Разложение многочлена на множители.
Корни многочлена.
Пусть задан многочлен \(n\)-й степени
$$
Q_{n}(x) = c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\ldots+c^{1}x+c_{0},\ c_{n} \neq 0.\label{ref1}
$$
Коэффициенты \(c_{n},c_{n-1},\ldots,c^{1},c_{0}\) многочлена могут быть как действительными, так и комплексными числами, переменное \(x\) может принимать любые значения из множества \(\mathbb{R}\) или \(\mathbb{C}\).
Число \(a\) называют корнем многочлена \(Q_{n}(x)\), если \(Q_{n}(a) = 0\). Например, число \(x = 1\) — корень многочлена \(x^{3}-3x^{2}+2\), а число \(x = i\) — корень многочлена \(x^{2}+1\).
Рассмотрим вопрос о делении многочлена \(Q_{n}(x)\) на двучлен \(x-a\). Разделить многочлен \(Q_{n}(x)\) на двучлен \(x-a\), где \(a\) — заданное число, означает по определению представить его в виде
$$
Q_{n}(x) = (x-1)\tilde{Q}_{n-1}(x)+r,\label{ref2}
$$
где \(\tilde{Q}_{n-1}\) — многочлен степени \(n-1\), \(n\) — некоторое число (его называют остатком от деления многочлена на \(x-a\)). Предполагается, что равенство \eqref{ref2} справедливо при всех значениях \(x \in R\) (или \(x \in C\)). Если \(r = 0\), то говорят, что многочлен делится без остатка (нацело) на \(x-a\).
Теорема 1 (Безу).
Число \(a\) является корнем многочлена \(Q_{n}(x)\) тогда и только тогда, когда этот многочлен делится без остатка на \(x-a\), то есть справедливо равенство
$$
Q_{n}(x) = \tilde{Q}_{n-1}(x)(x-a).\label{ref3}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Пусть \(x = a\) — корень многочлена \(Q_{n}(x)\), тогда \(Q_{n}(a) = 0\). С другой стороны, из равенства \eqref{ref3} при \(x = a\) получаем \(r = Q_{n}(a)\). Следовательно, \(r = 0\), то есть многочлен \(Q_{n}(x)\) делится без остатка на \(x-a\), если \(a\) — корень этого многочлена.
Обратно, если многочлен делится без остатка на \(x-a\), то есть справедливо равенство \eqref{ref3}, то из этого равенства следует, что \(Q_{n}(a) = 0\). Следовательно, \(x = a\) — корень многочлена \(Q_{n}(x)\). \(\bullet\)
Ведем понятие кратности корня. Число \(x = a\) называют корнем многочлена \(Q_{n}(x)\) кратности \(k\), если существуют число \(k \in N\) и многочлен \(Q_{n-k}^{*}(x)\) такие, что для всех \(x \in R\) (\(x \in C\)) выполняется равенство
$$
Q_{n}(x) = (x-a)^{k}Q_{n-k}^{*}(x),\label{ref4}
$$
где
$$
Q_{n-k}^{*}(a) \neq 0.\label{ref5}
$$
Многочлен с действительными коэффициентами.
Рассмотрим многочлен второй степени (квадратный трехчлен) с действительными коэффициентами
$$
Q(x) = x^{2}+px+q.\nonumber
$$
Предположим, что его дискриминант отрицателен, то есть
$$
D = p^{2}-4q < 0.\nonumber
$$
Тогда
$$
Q(x) = (x+\frac{p}{2})^{2}+q-\frac{p^{2}}{4} = (x+\frac{p}{2})^{2}-i^{2}(- \frac{D}{4}),\nonumber
$$
или
$$
Q(x) = (x+\frac{p}{2}-i\frac{\sqrt{-D}}{2})(x+\frac{p}{2}+i\frac{\sqrt{-D}}{2})\nonumber
$$
откуда следует, что корнями многочлена \(Q(x)\) являются комплексно сопряженные числа
$$
x_{1} =-\frac{p}{2}+i\sqrt{q-\frac{p^{2}}{4}},\ x_{2} =-\frac{p}{2}-i\sqrt{q-\frac{p^{2}}{4}}\nonumber
$$
и других корней этот многочлен не имеет. Это утверждение остается в силе и для многочлена любой степени \(n\) \((n \geqslant 2)\) с действительными коэффициентами, то есть справедлива следующая теорема.
Теорема 2.
Если число \(x_{0} = \gamma+i \delta\) — невещественный корень (\(\delta \neq 0\)) многочлена \(Q_{n}(x)\) с действительными коэффициентами, то число \(\bar{x} = \gamma-i \delta\) также является корнем этого многочлена.
Доказательство.
\(\circ\) По условию \(Q_{n}(x_{0} = 0)\), то есть
$$
c_{n}x_{0}^{n}+c_{n-1}x_{0}^{n-1}+\ldots+c_{1}x_{0}+c_{0} = 0,\nonumber
$$
откуда следует, что \(\overline{Qn(x0)} = 0\), или
$$
\overline{c_{n}x_{0}^{n}+c_{n-1}x_{0}^{n-1}+\ldots+c_{1}x_{0}+c_{0}} = 0.\label{ref6}
$$
В силу свойств сопряженных чисел равенство \eqref{ref6} можно записать в виде
$$
\overline{c}_{n}\overline{x_{0}^{n}}+\overline{c}_{n-1}\overline{x_{0}^{n-1}}+\ldots+\overline{c}_{1}\overline{x}_{0}+\overline{c}_{0} = 0\nonumber
$$
или
$$
c_{n}\overline{x}_{0}^{n}+c_{n-1}\overline{x}_{0}^{n-1}+\ldots+c_{1}\overline{x}_{0}+c_{0} = 0.\label{ref7}
$$
так как \(\overline{c}_{k} = c_{k}\) (по условию все коэффициенты многочлена \(Q_{n}(x)\) — действительные числа), \(k = \overline{0, n}\). Равенство \eqref{ref7} можно записать так:
$$
Q_{n}(\overline{x}_{0}) = 0.\nonumber
$$
Это означает, что \(\overline{x}_{0}\) — корень многочлена \(Q_{n}(x)\). \(\bullet\)
Теорема 1 и теорема 2 доказаны в предположении, что многочлен \(Q_{n}(x)\) имеет корень. Ответ на вопрос о существовании корня многочлена дает сформулированная ниже теорема 3.
Основная теорема алгебры.
Теорема 3.
Эта теорема, доказательство которой обычно приводится в курсе теории функций комплексного переменного, называется основной теоремой алгебры.
Пусть \(x_{1}\) — корень многочлена \(Q_{n}(x)\), степень которого равна \(n\). Тогда по теореме 1 этот многочлен представляется в виде
$$
Q_{n}(x) = (x-x_{1})\tilde{Q}_{n-1}(x),\nonumber
$$
где \(\tilde{Q}_{n-1}\) — многочлен степени \(n-1\).
Применяя к многочлену \(\tilde{Q}_{n-1}\) теорему Безу и основную теорему алгебры, находим \(Q_{n}(x) = (x-x_{1})(x-x_{2})\tilde{Q}_{n-2}(x)\).
С помощью индукции получим следующий результат:
$$
Q_{n}(x) = c_{n}(x-x_{1})(x-x_{2}) \ldots (x-x_{n}).\label{ref8}
$$
Здесь \(c_{n}\) — коэффициент при \(x^{n}\) многочлена \(Q_{n}(x)\); \(x_{1},\ldots,x_{n}\) — его корни, среди этих корней могут быть равные.
Разложение многочлена с действительными коэффициентами на множители.
Если \(x = a\) — действительный корень кратности \(k\) многочлена степени \(n\) с действительными коэффициентами \(Q_{n}(x)\), то выполняется равенство \eqref{ref4}, где \(Q_{n-k}^{*}(x)\) — многочлен степени \(n-k\) с действительными коэффициентами, для которого число \(x = a\) не является его корнем.
Пусть \(x_{0} = \gamma+i \delta\) — невещественный корень (\(\delta \neq 0\)) многочлена \(Q_{n}(x)\); тогда число \(x_{0} = \gamma-i \delta\) также является корнем этого многочлена (теорема 2), и поэтому правая часть \eqref{ref8} содержит множители (\(x-x_{o}\)) и (\(x-\overline{x}_{0}\)), произведение которых равно
$$
(x-x_{o})(x-\overline{x}_{0}) = (x-\gamma-i \delta)(x-\gamma+i \delta) = (x-\gamma)^{2}+\delta^{2} = x^{2}+px+q,\nonumber
$$
где \(p = -2\gamma,\ q = \gamma^{2}+\delta^{2},\ p^{2}-4q = -4\delta^{2} < 0\). Таким образом, многочлен \(Q_{n}(x)\) в этом случае делится без остатка на квадратный трехчлен \(x^{2}+px+q\), коэффициенты которого являются действительными числами, а дискриминант трехчлена отрицателен, то есть \(p^{2}-4q < 0\). Это означает, что существует такой многочлен \(\tilde{Q}_{n-2}(x)\) с действительными коэффициентами, что
$$
Q_{n}(x) = (x^{2}+px+q)\tilde{Q}_{n-2}(x).\nonumber
$$
Если число \(x_{0} = \gamma+i \delta\), где \(\delta \neq 0\), является корнем многочлена \(Q_{n}(x)\) кратности \(s\), то число \(\overline{x}_{0}\) также будет корнем этого многочлена кратности \(s\), и поэтому многочлен \(Q_{n}(x)\) можно представить в виде
$$
Q_{n}(x) = (x-x_{0})_{s}(x-\overline{x}_{0})^{s}\tilde{Q}_{n-2s}(x),\nonumber
$$
или
$$
Q_{n}(x) = (x^{2}+px+q)^{s}\tilde{Q}_{n-2s}(x).\label{ref9}
$$
где \(p\), \(q\) — действительные числа, \(p^{2}-4q < 0\), a \(\tilde{Q}_{n-2s}(x)\) — многочлен степени \(n-2s\) с действительными коэффициентами, для которого числа \(x_{0}\) и \(\overline{x}_{0}\) не являются его корнями, то есть
$$
\tilde{Q}_{n-2s}(x_{0}) \neq 0,\ \tilde{Q}_{n-2s}(\overline{x}_{0}) \neq 0.\label{ref10}
$$
Пусть \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}\) — все действительные корни многочлена \(Q_{n}(x)\), а их кратности соответственно равны \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{k}\). Тогда равенство \eqref{ref8} можно записать в виде
$$
Q_{n}(x) = (x-a_{1})^{\alpha_{1}}\ldots(x-a_{k})^{\alpha_{k}}R(x),\nonumber
$$
где \(R(x)\) — многочлен степени \(t = n-\displaystyle \sum_{\substack{m=1} }^{\substack{k}}\alpha_{m}\) с действительными коэффициентами, не имеющий действительных корней.
Если \(R(x)\) — многочлен ненулевой степени, то каждой паре комплексно сопряженных корней \(x_{j}\) и \(\overline{x}_{j}\) кратности \(\beta_{j}\) многочлена \(Q_{n}(x)\) соответствует множитель \((x^{2}+p_{j}x+q_{j})^{\beta_{j}}\) в формуле \eqref{ref8}, где \(p_{j}^{2}-4q_{j} < 0\). Поэтому
$$
Q_{n}(x) = c_{n}(x-a_{1})^{\alpha_{1}}\ldots(x-a_{k})^{\alpha_{k}}(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}}\ldots(x^{2}+p_{s}x+q_{s})^{\beta_{s}},\label{ref11}
$$
где \(\displaystyle \sum_{\substack{m=1} }^{\substack{k}}\alpha_{m}+2 \sum_{\substack{j=1} }^{\substack{s}}\beta_{j} = n\).
Таким образом, зная все действительные и невещественные корни многочлена с действительными коэффициентами \(Q_{n}(x)\) можно этот многочлен разложить на множители, то есть представить в виде \eqref{ref11}, где числа \(c_{n}, a_{1},\ldots, a_{k}, p_{1},\ldots,p_{s}, q_{1},\ldots,q_{s}\) являются действительными.
Теорема о разложении правильной рациональной дроби.
Рассмотрим рациональную функцию (рациональную дробь), то есть функцию вида \(f(x) = \frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}\), где \(P_{m}(x)\) и \(Q_{n}(x)\)-многочлены степеней \(m\) и \(n\) соответственно. В случае когда \(m < n\), эту дробь называют правильной. Будем предполагать, что коэффициенты многочленов \(P_{m}\) и \(Q_{n}\) являются действительными числами.
Лемма 1.
Если \(\displaystyle\frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}\) — правильная рациональная дробь и \(x = a\) — действительный корень многочлена \(Q_{n}(x)\) кратности \(k \geq 1\),то существуют действительное число \(A\) и многочлен \(P(x)\) с действительными коэффициентами такие, что
$$
\frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)} = \frac{A}{(x-a)^{k}}+\frac{P(x)}{(x-a)^{k-1}Q_{n-k}^{*}(x)},\label{ref12}
$$
где \(Q_{n-k}^{*}(x)\) — частное от деления \(Q_{n}(x)\) на \((x-a)^{k}\).
Второе слагаемое в правой части равенства \eqref{ref12} — правильная дробь, число \(A\) и многочлен \(P(x)\) определяются однозначно.
Доказательство.
\(\circ\) Найдем такое число \(A\), чтобы многочлен
$$
\varphi (x) = P_{m}(x)-AQ_{n-k}^{*}(x),\label{ref13}
$$
делился без остатка на \(x-a\). В формулах \eqref{ref12} и \eqref{ref13} \(Q_{n-k}^{*}\) — частное от деления \(Q_{n}(x)\) на \(x-a^{k}\), то есть многочлен, определяемый равенством \eqref{ref4} и условием \eqref{ref5}.
Согласно теореме Безу многочлен \(\varphi (x)\) будет делиться без остатка на \(x-a\) в том и только том случае, когда \(\varphi (a) = 0\), то есть
$$
P_{m}(a)-AQ_{n-k}^{*}(a) = 0,\nonumber
$$
откуда в силу условия \eqref{ref5} находим
$$
A = \frac{P_{m}(a)}{Q_{n-k}^{*}(a)}.\label{ref14}
$$
Таким образом, число \(A\) является действительным и определяется однозначно формулой \eqref{ref14}.
Так как многочлен \(\varphi (x)\), где число \(A\) определяется формулой \eqref{ref14}, делится без остатка на \(x-a\), то существует единственный многочлен с действительными коэффициентами \(P(x)\) такой, что
$$
\varphi (x) = (x-a)P(x).\label{ref15}
$$
Из равенств \eqref{ref13} и \eqref{ref15} следует, что
$$
P_{m}(x)-Q_{n-k}^{*}(x) = (x-a)P(x).\label{ref16}
$$
Разделив обе части равенства \eqref{ref16} на \(Q_{n}(x) = (x-a)Q_{n-k}^{*}(x)\), получим соотношение \eqref{ref12}.
Пусть \(r\) — степень многочлена \(\varphi (x)\); тогда \(r \leq \max(m,n-k)\), где \(m < n, \ n-k \leq n-1 < n\), и поэтому \(r < n\). Следовательно, дробь \(\displaystyle\frac{P(x)}{(x-a)^{k-1}Q_{n-k}^{*}(x)} = \frac{\varphi (x)}{Q_{n}(x)}\) является правильной. \(\bullet\)
Следствие.
Применив эту лемму \(k\) раз, получим равенство
$$
\frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)} = \frac{A_{k}}{(x-a)^{k}}+\frac{A_{k-1}}{(x-a)^{k-1}}+\ldots+\frac{A_{1}}{x-a}+\frac{P^{*}(x)}{Q_{n-k}^{*}(x)},\label{ref17}
$$
где числа \(A_{1},\ldots,A_{k}\) являются действительными, \(P^{*}(x)\) — многочлен с действительными коэффициентами, дробь \(\frac{P^{*}(x)}{Q_{n-k}^{*}(x)}\) является правильной, а число \(x-a\) не является корнем многочлена \(Q_{n-k}^{*}(x)\).
Лемма 2.
Если \(\displaystyle\frac{P_{m}(x)}{Q_{m}(x)}\)-правильная дробь, а число \(x_{0} = \gamma+i \delta\) — невещественный корень многочлена \(Q_{n}(x)\) кратности \(s\), то существуют действительные числа \(B\) и \(D\), а также многочлен \(P(x)\) с действительными коэффициентами такие, что
$$
\frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)} = \frac{Bx+D}{(x^{2}+px+q)^{s}}+\frac{\tilde{P}(x)}{(x^{2}+px+q)^{s-1}\tilde{Q}_{n-2s}(x)},\label{ref18}
$$
причем второе слагаемое в правой части равенства \eqref{ref18} — правильная дробь, числа \(B\), \(D\) и коэффициенты многочлена \(\tilde{P}(x)\) определяются однозначно, а многочлен \(\tilde{Q}_{n-2s}(x)\) — частное от деления \(Q_{n}(x)\) на \((x^{2}+px+q)^{s}\), где \(x^{2}+px+q = (x-x_{0})(x-\overline{x}_{0})\).
Доказательство.
\(\circ\) Найдем такие числа \(B\) и \(D\), чтобы многочлен
$$
\psi (x) = P_{m}(x)-(Bx+D)\tilde{Q}_{n-2s}(x),\label{ref19}
$$
делился без остатка на \(x^{2}+px+q\). Это будет выполняться в силу теорем 1 и 2 тогда и только тогда, когда число \(x_{0}\) будет корнем многочлена \(\psi (x)\), то есть в случае, когда \(\psi (x_{0} = 0)\) или
$$
P_{m}(x_{0})-(Bx_{0}+D)\tilde{Q}_{n-2s}(x_{0}) = 0.\label{ref20}
$$
Из равенства \eqref{ref20} в силу условия \eqref{ref10} получаем
$$
Bx_{0}+D = \frac{P_{m}(x_{0})}{\tilde{Q}_{n-2s}(x_{0})}.\label{ref21}
$$
Пусть \(c\) и \(d\) — соответственно действительная и мнимая части дроби, стоящей в правой части равенства \eqref{ref21}. Тогда это равенство примет вид
$$
D+B(\gamma+i \delta) = c+id,\nonumber
$$
откуда, предполагая, что \(B\) и \(D\) — действительные числа, получаем
$$
\left\{\begin{array}{l}B\gamma+D=c,\\\delta B=d.\end{array}\right.\label{ref22} $$
Так как \(\delta \neq 0\), то из системы уравнений \eqref{ref22} однозначно определяются действительные числа \(B\) и \(D\) такие, для которых выполняется условие \(\psi (x_{0} = 0)\), и поэтому при значениях \(B\) и \(D\), удовлетворяющих системе \eqref{ref22} или условию \eqref{ref21}, многочлен \(\psi (x)\) делится без остатка на \(x^{2}+px+q\).
Следовательно, существует единственный многочлен с действительными коэффициентами \(\tilde{P}(x)\) такой, что
$$
\psi (x) = (x^{2}+px+q)\tilde{P}(x).\label{ref23}
$$
Из равенств \eqref{ref19} и \eqref{ref23} следует, что
$$
P_{m}(x)-(Bx+D)\tilde{Q}_{n-2s}(x) = (x^{2}+px+q)\tilde{P}(x).\label{ref24}
$$
Разделив обе части равенства \eqref{ref24} на \(Q_{n}(x) = (x^{2}+px+q)^{s}\tilde{Q}_{n-2s}(x)\) получим соотношение \eqref{ref18}, в котором дробь \(\displaystyle\frac{\tilde{P}(x)}{(x^{2}+px+q)^{s-1}\tilde{Q}_{n-2s}(x)}\) является правильной. В самом деле, если \(r\) — степень многочлена \(\psi (x)\), то \(r \leq m\) и \(r \leq n-2s+1\), откуда следует, что \(r \leq n-1\). \(\bullet\)
Следствие.
Применив эту лемму \(s\) раз, получим
$$
\frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)} = \frac{B_{s}x+D_{s}}{(x^{2}+px+q)^{s}}+\frac{B_{s-1}x+D_{s-1}}{(x^{2}+px+q)^{s-1}}+\ldots+\frac{B_{1}x+D_{1}}{x^{2}+px+q}+\frac{\tilde{P}(x)}{\tilde{Q}_{n-2s}(x)}.\label{ref25}
$$
где \(B_{j}, D_{j}, (j = \overline{1, s})\) — действительные числа, \(P(x)\) — многочлен с действительными коэффициентами, дробь \(\frac{P(x)}{\tilde{Q}_{n-2s}(x)}\) является правильной, причем многочлен \(\tilde{Q}_{n-2s}(x)\) не делится нацело на \(x^{2}+px+q\).
Теорема 4.
Если \(P_{m}(x)\) и \(Q_{n}(x)\) — многочлены степеней \(m\) и \(n\) соответственно, причем \(m < n\) и коэффициенты этих многочленов-действительные числа, a \(Q_{n}(x)\) представляется в виде \eqref{ref11}, то
$$
\frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)} = \frac{A_{1}^{(\alpha_{1})}}{(x-a_{1})^{\alpha_{1}-1}}+\frac{A_{1}^{(\alpha_{1}-1)}}{(x-a_{1})^{\alpha_{1}}}+\ldots+\frac{A_{1}^{(1)}}{x-a_{1}}+\ldots\\
\ldots+\frac{A_{k}^{(\alpha_{k})}}{(x-a_{k})^{\alpha_{k}}}+\ldots+\frac{A_{k}^{(1)}}{x-a_{k}}+\frac{B_{1}^{\beta_{1}}x+D_{1}^{\beta_{1}}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}}}+\ldots\\
\ldots+\frac{B_{1}^{1}x+D_{1}^{1}}{x^{2}+p_{1}x+q_{1}}+\ldots+\frac{B_{s}^{\beta_{s}}x+D_{s}^{\beta_{s}}}{(x^{2}+p_{s}x+q_{s})^{\beta_{s}}}+\ldots+\frac{B_{s}^{1}x+D_{s}^{1}}{(x^{2}+p_{s}x+q_{s})^{\beta_{s}}},\nonumber
$$
или
$$
\frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)} = \sum_{\substack{l=1} }^{\substack{k}}\sum_{\substack{j=1} }^{\substack{\alpha_{l}}}\frac{A_{l}^{(j)}}{(x-a_{l})^{j}}+\sum_{\substack{l=1} }^{\substack{s}}\sum_{\substack{j=1} }^{\substack{\beta_{l}}}\frac{B_{l}^{(j)}x+D_{l}^{(j)}}{(x^{2}+p_{l}x+q_{l})^{j}}.\label{ref26}
$$
Все коэффициенты разложения \eqref{ref26} являются действительными числами и определяются однозначно.
Доказательство.
\(\circ\) Применяя лемму 1, выделим сначала простые (элементарные) дроби вида \(A_{1}^{(p)}/(x-a_{1})^{p}\), где \(p\) принимает значения от 1 до \(\alpha_{1}\). Затем к дроби \(P^{*}(x)/Q_{n-\alpha_{1}^{*}}(x)\) снова применим лемму 1 (формула \eqref{ref17}) и так далее, пока не выделим простые дроби, соответствующие всем действительным корням многочлена \(Q_{n}(x)\). В результате правильная дробь \(P_{m}(x)/Q_{n}(x)\) будет представлена в виде
$$
\frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)} = \sum_{\substack{l=1} }^{\substack{k}}\sum_{\substack{j=1} }^{\substack{\alpha_{l}}}\frac{A_{l}^{(j)}}{(x-a_{l})^{j}}+\frac{P(x)}{Q_{n-t^{*}}(x)}.\label{ref27}
$$
где \(t = n-\sum_{\substack{l=1} }^{\substack{k}} \alpha_{1},\ P(x)/Q_{n-t^{*}}(x)\) — правильная дробь, а многочлен \(Q_{n- t^{*}}(x)\) не имеет действительных корней.
Применяя к каждой паре комплексно сопряженных корней многочлена \(Q_{n}(x)\) лемму 2 (формула \eqref{ref25}), получим
$$
\frac{P(x)}{Q_{n-t^{*}}(x)} = \sum_{\substack{l=1} }^{\substack{s}}\sum_{\substack{j=1} }^{\substack{\beta_{l}}}\frac{B_{l}^{(j)}x+D_{l}^{(j)}}{(x^{2}+p_{l}x+q_{l})^{j}}.\label{ref28}
$$
Из формул \eqref{ref27} и \eqref{ref28} следует равенство \eqref{ref26}, которое дает разложение правильной рациональной дроби на простые (элементарные) дроби. \(\bullet\)
Например, если \(f(x) = \displaystyle\frac{x+1}{(x-1)^{2}(x+3)^{2}(x^{2}+1)(x^{2}-3x+5)^{2}}\), то разложение функции \(f(x)\) на простые дроби имеет вид
$$
f(x) = \frac{A_{1}^{(1)}}{x-1}+\frac{A_{1}^{(2)}}{(x-1)^{2}}+\frac{A_{2}^{(1)}}{x+3}+\frac{A_{2}^{(2)}}{(x+3)^{2}}+\frac{A_{2}^{(3)}}{(x+3)^{3}} +\\
+ \frac{B_{1}^{(1)}x+D_{1}^{(1)}}{x^{2}+1}+\frac{B_{2}^{(1)}x+D_{2}^{(1)}}{x^{2}-3x+5}+\frac{B_{2}^{(2)}x+D_{2}^{(2)}}{(x^{2}-3x+5)^{2}}.\nonumber
$$
Для нахождения коэффициентов \(A_{l}^{j}, B_{l}^{j}, D_{l}^{j}\) разложения \eqref{ref26} обычно приводят простые дроби в правой части формулы \eqref{ref26} к общему знаменателю, который равен \(Q_{n}(x)\). Тогда формулу \eqref{ref26} можно записать в виде \(P_{m}(x)/Q_{n}(x) = T(x)/Q_{n}(x)\), откуда следует, что \(P_{m}(x) = T(x)\).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) многочленов \(P_{m}(x)\) и \(T(x)\), получим линейную систему уравнений, из которой найдем коэффициенты разложения \eqref{ref26}. Эта система в силу теоремы 4 имеет единственное решение.