Многочлены и рациональные функции.
Утверждение 1
Рассмотрим многочлен степени \(n\), то есть функцию вида
$$
P_{n}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ +a_{1}x+a_{0},\; a_{n}\neq 0.\nonumber
$$
Эта функция непрерывна на \(\mathbb{R}\).
Доказательство
\(\circ\) Действительно, функция \(y=C\), где \(C\) — постоянная, непрерывна на \(\mathbb{R}\), так как \(\Delta y=0\) при любом \(x\). Функция \(y=x\) непрерывна на \(\mathbb{R}\), так как \(\Delta y=\Delta x\rightarrow 0\) при \(\Delta x\rightarrow 0\). Поэтому функция \(y=a_{k}x^k\), где \(k\in\mathbb{N}\), непрерывна на \(\mathbb{R}\) как произведение непрерывных Функций. Так как многочлен \(P_{n}(x)\) есть сумма непрерывных функций вида \(a_{k}x_k\;(k=\overline{0,n})\), то он непрерывен на \(\mathbb{R}\). \(\bullet\)
Утверждение 2
Рациональная функция, то есть функция вида \(f(x)=\displaystyle \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}\), где \(P_{n},\;Q_{m}\) — многочлены степени n и m соответственно, непрерывна во всех точках, которые не являются нулями многочлена \(Q_{m}(x)\).
Доказательство
В самом деле, если \(Q_m(x)\neq 0\), то из непрерывности многочленов \(P_{n}\) и \(Q_{m}\) следует непрерывность функции \(f\) в точке \(x\). \(\bullet\)
Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Неравенства для тригонометрических функций.
Утверждение 3
Если \(\displaystyle x\in\left(-\frac{\mathrm\pi}2,\frac{\mathrm\pi}2\right)\) и \(x\neq 0\), то
$$
\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1\label{ref1}
$$
Доказательство
\(\circ\) Рассмотрим в координатной плоскости круг единичного радиуса с центром в точке \(O\) (рис. 12.1). Пусть \(\angle{AOB}=x\) где \(0 < x < \displaystyle \frac{\pi}{2}\). Пусть \(C\) — проекция точки \(B\) на ось \(Ox\), \(D\) — точка пересечения луча \(OB\) и прямой, проведенной через точку \(A\) перпендикулярно оси \(Ox\). Тогда
$$
BC=\sin x,\ DA=\tan x.\nonumber
$$
Пусть \(S_{1},\;S_{2},\;S_{3}\) — площади треугольника AOB, сектора AOB и треугольника AOD соответственно. Тогда \(S_{1}=\displaystyle \frac{1}{2}(OA)^2\sin x=\frac{1}{2}\sin x\), \(\displaystyle S_{2}=\frac{1}{2}(OA)^{2}x=\frac{1}{2}x\), \(S_{3}=\displaystyle\frac{1}{2}OA\cdot DA=\frac{1}{2}\tan x\). Так как \(S_{1} < S_{2} < S_{3}\), то
$$
\frac{1}{2}\sin x\;<\;\frac{1}{2}x\;<\;\frac{1}{2}\tan x.\label{ref2}
$$
Если \(\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}2\right)\), то \(\sin x>0\), и поэтому неравенство \eqref{ref2} равносильно неравенству
$$
1 < \frac {x}{\sin x} < \frac1{\cos x},\nonumber
$$
откуда следует, что при \(\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}2\right)\) выполняется неравенство \eqref{ref1}. Так как \(\displaystyle \frac{x}{\sin x}\) и \(\cos x\) — четные функции, то неравенство \eqref{ref1} справедливо и при \(\displaystyle x\in\left(-\frac{\pi}2,0\right)\). \(\bullet\)
Замечание 1
Из неравенства \eqref{ref2} следует, что
$$
\tan x>x\ \mbox{при}\ x\in(0,\frac{\pi}{2}).\label{ref3}
$$
Утверждение 4
Для всех \(x\in\mathbb{R}\) справедливо неравенство
$$
\left|\sin x\right|\leq\left|x\right|\label{ref4}
$$
Доказательство
\(\circ\) Неравенство \eqref{ref4} выполняется при \(x=0\). Пусть \(x\neq 0\). Тогда если \(\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}2\right)\), то из \eqref{ref1} следует неравенство \(\displaystyle \frac{\sin x}{x} < 1\), равносильное неравенству \eqref{ref4}. Так как \(\displaystyle \frac{\sin x}{x}\) — четная функция, то неравенство \eqref{ref4} справедливо и при \(x\displaystyle \in(-\frac{\pi}{2},0)\). Итак, неравенство \eqref{ref4} выполняется, если \(|x| < \displaystyle \frac{\pi}{2}\). Пусть \(|x|\displaystyle \geq\frac{\pi}{2}\); тогда неравенство \eqref{ref4} справедливо, так как \(|\sin x|\leq 1\),а \(\displaystyle \frac{\pi}{2}>1\). \(\bullet\)
Непрерывность тригонометрических функций.
Утверждение 5
Функции \(y=\sin x\) и \(y=\cos x\) непрерывны на \(\mathbb{R}\).
Доказательство
\(\circ\) Пусть \(x_0\) — произвольная точка множества \(\mathbb{R}\). Тогда \(\sin x-\sin x_{0}=\displaystyle 2\sin\frac{x-x_{0}}{2}\cos\frac{x+x_{0}}{2}\). Так как \(\displaystyle\left|\sin\frac{x-x_{0}}{2}\right|\leq\left|\frac{x-x_{0}}{2}\right|\) в силу неравенства \eqref{ref4}, а \(\displaystyle\left|\cos \frac{x+x_{0}}{2}\right|\leq 1\), то \(\left|\sin x — \sin x_0\right|\leq|x-x_0|\), откуда следует, что функция \(y=\sin x\) непрерывна в точке \(x_0\).
Аналогично имеем
$$
\cos x-\cos x_{0}=2\sin\frac{x+x_{0}}{2}\sin\frac{x_{0}-x}{2},\nonumber
$$
откуда \(|\cos x-\cos x_{0}| < |x-x_0|\), и поэтому функция \(\cos x\) непрерывна в точке \(x_0\). \(\bullet\)
Из непрерывности синуса и косинуса следует, что функция \(\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\) непрерывна, если \(\cos x\neq 0\), то есть \(x\neq\displaystyle \frac{\pi}{2}+\pi n\;(n\in\mathbb{Z})\), а функция \(\operatorname{ctg}x=\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}\) непрерывна, если \(x\neq\pi n\;(n\in\mathbb{Z})\).
Первый замечательный предел.
Утверждение 6
Если \(x\rightarrow 0\), то \(\displaystyle \frac{\sin x}{x}\rightarrow 1\), то есть
$$
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1.\label{ref5}
$$
Доказательство
\(\circ\) Воспользуемся неравенством \eqref{ref1}. В силу непрерывности косинуса \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\cos x=\cos 0=1\). Переходя в соотношении \eqref{ref1} к пределу при \(x\rightarrow 0\), получаем равенство \eqref{ref5}. \(\bullet\)
Обратные тригонометрические функции.
\(\sin x\) и \(\arcsin x\).
Рассмотрим функцию
$$
y=\sin x,\quad x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]=\Delta.\label{ref6}
$$
Эта функция, график которой изображен на рис. 12.2, непрерывна и строго возрастает на отрезке \(\Delta\), множество ее значений — отрезок [-1, 1]. По теореме об обратной функции на отрезке [-1,1] определена функция, обратная к функции \eqref{ref6}, непрерывная и строго возрастающая. Ее обозначают
$$
y=\arcsin x,\quad x\in[-1,1].\nonumber
$$
Подчеркнем, что функция \(\arcsin x\) не является обратной к периодической функции \(\sin x\), которая необратима; \(\arcsin x\) — функция, обратная по отношению к функции \(\sin x\) заданной на отрезке \(\Delta=\left[-\displaystyle \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\), то есть обратная к сужению \(\sin x\) на отрезок \(\Delta\). График функции \(y=\arcsin x\), изображенный на рис 12.3, симметричен графику функции \eqref{ref6} относительно прямой \(y=x\). В силу свойств взаимно обратных функций
\begin{gather}
\sin(\arcsin x)=x,\quad x\in[-1,1]\nonumber\\
\arcsin(\sin x)=x,\quad x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\label{ref7}\\
\arcsin(-x)=-\arcsin x,\quad x\in [-1,1]\label{ref8}
\end{gather}
то есть \(\arcsin x\) — нечетная функция.
Пример 1
Построить график функции \(y=\arcsin(\sin x)\).
Решение
\(\triangle\) Функция определена на \(\mathbb{R}\) и является периодической с периодом \(2\pi\). Поэтому достаточно построить ее график на отрезке \(\displaystyle\left[-\frac{\pi}2,\frac{3\pi}2\right]\).
Если — \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}\), то \(y=x\) в силу равенства \eqref{ref7}. Если \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{3\pi}{2}\), то \(\displaystyle -\frac{\pi}{2}\leq x-\pi\leq\frac{\pi}{2}\), и согласно формуле \eqref{ref7} получаем \(\arcsin(\sin(x-\pi))=x-\pi\). С другой стороны, \(\sin(x-\pi)=-\sin x\) и поэтому
$$
\arcsin(\sin(x-\pi))=\arcsin(-\sin x)=-\arcsin(\sin x)\nonumber
$$
в силу равенства \eqref{ref8}. Таким образом, \(x-\pi=-\arcsin(\sin x)\), если \(\displaystyle\left[-\frac{\pi}2,\frac{3\pi}2\right]\). Следовательно,
$$
y=\arcsin \left(\sin x\right)=\left\{\begin{array}{l}x,\;если\;-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2},\nonumber\\
\pi-x,\;если\;\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{3\pi}{2}.\nonumber\end{array}\right.
$$
График функции \(y=\arcsin(\sin x)\) изображен на рис. 12.4. \(\blacktriangle\)
\(\cos x\) и \(\arccos x\).
Функция
$$
y=\cos x,\quad 0\leq x\leq\pi,\nonumber
$$
непрерывна и строго убывает. Обратная к ней функция, которую обозначают
$$
у=\arccos x, x\in[-1,1],\nonumber
$$
непрерывна и строго убывает. График этой функции изображен на рис. 12.5. По свойствам взаимно обратных функций
\begin{gather*}
\cos(\arccos x)=x,\quad x\in[-1,1],\nonumber\\
\arccos(\cos x)=x,\quad x\in[0,\pi].\nonumber
\end{gather*}
\(\operatorname{tg} x\) и \(\operatorname{arctg} x\).
Функция
$$
y=\tan x,\quad-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\nonumber
$$
непрерывна и строго возрастает. Обратная к ней функция, которую обозначают
$$
y=\arctan x,\quad x\in\mathbb{R},
$$
непрерывна и строго возрастает. График этой функции изображен на рис. 12.6.
Отметим, что в силу свойств взаимно обратных функций имеем
\begin{gather}
\tan(\arctan x)=x,\quad x\in\mathbb{R},\nonumber\\
\arctan(\tan x)=x,\quad x\in\left(-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2\right)\nonumber\\
\arctan(-x)=-\arctan x,\quad x\in\mathbb{R},\nonumber
\end{gather}
\(\operatorname{ctg} x\) и \(\operatorname{arcctg} x\).
Функцию, обратную к функции
$$
y=\operatorname{ctg}x,\quad 0 < x < \pi,\nonumber
$$
обозначают \(y=\operatorname{arcctg}x\). Эта функция определена на \(\mathbb{R}\), непрерывна и строго убывает. Ее график изображен на рис. 12.7.
Степенная функция с рациональным показателем.
Степенная функция с натуральным показателем, то есть
$$
y=x^n,\quad x\in\mathbb{R},\nonumber
$$
где \(n\in\mathbb{N}\), непрерывна на \(\mathbb{R}\). Если \(n=2k+1\), то эта функция строго возрастает на \(\mathbb{R}\) и поэтому обратима. На рис. 12.8 изображены графики функций \(y=x^3\) и \(y=\displaystyle \sqrt[3]{x}=x^{1/3}\).
Степенная функция с четным натуральным показателем, то есть функция \(y=x^{2k},\;k\in\mathbb{N},\;x\in\mathbb{R}\), необратима. Однако ее сужение на множество \([0,+\infty)\), то есть функция \(y=x^{2k},\ k\in\mathbb{N}\ x\in [0,+\infty)\), обратима и обратной к ней является функция \(y=\displaystyle \sqrt[2k]{x}\). На рис. 12.81 изображены графики взаимно обратных функций \(y=x^2,\;x\in [0,+\infty)\), и \(y=\sqrt{x}\).
Очевидно, функция \(y=x^2,\;k\in\mathbb{N}\;x\in (0,+\infty)\), то есть сужение функции \(x^{2k}\) на множество \((-\infty,0)\), также обратима, и обратной для нее является функция \(y=\displaystyle -\sqrt[2k]{x}\). На рис. 12.82 изображены графики функций \(y=x^2,\;x\leq 0\), и \(y=-\sqrt{x}\).
Если \(x>0\), то при любом \(n\in\mathbb{N}\) функция \(x^n\) обратима, а обратная к ней функция обозначается \(x^{1/n}\) или \(\sqrt[n]{x}\). Функция \(y=x^{-n},\;n\in\mathbb{N}\), определена и непрерывна при \(x\neq 0\) и записывается в виде \(y=1/x^{n}\). При \(n=2k+1\;(k\in\mathbb{N})\) эта функция обратима на множестве \(E=\{x:\;x\in\mathbb{R},\; x\neq 0\}\), а при \(n=2k\;(k\in\mathbb{N})\) обратима на множествах \((-\infty,0)\) и \((0,+\infty)\).
Дадим определение степенной функции \(x^r\) с рациональным показателем \(r\). Если \(r=m/n,\;m\in\mathbb{Z},\;n\in\mathbb{N}\), то положим
$$
x^r=\left(x^{1/n}\right)^m,\quad x>0.\label{ref11}
$$
Функция \(x^{1/n}\) непрерывна и строго возрастает (рис. 12.9).
Функция \(t^m\) непрерывна при \(t>0\), строго возрастает, если \(m>0\), и строго убывает, если \(m\;<\;0\). Поэтому функция \(x^r\) непрерывна при \(x>0\), строго возрастает, если \(r>0\), и строго убывает, если \(r\;<\;0\).
Перечислим некоторые свойства рациональных степеней вещественных чисел:
\begin{gather}
(a^{1/n})^m=(a^m)^{1/n},\quad a>0,\label{ref12}\\
a^r>1,\;при\;r\in\mathbb{Q},\;a>1,\;r>0,\label{ref13}\\
a^{r_1}a^{r_2}=a^{r_1+r_2},\;при\;a>0,\;r_1\in\mathbb{Q},\;r_2\in\mathbb{Q}\label{ref14}\\
(a^{r_1})^{r_2}=a^{r_1r_2},\;при\;a>0,\;r_1\in\mathbb{Q},\;r_2\in\mathbb{Q}\label{ref15}\\
a^{r_1}>a^{r_2},\;при\;a>1,\;r_1\in\mathbb{Q},\;r_2\in\mathbb{Q},\;r_1>r_2.\label{ref16}
\end{gather}
Свойства \eqref{ref12}-\eqref{ref16} легко проверяются, если воспользоваться свойствами целых степеней и тем, что при \(a>0,\;b>0\) из \(a^n=b^n,\;n\in\mathbb{N}\), следует \(а=b\). Проверим, например, равенство \eqref{ref12}.
Так как
$$
((a^m)^{1/n})^n=a^m,\quad ((a^{1/n})^m)^n=((a^{1/n})^n)^m=a^m,\label{ref17}
$$
то из равенств \eqref{ref17} следует равенство \eqref{ref12}.
Показательная функция.
Свойства функции \(a^r\), где \(a>1,\ r\in\mathbb{Q}\).
Утверждение 7
Если \(a > 1\), то
$$
\forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0:\;\forall r\in\mathbb{Q}:\;|r|\;<\delta\rightarrow[a^r-1]\;<\;r.\label{ref18}
$$
Доказательство
\(\circ\) Мы уже доказывали, что если \(a>1\), то
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}a^{1/n}=1.\label{ref19}
$$
Отсюда следует, что
$$
\lim_{n\rightarrow\infty} a^{-1/n}=1.\label{ref20}
$$
Заметим, что соотношения \eqref{ref19} и \eqref{ref20} справедливы и в случае, когда \(0\;<\;a\leq 1\).
Из \eqref{ref19} и \eqref{ref20} следует, что если \(a>1\), то
$$
\forall\epsilon>0\ \exists p\in\mathbb{N}:\ 0 < a^{1/p}-1 < \varepsilon,\ 0 < 1-a^{-1/p} < \varepsilon,\ где\ p=p(\varepsilon),\nonumber
$$
откуда получаем
$$
1-\varepsilon < a^{-1/p} < 1+\varepsilon.\nonumber
$$
Пусть r — любое рациональное число такое, что \(|r| < 1/p\), то есть \(-1/p < r < 1/p\). Тогда в силу монотонности функции \(a^r\) при \(a>1\) (неравенство \eqref{ref16}) получаем
$$
a^{-1/p} < a < a^{1/p}.\nonumber
$$
Таким образом, для любого \(\varepsilon>0\) существует число \(\delta=1/p>0\) такое, что для всех рациональных чисел \(r\), удовлетворяющих условию \(|r| < \delta\), выполняются неравенства
$$
1-\varepsilon < a^{-1/p} < a^r < a^p < 1+\varepsilon,\nonumber
$$
откуда находим \(-\varepsilon < a^r-1 < \varepsilon\), то есть наше утверждение справедливо. \(\bullet\)
Утверждение 8
Если последовательность рациональных чисел \(\{r_{n}\}\) сходится, то последовательность \(\{a^{r_{n}}\}\), где \(a>1\), также сходится
Доказательство
\(\circ\) Из сходимости последовательности \(\{r_{n}\}\) следует ее ограниченность, то есть
$$
\exists\alpha,\;\beta :\;\forall n\in\mathbb{N}\rightarrow\alpha\leq r_n\leq\beta,\;\alpha\in\mathbb{Q},\;\beta\in\mathbb{Q},\nonumber
$$
Откуда в силу \eqref{ref16} получаем
$$
a^{\alpha}\leq a^{r_{n}}\leq a^{\beta}.\nonumber
$$
Учитывая, что \(a^{\alpha}>0\), и обозначая \(C=\alpha^\beta\), находим, что
$$
\exists C>0:\;\forall n\in\mathbb{N}\rightarrow 0\;<\;a^{r_n}\leq C.\label{ref21}
$$
В силу \eqref{ref18}
$$
\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0:\;\forall r\in\mathbb{Q}:\;|r| < \delta\rightarrow|a^{r}-1| < \frac{\varepsilon}{C}.\label{ref22}
$$
Так как сходящаяся последовательность удовлетворяет условию Коши, то по найденному в соотношении \eqref{ref22} числу \(\delta>0\) можно подобрать номер
$$
N_{e}:\ \forall n\geq N_{\varepsilon},\ \forall m\geq N_{\varepsilon}\rightarrow|r_n-r_m| < \delta.\label{ref23}
$$
Из неравенств \eqref{ref22} и \eqref{ref23} следует, что
$$
|a^{r_{n}-r_{m}}-1| < \frac{\varepsilon}{C}.\label{ref24}
$$
В силу неравенств \eqref{ref21} и \eqref{ref24} получаем
$$
|a^{r_{n}}-a^{r_{m}}|=|a^{r_{m}}(a^{r_{n}-r_{m}}-1)| < C\frac{\varepsilon}{C}=\varepsilon.\nonumber
$$
Таким образом,
$$
\forall\varepsilon>0\ \exists N_{\varepsilon}:\ \forall n\geq N_{\varepsilon},\ \forall m\geq N_{\varepsilon}\rightarrow|a^{r_{n}}-a^{r_{m}}| < \varepsilon,\nonumber
$$
то есть \(\{a^{r_{n}}\}\) — фундаментальная последовательность. В силу критерия Коши она сходится. \(\bullet\)
Определение показательной функции.
Определение
Пусть \(x\) — произвольная точка числовой прямой, и пусть \(\{r_n\}\) — последовательность рациональных чисел, сходящихся к \(x\), то есть \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}r_n=x\). Предполагая, что \(a>0\), положим по определению
$$
a^x=\lim_{n\rightarrow\infty}a^{r_n}.\label{ref25}
$$
Если \(a>1\), то предел \eqref{ref25} существует в силу утверждения 8. Если \(0 < a < 1\), то \(\displaystyle a^{r_n}=\frac{1}{b^{r_{n}}}\), где \(b=\displaystyle \frac{1}{a}>1\), откуда следует, что существует предел \eqref{ref25} и при \(a\in (0,1)\), так как \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}b^{r_{n}}=b^x>0\) (смотри доказанное ниже неравенство \eqref{ref29}). При \(a=1\) предел \eqref{ref25} существует и равен 1, так как \(1^r=1\) для любого \(r\in\mathbb{Q}\). Заметим, что определение показательной функции является корректным, то есть предел \eqref{ref25} не зависит от выбора последовательности рациональных чисел, сходящихся к \(x\) в силу ранее доказанной леммы.
Свойства функции \(y=a^x,\ a>1\).
Свойство 1
Для любых вещественных чисел \(x_{1}\) и \(x_{2}\) выполняется равенство
$$
a^{x_{1}}a^{x_{2}}=a^{x_{1}+x_{2}}.\label{ref26}
$$
Доказательство
\(\circ\) Пусть \(\{r_n\}\) и \(\{\rho_{n}\}\) — последовательности рациональных чисел такие, что \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}r_n=x_{1}\), \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\rho_{n}=x_{2}\). Тогда \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(r_{n}+\rho_{n})=x_{1}+x_{2}\) и по доказанному выше существуют следующие пределы:
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}a^{r_{n}}=a^{x_{1}},\quad\lim_{n\rightarrow\infty}a^{\rho_{n}}=a^{x_{2}},\quad\lim_{n\rightarrow\infty}a^{r_{n}+\rho_{n}}=a^{x_{1}+x_{2}}.\nonumber
$$
Так как в силу равенства \eqref{ref14} \(a^{r_{n}+\rho_{n}}=a^{r_{n}}a^{\rho_{n}}\), то, переходя в последнем равенстве к пределу при \(n\rightarrow\infty\), получаем равенство \eqref{ref26}. \(\bullet\)
Из этой формулы, в частности, следует, что для любого \(x\in\mathbb{R}\) выполняется равенство
$$
a^{-x}=\frac{1}{a^{x}}.\label{ref27}
$$
Свойство 2
Функция \(y=a^x\), где \(a>1\), строго возрастает на \(\mathbb{R}\).
Доказательство
\(\circ\) Нужно доказать, что
$$
\forall x_{1}\in\mathbb{R},\;\forall x_{2}\in\mathbb{R}:\ x_{1} < x_{2}\rightarrow a^{x_{1}} < a^{x_{2}}.\label{ref28}
$$
Заметим сначала, что для любого \(x\in\mathbb{R}\) выполняется неравенство
$$
a^x>0.\label{ref29}
$$
В самом деле, пусть \(r\in\mathbb{Q}\) и \(r < x\). Рассмотрим последовательность рациональных чисел \(\{r_{n}\}\) такую, что \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}r_n=x\) и \(r_n>r\) при \(n\in\mathbb{N}\). Тогда \(a^{r_{n}}>a^r\) в силу \eqref{ref16}, откуда, переходя к пределу, получаем \( a^{x}\geq a^{r}\), где \(a>0\). Итак, \(a\geq a^r>0\), то есть выполняется неравенство \eqref{ref29}. Чтобы доказать неравенство \eqref{ref28}, умножим обе части его на \(a^{-x_{1}}>0\) и, пользуясь свойством 1, получим неравенство
$$
a^{x_{2}-x_{1}}>1,\ x_{2}>x_{1},\nonumber
$$
равносильное неравенству \eqref{ref28}. Полагая \(x_{2}-x_{1}=x\), получим неравенство
$$
a^x>1,\ если\ x>0.\label{ref30}
$$
Итак, для доказательства утверждения \eqref{ref28} достаточно доказать равносильное ему утверждение \eqref{ref30}.
Пусть \(r\in\mathbb{Q}\) таково, что \(0 < r <\;x\), и пусть \(\{r_n\}\) — последовательность рациональных чисел, удовлетворяющая условиям \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}r_n=x\) и \(r_n>r\) для \(n\in\mathbb{N}\). Тогда, используя неравенства \eqref{ref16} и \eqref{ref13}, имеем \(a^{r_{n}}>a^{r}>1\), откуда, переходя к пределу при \(n\rightarrow\infty\), получаем \(a^{x}\geq a^{r}>1\). Свойство 2 доказано. \(\bullet\)
Свойство 3
Функция \(y=a^x\), где \(a\;>\;1\), непрерывна на \(\mathbb{R}\).
Доказательство
\(\circ\) Пусть \(x_0\) — произвольная точка множества \(\mathbb{R},\;\Delta y=a^{x_{0}+\Delta x}-a^{x_0}=a^{x_0}(a^{\Delta x}-1)\). Нужно доказать, что \(a^{\Delta x}\rightarrow 1\) при \(\Delta x\rightarrow 0\) или
$$
\lim_{x\rightarrow 0}a^x=1.\label{ref31}
$$
Пусть \(\{x_{n}\}\) произвольная последовательность вещественных чисел такая, что \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}x_n=0\). В силу свойств вещественных чисел найдутся последовательности рациональных чисел \(\{r_{n}\) и \(\{r_{n}’\}\), удовлетворяющие при \(n\in\mathbb{N}\) условию
$$
x_{n}-\frac{1}{n} < r_{n} < x_{n} < r_{n}’ < x_{n}+\frac{1}{n},\nonumber
$$
откуда, используя свойство 2, получаем
$$
a^{r_{n}} < a^{x_{n}} < a^{r_{n}’}.\label{ref32}
$$
Так как \(r_{n}’\rightarrow 0\) и \(r_n\rightarrow 0\) при \(n\rightarrow\infty\), то из \eqref{ref18} следует, что \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a^{r_{n}}= =\lim_{n\rightarrow\infty}a^{r_{n}’}=1\). Отсюда, используя выражение \eqref{ref32}, получаем \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a^{x_{n}}=1\). Утверждение \eqref{ref31} доказано, откуда следует, что существует \(\lim_{\Delta x\rightarrow 0}a^{x_0+\Delta x}\), равный \(a^{x_0}\), то есть функция \(a^x\) непрерывна в точке \(x_0\). Так как \(x_0\) — произвольная точка множества \(\mathbb{R}\), то функция \(a^x\) непрерывна на \(\mathbb{R}\). \(\bullet\)
Свойство 4
Для любого \(x_1\in\mathbb{R}\) и любого \(x_2\in\mathbb{R}\) справедливо равенство
$$
(a^{x_{1}})^{x_{2}}=a^{x_{1}x_{2}}.\label{ref33}
$$
Доказательство
- \(\circ\) Пусть \(x_{2}=r\in\mathbb{Q},\;x_1\in\mathbb{R}\), и пусть \(\{r_{n}\}\) — последовательность рациональных чисел такая, что \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}r_n=x_{1}\). Тогда, используя равенство \eqref{ref14} получаем
$$
(a^{r_{n}})^{r}=a^{rr_{n}}.\label{ref34}
$$
Так как \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}rr_n=rx_1\), то по определению показательной функции существует \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a^{rr_{n}}=a^{rx_{1}}.\)Обозначим \(a^{r_{n}}=t_{n},\;a^{x_{1}}=t_{0}\). Тогда по определению показательной функции существует \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}t_n=t_0\), и в силу непрерывности степенной функции с рациональным показателем в левой части равенства \eqref{ref34} существует \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(a^{r_n})^r=(a^{x_1})^r\). Отсюда следует, что справедливо равенство
$$
(a^{x_{1}})^{r}=a^{x_{1}r}\label{ref35}
$$
для любого \(x_1\in\mathbb{R}\) и любого \(г\in\mathbb{Q}\). - Пусть \(x_1\) и \(x_2\) — произвольные вещественные числа, и пусть \(\{\rho_{n}\}\) — любая последовательность рациональных чисел такая, что \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\rho_{n}=x_{2}\). Из равенства \eqref{ref35} при \(r=\rho_n\) получаем
$$
(a^{x_{1}})^{\rho_{n}}=a^{x_{1}\rho_{n}}.\label{ref36}
$$
Так как \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}x_{1}\rho_{n}=x_{1}x_{2}\),
то в силу свойства 3 правая часть равенства \eqref{ref36} имеет при \(n\rightarrow \infty\)
предел, равный \(a^{x_{1}x_{2}}\). Покажем, что левая часть \eqref{ref36} имеет предел, равный \((a^{x_{1}})^{x_{2}}\). Обозначим \(a^{x_1}=b\). Тогда по определению показательной функции существует \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(a^{x_1})^{\rho_1}=\lim_{n\rightarrow\infty}b^{\rho_n}=b^{x_2}=(a^{x_1})^{x_2}\). Равенство \eqref{ref33} доказано. \(\bullet\)
Свойство 5
Если \(a>1\), то
\begin{gather}
\lim_{x\rightarrow +\infty}a^{x}=+\infty,\label{ref37}\\
\lim_{x\rightarrow-\infty}a^{x}=0.\label{ref38}
\end{gather}
Доказательство
\(\circ\) Из неравенства \(x\geq[x]\) в силу свойства 2 получаем \(a^{x}\geq a^{[x]}\). Так как \(а>1\), то \(a=1+\alpha\), где \(\alpha>0\). Применяя неравенство Бернулли, имеем
$$
a^{[x]}=(1+\alpha)^{[x]}>\alpha[x]>\alpha(x-1).\nonumber
$$
Итак, \(a^{x}>\alpha(x-1\), где \(\alpha>0\), откуда следует соотношение \eqref{ref37}. Если \(x\;<\;0\), то, используя равенство \(\displaystyle a^x=\frac{1}{a^{-x}}\) и соотношение \eqref{ref37}, получаем утверждение \eqref{ref38}. \(\bullet\)
Итак, показательная функция \(y=a^{x}\), где \(a>1\), непрерывна на всей числовой оси и строго возрастает; множество ее значений — интервал \((0,+\infty)\).
Замечание 2
Свойство 1, свойство 3, свойство 4 остаются в силе и для показательной функции \(y=a^x\), где \(0 < a < 1\).
Однако в отличие от функции \(y=a^{x},\;a>1\), которая является строго возрастающей, функция \(y=a^x,\ 0 < a < 1\), строго убывает, так как \(a^{x}=\displaystyle \frac{1}{b^{x}}\), где \(\displaystyle b=\frac{1}{a}\). Из \eqref{ref37} и \eqref{ref38} следует, что если \(0 < a < 1\), то
$$
\lim_{x\rightarrow -\infty}a^{x}=+\infty,\quad\lim_{x\rightarrow +\infty}a^{x}=0.\nonumber
$$
На рис. 12.10 и 12.11 изображены графики показательной функции \(y=a^{x}\) для случаев \(a>1\) и \(0 < a < 1\).
Замечание 3
В качестве основания показательной функции часто используют число \(e\), а функцию \(y=e^{x}\) называют экспоненциальной и обозначают \(\exp x\).
Пример 3
Построить график функции \(y=e^{1/x}\).
Решение
\(\triangle\) Функция \(e^{1/x}\) — определена при \(x\neq 0\), принимает положительные значения при всех \(x\neq 0\), является строго убывающей на интервалах \(E_1=(-\infty,0)\) и \(E_2=(0,+\infty)\), причем \(e^{1/x} < 1\) при \(x\in E_{1}\) и \(e^{1/x}>1\) при \(x\in E_2\). Учитывая, что \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}e^{1/x}=1-0\), \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-0}e^{1/x}=+0\), \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+0}e^{1/x}=+\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}e^{1/x}=1+0\), строим график функции \(y=e^{1/x}\) (рис. 12.12). \(\blacktriangle\)
Логарифмическая функция.
По теореме об обратной функции на промежутке \((0,+\infty)\) определена функция, обратная к функции \(y=a^{x},\ a>1\). .Эта функция называется логарифмической и обозначается \(y=\log_{a}x\). В силу свойств обратных функций логарифмическая функция с основанием \(a>1\) является непрерывной и строго возрастающей. Множество ее значений — вся числовая прямая. График функции \(y=\log_{a}x\), где \(a>1\), изображен на рис. 12.13.
Аналогично определяется функция \(y=\log_{a}x\), где \(0 < a < 1\). Эта функция, график которой изображен на рис. 12.14, является непрерывной и строго убывающей на промежутке \((0,+\infty)\).
Пусть \(a>0.\ a\neq 1\). Тогда по свойствам взаимно обратных функций справедливы равенства
\begin{gather}
a^{\log_{a}x}=x,\quad x>0,\nonumber\\
\log_{a}a^{x}=x,\quad x\in\mathbb{R}.\label{ref39}
\end{gather}
Если \(x>0,\;x_{1}>0,\;x_{2}>0\), то из свойства 1 показательной функции и формулы \eqref{ref39} следует, что
$$
\log_{a}(x_{1}x_{2})=\log_{a}x_{1}+\log_{a}x_{2},\nonumber
$$
$$
\log_{a}\frac{x_{1}}{x_{2}}=\log_{a}x_{1}-\log_{a}x_{2},\nonumber
$$
$$
\log_{a}x^{\alpha}=\alpha\log_{a}x,\;\alpha\in\mathbb{R}.\nonumber
$$
Логарифмируя равенство \eqref{ref39} по основанию \(b\), где \(b>0,\ b\neq 1\), получаем следующую формулу перехода от одного основания к другому:
$$
\log_{a}x=\frac{\log_{b}x}{\log_{b}a},\nonumber
$$
откуда при \(x=b\) находим формулу
$$
\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}.\nonumber
$$
Отметим, что в качестве основания логарифмов часто используется число \(e\). Логарифм числа \(x\) с основанием \(e\) называют натуральным и обозначают \(\ln x\).
Гиперболические функции и обратные к ним.
Определение
Функции, заданные формулами
$$
\operatorname{ch}x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2},\quad \operatorname{sh}x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2},\nonumber
$$
называют соответственно гиперболическим косинусом и гиперболическим синусом.
Эти функции определены и непрерывны на \(\mathbb{R}\), причем \(\operatorname{ch}\) — четная функция, a \(\operatorname{sh}\) — нечетная функция. Графики функций \(y=\operatorname{ch}x\) и \(y=\operatorname{sh}x\) изображены на рис. 12.15.
Из определения гиперболических функций \(\operatorname{sh}\) и \(\operatorname{ch}\) следует, что
\begin{gather}
\operatorname{sh}x+\operatorname{ch}x=e^{x},\quad \operatorname{ch}^{2}x-\operatorname{sh}^{2}x=1,\label{ref40}\\
\operatorname{ch}2x=1+2\operatorname{sh}^{2}x,\quad\operatorname{sh}2x=2\operatorname{sh}x\operatorname{ch}x.\label{ref41}
\end{gather}
По аналогии с тригонометрическими функциями гиперболические тангенс и котангенс определяются соответственно формулами
$$
\operatorname{th}x=\displaystyle \frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x},\quad \operatorname{cth}x=\displaystyle \frac{\operatorname{ch}x}{\operatorname{sh}x}.\nonumber
$$
Функция \(\operatorname{th} x\) определена и непрерывна на \(\mathbb{R}\), а функция \(\operatorname{cth}\) — определена и непрерывна на множестве \(\mathbb{R}\) с выколотой точкой \(x=0\); обе функции нечетные, их графики представлены на рис. 12.16 и рис. 12.17.
Можно показать (в дальнейшем мы разберем этот пример, используя производные), что функции \(y=\operatorname{sh}x,\;y=\operatorname{th}X\) и \(y=\operatorname{сh}x,\;x>0\), строго возрастающие, а функция \(\operatorname{ch}x,\;x\leq 0\), строго убывающая. Поэтому указанные функции обратимы. Обозначим обратные к ним функции соответственно через \(\operatorname{arsh}x,\;\operatorname{arth}x,\;\operatorname{arch}_{+}x,\;\operatorname{arch}_{-}x\).
Рассмотрим функцию, обратную к функции \(\operatorname{sh}x\), то есть функцию \(\operatorname{arsh}x\) (читается ареа-синус от \(x\)). Выразим ее через элементарные.
Решая уравнение \(\displaystyle \operatorname{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=y\) относительно \(x\), получаем \(e^{x}=y\pm\sqrt{1+y^{2}}\). Так как \(e^{x}>0\), то \(e^{x}=y+\sqrt{1+y^{2}}\), откуда \(x=\displaystyle \ln(y+\sqrt{1+y^{2}})\). Если мы заменим \(x\) на \(y\), a \(y\) на \(x\), то найдем формулу для функции, обратной для гиперболического синуса:
$$
\operatorname{агsh}x=\ln(x+\sqrt{1+x^{2}}),\quad x\in\mathbb{R}.\nonumber
$$
Замечание 4
Название «гиперболические функции» объясняется тем, что уравнения \(x=\operatorname{ch}t,\ y=\operatorname{sh}t\) можно рассматривать как параметрические уравнения гиперболы \(x^{2}-y^{2}=1\) (см. формулу \eqref{ref40}). Параметр \(t\) в уравнениях гипербол равен удвоенной площади гиперболического сектора. Это отражено в обозначениях и названиях обратных гиперболических Функций, где частица \(arc\) есть сокращение латинского (и английского) слова агеа — площадь.
Степенная функция с любым вещественным показателем.
Выше нами была рассмотрена степенная функция вида \(x^r\), где \(r\in\mathbb{Q}\) (то есть \(r\) — рациональное число). Степенная функция с любым вещественным показателем \(\alpha\) при \(x>0\) выражается формулой
$$
x^{\alpha}=e^{\alpha\ln x}.\label{ref42}
$$
Функция \(x^{\alpha}\) непрерывна при \(x>0\) как суперпозиция показательной функции \(e^{t}\) и функции \(t=\alpha\ln{x}\), которые являются непрерывными. Из равенства \eqref{ref42} и свойств показательной и логарифмической функций следует, что функция \(x^\alpha\) строго возрастает при \(\alpha>0\) и строго убывает при \(\alpha < 0\) на промежутке \((0,+\infty)\). Из формулы \eqref{ref42} и равенства \(\ln{e^t}=t\) следует, что
$$
\ln{x^{\alpha}}=\alpha\ln{x},\;\alpha\in\mathbb{R},\;x>0.\nonumber
$$
Замечание 5.
Если \(\alpha\in\mathbb{Q}\), то функция \(x^{\alpha}\) может иметь смысл при \(x < 0\). Например, функции \(x^{2},\ \sqrt[3]{x}\) определены на \(R\), а функции \(1/x^{5},\;1\sqrt[7]{x}\) определены при всех \(x\in\mathbb{R}\), кроме \(x=0\).
Показательно-степенная функция.
Пусть функции \(u(x)\) и \(v(x)\) определены на промежутке \(\Delta=(a,b)\), причем для всех \(x\in\Delta\) выполняется условие \(u(x)>0\). Тогда функцию \(y\), определяемую формулой
$$
y=e^{v(x)\ln{u(x)}},\nonumber
$$
будем называть показательно-степенной и обозначать
$$
u(x)^{v(x)}.\nonumber
$$
Таким образом, по определению
$$
u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}.\nonumber
$$
Если \(u,\;v\) — функции, непрерывные на \(\Delta\), то функция \(u^{v}\) непрерывна на \(\Delta\) как суперпозиция непрерывных функций \(e^t\) и \(t=v(x)\ln{u(x)}\).