Интегрирование рациональных, иррациональных, тригонометрических и гиперболических функций

Содержание:

  1. Интегрирование рациональных функций.
  2. Интегрирование иррациональных функций.
  3. Интегрирование тригонометрических и гиперболических функций.

Интегрирование рациональных функций.

Ранее было доказано, что всякая функция вида \(P_{m}(x)/Q_{n}(x)\), где \(P_{m}\) и \(Q_{n}\) — многочлены с действительными коэффициентами степеней \(m\) и \(n\) соответственно и \(m < n\), т. е. правильная рациональная дробь, представляется в виде суммы простых дробей вида
$$
\frac{A}{(x - a)^{r}},\ r \in N,\label{ref1}
$$

$$
\frac{Bx + D}{(x^{2} + px + q)^{k}},\ k \in N,\ p^{2} - 4q\;<\;0,\label{ref2}
$$

Если дробь \(P_{m}(x)/Q_{n}(x)\) является неправильной \((m \geq n)\), то, разделив числитель на знаменатель, эту дробь можно записать в виде
$$    
(P_{m}(x)/Q_{n}(x) = S(x) + R(x)/Q_{n}(x),\nonumber
$$    
где \(S(x)\) — многочлен (частное от деления \(P_{m}\) на \(Q_{n}\) ), \(R(x)\) — остаток от деления, \(R(x)/Q_{n}(x)\) — правильная дробь. Например, дробь \(x^{4}/(x^{2} - x + 1)\) является неправильной. Выполняя деление \(x^{4}\) на \(x^{2} - x + 1\), получаем
$$
\frac{x^{4}}{(x^{2} - x + 1)} = x^{2} + x - \frac{x}{(x^{2} - x + 1)}.\label{ref3}
$$

Обратимся к интегрированию рациональных дробей. Рассмотрим сначала дроби вида \eqref{ref1}. Если \(r = 1\), то
$$
\int\frac{A\ dx}{x - a} = A\ \ln |x - a| + C,\nonumber
$$
а если \(r\;>\;1\), то
$$
\int\frac{A\ dx}{(x - a)^{r}} = \frac{A}{(1 - r)(x - a)^{r - 1}} + C.\nonumber
$$

Таким образом, при интегрировании дроби \eqref{ref1} получается либо логарифмическая функция \((r = 1)\), либо правильная рациональная дробь \((r\;>\;1)\).
    
Обозначим
$$
J_{k} = \int \frac{Bx + D}{(x^{2} + px + q)^{k}}dx.\nonumber
$$
Так как \(x^{2} + px + q = \displaystyle\left(x + \frac{p}{2}\right)^{2} + q - \frac{p^{2}}{4}\), где \(\displaystyle q - \frac{p^{2}}{4}\;>\;0\), то, полагая \(\displaystyle \sqrt{q - \frac{p^{2}}{4}} = a,\ x + \frac{p}{2} = t\), получаем
$$
J_{k} = \int \frac{\displaystyle B\left(t - \frac{p}{2}\right) + D}{(t^{2} + a^{2})^{k}}dt.\nonumber
$$
Следовательно, интеграл \(J_{k}\), является линейной комбинацией интегралов
$$
J'_{k} = \int \frac{t\ dt}{(t^{2} + a^{2})^{k}},\ J''_{k} = \int \frac{dt}{(t^{2} + a^{2})^{k}}.\nonumber
$$
При \(k = 1\) эти интегралы соответственно равны:
$$
J'_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{d(t^{2} + a^{2})}{t^{2} + a^{2}} = \frac{1}{2}\ln(t^{2} + a^{2}) + C = \frac{1}{2}\ln(x^{2} + px + q) + C,\nonumber
$$
$$
J''_{1} = \frac{1}{a} \arctan \frac{t}{a} = \frac{1}{\sqrt{q - \frac{p^{2}}{4}}} \arctan \frac{x + \frac{p}{2}}{\sqrt{q - \frac{p^{2}}{4}}} + C =\\= \frac{2}{\sqrt{4q - p^{2}}} \arctan \frac{2x + p}{\sqrt{4q - p^{2}}} + C.\nonumber
$$
Если \(k\;>\;1\), то
$$
J'_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{d(t^{2} + a^{2})}{(t^{2} + a^{2})^{k}} = \frac{1}{2(1 - k)(x^{2} + px + q)^{k - 1}} + C\nonumber
$$
а интеграл \(J''_{k}\) можно вычислить с помощью полученной в §30 (пример 17) рекуррентной формулы, причем согласно этой формуле \(J''_{k}\) является линейной комбинацией правильной рациональной дроби арктангенса.

Таким образом, интеграл от любой рациональной дроби представляется в виде линейной комбинации многочлена (если рассматривается неправильная дробь), правильной рациональной дроби, логарифмической функции и арктангенса.

Пример 1.

Найти \(J = \displaystyle \int \frac{x^{4}}{x^{2} - x + 1}dx.\)

Решение.

\(\triangle\) Запишем равенство \eqref{ref3} в следующем виде:
$$
\frac{x^{4}}{x^{2} - x + 1} = x^{2} + x - \frac{1}{2}\frac{2x - 1}{x^{2} - x + 1} - \frac{1}{2}\frac{1}{\displaystyle\left(x - \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{3}{4}}.\nonumber
$$
Отсюда находим
$$
J = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}\ln(x^{2} - x + 1) - \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \frac{2x - 1}{\sqrt{3}} + C.\ \blacktriangle\nonumber
$$


Пример 2.

Найти \(J = \displaystyle \int \frac{dx}{(x + 2)(x - 1)(x - 3)}.\)

Решение.

\(\triangle\) Так как подынтегральная функция — правильная рациональная дробь, а корни ее знаменателя являются вещественными и простыми (их кратность равна единице), то    
$$
\frac{1}{(x + 2)(x - 1)(x - 3)} = \frac{A_{1}}{x + 2} + \frac{A_{2}}{x - 1} + \frac{A_{3}}{x - 3}.\label{ref4}
$$
    
Умножив обе части равенства \eqref{ref4} на знаменатель его левой части, получим
$$
1 = A_{1}(x - 1)(x - 3) + A_{2}(x + 2)(x - 3) + A_{3}(x - 1)(x + 2).\label{ref5}
$$

Для нахождения чисел \(A_{1},\ A_{2},\ A_{3}\) можно приравнять коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) в тождестве \eqref{ref5}. Однако существует более эффективный способ вычисления. Полагая в тождестве \eqref{ref5} сначала \(x = - 2\), затем \(x = 1\) и, наконец, \(x = 3\), последовательно находим
$$
1 = 15A_{1},\ 1 = -6A_{2},\ 1 = 10A_{3},\nonumber
$$
откуда получаем
$$
A_{1} = \frac{1}{15},\ A_{2} = - \frac{1}{6},\ A_{3} = \frac{1}{10}.\nonumber
$$
число \(A_{1}\)    можно найти    из равенства \eqref{ref4}, если умножить обе его части на \(x + 2\), а затем перейти к пределу при \(x \rightarrow -2\).

Тогда \(A_{1} = \displaystyle\lim_{x \rightarrow -2}\frac{1}{(x - 1)(x - 3)} = \varphi (-2)\), где \(\varphi (x) =\displaystyle \frac{1}{(x - 1)(x - 3)}\) - функция, которая получается вычеркиванием множителя \(x + 2\) в знаменателе левой части равенства \eqref{ref4}. Тем же способом можно найти числа \(A_{2}\) и \(A_{3}\).
    
Таким образом,
$$
\frac{1}{(x + 2)(x - 1)(x - 3)} = \frac{1}{15}\frac{1}{x + 2} - \frac{1}{6}\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{10}\frac{1}{x - 3},\nonumber
$$
откуда
$$
J = \frac{1}{15} \ln |x + 2| - \frac{1}{6} \ln |x - 1| + \frac{1}{10} \ln |x - 3| + C = \\ = \frac{1}{30} \ln \frac{(x - 2)^{2}|x - 3|^{3}}{|x - 1|^{5}} + C.\ \blacktriangle\nonumber
$$


Пример 3.

Найти \(J = \displaystyle \int \frac{3x^{3} - 5x + 10}{(x - 1)^{2}(x^{2} + 2x + 5)}dx\).

Решение.

\(\triangle\) Так как подынтегральная функция \(f(x)\) — правильная дробь, а квадратный трехчлен \(x^{2} + 2x + 5\) имеет невещественные корни, то
$$
f(x) = \frac{A_{1}}{(x - 1)^{2}} + \frac{A_{2}}{x - 1} + \frac{Bx + D}{x^{2} + 2x + 5},\nonumber
$$
откуда следует равенство
$$
3x^{3} - 5x + 10 = A_{1}(x^{2} + 2x + 5) + A_{2}(x - 1)(x^{2} + 2x + 5) + (Bx + D)(x - 1)^{2}.\label{ref6}
$$

Полагая в тождестве \eqref{ref6} \(x = 1\), находим \(8 = 8A_{1}\), откуда \(A_{1} = 1\). Дифференцируя тождество \eqref{ref6}, а затем полагая \(x = 1\) в полученном равенстве, находим \(4 = 4 + 4A_{2}\), откуда \(A_{2} = 0\). Приравнивая коэффициенты при \(x^{3}\) и свободные члены в равенстве \eqref{ref6}, получаем \(3 = B,\ 10 = 5A_{1} + D\), откуда \(D = 5\).

Итак, \(A_{1} = 1,\ A_{2} = 0,\ B = 3,\ D = 5\), и поэтому 
$$
f(x) = \frac{1}{(x - 1)^{2}} + \frac{3x + 5}{x^{2} + 2x + 5} = \frac{1}{(x - 1)^{2}} + \frac{3}{2} \frac{2x + 2}{x^{2} + 2x + 5} + \frac{1}{(x + 1)^{2} + 4}\nonumber
$$
откуда находим, что
$$
J = - \frac{1}{x - 1} + \frac{3}{2} \ln (x^{2} + 2x + 5) + \arctan \frac{x + 1}{2} + C.\ \blacktriangle\nonumber
$$


Пример 4.

Найти \(\displaystyle \int \frac{dx}{x^{4} + 1}\).

Решение.

\(\triangle\)Используя равенство
$$
x^{4} + 1 = x^{4} + 2x^{2} + 1 - (\sqrt{2}x)^{2} = (x^{2} + \sqrt{2}x + 1)(x^{2} - \sqrt{2}x + 1)\nonumber
$$
и учитывая, что многочлен \(x^{4} + 1\) не имеет действительных корней, получаем
$$
\frac{1}{x^{4} + 1} = \frac{Bx + D}{x^{2} + \sqrt{2}x + 1} + \frac{B_{1}x + D_{1}}{x^{2} - \sqrt{2}x + 1}\nonumber
$$
откуда
$$
1 = (Bx + D)(x^{2} - \sqrt{2}x + 1) + (B_{1}x + D_{1})(x^{2} + \sqrt{2}x + 1).\label{ref7}
$$

Сравнивая коэффициенты при \(x^{3},\ x^{2},\ x^{1} = x,\ x^{0}\) (свободные члены) в тождестве \eqref{ref7}, получаем
$$
\begin{array}{c}x^3\longrightarrow 0=B+B_1\\x^2\longrightarrow 0=-B\sqrt{2}+D+B_1\sqrt{2}+D_1\\x^1\longrightarrow 0=B-\sqrt{2}D+B_1+\sqrt{2}D_1\\x^0\longrightarrow 1=D+D_1\end{array}\nonumber
$$
Из первого, третьего и четвертого уравнении этой системы следует, что \(D = D_{1},\ 2D = 1\), откуда находим \(D = D_{1} = \frac{1}{2}\), а из первого, второго и четвертого уравнений получаем \(B_{1} = -B,\ 2B\sqrt{2} = D + D_{1} = 1\), откуда \(B =\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}},\ B_{1} = -\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}\).

Следовательно,
$$
\frac{1}{x^{4} + 1} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \frac{x + \sqrt{2}}{x^{2} + \sqrt{2}x + 1} - \frac{1}{2\sqrt{2}} \frac{x - \sqrt{2}}{x^{2} - \sqrt{2}x + 1}.\nonumber
$$
Так как
$$
\int \frac{x + \sqrt{2}}{x^{2} + \sqrt{2}x + 1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x + \sqrt{2}}{x^{2} + \sqrt{2}x + 1}dx + \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{\displaystyle d\left(x + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)}{\displaystyle \left(x + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2} + \frac{1}{2}} =\\= \frac{1}{2} \ln (x^{2} + \sqrt{2}x + 1) + \arctan (x \sqrt{2} + 1) + C_{1},\nonumber
$$
$$
\int \frac{x - \sqrt{2}}{x^{2} - \sqrt{2}x + 1} dx = \frac{1}{2} \ln (x^{2} - \sqrt{2}x + 1) - \arctan (x \sqrt{2} - 1) + C_{2},\nonumber
$$
то
$$
\int \frac{dx}{x^{4} + 1} = \frac{1}{4\sqrt{2}} \ln \frac{x^{2} + \sqrt{2}x + 1}{x^{2} - \sqrt{2}x + 1} + \frac{1}{2\sqrt{2}}(\arctan (x\sqrt{2} + 1) - \arctan (x\sqrt{2} - 1)) + C.\ \blacktriangle\nonumber
$$


Замечание 1.

Укажем другой способ вычисления коэффициентов \(B,\ D,\ B_{1},\ D_{1}\). Заметим, что корни многочлена \(x^{4} + 1\) определяются формулой
$$
x_{k} = e^{i(\pi + 2k\pi)/4},\nonumber
$$
где \(k = 0,\ 1,\ 2,\ 3\),
причем \(x_{0} = e^{i \pi/4} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}(1 + i)\) — корень трехчлена \(x^{2} + \sqrt{2}x + 1\), а \(x_{3} = - x_{0}\) — корень трехчлена \(x^{2} - \sqrt{2}x + 1\). Полагая в \eqref{ref7} \(x = x_{0}\) и сравнивая в полученном соотношении действительные и мнимые части, найдем \(B_{1}\) и \(D_{1}\). Аналогично, полагая в равенстве \eqref{ref7} \(x = - x_{0}\), найдем \(B\) и \(D\).

Замечание 2.

В некоторых случаях для вычисления интеграла от рациональной дроби \(f(x)\) целесообразно вместо разложения ее на простые дроби применить какой-либо другой метод, например, преобразование дроби \(f(x)\), использование подходящей подстановки или метода интегрирования по частям.


Пример 5.

Найти интегралы от функций
$$
\frac{x^{4}}{x^{10} + 2},\quad \frac{x^{2}}{(x - 1)^{5}},\quad \frac{x^{2} + 1}{x^{4} + 1},\quad \frac{1}{x^{4} (1 + x^{2})}.\nonumber
$$

Решение.

$$
\vartriangle\ a) \int \frac{x^{4}}{x^{10} + 2} dx = \frac{1}{5} \int \frac{d(x^{5})}{(x^{5})^{2} + 2} = \frac{1}{5\sqrt{2}} \arctan \frac{x^{5}}{\sqrt{2}} + C.\nonumber
$$
$$
b) \int \frac{x^{2}}{(x - 1)^{5}} dx = \int \frac{(x - 1)^{2} + 2(x - 1) + 1}{(x - 1)^{5}} dx =\\= -\frac{1}{2(x - 1)^{2}} - \frac{2}{3(x - 1)^{3}} - \frac{1}{4(x - 1)^{4}} + C.\nonumber
$$
$$
c) \int \frac{x^{2} + 1}{x^{4} + 1} dx = \int \frac{\displaystyle 1 + \frac{1}{x^{2}}}{\displaystyle 1 + \frac{x^{2}}{x^{2}}} dx = \int \frac{\displaystyle d\left(x - \frac{1}{x}\right)}{\displaystyle \left(x - \frac{1}{x}\right)^{2} + 2} =\\= \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{x -\displaystyle \frac{1}{x}}{\sqrt{2}} + C = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{x^{2} - 1}{\sqrt{2}x} + C.\nonumber
$$
\(d)\) Так как \(\displaystyle \frac{1}{x^{4} (1 + x^{2})} = \frac{1 - x^{4} + x^{4}}{(1 + x^{2})x^{4}} = \frac{1 - x^{2}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}}\), то
$$
\int \frac{1}{x^{4} (1 + x^{2})} dx = - \frac{1}{3x^{3}} + \frac{1}{x} + \arctan x + C.\ \blacktriangle\nonumber
$$


Замечание 3.

В случае когда знаменатель \(Q(x)\) правильной рациональной дроби \(P(x)/Q(x)\) имеет кратные невещественные корни, удобно использовать следующую формулу Остроградского:
$$
\int \frac{P(x)}{Q(x)} dx = \frac{P_{2}(x)}{Q_{2}(x)} + \int \frac{P_{1}(x)}{Q_{1}(x)} dx.\label{ref8}
$$
где \(Q_{1}(x)\) — многочлен, имеющий те же корни, что и \(Q(x)\), но кратности 1, \(Q(x) = Q_{1}(x)Q_{2}(x)\), \(P_{1}(x)\) и \(P_{2}(x)\) — многочлены, причем \(P_{1}/Q_{1}\) и \(P_{2}/Q_{2}\) — правильные дроби.

Второе слагаемое в правой части равенства \eqref{ref8} — интеграл, выражающийся через логарифм и арктангенс; это слагаемое называют трансцендентной частью интеграла от \(P(x)/Q(x)\).

Метод Остроградского (формула \eqref{ref8}) дает возможность найти рациональную часть интеграла (функцию \(P_{2}(x)/Q_{2}(x)\)) алгебраическим путем (без интегрирования). Для нахождения многочленов \(P_{1}\) и \(P_{2}\) их записывают с неопределенными коэффициентами и вычисляют эти коэффициенты из соотношения, получаемого при дифференцировании тождества \eqref{ref8}.


Интегрирование иррациональных функций.

Многие часто встречающиеся в приложениях интегралы от иррациональных функций удается преобразовать в интегралы от рациональных функций с помощью различных подстановок.
                        
Здесь и в дальнейшем будем обозначать буквой \(R\) рациональную функцию. Например, запись \(R(u, v)\) будет означать, что рассматривается рациональная функция переменных \(u,\ v\), т. е. функция, представимая в виде \(R(u, v) = \frac{P(u, v)}{Q(u, v)}\), где \(P\) и \(Q\) — многочлены относительно \(u\), а коэффициенты этих многочленов являются многочленами относительно \(v\). Так, \(\frac{u^{2} - 3uv + 4v^{2}u^{3} - 1}{u^{4}v + v - u^{2}v^{2}}\) — рациональная функция относительно \(u\) и \(v\), \(\frac{\sin^{3} x - 3\tan x + 1}{\cos^{4} x - 2\cot^{2} x}\) —     рациональная функция относительно \(\sin x\) и \(\cos x\).

Рассмотрим некоторые типы интегралов от рациональных функций.
                            
а)    Интегралы вида
$$
\int R \left(x, \left(\frac{ax + b}{cx + d}\right)^{r_{1}},\ \ldots, \left(\frac{ax + b}{cx + d}\right)^{r_{n}}\right) dx.\label{ref9}
$$
где \(r_{k} \in Q (k = \overline{1, n}),\ a,b,c,d \in R,\ ad - bc \neq 0\), подстановкой
$$
\frac{ax + b}{cx + d} = t^{p}\nonumber
$$
(\(p\) — общий знаменатель рациональных чисел \(r_{1},\ \ldots, r_{n}\)) приводятся к интегралу от рациональной функции (см. [2]).

Например, при вычислении интеграла \(\displaystyle \int \frac{1 + 3\sqrt{x} + x^{2}}{5 - \sqrt [3] {x^{2}} + \sqrt [6] {x^{5}}} dx\) можно применить подстановку \(x = t^{6}\), так как подынтегральная функция является рациональной относительно переменных \(u = x,\ v = x^{1/2},\ \omega = x^{2/3}, r = x^{5/6}\), а общий знаменатель дробей \(\displaystyle \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{6}\) равен 6.

Чтобы вычислить интеграл \(\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt[3]{(3 - x)^{4}(2 + x)^{5}}}\), целесообразно подынтегральную функцию \(f(x)\) записать в виде
$$
f(x) = \sqrt[3]{\frac{2 + x}{3 - x}} \frac{1}{(2 + x)^{2}(3 - x)}.\nonumber
$$

Так как \(f(x)\) — функция, рациональная относительно \(x\) и \(\displaystyle \left(\frac{2 + x}{3 - x}\right)^{1/3}\), то с помощью подстановки \(\displaystyle \frac{2 + x}{3 - x} = t\) данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции,

б) Интегралы вида
$$
\int R (x, \sqrt{ax^{2} + bx + c}) dx,\quad a \neq 0,\quad b^{2} - 4ac \neq 0.\label{ref10}
$$
можно свести (см., например, [2]) к интегралам от рациональных функций с помощью подстановок Эйлера:
$$
\sqrt{ax^{2} + bx + c} = \pm t \pm \sqrt{a}x,\quad a\;>\;0,\label{ref11}
$$
$$
\sqrt{ax^{2} + bx + c} = \pm xt \pm \sqrt{c},\quad c\;>\;0,\label{ref12}
$$
$$
\sqrt{ax^{2} + bx + c} = \pm t(x - x_{1}),\quad b^{2} - 4ac\;>\;0,\label{ref13}
$$
где \(x_{1}\) — один из корней квадратного трехчлена \(ax^{2} + bx + c\). Например, при вычислении интеграла \(\displaystyle\int \frac{\sqrt{x^{2} - x + 1} - 1}{x\sqrt{x^{2} - x + 1}} dx\) можно воспользоваться подстановкой \eqref{ref12}, т. е. \(\sqrt{x^{2} - x + 1} = xt + 1\).

Замечание 4.
Следует иметь в виду, что подстановки \eqref{ref11}—\eqref{ref13} часто приводят к громоздким вычислениям. Поэтому для нахождения интегралов вида \eqref{ref10} обычно применяют другие способы, о которых пойдет речь ниже.

Заметим, что подынтегральную функцию в \eqref{ref10} можно представить в виде
$$
\frac{R_{1}(x)}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}} + R_{2}(x),\nonumber
$$
где \(R_{1}\) и \(R_{2}\) — рациональные дроби. Записывая \(R_{1}(x)\) в виде суммы многочлена \(P_{n}(x)\) и суммы простых дробей, сведем интеграл \eqref{ref10} к линейной комбинации интегралов следующих трех типов:
$$
\int \frac{P_{n}(x)}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}} dx;\label{ref14}
$$
$$
\int \frac{dx}{(x - a)^{r}\sqrt{ax^{2} + bx + c}} dx,\ r \in \mathbb{N};\label{ref15}
$$
$$
\int \frac{dx}{(x^{2} + px + q)^{k}\sqrt{ax^{2} + bx + c}} dx,\ k \in \mathbb{N},\ p^{2} - 4q\;<\;0;\label{ref16}
$$

При нахождении интеграла \eqref{ref14}, где \(P_{n}(x)\) — многочлен степени \(n\), удобно использовать формулу
$$
\int \frac{P_{n}(x)}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}} = Q(x)\sqrt{ax^{2} + bx + c} + \lambda \int \frac{dx}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}.\label{ref17}
$$
В этой формуле \(Q(x)\) — многочлен степени не выше \(n - 1,\ \lambda\) — некоторое число. Дифференцируя тождество \eqref{ref17} и умножая затем обе части получаемого соотношения на \(2\sqrt{ax^{2} + bx + c}\), находим
$$
2P_{n}(x) = 2Q'(x)(ax^{2} + bx + c) + Q(x)(2ax + b) + 2 \lambda;\label{ref18}
$$

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) в тождестве \eqref{ref18}, вычислим коэффициенты многочлена \(Q(x)\) и число \(\lambda\). Заметим, что интеграл в правой части формулы \eqref{ref17} сводится к табличному с помощью линейной подстановки.

Пример 6.

Найти \(J =\displaystyle \int \frac{x^{2}\ dx}{\sqrt{x^{2} + x + 1}}\).

Решение.

\(\triangle\) Воспользуемся формулой \eqref{ref18}, где \(P_{n} = x^{2},\ Q(x) = Ax + B\). Получим тождество \(2x^{2} = 2A(x^{2} + x + 1) + (Ax + B)(2x + 1) + 2 \lambda\), откуда следует, что
$$
2 = 2A + 2A,\ 0 = 2A + A + 2B,\ 0 = 2A + B + 2 \lambda.\nonumber
$$
Поэтому
$$
A = \frac{1}{2},\ B = - \frac{3}{4},\ \lambda = - \frac{1}{8}.\nonumber
$$
Так как
$$
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + x + 1}} = \int\frac{\displaystyle d\left(x + \frac{1}{2}\right)}{\displaystyle\sqrt{\left(x + \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{3}{4}}} = \ln (x + \frac{1}{2} + \sqrt{x^{2} + x + 1}) + C,\nonumber
$$
то
$$
J = \left(\frac{1}{2}x - \frac{3}{4}\right)\sqrt{x^{2} + x + 1} - \frac{1}{8} \ln \left(x + \frac{1}{2} + \sqrt{x^{2} + x + 1}\right) + C.\ \blacktriangle\nonumber
$$


Рассмотрим интеграл \eqref{ref15}. Подстановкой
$$
t = \frac{1}{x - \alpha}\nonumber
$$
этот интеграл сводится к интегралу \eqref{ref14}.
        
Обратимся, наконец, к интегралу \eqref{ref16}. Если существует число \(\omega\) такое, что для всех \(x \in R\) выполняется равенство \(ax^{2} + bx + c = \omega(x^{2} + px + q)\), т. е. \(b = ap,\ c = aq\), то интеграл \eqref{ref16} можно представить в виде линейной комбинации интегралов
$$
J_{1} = \int \frac{(2x + p) dx}{(x^{2} + px + q)^{k + 1/2}},\qquad J_{2} = \int \frac{dx}{(x^{2} + px + q)^{k + 1/2}}.\nonumber
$$

Интеграл \(J_{1}\) сводится к табличному, а интеграл \(J_{2}\) подстановкой Абеля
$$
u = (\sqrt{x^{2} + px + q})' = \frac{2x + p}{2\sqrt{x^{2} + px + q}}\label{ref19}
$$
сводится к интегралу от многочлена.

Если \(b \neq ap\), то используется подстановка
$$
x = \frac{\alpha t + \beta}{t + 1},\label{ref20}
$$
где числа \(\alpha\) и \(\beta\) подбираются такими, чтобы коэффициенты при \(t\) в квадратных трехчленах подынтегральной функции обратились в нуль. При этом интеграл \eqref{ref16} примет вид
$$
\int \frac{P(t)dt}{(t^{2} + \lambda)^{k}\sqrt{\mu t^{2} + v}},\label{ref21}
$$
где \(P(t)\) — многочлен степени \(2k - 1,\ \lambda\;>\;0\).
    
Заметим, что если \(b = ap\), но \(c \neq aq\) (случай \(b = ap\), \(c = aq\) рассмотрен выше), то вместо подстановки \eqref{ref20} можно применить подстановку \(x =\displaystyle t - \frac{p}{2}\).

Чтобы вычислить интеграл \eqref{ref21}, разложим правильную рациональную дробь на простые дроби и представим интеграл \eqref{ref21} в виде линейной комбинации интегралов вида
$$
J' = \int \dfrac{t\ dt}{(t^{2} + \lambda)^{m}\sqrt{\mu t^{2} + v}},\quad J'' = \int \dfrac{dt}{(t^{2} + \lambda)^{m}\sqrt{\mu t^{2} + v}}
$$
где \(m \in N\).

Интеграл \(J'\) вычисляется с помощью подстановки \(u^{2} = \mu t^{2} + v\), а интеграл \(J''\) — с помощью подстановки Абеля \(v =\displaystyle \frac{\mu t}{\sqrt{\mu t^{2} + v}}\).
    
в) Интеграл вида
$$
\int x^{m}(ax^{n} + b)^{p}dx,\label{ref22}
$$
где \(a,\ b\) — действительные, \(m,\ n,\ p\) — рациональные числа, причем \(a \neq 0,\ b \neq 0,\ n \neq 0,\ p \neq 0,\), называют интегралом от дифференциального бинома. Интеграл \eqref{ref22} сводится к интегралу от рациональной функции в следующих трех случаях:
$$
1)\ \ p \in Z;\quad 2)\ \ \frac{m + 1}{n} \in Z;\quad 3)\ \ \frac{m + 1}{n} + p \in Z.\nonumber
$$

В первом случае применяется подстановка \(x = t^{q}\), где \(q\) — общий знаменатель дробей \(m\) и \(n\), во втором и третьем случаях — соответственно подстановки
$$
ax^{n} + b = t^{s},\quad a + bx^{-n} = t^{s},\nonumber
$$
где \(s\) — знаменатель дроби \(p\).

Отметим, что эти случаи были известны еще Ньютону, но лишь в середине XIX века выдающийся русский математик Пафнутий Львович Чебышев доказал, что интеграл вида \eqref{ref22} в других случаях не выражается через элементарные функции.


Пример 7.

Найти \(\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt[4]{1 + x^{4}}}\).

Решение.

\(\vartriangle\) Это интеграл вида \eqref{ref22}, где \(m = 0\), \(n = 4\), \(p =\displaystyle - \frac{1}{4}\) и    \(\displaystyle \frac{m + 1}{n} + p = 0\). Полагая \(t = (1 + x^{-4})^{1/4}\), получаем \(t^{4} = 1 + x^{-4}\), откуда \(4t^{3}dt = -4x^{-5}dx,\ \displaystyle x^{4} = \frac{1}{t^{4} - 1}\). Следовательно,
$$
\int \frac{dx}{\sqrt[4]{1 + x^{4}}} = \int \frac{x^{4}dx}{x^{5}\sqrt[4]{1 + x^{-4}}} = \int \frac{1}{t(t^{4} - 1)}(-t^{3})dt =\\= \int \frac{t^{2}\ dt}{1 - t^{4}} = - \frac{1}{2} \int  \left(\frac{1}{t^{2} - 1} + \frac{1}{t^{2} + 1}\right)dt = \frac{1}{4} \ln \left|\frac{t + 1}{t - 1}\right| - \frac{1}{2} \arctan t + C =\\= \frac{1}{4} \ln \frac{\sqrt[4]{1 + x^{4}} + x}{\sqrt[4]{1 + x^{4}} - x} - \frac{1}{2} \arctan \frac{\sqrt[4]{1 + x^{4}}}{x} + C.\ \blacktriangle\nonumber
$$


Интегрирование тригонометрических и гиперболических функций.

а)    Интеграл вида
$$
\int R (\sin x,\ \cos x)dx,\label{ref23}
$$
где \(R(u, v)\) — рациональная функция от и и можно свести к интегралу от рациональной дроби с помощью подстановки
$$
t = \tan \frac{x}{2},\quad x \in (-\pi, \pi),\label{ref24}
$$
так как 
$$
\sin x = \frac{2t}{1 + t^{2}},\quad \cos x=\frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}},\quad x = 2 \arctan t,\quad dx = \frac{2\ dt}{1 + t^{2}}.\nonumber
$$


Пример 8.

Найти интегралы \(\displaystyle \int \frac{dx}{\sin x}\) и \(\displaystyle \int \frac{dx}{\cos x}\).

Решение.

\(\triangle\) а) Применяя подстановку \eqref{ref24}, получаем
$$
\int \frac{dx}{\sin x} = \int \frac{dt}{t} = \ln \left|\tan \frac{x}{2}\right| + C,\label{ref25}
$$

б) Используя формулу \eqref{ref25}, находим dx
$$
\int \frac{dx}{\cos x} = \int \frac{\displaystyle d\left(x + \frac{\pi}{2}\right)}{\displaystyle \sin \left(x + \frac{\pi}{2}\right)} = \ln \left|\tan \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right| + C.\ \blacktriangle\nonumber
$$


Приведем другой способ вычисления интеграла \eqref{ref25}:
$$
\int \frac{dx}{\sin x} = \int \frac{\sin x\ dx}{\sin^{2} x} = \int \frac{d (\cos x)}{\cos^{2} x - 1} = \frac{1}{2} \ln \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} + C.\nonumber
$$

Замечание 5.
Подстановка \eqref{ref24}, которую называют универсальной, часто приводит к громоздким вычислениям интеграла \eqref{ref23}. Поэтому ее используют лишь в тех случаях, когда не видно других путей к вычислению интеграла \eqref{ref23}.

Если подынтегральная функция \(R\) удовлетворяет одному из условий:

а) \(R(-\sin x,\cos x) = -R (\sin x,\cos x)\),

б)     \(R(\sin x,-\cos x) = -R (\sin x,\cos x)\),

в) \(R(-\sin x,-\cos x) = R (\sin x,\cos x)\),

то для нахождения интеграла \eqref{ref23} можно использовать соответственно подстановки \(t = \cos x, x \in (0;\pi)\); \(t = \sin x, x \in \left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)\); \(t = \tan x, x \in \left(-\dfrac{\pi}{2}; \ \dfrac{\pi}{2}\right)\), или \(t = \cos 2x\).

В приложениях часто встречаются интегралы вида
$$
\int \sin^{m} x\cos^{n} xdx, m\in \mathbb{Z}, n\in \mathbb{Z}.\label{ref26}
$$

При вычислении интеграла вида \eqref{ref26} можно руководствоваться следующими правилами:

а)если \(m+n\) - четное число, то применяется либо подстановка \(t=\tan x\), либо подстановка \(t=\cos 2x\);

б)если \(m+n\) - нечетное число, то используют подстановку \(t=\sin x\) или \(t=\cos x\).

Пример 9.

Найти интеграл вида \eqref{ref26} в следующих случаях:

а) \(m=0, n=-6\);

б) \(m=3, n=4\);

в) \(m=2, n=4\);

г) \(m=-1, n=-3\).

Решение.

\(\triangle\) а) Воспользуемся подстановкой \(t=\tan x\). Так как \(\dfrac{dx}{cos^{2}x}=dt\), \(\dfrac{1}{cos^{2}x}=1+\tan^{2}x=1+t^{2}\), то \(\displaystyle\int\dfrac{dx}{cos^{6}x}=\int(1+t^{2})^{2}dt=t+\dfrac{2}{3}t^{3}+\dfrac{t^{5}}{5}+C=\tan x\left(1+\dfrac{2}{3}\tan^{2}x+\dfrac{1}{5}\tan^{4}x\right)+C\).

б) \(\displaystyle\int \sin^{3}x\cos^{4}xdx=\int (\cos^{2}x-1)\cos^{4}xd(\cos x)=\dfrac{cos^{7}x}{7}-\dfrac{cos^{5}x}{5}+C\).

в) Воспользовавшись формулами \(\sin x\cos x=\dfrac{1}{2}\sin 2x\), \(\cos^{2}x=\dfrac{1}{2}(1+\cos 2x)\), получаем
$$
\int\sin^{2}x\cos^{4}xdx=\dfrac{1}{8}\int\sin^{2}2x(1+\cos2x)dx=\\=\dfrac{1}{16}\int(1-\cos4x)dx+\dfrac{1}{16}\int\sin^{2}2xd(\sin2x)=\\=\dfrac{1}{16}x-\dfrac{1}{64}\sin4x+\dfrac{1}{48}\sin^{3}2x+C.\nonumber
$$

г) Используя тождество \(\sin ^{2}x+\cos^{2}x=1\), находим
$$
\int\dfrac{dx}{\sin x\cos^{3}x}=\int\dfrac{\sin x}{\cos^{3}}dx+\int\dfrac{dx}{\sin x\cos x}=\\= -\int\dfrac{d(\cos x)}{\cos^{3}x}+\int\dfrac{d(\tan  x)}{\tan x}=\dfrac{1}{2\cos^{2}x}+\ln |\tan x|+C.\ \blacktriangle\nonumber
$$


Пример 10.

Найти интегралы от функций:

а) \(\sin x\sin 3x\);

б) \((\sin^{2}x+2\sin x\cos x+5\cos^{2}x)^{-1}\).

Решение.

\(\triangle\) а) Так как \(\sin\alpha\sin\beta=\dfrac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta))\),то
$$
\int\sin x\sin 3xdx=\dfrac{1}{2}\int(\cos 2x-\cos 4x)dx=\dfrac{\sin 2x}{4}-\dfrac{\sin 4x}{8}+C.\nonumber
$$
б) Разделив числитель и знаменатель на \(\cos^{2}x\) и полагая \(\tan x=t\), получаем
$$
\int\dfrac{dx}{\sin^{2}x+2\sin x\cos x+5\cos^{2}x}=\int\dfrac{dx/\cos^{2}x}{\tan^{2}x+2\tan x+5}=\\=\int\dfrac{dt}{(t+1)^{2}+4}=\dfrac{1}{2}\arctan\left(\dfrac{1+\tan x}{2}\right)+C.\ \blacktriangle\nonumber
$$


Интеграл вида
$$
\int R(\operatorname{sh} x,\operatorname{ch} x)dx,\label{ref27}
$$

где \(R(u,v)\) - рациональная функция от \(u\) и \(v\), сводится к интегралу от рациональной дроби с помощью подстановки
$$
t=\operatorname{th} \dfrac{x}{2},\nonumber
$$
так как \(\operatorname{sh} x=\dfrac{2t}{1-t^{2}},\ \operatorname{ch} x=\dfrac{1+t^{2}}{1-t^{2}},\ dx=\dfrac{2dt}{1-t^{2}}\).

Иногда более эффективными при вычислении интеграла \eqref{ref27} могут оказаться подстановки \(t=\operatorname{sh} x\), \(t=\operatorname{ch} x\), \(t=\th x\), \(t=\operatorname{ch} 2x\) или метод интегрирования по частям.


Пример 11.

Найти \(J=\displaystyle\int\operatorname{ch}^{5}x\operatorname{sh}^{4}xdx\).

Решение.

\(\triangle\) Так как \(\operatorname{ch}^{2}x=1+\operatorname{sh}^{2}x\), \(\operatorname{ch} x dx=d(\operatorname{sh} x)\), то, полагая \(\operatorname{sh} x=t\), получаем
$$
J=\displaystyle\int(1+t^{2})^{2}t^{4}dt=\dfrac{t^{5}}{5}+\dfrac{2t^{7}}{7}+\dfrac{t^{9}}{9}+C=\\=\operatorname{sh}^{5}x\left(\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{7}\operatorname{sh}^{2}x+\dfrac{1}{9}\operatorname{sh}^{4}x\right)+C.\ \blacktriangle\nonumber
$$


В заключение отметим, что интегралы от трансцендентных функций часто не выражаются через элементарные функции. К таким интегралам относятся, например, следующие встречающиеся в приложениях интегралы:

a) \(\displaystyle\int e^{-x^{2}}dx\) — интеграл Пуассона;

б) \(\displaystyle\int \sin x^{2}dx\) и \(\displaystyle\int \cos x^{2}dx\) — интегралы Френеля;

в) \(\displaystyle\int \dfrac{dx}{\ln x}\) — интегральный логарифм;

г) \(\displaystyle\int \dfrac{\sin x}{x}dx\) — интегральный синус;

д) \(\displaystyle\int \dfrac{\cos x}{x}dx\) — интегральный косинус.