Предел и непрерывность функции.

  • Математический анализ

    Изучаем основные понятия анализа: число, функцию, предел, производную, интеграл и т.д. Материал изложен по мотивам материалов в изложении Кудрявцева Л.Д. и Тер-Крикорова А.М.

    • Предел и непрерывность функции

      Разбираем понятие числовых функций, их основные свойства и операции с ними. Даем два основных определения пределов функции по Коши и по Гейне и показываем их эквивалентность. Рассматриваем основные свойства пределов функций.

      • Числовые функции

        Определяем понятие числовой функции и операции над ними. Разбираем основные виды функций и способы их определений.

      • Предел функции

        Определение предела функции по Коши и по Гейне. Односторонние конечные пределы и бесконечные пределы в точке. Свойства пределов функции и монотонных функций. Критерий Коши существования предела функции.

      • Непрерывность функции

        Определение непрерывности функции в точке. Точки разрыва функции первого и вторго рода. Свойства функции, непрерывной в точке и на отрезке. Теорема Вейерштрасса об ограниченности и достижимости точных граней непрерывной функции. Теорема Коши о нулях непрерывной функции. Существование обратной функции.

      • Непрерывность элементарных функций

        Показываем и разбираем непрерывность основных типов элементарных функций. Рассматриваем первый замечательный предел \(\frac{\sin{x}}{x}\) и основные обратные тригонометрические свойства. Рассказываем об основных свойствах показательных функций. Вводим понятие показательно-степенной функции \(u(x)^{v(x)}\).

      • Вычисление пределов функций

        Разбираем различные способы нахождения пределов (раскрытие неопредленностей и замена переменной). Находим второй замечательный предел (\(\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\)) и некоторые важные пределы. Вводим понятие "о малое" и "О большое" при сравнении функций.  Доказываем критерий эквивалентности функций.