Критерий Коши сходимости последовательности.

Содержание:

  1. Фундаментальная последовательность.
  2. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности (критерий Коши).

1. Фундаментальная последовательность.

Последовательность \(\{x_{n}\}\) называют фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши: для каждого \(\varepsilon>0\) существует такое натуральное число \(n_{\varepsilon}\), что для любого \(n\geq n_{\varepsilon}\) и любого \(m\geq n_{\varepsilon}\) справедливо неравенство \(|x_{n}-x_{m}|\;<\;\varepsilon\). Кратко это условие можно записать так:
$$
\forall\varepsilon>0\;\exists n_{\varepsilon}:\;\forall n\geq n_{\varepsilon}\;\forall m\geq n_{\varepsilon}\rightarrow|x_{n}-x_{m}|<\varepsilon,\label{ref1}
$$
или в другом виде:
$$
\forall\varepsilon>0\;\exists n_{\varepsilon}:\;\forall n\geq n_{\varepsilon}\;\forall p\in\mathbb{N}\rightarrow|x_{n+p}-x_{n}|<\varepsilon,\nonumber
$$
Докажем, что фундаментальная последовательность является ограниченной.

\(\circ\) 
Пусть \(\varepsilon=1\), тогда согласно условию Коши \eqref{ref1} найдется номер \(n_0\) такой, что для всех \(n\geq n_0\) и для всех \(m\geq n_{0}\) выполняется неравенство \(|x_{n}-x_{m}|\;<\;1\), и, в частности, \(|x_{n}-x_{n_{0}}|<1\).

Так как \(|x_{n}|=|(x_{n}-x_{n_{0}})+x_{n_{0}}|\leq|x_{n_{0}}|+|x_{n}-x_{n_{0}}|\;<\;|x_{n_{0}}|+1\) для всех \(n\geq n_0\), то при всех \(n\in\mathbb{N}\) справедливо неравенство \(|x_{n}|\;<\;C\), где \(C=\displaystyle \max(|x_{1}|,\ldots,|x_{n_{0}-1}|\). Это означает, что \(\{x_n\}\) — ограниченная последовательность. \(\bullet\)


2. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности.

Теорема (критерий Коши). Для того чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство.

\(\circ\) Необходимость. Пусть последовательность \(\{x_{n}\}\) имеет конечный предел, равный a. По определению предела
$$
\forall\varepsilon>0 \displaystyle \exists N_{\varepsilon}:\forall p\geq N_{\varepsilon}\rightarrow|x_{p}-a|\;<\;\frac{\epsilon}{2}.\label{ref2}
$$
Полагая \eqref{ref2} сначала \(р=n\), а затем \(р=m\) и используя неравенство для модуля суммы (разности), получаем
$$
|x_n-x_m|=|(x_n-a)-(x_m-a)|\leq |x_n-a|+|x_m-a|\;<\;\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\epsilon.\nonumber
$$
Следовательно, для любого \(n\geq N_{\varepsilon}\) и для любого \(m\geq N_{\varepsilon}\) выполняется неравенство \(|x_{n}-x_{m}|\;<\;\varepsilon\), т. е. выполняется условие \eqref{ref1} при \(n_\varepsilon=N_\varepsilon\).

Достаточность. Пусть \(\{x_{n}\}\) — фундаментальная последовательность. Докажем, что она имеет конечный предел. По определению фундаментальной последовательности
$$
\forall \varepsilon>0\;\exists n_\varepsilon:\forall n\geq n_\varepsilon\;\forall m\geq n_\varepsilon\rightarrow|x_n-x_m|\;<\;\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}.\label{ref3}
$$
Так как фундаментальная последовательность \(\{x_{n}\}\) является ограниченной, то по теореме Больцано-Вейерштрасса она содержит сходящуюся подпоследовательность \(\{x_{n_k}\}\). Пусть ее предел равен \(a\), т. е.
$$
\displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty}x_{n_k}=a.\label{ref4}
$$
Покажем, что число a является пределом исходной последовательности \(\{x_{n}\}\). По определению предела \eqref{ref4}
$$
\forall\varepsilon>0\;\exists k_\varepsilon:\quad \forall k\geq k_\varepsilon\rightarrow\;<\;\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}.\label{ref5}
$$
Пусть \(N_{\varepsilon}=\displaystyle \max (n_\varepsilon,k_\varepsilon)\). Фиксируем в \eqref{ref5} номер \(n_{k}\geq N_\varepsilon\) (такой номер найдется, так как \(n_k\rightarrow\infty\) при \(k\rightarrow\infty\)). тогда при \(m=n_{k}\) и при всех \(n\geq N_\varepsilon\) в силу \eqref{ref3} выполняется неравенство
$$
|x_{n}-x_{n_{k}}|\;<\;\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}.\label{ref6}
$$
Из \eqref{ref5} и \eqref{ref6} следует, что при всех \(n\geq N_\varepsilon\) справедливо неравенство \(|x_n-a|=|(x_n-x_{n_k})+(x_{n_k}-a)|\leq |x_n-x_{n_k}|+|x_{n_k}-a|\;<\;\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\), т.е. \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} x_n=a\). \(\bullet\)


Пример.

Доказать, что последовательность \(\{x_n\}\), где
$$
x_{n}=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n},\nonumber
$$
расходится.

Решение.

\(\triangle\) Последовательность \(\{x_{n}\}\) расходится: если не выполняется условие Коши \eqref{ref1}, т.е.
$$
\exists \varepsilon_0>0:\;\forall k\in\mathbb{N}\quad\exists n\geq k\quad\exists m\geq k:\;|x_{n}-x_{m}|\geq \varepsilon_0.\label{ref7}
$$
Пусть задано любое \(k\in\mathbb{N}\): положим \(n=2k,\;m=k\). Тогда
$$
|x_{n}-x_{m}|=|x_{2k}-x_{k}|=\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\ldots+\frac{1}{2k}\geq\frac{1}{2k}k=\frac{1}{2}.\nonumber
$$
Таким образом, условие \eqref{ref7} выполняется при \(\displaystyle \varepsilon_0=\frac{1}{2}\), и в силу критерия Коши последовательность \(\{x_{n}\}\) расходится.