Числовые функции.

Содержание:

  1. Понятие числовой функции.
  2. Равенство функций. Операции над функциями.
  3. Способы задания функции.
  4. График функции.
  5. Четные и нечетные функции.
  6. Ограниченные и неограниченные функции.
  7. Монотонные функции.
  8. Периодические функции.
  9. Обратная функция.
  10. Неявные функции. Параметрически заданные функции.

1. Понятие числовой функции.

Пусть дано числовое множество \(X\subset\mathbb{R}\). Если каждому \(x\in X\) поставлено в соответствие по некоторому правилу число \(y\). то говорят, что на множестве \(X\) определена числовая функция.

Правило, устанавливающее соответствие, обозначают некоторым символом, например, \(f\) и пишут
$$
y=f(x),\;x\in X,\label{ref1}
$$
а множество \(X\) называют областью определения функции и обозначают \(D(f)\), т.е. \(X=D(f)\).

В записи \eqref{ref1} \(x\) часто называют аргументом или независимой переменной: а \(y\) — зависимой переменной. Числа \(x\) из множества \(D(f)\) называют значениями аргумента. Число \(y_0\), соответствующее значению \(x_{0}\in D(f)\), называют значением функции при \(x=x_{0}\) (или значением функции в точке \(x_0\)) и обозначают \(f(x_0)\) или \(f(x)|_{x=x_{0}}\). Совокупность всех значений, которые функция принимает на множестве \(D(f)\), называют множеством значений функции и обозначают \(E(f)\). Заметим, что если \(y_0\in E(f)\), то существует по крайней мере одно число \(x_{0}\in D(f)\) такое, что \(f(x_0)=y_0\).

Функцию часто обозначают только символом (\(f,\;\varphi,\;F\) и т. д.), который определяет правило (закон) соответствия. Для обозначения функции используются также записи вида \(x\mapsto f(x),\;f:\;X\rightarrow Y\). Под словом "функция" часто понимают зависимую переменную \(у\), значения которой определяются значениями независимой переменной \(x\) и правилом \(f\), или даже само это правило. Термин "функция" имеет синонимы: отображение, преобразование, морфизм. Например, говорят, что функция \(f\) отображает множество \(X=D(f)\) на множество \(Y=E(f)\), и называют множество \(Y\) образом множества \(X\) при отображении \(f\). Если \(E(f)\subset E_1\), то говорят, что функция \(f\) отображает \(X\) в \(E_1\).


2. Равенство функций.

Операции над функциями. Функции \(f\) и \(g\) называют равными или совпадающими, если они имеют одну и ту же область определения \(X\) и для каждого \(x\in X\) значения этих функций совпадают. В этом случае пишут \(f(x)=g(x),\;x\in X\) или \(f=g\).

Например, если \(f(x)=\sqrt{x^{2}}, \  x\in\mathbb{R}\),и \(g(x)=|x|, \ x\in\mathbb{R}\), то \(f=g\), так как при всех \(x\in\mathbb{R}\) справедливо равенство \(\sqrt{x^{2}}=|x|\).

Если \(E'\subset D(f)\) , то функцию \(g(x)=f(x),\;x\in E'\), называют сужением функции f на множество \(E'\). Например, если \(E'=[0, +\infty),\) то функция \( q(x)=x, \  x\in E'\), является сужением функции \(f(x)=|x|\), \(x\in\mathbb{R}\) , на множество \(E'\).

Если равенство \(f(x)=g(x)\) верно при всех \(x\in E'\), где \(E'\subset D(f)\cap D(g)\), т.е. сужения функций f и g на множество \(E'\) совпадают, то в этом случае говорят, что функции \(f\) и \(g\) равны на множестве \(E'\). Например, функции \(\sqrt{x^{2}}\) и \(x\) равны на множестве \( E'=[0,+\infty\)).

Естественным образом для функций вводятся арифметические операции. Пусть функции \(f\) и \(g\) определены на одном и том же множестве \(E\). Тогда функции, значения которых в каждой точке \(x\in E\) равны \(f(x)+g(x),\;f(x)-g(x),\;f(x)g(x),\;f(x)/g(x)(g(x)\neq 0\) для всех \(x\in E\)) , называют соответственно суммой, разностью, произведением и частным функций \(f\) и \(g\) и обозначают \(f+g,\;f-g,\;fg,\;f/g\).

Введем понятие сложной функции. Пусть функции \(y=\varphi(x)\) и \(z=f(y)\) определены на множествах \(X\) и \(Y\) соответственно, причем множество значений функции \(\varphi\) содержится в области определения функции \(f\). Тогда функцию, принимающую при каждом \(x\in X\) значение \(F(x)=f(\varphi(x)\), называют сложной функцией или суперпозицией (композицией) функций \(\varphi\) и \(f\) и обозначают \( f\circ \varphi \)  Например, функция \(z=\sqrt{4-x^2},\;x\in [-2,2]\), является композицией функций \(y=4-x^2,\;x\in [-2,2]\) и \(z=\sqrt{y},\;y\in [0,+\infty)\) . Эта функция относится к совокупности элементарных функций, т.е. функций, которые можно получить из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и композиций. К основным элементарным функциям относят постоянную, степенную, логарифмическую, тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Например, элементарными являются функции:

a) линейная \(y=ax+b, \ a\neq 0;\)

б) квадратичная \(y=ax^2+bx+c,\ a\neq 0\);

в) многочлен степени n, т.е. функция , где \(y=P_n(x)\), где \(P_n(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{1}x+a_0;\)

г) рациональная функция, т.е. функция вида \(y=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}\) где \(P_{n}\) и \(Q_{m}\) — многочлены степени n и m, \( m\neq 0\).


3. Способы задания функции.

Числовые функции чаще всего задаются при помощи формул. Такой способ задания называют аналитическим. Например, функции \(y=x^2, \ y=|x|^{3/2}, \ y=sin^3{3x}\) заданы на множестве \(\mathbb{R}\) аналитически.

Если числовая функция f задана формулой и не указана область ее определения \(D(f)\) , то принято считать, что \(D(f)\) — множество всех тех значений аргумента, при которых эта формула имеет смысл, и результатом каждой операции, указанной в формуле, является вещественное число. Например, если \(f(x)=\sqrt{9-x^2}\), то \(D(f)=[-3,3]\), а если \(f(x)=\sqrt{lg \sin{x}}\), то \(D(f)\) — множество корней уравнения \(\sin x=1\) т.е. множество чисел \(x_{k}=\pi/2.+2\pi k\), где \(k\in Z\).

Следует отметить, что функция может быть задана различными формулами на разных промежутках. Например, функция 
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x,\quad если\;x\;<\;0,\\x^{2},\quad если\;0\leq x\leq1,\\2-\sqrt{x},\quad если\;x>1,\end{array}\right.\nonumber
$$
задана аналитическим способом на \(\mathbb{R}\) с помощью трех различных формул.

Иногда функциональная зависимость описывается с помощью таблицы, содержащей лишь некоторые значения аргумента и соответствующие значения функции. Для значений аргумента, не содержащихся в таблице, значения функции обычно находят приближенно.

На практике часто соответствие между значениями аргумента и значениями функции задается с помощью рисунка. Например, в медицине при изучении работы сердца получают электрокардиограммы — кривые, отражающие изменение с течением времени электрических импульсов в мышце сердца. В практике физических измерений функциональная зависимость часто задается с помощью эскиза графика, снимаемого, например, с экрана осциллографа.


4. График функции.

Графиком функции \(y=f(x), x\in D(f),\) в прямоугольной системе координат \(Oxy\)-называют множество всех точек плоскости с координатами \((x,f(x)\overline{)}\), где \(x\in D(f)\).

Для каждого \(x_0\in D(f)\) прямая, \(x=x_{0}\), параллельная оси \(Oy\), пересекает график функции \(y=f(x)\) , \(x\in D(f)\), в одной точке \(M_{0}(x_{0},y_{0})\) , где \(y_{0}=f(x_{0})\) — значение функции f при \(x=x_{0}\). Значениях \(x=a\), при котором \(f(a)=0\), называют нулем функции \(f(x)\). Если \(x=a\) — нуль функции \(f(x)\), то график функции \(y=f(x)\) пересекает ось \(Ox\) при \(x=a\) т.е. в точке М\((a,0)\).

Строго говоря, следует различать график функции, точное определение которого дано выше, и эскиз части графика, принимаемый нередко за график.


Пример 1.

Построить график функции \(y=E(x)\) , где \(E(x)=[x]\) — целая часть числа \(x\) (наибольшее целое число, не превосходящее \(x\)).

Решение.

\(\triangle\) Пусть \(x\in[n,n+1\)), где \(n\in Z\), тогда \(E(x)=n\). График функции \(y=E(z)\) изображен на рис. 9.1. Стрелка на графике указывает на то, что точка в ее острие не принадлежит графику.

Рис. 9.1
Рис. 9.1

Пример 2.

Построить график функции \(y=sign\;\sin x\) где
$$
sign\;x=\left\{\begin{array}{l}1,\quad если\quad x>0,\\0,\quad если\quad x=0,\\-1,\quad если\quad x\;<\;1.\end{array}\right.\nonumber
$$

Решение.

\(\triangle\) Если \(x\in\left(-\pi+2k\pi,\;2k\pi\right)\) , где \(k\in\mathbb{Z}\), то \(\sin x\;<\;0\), и поэтому \(sign \sin x=-1\).

Если \(x\in\left(2k\pi,\pi+2k\pi\right)\), то \(\sin x>0\), и \(sign \sin x=1\). Если \(x=k\pi\), где \(k\in\mathbb{Z}\), то \(y=0\). График функции изображен на рис. 9.2.\(\quad\blacktriangle\).

Рис. 9.2
Рис. 9.2

График функции \(y=f(x)\) иногда можно получить (см. таблицу) преобразованием известного графика другой функции \(y=g(x)\).

Функция \(y=f(x)\) Преобразование графика функции \(y=g(x)\)
\(y=g(x)+A\) Сдвиг (параллельный перенос) вдоль оси ординат на A
\(y=g(x-a)\) Сдвиг вдоль оси абсцисс на а
\(y=g(-x)\) Симметрия относительно оси ординат
\(y=-g(x)\) Симметрия относительно оси абсцисс
\(y=Bg(x)\) Умножение каждой ординаты на B, где \(b\neq 0\)
\(y=g(kx)\) Деление каждой абсциссы на k, где \(k\neq 0\)

Приведем примеры применения преобразований, указанных в таблице.


Пример 3.

График квадратичной функции
$$
y=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0,\label{ref2}
$$
можно получить сдвигом графика функции \(у=ах\) вдоль оси \(Ox\)

Решение.

\(\triangle\) Действительно, выделяя полный квадрат, получаем \(ax^2+bx+c=a(x+\displaystyle \frac{b}{2a})^{2}+c-\frac{b^{2}}{4a}\). Поэтому графиком квадратичной функции \eqref{ref2} является парабола, получаемая сдвигом параболы \(y=ax^{2}.\quad\blacktriangle\)


Рис. 9.3
Рис. 9.3

Например, график функции \(y=x^{2}-2x\), изображенный на рис. 9.3, можно получить сдвигом графика \(у=x^2\) вдоль оси \(Ox\) на 1 и вдоль оси \(Oy\) на -1, так как \(x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1\).


Пример 4.

График дробно-линейной функции
$$
y=\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d},\quad c\neq 0,\quad ad-bc\neq 0,\label{ref3}
$$
можно получить преобразованием графика функции вида \(y=\displaystyle \frac{k}{x}\).

Решение.

\(\triangle\) В самом деле,
$$
\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}= \displaystyle \frac{a(x+\frac{d}{c})+b-\frac{ad}{c}}{c(x+\frac{d}{c})}=\frac{a}{c}+ \displaystyle \frac{bc-ad}{c^{2}}\frac{1}{x+\frac{d}{c}},\nonumber
$$
откуда следует, что график функции \eqref{ref3} можно получить сдвигом графика гиперболы \(y=\displaystyle \frac{k}{x}\), где \(k=\displaystyle \frac{bc-ad}{c^2}\),вдоль оси \(Ox\) на \(\displaystyle -\frac{d}{c}\) и вдоль оси ординат на \(\displaystyle \frac{a}{c}.\quad\blacktriangle\)


В частности, если \(y=\displaystyle \frac{3-2x}{x+1}\), то \(y=\displaystyle \frac{5-2(x+1)}{x+1}=-2+\frac{5}{x+1}\).

Рис. 9.4
Рис. 9.4

Поэтому график этой функции можно получить сдвигом графика гиперболы \(y=\displaystyle \frac{5}{x}\) вдоль оси \(Ox\) на -1 и вдоль оси \(Oy\) на -2 (рис. 9.4). Отсюда следует, что график функции \(y=\displaystyle \frac{3-2x}{x+1}\) симметричен относительно точки \((-1, -2)\).


Пример 5.

Построить график функции \(y=\sqrt{-x}\).

Решение.

\(\triangle\) График функции \(y=\sqrt{-x}\) можно получить из графика функции \(y=\sqrt{x}\) с помощью симметрии относительно оси ординат (рис. 9.5).\(\blacktriangle\)


Отметим еще, что график функции \(y=|f(x)|\) можно получить из графика функции \(у=f(x)\) следующим образом:

a) часть графика функции \(f(x)\), лежащую выше оси \(Ox\) и на этой оси, оставить без изменения;

б) часть графика функции f(x),лежащую ниже оси \(Ox,\) симметрично отразить
относительно Ox.


Пример 6.

Построить график функции \(y=|x^{2}-2x|.\)

Решение.

\(\Delta\) Применяя указанный выше прием, строим график этой функции (рис. 9.6) с помощью графика функции \(y=x^{2}-2x\)(рис.9.3). \(\blacktriangle\)


5. Четные и нечетные функции.

Функция f, определенная на множестве X, называется:

a) четной, если для любого \(x\in X\) выполняются условия \(-x\in X\) и \(f(-x)=f(x)\);

6) нечетной, если для любого \(x\in X\) выполняются условия \(-x\in X\) и \(f(-x)=-f(x)\).

Четными являются, например, следующие функции: \(\displaystyle y=x^{4},\;y=\cos\frac{x}{2},\;y=\lg |x|,\;y=\frac{\sin x}{x}\), а нечетными — функции \(y=\displaystyle \frac{1}{x^{3}},\)
\(y=\sin^{5}2x, y=x^{2}\displaystyle \mathrm{t}\mathrm{g}\frac{x}{2},\;y=\arcsin(\sin x)\).

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Рис. 9.7
Рис. 9.7


Пример 7.

Построить график функции \(y=x^{2}-2|x|.\)

Решение.

 \(\triangle\) Если \(x\geq 0,\) то \(y =x^2-2x\) (см. рис. 9.3). Так как \(x^{2}-2|x|\)-- четная функция, то для функции, соответствующей значениям \(x\leq 0\), следует симметрично отразить график \(y=x^{2}-2x, x\geq 0,\) относительно оси \(Oy\) (рис. 9.7). \(\blacktriangle\)

На рис. 9.8 изображен график нечетной функции \(y=x^{3}.\)

Рис. 9.8
Рис. 9.8


6. Ограниченные и неограниченные функции.

Функцию f называют ограниченной снизу на множестве \(x\subset D(f)\), если существует число \(С_1\) такое, что для любого \(x\in X\) выполняется неравенство \(f(x) \geq C_1\)

Используя символы \(\exists\) и \(\forall\), это определение можно записать так:
$$
\exists C_{1}:\forall x\in X\rightarrow f(x)\geq C_{1}.\nonumber
$$
Аналогично функцию f называют ограниченной сверху на множестве \(X\subset D(f)\), если
$$
\exists C_{2}:\forall x\in X\rightarrow f(x)\leq C_{2}.\nonumber
$$

Функцию, ограниченную и сверху, и снизу на множестве X, называют ограниченной на этом множестве.

Функция f является ограниченной на множестве X тогда и только тогда, когда
$$
\exists c>0:\forall x\in X\rightarrow|f(x)|\leq C.\label{ref4}
$$

Если неравенство \(|f(x)|\leq C\) выполняется для всех \(x\in D(f)\), говорят, что функция f ограничена.

Геометрически ограниченность функции f на множестве X означает, что график функции \(y=f(x), x\in X,\) лежит в полосе \({-C\leq y\leq C}.\)

Например, функция \(y=\displaystyle \sin\frac{1}{x}\), определенная при \(x\in\mathbb{R}, x\neq 0\), ограничена, так как
$$
|\sin\frac{1}{x}|\leq 1\nonumber
$$

Функция f не ограничена на множестве X, если условие \eqref{ref4} не выполняется, т.е.
$$
\forall C>0\ \exists x_{C}\in X:|f(x_{C})|\geq C.\label{ref5}
$$

Если \(X= D(f)\) и выполнено условие \eqref{ref5}, то говорят, что функция f не ограничена.


Пример 8.

Доказать, что функция \(y=\displaystyle \frac{1}{x^{2}}\) не ограничена.

Решение.

\(\triangle\) Функция \(\displaystyle \frac{1}{x^{2}}\) определена при \(x\in\mathbb{R}\), \(x\neq 0\). Пусть C — любое положительное число, и пусть \(\displaystyle {x_{C}=\frac{1}{\sqrt{2C}}}\), тогда \(\displaystyle y(x_{C})=2C>C\) т.е.выполняется условие \eqref{ref5}. \(\blacktriangle\)


Пусть Y — множество значений, которые функция f принимает на множестве \(X\subset D(f)\) . Тогда точную верхнюю грань множества Y называют точной верхней гранью функции f на множестве X и обозначают \(\sup_{x\in X}{f(x)}\), а точную нижнюю грань множества Yточной нижней гранью функции f на множестве X и обозначают \(\displaystyle \inf_{x\in X}{f(x)}\).
Если X=D(f), то в этих определениях указание на множество X опускают.

Пусть существует точка \(x_{0}\in X\subset D(f)\) такая, что для всех \(x\in X\) выполняется неравенстве \(f(x) \leq f(x_0)\).Тогда говорят, что функция f принимает в точке \(x_{0}\) наибольшее (максимальноезначение на множестве X и пишут \(f(x_{0})=\displaystyle \max_{x\in X}f(x)\) В этом случае \(\displaystyle \sup_{x\in X}{f(x)}=f(x_{0}) \)

Аналогично, если \(\exists x_{0}\in X\subset D(f):\forall x\in X\rightarrow f(x)\geq f(x_{0})\) , то говорят, что функция f принимает в точке \(x_0\) наименьшее (минимальное) значение на множестве X, и пишут \(f(x_{0})=\displaystyle \min_{x\in X}f(x)\). В этом случае \(\displaystyle \inf_{x\in X}f(x)=f(x_{0})\).

Максимальные и минимальные значения называют экстремальными.

Например, если \(f(x)=\sin x\), то \(\displaystyle \sup_{x\in\mathbb{R}}f(x)=\max_{x\in\mathbb{R}}f(x)=f(x_{k})\), где \(x_{k}=\displaystyle \frac{\pi}{2}+2\pi k,\;k\in\mathbb{Z},\;\inf_{x\in\mathbb{R}}f(x)=\min_{x\in\mathbb{R}}{f}(x)=f(\widetilde{x}_{k}),\) где \(\widetilde{x}_{k}=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\;k\in\mathbb{Z}\).


7. Монотонные функции.

Функцию \(f\) называют возрастающей (неубывающей) на множестве \(X\subset D(f)\), если для любых точек \(x_1 \in X, x_{2}\in X\) таких, что \(x_{1}\;<\;x_{2}\), выполняется неравенство \( f(x_1)\leq f(х_2)\).Если это неравенство является строгим \((f(x_{1})\;<\;f(x_{2}))\), то функцию \(f\) называют строго возрастающей на множестве \(X\).

Таким образом, функция \(f\) называется:

a) возрастающей (неубывающей) на множестве \(X\), если

$$
\forall x_{1}\in X\quad \forall x_{2}\in X:\;x_{1}\;<\;x_{2}\rightarrow f(x_{1})\leq f(x_{2});\nonumber
$$

б) строго возрастающей на множестве \(X\), если

$$
\forall x_{1}\in X\quad \forall x_{2}\in X:\;x_{1}\;<\;x_{2}\rightarrow f(x_{1})\;<\;f(x_{2}).\nonumber
$$

Аналогично функция \(f\) называется:

a) убывающей (невозрастающей) на множестве \(X\), если

$$
\forall x_{1}\in X\quad\forall x_{2}\in X:\;x_{1}\;<\;x_{2}\rightarrow f(x_{1})\geq f(x_{2});\nonumber
$$

6) строго убывающей на множестве \(X\), если

$$
\forall x_{1}\in X\quad\forall x_{2}\in X:\;x_{1}\;<\;x_{2}\rightarrow f(x_{1})>f(x_{2}).\nonumber
$$

Убывающие и возрастающие функции объединяют названием монотонные, а строго возрастающие и строго убывающие — названием строго монотонные.

Если \(X=D(f)\), то в этих определениях указание на множество \(X\) обычно опускают.


Пример 9.

Доказать, что функция f строго возрастает на множестве X, если:

a) \(f(x)=x^{3},\;X=\mathbb{R}\);

б) \(f(x)=\sin x, X=[-\displaystyle \frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}]\).

Решение.

\(\Delta\quad\)а) Если \(0\leq x_{1}\;<\;x_{2}\), то \(x_{1}^{3}\;<\;x_{2}^{3}\), а если \(x_1\;<\;x_{2}\leq 0\), то \(0\leq-x_{2}\;<\;-x_{1}\), откуда
$$
(-x_{2})^{3}\;<\;(-x_{1})^{3}.\label{ref6}
$$
Так как \(x^{3}\) — нечетная функция, то неравенство \eqref{ref6} можно записать в виде \(-x_{2}^{3}\;<\;-x_{1}^{3}\), откуда \(x_{1}^{3}\;<\;x_{2}^{3}\). Наконец, если \(x_1\;<\;0\), а \(x_{2}>0\), то \(x_{1}^{3}\;<\;x_{2}^{3}\). Таким образом, неравенство \(x_{1}^{3}\;<\;x_{2}^{3}\) справедливо для любых \(x_{1}\in\mathbb{R},\;x_{2}\in\mathbb{R}\) таких, что \(x_{1}\;<\;x_{2}\). Поэтому \(x^3\) — строго возрастающая на \(\mathbb{R}\) функция.

б) Пусть \(\displaystyle -\frac{\pi}{2}\leq x_{1}\;<\;x_{2}\leq\frac{\pi}{2}\); тогда
$$
\sin x_{2}-\sin x_{1}=2\sin\frac{x_{2}-x_{1}}{2}\cos\frac{x_{2}+x_{1}}{2}>0,\nonumber
$$

так как \(0\;<\;\displaystyle \frac{x_{2}-x_{1}}{2}\;<\;\frac{\pi}{2},\quad -\displaystyle \frac{\pi}{2}\;<\;\frac{x_{2}+x_{1}}{2}\;<\;\frac{\pi}{2}\).

Таким образом, неравенство \(\sin x_{2}>\sin x_{1}\) выполняется для \(x_{1},x_{2}\displaystyle \in[-\frac{\pi}{2},\;\displaystyle \frac{\pi}{2}]\), если \(x_{2}>x_{1}\). Следовательно, функция \(\sin x\) строго возрастает на отрезке \(\displaystyle [-\frac{\pi}{2},\;\frac{\pi}{2}].\quad\blacktriangle\)


8. Периодические функции.

Число \(T\neq 0\) называют периодом функции \(f\), если для любого \(x\in D(f)\) значения \(x+T\) и \(x-T\) также принадлежат \(D(f)\) и выполняется равенство
$$
f(x-T)=f(x)=f(x+T).\nonumber
$$
Функцию, имеющую период \(T\), называют периодической с периодом \(Т\).

Отметим, что если \(T\) — период функции \(f\), то каждое число вида \(nT\), где \(n\in\mathbb{Z},\;n\neq 0\), также является периодом этой функции.

Примерами периодических функций могут служить тригонометрические функции. При этом число \(2\pi\) — наименьший положительный период функций \(\sin x,\;\cos x,\) a \(\pi\) — наименьший положительный период функций tg x и ctg x.


Пример 10.

Доказать, что функция \(f(x)=\sin\alpha x\), где \(\alpha>0\) является периодической, и найти ее наименьший положительный период.

Решение.

\(\triangle\) Предположим, что f — периодическая с положительным периодом T функция. Тогда для любых \(x\in\mathbb{R}\) должно выполняться равенство
$$
\sin\alpha x=\sin\alpha (x+T),\label{ref7}
$$
откуда при х = 0 получаем
$$
\sin\alpha T=0,\ T=\frac{k\pi}{\alpha},\nonumber
$$
где \(k\in\mathbb{N}\).

Таким образом, положительными периодами функции \(\sin\alpha x\) могут быть только числа \(k\pi/\alpha\), где \(k\in\mathbb{N}\). Заметим, что число \(\displaystyle \pi/\alpha\) не является периодом функции \(\sin\alpha x\), так как в противном случае при всех \(x\in\mathbb{R}\) выполнялось бы равенство \(\displaystyle \sin\alpha x=\sin\alpha(x+\pi/\alpha)=\sin(\pi+\alpha x)=-\sin\alpha x\), т.е. \(\sin\alpha x=0\), что невозможно.

Число \(\displaystyle 2\pi/\alpha\) — период функции \(\sin \alpha x\), так как при любых \(x\in\mathbb{R}\) справедливо равенство \(\sin \alpha x=\displaystyle \sin \alpha(x+2\pi/\alpha)\).

Таким образом \(2\pi/\alpha\) — наименьший положительный период функции \(\sin\alpha x.\quad \blacktriangle\)


9. Обратная функция.

Пусть задана числовая функция \(y=f(x),\;x\in D(f)\). Тогда каждому числу \(x_0\in D(f)\)соответствует единственное число \(y_{0}=f(x_{0})\in E(f)\) . Нередко приходится по заданному значению функции \(y_0\) находить соответствующее значение аргумента, т.е. решать относительно \(x\) уравнение
$$
f(x)=y_{0},\quad y_{0}\in E(f).\label{ref8}
$$

Это уравнение может иметь не одно, а несколько и даже бесконечно много решений. Решениями уравнения \eqref{ref8} являются абсциссы всех точек, в которых прямая \(y=y_0\) пересекает график функции \(y=f(x)\).

Например, если \(f(x)=x^{2}\), то уравнение
$$
x^{2}=y_{0},\quad y_{0}>0,\nonumber
$$
имеет два решения: \(x_{0}=\displaystyle \sqrt{y_0}\) и \({\widetilde x}_0=\sqrt{y_0}\). Если \(f(x)=\sin x\), то уравнение
$$
\sin{x}=y_{0},\quad |y_{0}|\leq 1,\nonumber
$$
имеет бесконечно много решений вида \(x_n=(-1)^{n}x_{0}+\pi n\), где \(n\in\mathbb{Z}\;x_0\) — одно из решений этого уравнения.

Однако существуют функции, для которых уравнение \eqref{ref8} при каждом \(y_{0}\in E(f)\) однозначно разрешимо, т.е. имеет единственное решение \(x_0\in D(f)\). Этим свойством обладают, например, следующие функции:

a) \(f(x)=3x+4,\;D(f)=\mathbb{R}\);

б) \(f(x)=x^{3},\;D(f)=\mathbb{R}\);

в) \(f(x)=\displaystyle \frac{1}{x},\quad D(f)=\{x\in\mathbb{R},\;x\neq 0\}\).

Если функция \(f\) такова, что при каждое значение \(y_{0}\in E(f)\) она принимает только при одном значении \(x_{0}\in D(f)\) , то эту функцию называют обратимой. Для такой функции уравнение
$$
f(x)=y\nonumber
$$

можно при любом \(у\in Е(f)\)однозначно разрешить относительно \(x\), т.е. каждому \(y\in Е(f)\) соответствует единственное значение \(x\in D(f)\).

Это соответствие определяет функцию, которую называют обратной к функции \(f\) и обозначают символом \(f^{-1}\).

Заметим, что прямая \(y=у_0\) для каждого \(y_{0}\in E(f)\) пересекает график обратимой функции \(y=f(x)\) в единственной точке \((x_0,\;y_0)\), где \(f(x_{0})=y_{0}\).

Обозначая, как обычно, аргумент обратной функции буквой \(x\), а ее значения — буквой \(y\), обратную для \(f\) функцию записывают в виде
$$
y=f^{-1}(x),\quad x\in D(f^{-1}).\nonumber
$$

Для упрощения записи вместо символа \(f^{-1}\) будем употреблять букву \(g\).

Отметим следующие свойства, которые показывают, как связаны данная функция и обратная к ней:

1) если \(g\) — функция, обратная к \(f\), то и \(f\) — функция, обратная к \(g\); при этом
$$
D(g)=E(f),\quad E(g)=D(f),\nonumber
$$
т.е. область определения функции \(g\) совпадает с множеством значений функции \(f\) и наоборот;

2) для любого \(x\in D(f)\) справедливо равенство
$$
g(f(x))=x,\nonumber
$$
а для любого \(х\in Е(f)\) справедливо равенство
$$
f(g(x))=x;\nonumber
$$

3) график функции \(y=g(x)\) симметричен графику функции \(y=f(x)\) относительно прямой \(y=x\);

4) если нечетная функция обратима, то обратная к ней функция также является нечетной;

5) если \(f\) — строго возрастающая (строго убывающая) функция, то она обратима, причем обратная к ней функция \(g\) также является строго возрастающей (строго убывающей).

Рис. 9.9
Рис. 9.9

Свойства 1) и 2) следуют непосредственно из определения обратной функции, 4) и 5) — из определений обратной и соответственно нечетной и строго монотонной функции.

Рис. 9.10
Рис. 9.10

Рассмотрим свойство 3). Пусть точка \((x_{0},y_{0})\) принадлежит графику функции \(y=f(x)\), т.е. \(y_{0}=f(x_0)\). Тогда \(x_{0}=g(y_{0})\), т.е. точка \((x_{0},y_{0})\) принадлежит графику обратной функции \(g\). Так как точки \((x_{0},y_{0})\) и \((y_{0},x_{0})\) симметричны относительно прямой \(y=x\) (рис. 9.9), то график функции \(у=g(х)\) симметричен графику функции относительно этой прямой.

Рис. 9.11
Рис. 9.11

На рис. 9.10 изображены графики взаимно обратных функций \(y=x^{2},\;x\geq 0\), и \(y=\sqrt{x}\), а на рис. 9.11 — графики взаимно обратных функций \(y=x^{2},\;x\leq 0\), и \(y=-\sqrt{x}\).


10. Неявные функции. Параметрически заданные функции.

Пусть Е — множество точек \(M(x,y)\) плоскости \(Oxy\). Если каждой точке \(M\in E\) поставлено в соответствие по некоторому правилу (закону) число z, то говорят, что на множестве E задана числовая функция от переменных \(x\) и \(y\), и пишут \(z=f(x,y),\;(x,y)\in E\).

Например, объем конуса \(v\) есть функция от переменных r и h, где r — радиус основания, h — высота конуса. Эта функция задается формулой \(v=\displaystyle \frac{1}{3}\pi r^{2}h\).

Аналогично вводится понятие функции от трех и большего числа переменных.

Пусть функция \(F(x,y)\) определена на некотором множестве точек плоскости. Рассмотрим уравнение
$$
F(x,y)=0.\label{ref9}
$$

Рис. 9.12
Рис. 9.12

Графиком уравнения \eqref{ref9} в прямоугольной системе координат называют множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Например, графиком уравнения
$$
x^{2}+y^{2}-1=0\label{ref10}
$$
является единичная окружность (рис. 9.12).

Естественной является постановка вопроса о том, можно ли уравнение \eqref{ref9} однозначно разрешить относительно \(y\), т.е. найти единственную функцию \(y=f(x)\) такую, что \(F(x,f(x))=0\), где \(x\) принимает значения из некоторого промежутка.

Обратимся к уравнению \eqref{ref10}. Если \(|x|>1\), то не существует значений \(y\) таких, что пара чисел \((x,y)\) удовлетворяет уравнению \eqref{ref10}. Если \(|x|\leq 1\), то, решая это уравнение относительно y, получаем
$$
y=\pm\sqrt{1-x^{2}}.\label{ref11}
$$

Таким образом, если \(|x|\;<1\), то из уравнения \eqref{ref10} \(y\) выражается через \(х\) неоднозначно: каждому значению \(x\) соответствуют два различных значения \(y\), а именно \(y_{1}=-\sqrt{1-x^{2}}\quad y_{2}=\sqrt{1-x^{2}}\quad (y_{1}=y_{2}\) при \(x=-1\;x=1)\).

Отсюда следует, что всякая функция \(y=f(x)\), которая в точке \(x\in[-1,1]\) принимает либо значение \(y_{1}\), либо значение \(y_{2}\), удовлетворяет уравнению \eqref{ref10}, т.е.
$$
x^{2}+f^{2}(x)-1=0,\quad x\in[-1,1].\nonumber
$$

Например, функция \(y=f(x)\), принимающая значение \(y_1\) при \(x\in[-1,\alpha)\), где \(-1\;<\;\alpha\;<1\), и значение \(y_2\) при \(х\in[\alpha,1]\), удовлетворяет уравнению \eqref{ref10}. Меняя \(\alpha\), можно получить бесконечное множество функций, удовлетворяющих на отрезке \([-1,1]\) уравнению \eqref{ref10}.

Будем теперь рассматривать уравнение \eqref{ref10} в прямоугольнике
$$
K_{1}=\{(x,y):-1\leq x\leq 1,\;0\leq y\leq 1\}.\nonumber
$$

В этом случае существует единственная функция \(y=y_{1}=\sqrt{1-x^{2}},\;-1\leq x\leq 1\), удовлетворяющая уравнению \eqref{ref10} и такая, что \(y\in[0,1]\). Эту функцию называют неявной функцией, определяемой уравнением \eqref{ref10} в прямоугольнике \(K_1\).

Аналогично в прямоугольнике \(K_{1}=\{(x,y):-1\leq x\leq 1,\;-1\leq y\leq 0\}\) неявная функция, определяемая уравнением \eqref{ref10}, задается формулой \(y=y_{2}=-\sqrt{1-x^{2}},\;-1\leq x\leq 1\).

Вернемся к уравнению \eqref{ref9}. Пусть прямоугольник \(K=\{(x,y):|x-x_{0}|\leq a,\;|y-у_0|\leq b\) содержится в области определения функции \(F(х,у)\), и пусть \(F(х_0,y_0)=0\). Если на отрезке \(\Delta=\lceil x_{0}-a,x_{0}+a\rceil\) существует единственная функция \(y=f(x)\) такая, что \(f(x)\in\lceil y_0-b,y_0+b\rceil\) и
$$
F(x,f(x))=0,\quad x\in\Delta,\nonumber
$$
то говорят, что уравнение \eqref{ref9} определяет в прямоугольнике \(K\) переменную y как неявную функцию переменной \(x\).

Достаточные условия существования неявной функции и другие вопросы, связанные с неявными функциями, рассматриваются далее в параграфе 28.

Функция одной переменной может быть задана не только в явном виде \(y=f(x)\) или неявно уравнением \(F(х,у)=0\), но также параметрически. Этот способ задания состоит в следующем.

Пусть функции \(x=\varphi(t)\) и \(\varphi(t)\) определены на некотором множестве \(E\), и пусть \(E_1\) — множество значений функции \(\varphi\). Предположим, что функция \(\varphi\) обратима на множестве \(E\), и пусть \(t=\varphi^{-1}(x)\) — обратная к ней функция. Тогда на множестве \(E_1\) определена сложная функция \(y=\psi(\varphi^{-1}(x))=f(x)\), которую называют параметрически заданной формулами (уравнениями) \(х=\varphi(t),\quad y=\psi(t)\).

Например, уравнениях \(x=\cos t,\;y=\sin t\), где \(t\in\left [0,\displaystyle \frac{\pi}{2}\right ]\), определяют параметрически заданную функцию \(y=f(x)\). В данном случае \(t=\arccos x,\;y=\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^{2}}\).