Фундаментальная последовательность.
Последовательность \(\{x_{n}\}\) называют фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши: для каждого \(\varepsilon>0\) существует такое натуральное число \(n_{\varepsilon}\), что для любого \(n\geq n_{\varepsilon}\) и любого \(m\geq n_{\varepsilon}\) справедливо неравенство \(|x_{n}-x_{m}| < \varepsilon\). Кратко это условие можно записать так:
$$
\forall\varepsilon>0 \ \exists n_{\varepsilon}: \ \forall n\geq n_{\varepsilon} \ \forall m\geq n_{\varepsilon}\rightarrow|x_{n}-x_{m}|<\varepsilon,\label{ref1}
$$
или в другом виде:
$$
\forall\varepsilon>0 \ \exists n_{\varepsilon}: \ \forall n\geq n_{\varepsilon} \ \forall p\in\mathbb{N}\rightarrow|x_{n+p}-x_{n}|<\varepsilon,\nonumber
$$
Докажем, что фундаментальная последовательность является ограниченной.
\(\circ\) Пусть \(\varepsilon=1\), тогда согласно условию Коши \eqref{ref1} найдется номер \(n_0\) такой, что для всех \(n\geq n_0\) и для всех \(m\geq n_{0}\) выполняется неравенство \(|x_{n}-x_{m}| < 1\), и, в частности, \(|x_{n}-x_{n_{0}}|<1\).
Так как \(|x_{n}|=|(x_{n}-x_{n_{0}})+x_{n_{0}}|\leq|x_{n_{0}}|+|x_{n}-x_{n_{0}}| < |x_{n_{0}}|+1\) для всех \(n\geq n_0\), то при всех \(n\in\mathbb{N}\) справедливо неравенство \(|x_{n}| < C\), где \(C=\displaystyle \max(|x_{1}|,\ldots,|x_{n_{0}-1}|\). Это означает, что \(\{x_n\}\) — ограниченная последовательность. \(\bullet\)
Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности.
Теорема.
(критерий Коши).
Для того чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Доказательство.
Необходимость. Пусть последовательность \(\{x_{n}\}\) имеет конечный предел, равный a. По определению предела
$$
\forall\varepsilon>0 \displaystyle \exists N_{\varepsilon}:\forall p\geq N_{\varepsilon}\rightarrow|x_{p}-a| < \frac{\epsilon}{2}.\label{ref2}
$$
Полагая \eqref{ref2} сначала \(p=n\), а затем \(p=m\) и используя неравенство для модуля суммы (разности), получаем
$$
|x_n-x_m|=|(x_n-a)-(x_m-a)|\leq |x_n-a|+|x_m-a| < \displaystyle \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\epsilon.\nonumber
$$
Следовательно, для любого \(n\geq N_{\varepsilon}\) и для любого \(m\geq N_{\varepsilon}\) выполняется неравенство \(|x_{n}-x_{m}| < \varepsilon\), то есть выполняется условие \eqref{ref1} при \(n_\varepsilon=N_\varepsilon\).
Достаточность. Пусть \(\{x_{n}\}\) — фундаментальная последовательность. Докажем, что она имеет конечный предел. По определению фундаментальной последовательности
$$
\forall \varepsilon>0 \ \exists n_\varepsilon:\forall n\geq n_\varepsilon \ \forall m\geq n_\varepsilon\rightarrow|x_n-x_m| < \displaystyle \frac{\varepsilon}{2}.\label{ref3}
$$
Так как фундаментальная последовательность \(\{x_{n}\}\) является ограниченной, то по теореме Больцано-Вейерштрасса она содержит сходящуюся подпоследовательность \(\{x_{n_k}\}\). Пусть ее предел равен \(a\), то есть
$$
\lim_{k\rightarrow\infty}x_{n_k}=a.\label{ref4}
$$
Покажем, что число \(a\) является пределом исходной последовательности \(\{x_{n}\}\). По определению предела \eqref{ref4}
$$
\forall\varepsilon>0 \ \exists k_\varepsilon:\quad \forall k\geq k_\varepsilon\rightarrow < \displaystyle \frac{\varepsilon}{2}.\label{ref5}
$$
Пусть \(N_{\varepsilon}=\displaystyle \max (n_\varepsilon,k_\varepsilon)\). Фиксируем в \eqref{ref5} номер \(n_{k}\geq N_\varepsilon\) (такой номер найдется, так как \(n_k\rightarrow\infty\) при \(k\rightarrow\infty\)). тогда при \(m=n_{k}\) и при всех \(n\geq N_\varepsilon\) в силу \eqref{ref3} выполняется неравенство
$$
|x_{n}-x_{n_{k}}|<\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}.\label{ref6}
$$
Из \eqref{ref5} и \eqref{ref6} следует, что при всех \(n\geq N_\varepsilon\) справедливо неравенство \(|x_n-a|=|(x_n-x_{n_k})+(x_{n_k}-a)|\leq |x_n-x_{n_k}|+|x_{n_k}-a| < \displaystyle \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\), то есть \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} x_n=a\). \(\bullet\)
Пример.
Доказать, что последовательность \(\{x_n\}\), где
$$
x_{n}=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n},\nonumber
$$
расходится.
Решение.
\(\triangle\) Последовательность \(\{x_{n}\}\) расходится, если не выполняется условие Коши \eqref{ref1}, то есть
$$
\exists \varepsilon_0>0: \ \forall k\in\mathbb{N}\quad\exists n\geq k\quad\exists m\geq k: \ |x_{n}-x_{m}|\geq \varepsilon_0.\label{ref7}
$$
Пусть задано любое \(k\in\mathbb{N}\): положим \(n=2k, \ m=k\). Тогда
$$
|x_{n}-x_{m}|=|x_{2k}-x_{k}|=\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\ldots+\frac{1}{2k}\geq\frac{1}{2k}k=\frac{1}{2}.\nonumber
$$
Таким образом, условие \eqref{ref7} выполняется при \(\displaystyle \varepsilon_0=\frac{1}{2}\), и в силу критерия Коши последовательность \(\{x_{n}\}\) расходится. \(\blacktriangle\)