neq 0\), является корнем многочлена \(Q_{n}(x)\) кратности \(s\), то число \(\overline{x}_{0}\) также будет корнем этого многочлена кратности \(s\), и поэтому многочлен \(Q_{n}(x)\) можно представить в виде
$$    
Q_{n}(x) = (x - x_{0})_{s}(x - \overline{x}_{0})^{s}\tilde{Q}_{n - 2s}(x),\nonumber
$$    
или
$$
Q_{n}(x) = (x^{2} + px + q)^{s}\tilde{Q}_{n - 2s}(x).\label{ref9}
$$
где \(p\), \(q\) — действительные числа, \(p^{2} - 4q\;<\;0\), a \(\tilde{Q}_{n - 2s}(x)\) — многочлен степени \(n - 2s\) с действительными коэффициентами, для которого числа \(x_{0}\) и \(\overline{x}_{0}\) не являются его корнями, т. е.
$$
\tilde{Q}_{n - 2s}(x_{0}) \neq 0,\ \tilde{Q}_{n - 2s}(\overline{x}_{0}) \neq 0.\label{ref10}
$$
Пусть \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}\) — все действительные корни многочлена \(Q_{n}(x)\), а их кратности соответственно равны \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{k}\). Тогда равенство \eqref{ref8} можно записать в виде
$$                
Q_{n}(x) = (x - a_{1})^{\alpha_{1}}\ldots(x - a_{k})^{\alpha_{k}}R(x),\nonumber
$$                
где \(R(x)\) — многочлен степени \(t = n - \displaystyle \sum_{\substack{m=1} }^{\substack{k}}\alpha_{m}\) с действительными коэффициентами, не имеющий действительных корней.

Если \(R(x)\) — многочлен ненулевой степени, то каждой паре комплексно сопряженных корней \(x_{j}\) и \(\overline{x}_{j}\) кратности \(\beta_{j}\) многочлена \(Q_{n}(x)\) соответствует множитель \((x^{2} + p_{j}x + q_{j})^{\beta_{j}}\) в формуле \eqref{ref8}, где \(p_{j}^{2} - 4q_{j}\;<\;0\). Поэтому
$$
Q_{n}(x) = c_{n}(x - a_{1})^{\alpha_{1}}\ldots(x - a_{k})^{\alpha_{k}}(x^{2} + p_{1}x + q_{1})^{\beta_{1}}\ldots(x^{2} + p_{s}x + q_{s})^{\beta_{s}},\label{ref11}
$$
где \(\displaystyle \sum_{\substack{m=1} }^{\substack{k}}\alpha_{m} + 2 \sum_{\substack{j=1} }^{\substack{s}}\beta_{j} = n\).

Таким образом, зная все действительные и невещественные корни многочлена с действительными коэффициентами \(Q_{n}(x)\) можно этот многочлен разложить на множители, т. е. представить в виде \eqref{ref11}, где числа \(c_{n}, a_{1},\ldots, a_{k}, p_{1},\ldots,p_{s}, q_{1},\ldots,q_{s}\) являются действительными.


Теорема о разложении правильной рациональной дроби.

Рассмотрим рациональную функцию (рациональную дробь), т. е. функцию вида \(f(x) = \frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}\), где \(P_{m}(x)\) и \(Q_{n}(x)\) - многочлены степеней \(m\) и \(n\) соответственно. В случае когда \(m\;<\;n\), эту дробь называют правильной. Будем предполагать, что коэффициенты многочленов \(P_{m}\) и \(Q_{n}\) являются действительными числами.

Лемма 1. Если \(\displaystyle\frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}\) — правильная рациональная дробь и \(x = a\) — действительный корень многочлена \(Q_{n}(x)\) кратности \(k \geq 1\),то существуют действительное число \(A\) и многочлен \(P(x)\) с действительными коэффициентами такие, что
$$
\frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)} = \frac{A}{(x - a)^{k}} + \frac{P(x)}{(x - a)^{k-1}Q_{n-k}^{*}(x)},\label{ref12}
$$
где \(Q_{n-k}^{*}(x)\) — частное от деления \(Q_{n}(x)\) на \((x - a)^{k}\).
Второе слагаемое в правой части равенства \eqref{ref12} — правильная дробь, число \(A\) и многочлен \(P(x)\) определяются однозначно.

Доказательство.

\(\circ\) Найдем такое число \(A\), чтобы многочлен
$$
\varphi (x) = P_{m}(x) - AQ_{n-k}^{*}(x),\label{ref13}
$$
делился без остатка на \(x - a\). В формулах \eqref{ref12} и \eqref{ref13} \(Q_{n-k}^{*}\) — частное от деления \(Q_{n}(x)\) на \(x - a^{k}\), т. е. многочлен, определяемый равенством \eqref{ref4} и условием \eqref{ref5}.

Согласно теореме 1 многочлен \(\varphi (x)\) будет делиться без остатка на \(x - a\) в том и только том случае, когда \(\varphi (a) = 0\), т.е.
$$
P_{m}(a) - AQ_{n-k}^{*}(a) = 0,\nonumber
$$
откуда в силу условия \eqref{ref5} находим
$$
A = \frac{P_{m}(a)}{Q_{n-k}^{*}(a)}.\label{ref14}
$$

Таким образом, число \(A\) является действительным и определяется однозначно формулой \eqref{ref14}.

Так как многочлен \(\varphi (x)\), где число \(A\) определяется формулой \eqref{ref14}, делится без остатка на \(x - a\), то существует единственный многочлен с действительными коэффициентами \(P(x)\) такой, что
$$
\varphi (x) = (x - a)P(x).\label{ref15}
$$
Из равенств \eqref{ref13} и \eqref{ref15} следует, что
$$
P_{m}(x) - Q_{n-k}^{*}(x) = (x - a)P(x).\label{ref16}
$$
Разделив обе части равенства \eqref{ref16} на \(Q_{n}(x) = (x - a)Q_{n-k}^{*}(x)\), получим соотношение \eqref{ref12}.
    
Пусть \(r\) — степень многочлена \(\varphi (x)\); тогда \(r \leq \max(m,n - k)\), где \(m\;<\;n,\;n - k \leq n - 1\;<\;n\), и поэтому \(r\;<\;n\). Следовательно, дробь \(\displaystyle\frac{P(x)}{(x - a)^{k-1}Q_{n-k}^{*}(x)} = \frac{\varphi (x)}{Q_{n}(x)}\) является правильной. \(\bullet\)


Следствие. Применив эту лемму \(k\) раз, получим равенство
$$
\frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)} = \frac{A_{k}}{(x - a)^{k}} + \frac{A_{k - 1}}{(x - a)^{k - 1}} + \ldots + \frac{A_{1}}{x - a} + \frac{P^{*}(x)}{Q_{n-k}^{*}(x)}.\label{ref17}
$$

где числа \(A_{1},\ldots,A_{k}\) являются действительными, \(P^{*}(x)\) — многочлен с действительными коэффициентами, дробь \(\frac{P^{*}(x)}{Q_{n-k}^{*}(x)}\)    является правильной, а число \(x - a\) не является корнем многочлена \(Q_{n-k}^{*}(x)\).


Лемма 2. Если \(\displaystyle\frac{P_{m}(x)}{Q_{m}(x)}\) - правильная дробь, а число \(x_{0} = \gamma + i \delta\) — невещественный корень многочлена \(Q_{n}(x)\) кратности \(s\), то существуют действительные числа \(B\) и \(D\), а также многочлен \(P(x)\) с действительными коэффициентами такие, что
$$
\frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)} = \frac{Bx + D}{(x^{2} + px + q)^{s}} + \frac{\tilde{P}(x)}{(x^{2} + px + q)^{s - 1}\tilde{Q}_{n - 2s}(x)},\label{ref18}
$$
причем второе слагаемое в правой части равенства \eqref{ref18} — правильная дробь, числа \(B\), \(D\) и коэффициенты многочлена \(\tilde{P}(x)\) определяются однозначно, а многочлен \(\tilde{Q}_{n - 2s}(x)\) — частное от деления \(Q_{n}(x)\) на \((x^{2} + px + q)^{s}\), где \(x^{2} + px + q = (x - x_{0})(x - \overline{x}_{0})\).

Доказательство.

\(\circ\) Найдем такие числа \(B\) и \(D\), чтобы многочлен
$$
\psi (x) = P_{m}(x) - (Bx + D)\tilde{Q}_{n - 2s}(x),\label{ref19}
$$
делился без остатка на \(x^{2} + px + q\). Это будет выполняться в силу теорем 1 и 2 тогда и только тогда, когда число \(x_{0}\) будет корнем многочлена \(\psi (x)\), т. е. в случае, когда \(\psi (x_{0} = 0)\) или
$$
P_{m}(x_{0}) - (Bx_{0} + D)\tilde{Q}_{n - 2s}(x_{0}) = 0.\label{ref20}
$$
Из равенства \eqref{ref20} в силу условия \eqref{ref10} получаем
$$
Bx_{0} + D = \frac{P_{m}(x_{0})}{\tilde{Q}_{n - 2s}(x_{0})}.\label{ref21}
$$
Пусть \(c\) и \(d\) — соответственно действительная и мнимая части дроби, стоящей в правой части равенства \eqref{ref21}. Тогда это равенство примет вид
$$
D + B(\gamma + i \delta) = c + id,\nonumber
$$
откуда, предполагая, что \(B\) и \(D\) — действительные числа, получаем
$$
\left\{\begin{array}{l}B\gamma+D=c,\\\delta B=d.\end{array}\right.\label{ref22} $$
Так как \(\delta \neq 0\), то из системы уравнений \eqref{ref22} однозначно определяются действительные числа \(B\) и \(D\) такие, для которых выполняется условие \(\psi (x_{0} = 0)\), и поэтому при значениях \(B\) и \(D\), удовлетворяющих системе \eqref{ref22} или условию \eqref{ref21}, многочлен \(\psi (x)\) делится без остатка на \(x^{2} + px + q\).

Следовательно, существует единственный многочлен с действительными коэффициентами \(\tilde{P}(x)\) такой, что
$$
\psi (x) = (x^{2} + px + q)\tilde{P}(x).\label{ref23}
$$
Из равенств \eqref{ref19} и \eqref{ref23} следует, что
$$
P_{m}(x) - (Bx + D)\tilde{Q}_{n - 2s}(x) = (x^{2} + px + q)\tilde{P}(x).\label{ref24}
$$
Разделив обе части равенства \eqref{ref24} на \(Q_{n}(x) = (x^{2} + px + q)^{s}\tilde{Q}_{n - 2s}(x)\) получим соотношение \eqref{ref18}, в котором дробь \(\displaystyle\frac{\tilde{P}(x)}{(x^{2} + px + q)^{s - 1}\tilde{Q}_{n - 2s}(x)}\) является правильной. В самом деле, если \(r\) — степень многочлена \(\psi (x)\), то \(r \leq m\) и \(r \leq n - 2s + 1\), откуда следует, что \(r \leq n - 1\). \(\bullet\)


Следствие. Применив эту лемму \(s\) раз, получим
$$
\frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)} = \frac{B_{s}x + D_{s}}{(x^{2} + px + q)^{s}} + \frac{B_{s - 1}x + D_{s - 1}}{(x^{2} + px + q)^{s - 1}} + \ldots + \frac{B_{1}x + D_{1}}{x^{2} + px + q} + \frac{\tilde{P}(x)}{\tilde{Q}_{n - 2s}(x)}.\label{ref25}
$$
где \(B_{j}, D_{j}, (j = \overline{1, s})\) — действительные числа, \(P(x)\) — многочлен с действительными коэффициентами, дробь \(\frac{P(x)}{\tilde{Q}_{n - 2s}(x)}\) является правильной, причем многочлен \(\tilde{Q}_{n - 2s}(x)\) не делится нацело на \(x^{2} + px + q\).


Теорема 4.

Если \(P_{m}(x)\) и \(Q_{n}(x)\) — многочлены степеней \(m\) и \(n\) соответственно, причем \(m\;<\;n\) и коэффициенты этих многочленов - действительные числа, a \(Q_{n}(x)\) представляется в виде \eqref{ref11}, то
$$
\frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)} = \frac{A_{1}^{(\alpha_{1})}}{(x - a_{1})^{\alpha_{1} - 1}} + \frac{A_{1}^{(\alpha_{1} - 1)}}{(x - a_{1})^{\alpha_{1}}} + \ldots + \frac{A_{1}^{(1)}}{x - a_{1}} + \ldots\\
\ldots + \frac{A_{k}^{(\alpha_{k})}}{(x - a_{k})^{\alpha_{k}}} + \ldots + \frac{A_{k}^{(1)}}{x - a_{k}} + \frac{B_{1}^{\beta_{1}}x + D_{1}^{\beta_{1}}}{(x^{2} + p_{1}x + q_{1})^{\beta_{1}}} + \ldots\\
\ldots + \frac{B_{1}^{1}x + D_{1}^{1}}{x^{2} + p_{1}x + q_{1}} + \ldots + \frac{B_{s}^{\beta_{s}}x + D_{s}^{\beta_{s}}}{(x^{2} + p_{s}x + q_{s})^{\beta_{s}}} + \ldots + \frac{B_{s}^{1}x + D_{s}^{1}}{(x^{2} + p_{s}x + q_{s})^{\beta_{s}}},\nonumber
$$
или
$$
\frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)} = \sum_{\substack{l=1} }^{\substack{k}}\sum_{\substack{j=1} }^{\substack{\alpha_{l}}}\frac{A_{l}^{(j)}}{(x - a_{l})^{j}} + \sum_{\substack{l=1} }^{\substack{s}}\sum_{\substack{j=1} }^{\substack{\beta_{l}}}\frac{B_{l}^{(j)}x + D_{l}^{(j)}}{(x^{2} + p_{l}x + q_{l})^{j}}.\label{ref26}
$$
Все коэффициенты разложения \eqref{ref26} являются действительными числами и определяются однозначно.

Доказательство.

\(\circ\) Применяя лемму 1, выделим сначала простые (элементарные) дроби вида \(A_{1}^{(p)}/(x - a_{1})^{p}\), где \(p\) принимает значения от 1 до \(\alpha_{1}\). Затем к дроби \(P^{*}(x)/Q_{n - \alpha_{1}^{*}}(x)\) снова применим лемму 1 (формула \eqref{ref17}) и т.д., пока не выделим простые дроби, соответствующие всем действительным корням многочлена \(Q_{n}(x)\). В результате правильная дробь \(P_{m}(x)/Q_{n}(x)\) будет представлена в виде
$$
\frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)} = \sum_{\substack{l=1} }^{\substack{k}}\sum_{\substack{j=1} }^{\substack{\alpha_{l}}}\frac{A_{l}^{(j)}}{(x - a_{l})^{j}} + \frac{P(x)}{Q_{n - t^{*}}(x)}.\label{ref27}
$$
где \(t = n - \sum_{\substack{l=1} }^{\substack{k}} \alpha_{1},\ P(x)/Q_{n - t^{*}}(x)\) — правильная дробь, а многочлен \(Q_{n -  t^{*}}(x)\) не имеет действительных корней.

Применяя к каждой паре комплексно сопряженных корней многочлена \(Q_{n}(x)\) лемму 2 (формула \eqref{ref25}), получим
$$
\frac{P(x)}{Q_{n - t^{*}}(x)} = \sum_{\substack{l=1} }^{\substack{s}}\sum_{\substack{j=1} }^{\substack{\beta_{l}}}\frac{B_{l}^{(j)}x + D_{l}^{(j)}}{(x^{2} + p_{l}x + q_{l})^{j}}.\label{ref28}
$$
Из формул \eqref{ref27} и \eqref{ref28} следует равенство \eqref{ref26}, которое дает разложение правильной рациональной дроби на простые (элементарные) дроби. \(\bullet\)


Например, если \(f(x) = \displaystyle\frac{x + 1}{(x - 1)^{2}(x + 3)^{2}(x^{2} + 1)(x^{2} - 3x + 5)^{2}}\), то разложение функции \(f(x)\) на простые дроби имеет вид
$$
f(x) = \frac{A_{1}^{(1)}}{x - 1} + \frac{A_{1}^{(2)}}{(x - 1)^{2}} + \frac{A_{2}^{(1)}}{x + 3} + \frac{A_{2}^{(2)}}{(x + 3)^{2}} + \frac{A_{2}^{(3)}}{(x + 3)^{3}} +\\
+ \frac{B_{1}^{(1)}x + D_{1}^{(1)}}{x^{2} + 1} + \frac{B_{2}^{(1)}x + D_{2}^{(1)}}{x^{2} - 3x + 5} + \frac{B_{2}^{(2)}x + D_{2}^{(2)}}{(x^{2} - 3x + 5)^{2}}.\nonumber
$$

Замечание.

Для нахождения коэффициентов \(A_{l}^{j}, B_{l}^{j}, D_{l}^{j}\) разложения \eqref{ref26} обычно приводят простые дроби в правой части формулы \eqref{ref26} к общему знаменателю, который равен \(Q_{n}(x)\). Тогда формулу \eqref{ref26} можно записать в виде \(P_{m}(x)/Q_{n}(x) = T(x)/Q_{n}(x)\), откуда следует, что \(P_{m}(x) = T(x)\).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) многочленов \(P_{m}(x)\) и \(T(x)\), получим линейную систему уравнений, из которой найдем коэффициенты разложения \eqref{ref26}. Эта система в силу теоремы 4 имеет единственное решение.