Предел функции.

Содержание:

  1. Понятие предела
  2. Два определения предела функции и их эквивалентность.
  3. Различные типы пределов.
  4. Свойства пределов функций.
  5. Пределы монотонных функций.
  6. Критерий Коши существования предела функции.

1. Понятие предела. 

Важную роль в курсе математического анализа играет понятие предела, связанное с поведением функции в окрестности данной точки. Напомним, что \(\delta\) — окрестностью точки \(a\) называется интервал длины \(2\delta\) с центром в точке \(a\), т.е. множество
$$
U_{\delta}(a)=\{x:|x-a|\;<\;\delta\}=\{x:a-\delta\;<\;x\;<\;a+\delta\}.\nonumber
$$

Если из этого интервала удалить точку \(a\), то получим множество, которое называют проколотой \(\delta\)-окрестностью точки \(a\) и обозначают \(\dot{U}_{\delta}(a)\), т.е.
$$
\dot{U}_{\delta}(a)=\{x:|x-a|<\delta,\ x\neq a\}=\{x:0<|x-a|<\delta\}.\nonumber
$$

Предваряя определение предела функции, рассмотрим два примера.


Пример 1.

Исследуем функцию \(f(x)=\displaystyle \frac{x^2-1}{x-1}\) в окрестности точки \(x=1\).

Решение.

\(\triangle\) Функция \(f\) определена при всех \(x\in\mathbb{R}\), кроме \(x=1\), причем \(f(x)=x+1\) при \(x\neq 1\). График этой функции изображен на рис. 10.1.

Рис. 10.1
Рис. 10.1

Из этого рисунка видно, что значения функции близки к 2, если значения \(x\) близки к 1 (\(x\neq 1\). Придадим этому утверждению точный смысл.

Пусть задано любое число \(\varepsilon>0\) и требуется найти число \(\delta>0\) такое, что для всех \(x\) из проколотой \(\delta\)-окрестности точки \(x=1\) значения функции \(f(x)\) отличаются от числа 2 по абсолютной величине меньше, чем на \(\varepsilon\).

Иначе говоря, нужно найти число \(\delta>0\) такое, чтобы для всех \(x\in\dot{U}_{\delta}(a)\) соответствующие точки графика функции \(y=f(x)\) лежали в горизонтальной полосе, ограниченной прямыми \(y=2-\varepsilon\) и \(y=2+\varepsilon\) (см. рис. 10.1), т.е. чтобы выполнялось условие \(f(x)\in U_{\varepsilon}(2)\). В данном примере можно взять \(\delta=\varepsilon\).

В этом случае говорят, что функция \(f(x)\) стремится к двум при \(x\), стремящемся к единице, а число 2 называют пределом функции \(f(x)\) при \(x\rightarrow 1\) и пишут \(\displaystyle \lim{x\rightarrow 1}f(x)=2\) или \(f(x)\rightarrow 2\) при \(x\rightarrow 1.\quad\blacktriangle\)


Рис. 10.2
Рис. 10.2

Пример 2.

Исследуем функцию
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
1-x,\;если\;x\;<\;0,\\
0,\;если\;x=0,\\
1-x^{2},\;если\;x>0,
\end{array}\right.\nonumber
$$
в окрестности точки \(x=0.\)

Решение.

\(\triangle\) Из графика этой функции (рис. 10.2) видно, что для любого \(\varepsilon>0\) можно найти \(\delta>0\) такое, что для всех \(x\in\dot{U}_{\delta}(0)\) выполняется условие \(f(x)\in U_{\varepsilon}(1)\). В самом деле, прямые \(y=1+\varepsilon\) и \(у=1-\varepsilon\) пересекают график функции \(y=f(x)\) в точках, абсциссы которых равны \(x_{1}=-\varepsilon,\;x_2=\sqrt{\varepsilon}\). Пусть \(\delta\) — наименьшее из чисел \(|x_{1}|\) и \(x_2\), т.e. \(\displaystyle \delta=\min(\varepsilon,\sqrt{\varepsilon})\). Тогда если \(|x|\;<\;\delta\) и \(x\neq 0\), то \(|f(x)-1|\;<\;\varepsilon\), т.е. для всех \(x\in\dot{U}_{\delta}(0)\) выполняется условие \(f(x)\in U_{\varepsilon}(1)\). этом случае говорят, что функция \(f(x)\) стремится к единице при \(x\), стремящемся к нулю и пишут,
$$
\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}{f(x)}=1.\quad\blacktriangle\nonumber
$$


В первом примере функция не определена в точке \(x=1\), а во втором функция определена в точке \(x=0\), но значение функции в точке \(x=0\) не совпадает с ее пределом при \(x\rightarrow 0\).


2. Два определения предела функции и их эквивалентность.

a) Определение предела по Коши. Число \(A\) называется пределом функции \(f(x)\) в точке \(a\), если эта функция определена в некоторой окрестности точки \(a\), за исключением, быть может, самой точки \(a\), и для каждого \(\varepsilon>0\) найдется число \(\delta>0\) такое, что для всех \(x\), удовлетворяющих условию \(|x-a|\;<\;\delta,\;x\neq a\), выполняется неравенство \(|f(x)-A|\;<\;\delta\). В этом случае пишут \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}{f(x)}=A\) или \(f(x)\rightarrow A\) при \(x\rightarrow a\).

С помощью логических символов это определение можно записать так:
$$
\displaystyle \left\{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=A\right\}\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0:\;\forall x:0\;<\;|x-a|\;<\;\delta\rightarrow|f(x)-A|<\varepsilon,\nonumber
$$

или, используя понятие окрестности, в виде
$$
\displaystyle \left\{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=A\right\}\Leftrightarrow\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0:\;\forall x\in\dot{U}_{\delta}(a)\rightarrow f(x)\in U_{\varepsilon}(A).\nonumber
$$

Таким образом, число \(A\) есть предел функции \(f(x)\) в точке \(a\), если для любой \(\varepsilon\)-окрестности числа \(A\) можно найти такую проколотую \(\delta\)-окрестность точки \(a\), что для всех \(x\), принадлежащих этой \(\delta\)-окрестности, соответствующие значения функции содержатся в \(\varepsilon\)-окрестности числа \(A\).


Замечание 1.
В определении предела функции в точке \(a\) предполагается, что \(x\neq a\). Это требование связано с тем, что точка \(a\) может не принадлежать области определения функции. Отсутствие этого требования сделало бы невозможным использование предела для определения производной, так как производная функции \(f(x)\) в точке \(a\) — это предел функции
$$
F(x)=\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a},\nonumber
$$
которая не определена в точке \(a\).

Отметим еще, что число \(\delta\), фигурирующее в определении предела, зависит, вообще говоря, от \(\varepsilon\), т.е. \(\delta=\delta(\varepsilon)\).

б) Определение предела по Гейне. Число \(A\) называется пределом функции \(f(x)\) в точке \(a\), если эта функция определена в некоторой проколотой окрестности точки \(\alpha\), т.е. \(\exists\delta_{0}>0:\;\dot{U}_{\delta_{0}}(a)\subset D(f)\), и для любой последовательности \(\{x_{n}\}\), сходящейся к \(a\) и такой, что \(x_{n}\in U_{\delta_0}(a)\) для всех \(n\in\mathbb{N}\), соответствующая последовательность значений функции \(\{f(x_{n})\}\) сходится к числу \(A\).


Пример 3.

Пользуясь определением предела по Гейне, доказать, что функция 

$$
f(x)=\sin\frac{1}{x}\nonumber
$$
не имеет предела в точке \(x=0\).

Решение.

\(\triangle\) Достаточно показать, что существуют последовательности \(\{x_{n}\}\) и \(\{\widetilde{x}_{n}\}\) с отличными от нуля членами, сходящиеся к нулю и такие, что \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})\neq\lim_{n\rightarrow\infty} f(\widetilde{x}_n)\). Возьмем \(x_{n}=\displaystyle (\frac{\pi}{2}+2\pi n)^{-1},\widetilde{x}_{n}=(\pi n)^{-1}\), Тогда \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\widetilde{x}_{n}=0,\; f(x_{n})=1\) и \(f(\widetilde{x}_{n})=0\) для всех \(n\in\mathbb{N}\) и поэтому \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})=1\), a \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}f(\widetilde{x}_{n})=0\). Следовательно, функция
\(\displaystyle \sin\frac{1}{x}\) не имеет предела в точке \(x=0.\quad \blacktriangle\)


Замечание 2.
Если функция \(f\) определена в проколотой \(\delta_{0}\)-окрестности точки \(a\) и существуют число \(A\) и последовательность \(\{x_n\}\) такие, что \(x_n \in  \dot{U}_{\delta_{0}}(a)\) при всех \(n \in\mathbb{N},\; \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a\) и \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})=A\), то число \(A\) называют частичным пределом функции \(f\) в точке \(a\).

Так, например, для функции \(f(х)=\displaystyle \sin\frac{1}{x}\) каждое число \(A \in [-1, 1]\) является ее частичным пределом. В самом деле, последовательность \(\{x_{n}\}\), где \(x_{n}=\displaystyle (\arcsin A+2\pi n)^{-1}\), образованная из корней уравнения \(\displaystyle \sin\frac{1}{x}=A\) (рис. 10.3), такова, что \(x_n\neq 0\) для всех \(n\in\mathbb{N},\;\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}x_n=0\) и \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})=A\).

Рис. 10.3
Рис. 10.3

в) Эквивалентность двух определений предела.

Теорема 1. Определения предела функции по Коши и по Гейне эквиваленты.

Доказательство.

\(\circ\) В определениях предела функции \(f(x)\) по Коши и по Гейне предполагается, что функция \(f\) определена в некоторой проколотой окрестности точки \(a\), т.е. существует число \(\delta_0>0\) такое, что \(\dot{U}_{\delta_{0}}\in D(f)\).

a) Пусть число \(A\) есть предел функции \(f\) в точке \(a\) по Коши; тогда \(\exists\delta_{0}>0:\;\dot{U}_{\delta_{0}}\subset D(f)\) и
$$
\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta\in(0,\delta_{0}]:\quad\forall x\in\dot{U}_{\delta}(a)\rightarrow f(x)\in U_{\varepsilon}(A).\label{ref1}
$$
Рассмотрим произвольную последовательность \(\{x_{n}\}\), сходящуюся к числу \(a\) и такую, что \(x_{n}\in\dot{U}_{\delta_{0}}(a)\) для всех \(n\in\mathbb{N}\). Согласно
определению предела последовательности для найденного в \eqref{ref1} числа \(\delta=\delta (\varepsilon)>0\) можно указать номер \(n_\delta\) такой,
что \(\forall n\geq n_{\delta}\rightarrow x_{n}\in\dot{U}_{\delta}(a)\), откуда в силу условия \eqref{ref1} следует, что \(f(x_{n})\in U_{\varepsilon}(A)\). Таким образом,
$$
\forall \varepsilon>0\quad\exists N_{\varepsilon}:\;\forall n\geq N_{\varepsilon}\rightarrow f(x_{n})\in U_{\varepsilon}(A),\label{ref2}
$$
где \(N_{\varepsilon}=n_{\delta(\varepsilon)}\), причем условие \eqref{ref2} выполняется для любой последовательности \(\{x_{n}\}\) такой,что \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a\) и \(x_{n}\in\dot{U}_{\delta_{0}}(a)\subset D(f)\). Следовательно, \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})=A\), т.е. число \(A\) — предел функции \(f(x)\) в точке \(a\) по Гейне.

б) Докажем, что если число \(A\) есть предел функции \(f(x)\) в точке \(a\) по Гейне, то это же число является пределом функции \(f\) по Коши, т.е. выполняется условие \eqref{ref1}. Допустим, что это неверно. Тогда
$$
\exists\varepsilon_{0}>0:\quad\forall\delta\in(0,\delta_{0}]\quad\exists x(\delta)\in\dot{U}_{\delta}(a):\;|f(x(\delta))-A|\geq\varepsilon_{0}.\label{ref3}
$$
Согласно \eqref{ref3} в качестве \(\delta\) можно взять любое число из полуинтервала \((0,\delta_{0}]\). Возьмем \(\delta=\delta_{0}/n\), где \(n\in\mathbb{N}\), и обозначим \(x_n=x(\delta_{0}/n)\). Тогда в силу \eqref{ref3} для любого \(n\in\mathbb{N}\) выполняются неравенства
$$\begin{gather} 0\;<\;|x_{n}-a|\;<\;\delta_{0}/n,\label{ref4}\\ |f(x_{n})-A|\geq\varepsilon_{0}.\label{ref5} \end{gather}$$

Из \eqref{ref4} следует, что \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}x_{n}=a\) и \(x_{n}\in\dot{U}_{\delta_{0}}(а)\) при всех \(n\in\mathbb{N}\), а из \eqref{ref5} заключаем, что число \(A\) не может быть пределом последовательности \(\{f(x_{n})\}\). Следовательно, число \(A\) не является пределом функции \(f\) в точке \(a\) по Гейне. Полученное противоречие доказывает, что должно выполняться утверждение \eqref{ref1}. \(\bullet\)


Замечание 3.
Пусть \(а\) — предельная точка числового множества \(E\), т.е. такая точка, в любой окрестности которой содержится по крайней мере одна точка множества \(E\), отличная от \(a\). Тогда число \(A\) называют пределом по Коши функции \(f(x)\) в точке \(a\) по множеству \(E\) и обозначают \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a,\;x\in E}f(x)=A\), если
$$
\forall\varepsilon>0\quad \exists\delta>0:\quad\forall x\in \dot{U}_{\delta}(a)\cap E\rightarrow|f(x)-A|<\varepsilon.\nonumber
$$

Предполагается, что \(\dot{U}_{\delta_{0}}(а)\cap Е\subset D(f)\) для некоторого \(\delta_{0}>0\). Аналогично формулируется определение предела по Гейне по множеству \(E\). Например, функция Дирихле \(f\), равная единице для любого \(x\in\mathbb{Q}\) и равная нулю для любого \(x\in\mathbb{J}\), имеет предел по множеству \(\mathbb{Q}\) и по множеству \(\mathbb{J}\), причем \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a,\;x\in\mathbb{Q}}f(x)=1,\;\lim_{x\rightarrow a,x\in\mathbb{J}}f(x)=0\) для любой точки \(a\in\mathbb{R}\)


3. Различные типы пределов.

a) Односторонние конечные пределы. Число \(A\) называют пределом слева функции \(f(x)\) в точке a и обозначают \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow {a-0}}f(x)\) или \(f(a-0)\), если
$$
\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0:\quad\forall x\in(a-\delta,a)\rightarrow|f(x)-A_{1}|\;<\;\varepsilon.\nonumber
$$

Аналогично число \(A_2\) называют пределом справа функции \(f(x)\) в точке \(a\) и обозначают \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a+0}f(х)\) или \(f(a+0)\), если
$$
\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0:\;\forall x\in (a,a+\delta)\rightarrow|f(x)-A_2|\;<\;\varepsilon.
$$

Числа \(A_1\) и \(A_2\) характеризуют поведение функции \(f\) соответственно в левой и правой полуокрестности точки \(a\), поэтому пределы слева и справа называют односторонними пределами. Если \(a=0\), то предел слева функции \(f(x)\) обозначают \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -0}f(x)\) или \(f(-0)\), а предел справа обозначают \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +0}f(x)\) или \(f(+0)\).

Например, для функции \(f(x)=sign\;x\), где 
$$
sign\;x=\left\{\begin{array}{ll} 
-1,\;если\;x\;<\;0,\\ 
0,\;если\;x=0,\\ 
1,\;если\;x>0, 
\end{array}\right.\nonumber
$$
график которой изображен на рис. 10.4 \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow-0}f(x)=f(-0)=-1,\;\displaystyle \lim_{x\rightarrow+0}f(x)=f(+0)=1\).

Рис. 10.4
Рис. 10.4

Отметим еще, что если
$$
\forall\varepsilon>0\exists\delta>0:\forall x\in\dot{U}_{\delta}(a)\rightarrow f(x)\in[A,A+\varepsilon),
$$
т.е. значения функции лежат в правой \(\varepsilon\)-полуокрестности числа \(A\), то пишут \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow A}f(x)=A+0\). В частности, если \(A=0\), то пишут \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=+0\).

Аналогично
$$
\displaystyle \{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=A-0\}\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0:\;\forall x\in\dot{U}_{\delta}(a)\rightarrow f(x)\in (A-\varepsilon,A\rbrack.\nonumber
$$
Например, для функции
$$
\varphi (x)=\left\{\begin{array}{ll} 
1-x,\;если\;x\;<\;0,\\ 
2,\;если\;x=0,\\ 
1+\sqrt{x},\;если\;x>0, 
\end{array}\right.\nonumber
$$

график которой изображен на рис. 10.5, \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}f(x)=1+0\).

Рис. 10.5
Рис. 10.5

Аналогичный смысл имеют записи вида
$$
\displaystyle \lim_{x\rightarrow a-0}f(x)=A+0,\quad \displaystyle \lim_{x\rightarrow a+0}f(x)=A-0\nonumber
$$

Например,
$$
\displaystyle \{\lim_{x\rightarrow a-0}f(x)=A+0\}\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0\exists\delta>0:\forall x\in(a-\delta,a)\rightarrow f(x)\in[A,A+\varepsilon).
$$

6) Бесконечные пределы в конечной точке. Говорят, что функция \(f(x)\), определенная в некоторой проколотой окрестности точки \(a\), имеет в этой точке бесконечный предел, и пишут \(\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\infty\), если
$$
\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0:\;\forall x\in\dot{U}_{\delta}(a)\rightarrow|f(x)|>\varepsilon.\label{ref6}
$$

В этом случае функцию \(f(x)\) называют бесконечно большой при \(x\rightarrow a\).

Согласно условию \eqref{ref6} график функции \(y=f(x)\) для всех \(x\in \dot{U}_{\delta}(a)\) лежит вне горизонтальной полосы \(|y|\;<\;\varepsilon\). Обозначим
$$
U_{\varepsilon}(\infty)=\{y:|y|>\varepsilon\}=(-\infty,\ -\varepsilon)\cup(\varepsilon,+\infty)
$$
и назовем это множество \(\varepsilon\)-окрестностью бесконечности. Тогда запись \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\infty\) означает, что для любой \(\varepsilon\)-окрестности бесконечности \(U_{\varepsilon}(\infty)\) найдется такая проколотая \(\delta\)-окрестность точки \(a\), что для всех \(x\in \dot{U}_{\delta}(a)\) выполняется условие \(f(x)\in U_{\varepsilon}(\infty)\).

Рис. 10.6
Рис. 10.6

Например, если \(f(x)=1/x\), то \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}f(x)=\infty\), так как условие \eqref{ref6} выполняется при \(\delta=1/\varepsilon\) (рис.10.6).

Аналогично говорят, что функция \(f(x)\), определенная в некоторой проколотой окрестности точки \(a\), имеет в этой точке предел, равный \(+\infty\), и пишут \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=+\infty\), если \(\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0:\;\forall x\in\dot{U}_{\delta}(a)\rightarrow f(x)>\varepsilon\), т.е. \(f(x)\in U_{\varepsilon}(+\infty)\), где множество \(U_\varepsilon (+\infty )\) называют \(\varepsilon\)-окрестностью символа \(+\infty\).

Если 
$$
\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0:\forall x\in\dot{U}_{\delta}(a)\rightarrow f(x)\;<\;-\varepsilon,\nonumber
$$
т.е. \(f(x)\in U_{\varepsilon}(-\infty)\), где \(U_{\varepsilon}(-\infty)=(-\infty, -\varepsilon)\), то говорят, что функция \(f\) имеет в точке \(а\) предел, равный \(-\infty\), и пишут
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}{f(x)}=-\infty\), а множество \(U\varepsilon (-\infty )\) называют \(\varepsilon\) — окрестностью символа \(-\infty \).

Рис. 10.7
Рис. 10.7
Рис. 10.8
Рис. 10.8

Например, если \(f(x)=\lg x^2\) (рис. 10.7), то \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}f(x)=-\infty\), а если \(f(x)=\frac{1}{x^{2}}\) (рис. 10.8), то \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} f(x)=+\infty\).

в) Предел в бесконечности. Если

$$
\forall\varepsilon>0\exists\delta>0:\forall x\in U_{\delta}(+\infty)\rightarrow f(x)\in U_{\varepsilon}(A),\nonumber
$$

то говорят, что число \(A\) есть предел функции \(f(x)\) при x, стремящемся к плюс бесконечности, и пишут \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow+\infty} f(x)=A.\)

Например, если \(f(x)=\frac{3-2x}{x+1}\) (см. рис. 9.4), то \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} f(x)=-2\). В самом деле \(f(x)=-2+\frac{5}{x+1}\), и если x>0, то \(x+1>x>0.\) Поэтому \(\frac{5}{x+1}<\frac{5}{x}\), откуда следует, что неравенство\(|\)f(х)\(+\)2\(| < \frac{5}{x}<\varepsilon\) для любого \(\varepsilon >0\) выполняется при любом \(x >\delta\), где \(\delta=\frac{5}{\varepsilon}\), т.е. при любом \(x\in U_{\delta}(+\infty)\).

Если \(\forall\varepsilon>0 \ \exists\delta>0:\forall x\in U_{\delta}(-\infty)\rightarrow f(x)\in U_{\varepsilon}(A)\), т. е. неравенство  \(|f(x)-A|<\varepsilon\) выполняется для всех \(x\in(-\infty,\ -\delta)\) , то говорят, что число \(A\) есть предел функции \(f(x)\)} при x, стремящемся к минус бесконечности, и пишут \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=A\). Например, \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{3-2x}{x+1}=-2\) (см. рис. 9.4).

Аналогично, если
$$
\forall\ \varepsilon>0\exists\delta>0:\forall x\in U_{\delta}(\infty)\rightarrow f(x)\in U_{\varepsilon}(A),\nonumber
$$
то говорят, что число A есть предел функции f(x) при x, стремящемся к бесконечности, и пишут \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}=A\). Например, если \(f(x)=\frac{3-2x}{x+1}\), то  \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=-2.\)

Точно так же вводится понятие бесконечного предела в бесконечности. Например,запись \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} f(x)=-\infty\) означает, что
$$
\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\forall x\in U_{\delta}(+\infty)\rightarrow f(x)\in U_{\varepsilon}(-\infty).\nonumber
$$
Аналогично определяются бесконечные пределы при \(x\rightarrow\infty\) и \(x\rightarrow-\infty.\)


4. Свойства пределов функций.

В рассматриваемых ниже свойствах речь идет о конечном пределе функции в заданной точке. Под точкой понимается либо число \(a\), либо один из символов \( a-0, a+0, -\infty, +\infty, \infty\). Предполагается, что функция определена в некоторой окрестности или полуокрестности точки \(\alpha\), не содержащей саму точку \(a\). Для определенности будем формулировать и доказывать свойства пределов, предполагая, что \(a\) — число, а функция определена в проколотой окрестности точки \(a\).

a) Локальные свойства функции, имеющей предел. Покажем, что функция, имеющая конечный предел в заданной точке, обладает некоторыми локальными свойствами, т.е. свойствами, которые справедливы в окрестности этой точки.

Свойство 1. Если функция \(f(x)\) имеет предел в точке \(a\), то существует такая проколотая окрестность точки \(а\), в которой эта функция ограничена.

\(\circ\) Пусть \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A\). В силу определения предела по заданному числу \(\varepsilon=1\) можно найти число \(\delta>0\) такое, что для всех \(x\in\dot{U}_{\delta}(a)\) выполняется неравенство \(|f(x)-A|\;<\;1\) или \(A-1\;<\;f(x)\;<\;A+1.\) Это означает (см. здесь), что функция \(f\) ограничена на множестве \(\dot{U}_{\delta}(a). \bullet\)

Свойство 2. Если \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A\), причем \(A\neq 0,\) то найдется такая проколотая окрестность точки \(a\), в которой значения функции \(f\) имеют тот же знак, что и число \(A\).

\(\circ\) Согласно определению предела по заданному числу \(\varepsilon = \frac{|A|}{2}>0\) можно найти такое число \(\delta>0\), что для всех \(x\in\dot{U}_{\delta}(a)\) выполняется неравенство \(\displaystyle |f(x)-A|<\frac{|A|}{2}\), или
$$ A-\frac{|A|}{2}\;<\;f(x)\;<\;A+\frac{|A|}{2}.\label{ref7}
$$ Если \(A>0\), то из левого неравенства \eqref{ref7} следует, что
$$
f(x)>\frac{A}{2}>0\;для\;x\in\dot{U}_{\delta}(a).\nonumber
$$
Если \(A<0\), то из правого неравенства \eqref{ref7} следует, что
$$
f(x)\;<\;\frac{A}{2}\;<;\;0\;для\;x\in\dot{U}_{\delta}(a).\;\bullet\nonumber
$$
Доказанное свойство называют свойством сохранения знака предела.

Свойство 3.  Если \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}g(x)=B\), причем \( B\neq0\), то существует число \(\delta>0\) такое, что функция \(\frac{1}{g(x)}\) ограничена на множестве \(\dot{U}_{\delta}(a).\)

\(\circ\) В силу определения предела по заданному числу \(\varepsilon=\frac{|B|}{2}\) можно найти число \(\delta>0\), такое, что для всех \(x\in\dot{U}_\delta(a)\) выполняется неравенство
$$
|g(x)-B|\;<\;\frac{|B|}{2}.\label{ref8}
$$

Из неравенства \eqref{ref8} и известного неравенства
$$
|B|-|g(x)|\leq|g(x)-B|\nonumber
$$
следует, что \(\displaystyle |B|-|g(x)|<\frac{|B|}{2}\), откуда \(|g(x)|>\frac{|B|}{2}\),и поэтому \(\displaystyle \frac{1}{|g(x)|}\;<\;\frac{|2|}{B}\) для \(x\in\dot{U}_{\delta}(a),\) т.е. функция \(\displaystyle \frac{1}{g(x)}\) ограничена на множестве \(\dot{U}_{\delta}(a). \bullet\)

б) Свойства пределов, связанные с неравенствами.

Свойство 1. Если существует число \(\delta>0\) такое, что для всех \(\dot{U}_{\delta}(a)\) выполняются неравенства
$$
g(x)\leq f(x)\leq h(x),\label{ref9}
$$

и если
$$
\lim_{x\rightarrow a}g(x)=\lim_{x\rightarrow a}h(x)=A,\label{ref10}
$$
то существует \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A.\)

\(\circ\) Воспользуемся определением предела функции по Гейне. Пусть \(\{x_{n}\}\) — произвольная последовательность такая, что \(x_n\in\dot{U}_{\delta}(a)\) для \(n\in\mathbb{N}\) и \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}f(x)=a\). Тогда в силу условия \eqref{ref10} \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}g(x_{n})=\lim_{n\rightarrow\infty}h(x_{n})=A.\)

Так как, согласно условию \eqref{ref9}, для всех \(n\in\mathbb{N}\) выполняется неравенство
$$
g(x_{n})\leq f(x_{n})\leq h(x_{n}),\nonumber
$$
то в силу свойств пределов последовательностей(\S 4, теорема 3) \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})=A\). Следовательно, \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow a}f(x)=A.\;\bullet\)

Свойство 2. Если существует число \(\delta>0\) такое, что для всех \(x\in \dot{U}_{\delta}(a)\) справедливо неравенство \(f(x)\leq g(x)\) , и если \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A,\)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}g(x)=B\), то \( A\leq B\)}

\(\circ\) Для доказательства этого свойства достаточно воспользоваться определением предела функции по Гейне и соответствующими свойствами пределов последовательностей (см. здесь теорема 4, следствие 2).\(\bullet\)


Замечание 4.
Если исходное неравенство является строгим, т.е. \(f(x)\;<\;g(x)\), то в случае существования пределов функций \(f\) и \(g\) в точке a можно утверждать только, что \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)\leq\lim_{x\rightarrow a}g(x)\), т.е. знак строгого неравенства между функциями при переходе к пределу, вообще говоря, не сохраняется.

в) Бесконечно малые функции. Если \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\alpha(x)>0\) , то функцию \(\alpha(x)\) называют бесконечно малой при \(x\rightarrow a\).

Бесконечно малые функции обладают следующими свойствами:

1) сумма конечного числа бесконечно малых при \(x\rightarrow a\) функций есть бесконечно малая функция при \(x\rightarrow a\);

2) произведение бесконечно малой при \(x\rightarrow a\) функции на ограниченную в некоторой проколотой окрестности точки a функцию есть бесконечно малая при \(x\rightarrow a\) функция.

Эти свойства легко доказать, используя определения бесконечно малой и ограниченной функции, либо с помощью определения предела функции по Гейне и свойств бесконечно малых последовательностей. Из свойства 2) следует, что произведение конечного числа бесконечно малых при \(x\rightarrow a\) функций есть бесконечно малая при \(x\rightarrow a\) функция.


Замечание 5.
Из определения предела функции и определения бесконечно малой функции следует, что число \(A\) является пределом функции \(f(x)\) в точке \(a\) тогда и только тогда, когда эта функция представляется в виде
$$
f(x)=A+a(x),\nonumber
$$ где \(а(х)\) — бесконечно малая при \(x\rightarrow a\) функция.

г) Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями. Если функции \(f(x)\) и \(g(x)\) имеют конечные пределы в точке \(а\), причем \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A,\;\lim_{x\rightarrow a}g(x)=B\), то:

$$
 1) \lim_{x\rightarrow a}(f(x)+g(x))=A+B;\nonumber
$$
$$
 2) \lim_{x\rightarrow a}(f(x)g(x))=AB;\label{ref11}
$$
$$
 3) \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}\;—\;при\;условии,\;что\;B\neq 0.\nonumber
$$

\(\circ\) Для доказательства этих свойств достаточно воспользоваться определением предела функции по Гейне и свойствами пределов последовательностей (см. здесь). Другой способ доказательства — использование замечания 5 и свойств бесконечно малых функций.\(\bullet\)

Отметим частный случай утверждения \eqref{ref11}:
$$
\lim_{x\rightarrow a}(cf(x))=C\lim_{x\rightarrow a}f(x),\nonumber
$$
т.е. постоянный множитель можно вынести за знак предела.


5. Пределы монотонных функций.

Понятие монотонной функции было введено ранее здесь. Докажем теорему о существовании односторонних пределов у монотонной функции.


Теорема 2. Если функция \(f\) определена и является монотонной на отрезке \([a,b]\), то в каждой точке \(x_{0}\in(a,b)\) эта функция имеет конечные пределы слева и справа, a в точках \(а\) и \(b\) — соответственно правый и левый пределы.

Доказательство.

\(\circ\) Пусть, например, функция \(f\) является возрастающей на отрезке \([a,b]\). Зафиксируем точку \(х_0\in\)(а, \(b\)]. Тогда
$$
\forall x\in[a,x_{0})\rightarrow f(x)\leq f(x_{0}).\label{ref12}
$$

В силу условия \eqref{ref12} множество значений, которые функция \(f\) принимает на промежутке \([a,x_{0})\), ограничено сверху, и по теореме о точной верхней грани существует
$$
\sup_{a\leq x\;<\;x_{0}}f(x)=M,\;где\;M\leq f(x_0).\nonumber
$$
Согласно определению точной верхней границы (см. здесь) выполняются условия:
$$
\forall x\in[a,\ x_{0})\rightarrow f(x)\leq M;\label{ref13}
$$
$$
\forall\varepsilon>0\;\exists x_{\varepsilon}\in[a,\ x_{0}):M-\varepsilon\;<\;f(x_{\varepsilon}).\label{ref14}
$$
Обозначим \(\delta=x_{0}-x_{\varepsilon}\), тогда \(\delta>0\), так как \(x_\varepsilon\;<\;x_{0}.\) Если \(x\in (x_\varepsilon,x_0)\), т.е. \(x\in (x_0-\delta,x_0)\), то
$$
f(x_{\varepsilon})\leq f(x),\label{ref15}
$$
так как \(f\) — возрастающая функция. Из условий \eqref{ref13}—\eqref{ref15} следует, что
$$
\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\forall x\in(x_{0}-\delta,x_{0})\rightarrow f(x)\in(M-\varepsilon,M].\nonumber
$$
Согласно определению предела слева это означает, что существует
$$
\lim_{x\rightarrow x_{0}-0} f(x)=f(x_{0}-0)=M.\nonumber
$$
Итак,
$$
f(x_{0}-0)=\sup_{a\leq x\;<\;x_{0}}f(x).\nonumber
$$

Аналогично можно доказать, что функция а имеет в точке \(x_0\in [a, b)\) предел справа, причем
$$
f(x_{0}+0)=\displaystyle \inf_{x_{0}\;<\;x\leq b}f(x).\;\bullet
$$


Следствие. Если функция \(f\) определена и возрастает на отрезке \([a,b],\;x_{0}\in(a,b),\) то
$$
f(x_{0}-0)\;<\;f(x_{0})\leq f(x_0+0)\label{ref16}
$$


Замечание 6.
Теорема о пределе монотонной функции справедлива для любого конечного или бесконечного промежутка. При этом, если \(f\) — возрастающая функция, не ограниченная сверху на \((a,b)\), то \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow b-0}f(x)= +\infty\) (в случае, когда  \(b =+\infty\) пишут \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)= +\infty\)), а если \(f\) — возрастающая и не ограниченная снизу на промежутке \((a,b)\) функция, то \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a+0}f(x)=-\infty\quad (\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty)\).


6.Критерий Коши существования предела функции.

Будем говорить, что функция \(f(x)\) удовлетворяет в точке \(х=а\) условию Коши, если она определена в некоторой проколотой окрестности точки \(a\) и
$$
\forall\varepsilon>0\ \exists\delta=\delta(\varepsilon)>0:\forall x',x''\in \dot{U}_{\delta}(a)\rightarrow|f(x')-f(x'')|\;<\;\varepsilon.\label{ref17}
$$


Лемма. Пусть существует число \(\delta >0\) такое, что функция \(f(x)\) определена в проколотой \(\delta\) — окрестности точки \(a\), и пусть для каждой последовательности {\(x_n\)}, удовлетворяющей условию \(x_n\in\dot{U}_{\delta}(a)\) при всех \(n\in\mathbb{N}\) и сходящейся к \(a\), соответствующая последовательность значений функции \({f(x_n)}\) имеет конечный предел. Тогда этот предел не зависит от выбора последовательности \({x_n}\), т.е. если
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})=A,\nonumber
$$
и
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}f(\widetilde{x_{n}})=\widetilde{A},\nonumber
$$
где \(\widetilde{x}_n =\dot{U}_{\delta}(a)\) при всех \(n \in\mathbb{N}\) и \( \widetilde{x}_{n}\rightarrow a \) при  \(n\rightarrow\infty\) то \(\widetilde{A}=A.\)

Доказательство.

\(\circ\) Образуем последовательность
$$
x_{1},\widetilde{x}_{1}, x_{2},\widetilde{x}_{2},\ldots, x_{n},\widetilde{x}_{n},\ldots\nonumber
$$
и обозначим k-й член этой последовательности через \(y_{k}\). Так как \(\displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty}y_k=a\) (см. пример 3 здесь) и \(y_k\in \dot{U}_{\delta}(a)\) при любом \(k\in\mathbb{N}\), то по условию леммы существует конечный \(\displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty}f(y_{k})=A'\) Заметим, что \(\{f(x_{n})\}\) и \(\{f(\widetilde{x}_{n})\}\) являются подпоследовательностями сходящейся последовательности \(\{f(y_k)\}\). Поэтому \(A=A',\widetilde{A}=A'\) откуда получаем, что \(A=\widetilde{A}.\;\bullet\)


Теорема 3. Для того чтобы существовал конечный предел функции \(f(x)\) в точке \(х = a\) необходимо и достаточно, чтобы эта функция удовлетворяла в точке a условию Коши \eqref{ref17}.

Доказательство.

\(\circ\) Необходимость. Пусть \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A\); тогда

$$
\forall\varepsilon>0 \ \exists\delta>0:\forall x\in\dot{U}_{\delta}(a)\rightarrow|f(x)-A|<\frac{\varepsilon}{2}.\label{ref18}
$$

Если \(х',x''\) любые точки из множества \(\dot{U}_{\delta}(a)\), то из \eqref{ref18} следует, что
$$
|f(x')-f(x'')|=|(f(x')-A)-(f(x'')-A)|\leq|f(x')-A|+|f(x'')-A|\;<\;\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon,\nonumber
$$
т.е. выполняется условие Коши \eqref{ref17}.

Достаточность. Докажем, что если \(\exists\delta_{0}:\dot{U}_{\delta}(a)\subset D(f)\) и выполняется условие \eqref{ref17}, то существует предел функции \(f\) в точке \(a\). Воспользуемся определением предела функции по Гейне. Пусть \(\{x_{n}\}\) — произвольная последовательность такая, что \(x_n\in\dot{U}_{\delta}(a)\) и \(\lim_{x\rightarrow\infty}x_n=a.\) Докажем, что соответствующая последовательность значений функции \(\{f(x_{n})\}\) имеет конечный предел, не зависящий от выбора последовательности \(\{x_{n}\}\)

Если выполняется условие \eqref{ref17}, то для каждого \(\varepsilon>0\) можно найти число \(\delta=\delta_\varepsilon>0\) такое, что
$$
\forall x',x''\in \dot{U}_{\delta}(a)\rightarrow|f(x')-f(x'')|\;<\;\varepsilon.\label{ref19}
$$

Так как \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}x_{n}=a\), то, задав число \(\delta=\delta(\varepsilon)>0,\) указанное в условии \eqref{ref19}, найдем в силу определения предела последовательности номер \(n_{\delta}=N_{\varepsilon}\) такой, что
$$
\forall n>N_{\varepsilon}\rightarrow 0<|x_{n}-a|\;<\;\delta.\nonumber
$$
Это означает, что для любого \(n\geq N_{\varepsilon}\) и для любого \(m\geq N_{\varepsilon}\) выполняются условия \(x_{n}\in \dot{U}_{\delta}(a),\;x_{m}\in \dot{U}_{\delta}(a)\) и в силу \eqref{ref19} \(|f(x_n)-f(x_m)|\;<\;\varepsilon\). Таким образом, последовательность \(\{f(x_{n})\}\) является фундаментальной и согласно критерию Коши для последовательности  имеет конечный предел. В силу леммы этот предел не зависит от выбора последовательности \(\{x_{n}\}\) сходящейся к точке \(a\). Следовательно, функция \(f(x)\) имеет конечный предел в точке \(a\). \(\bullet\)


Замечание 7.
Теорема 3 остается в силе, если точку \(a\) заменить одним из символов \(a- 0, a+0,-\infty, +\infty\); при этом условие \eqref{ref17} должно выполняться в окрестности этого символа.