Монотонная последовательность. Точные грани последовательности.
Последовательность \(\{x_{n}\}\) называют возрастающей (неубывающей), если для любого \(n\in\mathbb{N}\) выполняется неравенство
$$
x_{n+1}\geq x_{n}.\label{ref1}
$$
Аналогично последовательность\(\{x_{n}\}\) называют убывающей (невозрастающей), если для любого \(n\in\mathbb{N}\) справедливо неравенство
$$
x_{n+1}\leq x_{n}.\label{ref2}
$$
Если неравенство \eqref{ref1} можно записать в виде \(x_{n+1}>x_{n}\), а неравенство \eqref{ref2} — в виде \(x_{n+1} < x_{n}\), то последовательность \(\{x_{n}\}\) называют соответственно строго возрастающей и строго убывающей.
Возрастающую или убывающую последовательность называют монотонной, а строго возрастающую или строго убывающую — строго монотонной.
Если неравенство \eqref{ref1} выполняется при \(n\geq n_{0}\), то последовательность \(\{x_{n}\}\) называют возрастающей, начиная с номера \(n_{0}\) (при \(n\geq n_{0}\)). Аналогично вводятся понятия убывающей, строго убывающей и строго возрастающей последовательности, начиная с номера \(n_{0}\) (при \(n\geq n_{0}\)).
Для доказательства теоремы о пределе монотонной последовательности нам потребуются понятия точной верхней и нижней грани последовательности.
Точную верхнюю (нижнюю) грань множества значений последовательности \(\{x_{n}\}\) называют точной верхней (нижней) гранью последовательности и обозначают соответственно \(\sup{\{x_{n}\}}\) и \( \inf{\{x_{n}\}}\).
Определение точной верхней грани \(\sup{X}\) числового множества \(X,\) можно записать так:
$$
\displaystyle \{M=\sup X\}\Leftrightarrow\{\forall x\in X\rightarrow x\leq M\}\wedge\{\forall\varepsilon>0 \ \exists x_{\varepsilon}\in X:x_{\varepsilon}>M-\varepsilon\}.\label{ref3}
$$
Аналогично определение точной нижней грани \(\displaystyle \inf{X}\) числового множества \(X\) можно записать в виде
$$
\displaystyle \{m=\inf X\}\Leftrightarrow\{\forall x\in X\rightarrow x\geq m\}\wedge\{\forall\varepsilon>0\ \exists x_{\varepsilon}\in X:x_{\varepsilon} < m+\varepsilon\}.\label{ref4}
$$
Поэтому определения точной верхней и точной нижней граней последовательности можно записать в виде
$$
[a=\displaystyle \sup\{x_{n}\}]\Leftrightarrow\{\forall n\in N\rightarrow x_{n}\leq a\}\wedge\{\forall\varepsilon>0\ \exists N_{\varepsilon}:x_{N_{\varepsilon}}>a-\varepsilon\},\label{ref5}
$$
$$
[b=\displaystyle \inf\{x_{n}\}]\Leftrightarrow\{\forall n\in N\rightarrow x_{n}\geq b\}\wedge\{\forall\varepsilon<0\ \exists N_{\varepsilon}:x_{N_{\varepsilon}} < b+\varepsilon\}.\label{ref6}
$$
Таким образом, число \(a\) — точная верхняя грань последовательности \(\{x_{n}\}\), если выполняются условия:
- все члены последовательности не превосходят \(a\), то есть
$$
\forall n\in N\rightarrow x_{n}\leq a;\label{ref7}
$$ - для каждого \(\varepsilon>0\) (рис. 6.1) найдется член последовательности, больший \(a-\varepsilon\), то есть
$$
\forall\varepsilon>0 \ \exists N_{\varepsilon}:x_{N_{\varepsilon}}>a-\varepsilon.\label{ref8}
$$
Рис. 6.1
Аналогично разъясняется определение \eqref{ref6} точной нижней грани последовательности.
Признак сходимости монотонной последовательности.
Теорема 1.
Если последовательность \(\{{x_{n}}\}\) является возрастающей и ограниченной сверху, то существует
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=\sup\{x_{n}\}.\nonumber
$$
Если последовательность \(\{x_{n}\}\) является убывающей и ограниченной снизу, то существует
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=\inf\{x_{n}\}.\nonumber
$$
Доказательство.
\(\circ\) Ограничимся доказательством теоремы для случая ограниченной сверху и возрастающей последовательности.
Если последовательность \(\{x_{n}\}\) ограничена сверху, то есть множество чисел \(x_{2},x_{2}, \ldots,x_{n}, \ldots\) ограничено сверху, то по теореме о существовании верхней грани существует точная верхняя грань этой последовательности, определяемая условиями \eqref{ref7}, \eqref{ref8}. Так как \(\{x_{n}\}\) — возрастающая последовательность, то
$$
\forall n\geq N_{\varepsilon}\rightarrow x_{N_{\varepsilon}}\leq x_{n}.\label{ref9}
$$
Из \eqref{ref7}-\eqref{ref9} следует, что
$$
\forall\varepsilon>0 \ \exists N_{\varepsilon}:\forall n\geq N_{\varepsilon}\rightarrow a-\varepsilon < x_{N_{\varepsilon}}\leq x_n\leq а,\nonumber
$$
то есть \(x_{n}\in U_{\varepsilon}(a)\).
Это означает, согласно определению предела, что
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a=\sup\{x_{n}\}.\quad\bullet\nonumber
$$
Замечание 1.
Теорема 1 остается справедливой для последовательности, ограниченной сверху (снизу) и возрастающей (убывающей), начиная с некоторого номера.
Пример 1
Доказать, что если \(x_n=\displaystyle \frac{a^{n}}{n!}\), где \(a>0\), то
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=0.\nonumber
$$
Решение
\(\triangle\) Так как
$$
x_{n+1}=\frac{a}{n+1}x_{n},\label{ref10}
$$
то \(x_{n+1}\leq x_{n}\) при всех \(n\geq n_{0}\), где \(n_{0}=[a],\{x_{n}\}\) — убывающая при \(n\geq n_{0}\) последовательность. Кроме того, \(x_{n}\geq0\) при всех \(n\in\mathbb{N}\) то есть последовательность ограничена снизу. По теореме 1 последовательность \(\{x_{n}\}\) сходится. Пусть \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} x_n=b\). Тогда, переходя к пределу в равенстве \eqref{ref10}, получаем \(b=0\). Итак,
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a^{n}}{n!}=0.\quad\blacktriangle\label{ref11}
$$
Замечание 2.
Утверждение \eqref{ref11} справедливо не только при \(a>0\), но и при любом \(a\in\mathbb{R}\), так как \(\displaystyle \left|\frac{a^{n}}{n!}\right|\leq\frac{|a|^{n}}{n!}\).
Пример 2
Последовательность \(\{x_{n}\}\)задается рекуррентной формулой
$$
x_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}) ,\label{ref12}
$$
где \(x_1>0, a>0\). Доказать, что
$$
\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=\sqrt{a}.\label{ref13}
$$
Решение
\(\triangle\) Докажем сначала методом индукции, что
$$
\forall k\in\ N \rightarrow x_{k}>0.\label{ref14}
$$
В самом деле, из формулы \eqref{ref12} и условий \(x_{1}>0\), \(a>0\) следует, что \(x_{2}>0\). Предполагая, что \(x_{n}>0\), из равенства \eqref{ref12} получаем \(x_{n+1}>0\). Утверждение \eqref{ref14} доказано.
Далее, применяя неравенство для среднего арифметического и среднего геометрического, из \eqref{ref12} получаем \(x_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}(x_{n}+\frac{a}{x_{n}})\geq\sqrt{x_{n}\frac{a}{x_{n}}}=\sqrt{a}\) при \(n\in\mathbb{N}\), то есть
$$
\forall n\geq 2\rightarrow x_{n}\geq\sqrt{a}.\label{ref15}
$$
Итак, последовательность \(\{x_{n}\}\) ограничена снизу. Докажем, что она является убывающей. Запишем равенство \eqref{ref12} в виде
$$
x_{n+1}-x_n = \frac{a-x^2_n}{2x_n}\nonumber
$$
откуда в силу \eqref{ref14} и \eqref{ref15} получаем
$$
\forall n \geq 2 \rightarrow x_{n+1} \leq x_n,\nonumber
$$
то есть последовательность является убывающей при \(n\geq 2\). По теореме 1 существует \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{x_n}=\alpha\), где \(\alpha\geq\sqrt{a}>0\) в силу условия \eqref{ref15}. Переходя в равенстве \eqref{ref12} к пределу, получаем \(\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}(\alpha+\frac{a}{\alpha})\) , откуда \(\alpha^{2}=a, \ \alpha=\sqrt{a}\), то есть справедливо утверждение \eqref{ref13}.\(\quad\blacktriangle\)
Число e.
Рассмотрим последовательность \(\{x_{n}\}\), где
$$
x_{n}=\left(1+\displaystyle \frac{1}{n}\right)^{n},\nonumber
$$
и покажем, что эта последовательность возрастающая и ограниченная сверху. Используя формулу бинома Ньютона, получаем
$$
x_{n}=1+C_{n}^{1}\frac{1}{n}+C_{n}^{2}\frac{1}{n^{2}}+\ldots+C_{n}^{k}\frac{1}{n^{k}}+\ldots+\frac{1}{n^{n}},\nonumber
$$
где
$$
C_{n}^{k}=\displaystyle \frac{n(n-1)\ldots(n-(k-1))}{k!},\quad k=\overline{1,n},\quad C_{n}^{0}=1.\nonumber
$$
Запишем \(x_n\) следующем виде:
$$
x_{n}=1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\ldots(1-\frac{k-1}{n});\label{ref16}
$$
тогда
$$x_{n+1}=1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n+\perp}\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\ldots(1-\frac{k-1}{n+1}).\label{ref17}
$$
Все слагаемые в суммах \eqref{ref16} и \eqref{ref17} положительны, причем каждое слагаемое суммы \eqref{ref16} меньше соответствующего слагаемого суммы \eqref{ref17}, так как \(\displaystyle 1-\frac{m}{n}\,<\,1-\frac{m}{n+1}, \ m=\overline{1,n-1}\), а число слагаемых в сумме \eqref{ref17} на одно больше, чем в сумме \eqref{ref16}. Поэтому \(x_n < x_{n+1}\) для всех \(n\in\mathbb{N}\), то есть \(\{x_{n}\}\) — строго возрастающая последовательность. Кроме того, учитывая, что \(\displaystyle 0 < 1-\frac{m}{n} < 1 \ (m=\overline{1,n-1})\), из равенства \eqref{ref16} получаем \(x_{n} < 1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}\). Так как \(\frac{1}{k!}\leq \frac{1}{2^{k-1}}\) при \(k\in\mathbb{N}\), то, используя формулу для суммы геометрической прогрессии, получаем \(x_{n} < \displaystyle 1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}=1+\frac{1-(1/2)^{n}}{1-1/2}=3-\frac{1}{2^{n-1}}\). Следовательно,
$$
x_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<3,\nonumber
$$
то есть \(\{x_{n}\}\) — ограниченная последовательность. По теореме 1 существует \(\underset{n\rightarrow\infty}{lim}x_n\). Этот предел обозначается буквой \(e\). Таким образом,
$$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=e.\label{ref18}
$$
Число \(e\) является иррациональным, оно служит основанием натуральных логарифмов и играет важную роль в математике. Справедливо приближенное равенство
$$
e\approx 2,718281828459045\nonumber
$$
Теорема Кантора о вложенных отрезках.
Назовем последовательность отрезков \(\Delta_{1},\Delta_{2},\ldots,\Delta_n,\ldots\), где \(\Delta_n=[a_{n},b_{n}]\), стягивающейся, если выполнены следующие условия:
- каждый последующий отрезок принадлежит предыдущему, то есть
$$
\forall n\in\mathbb{N}\rightarrow\Delta_{n+1}\subset\Delta_{n};\label{ref19}
$$ - длина n-гo отрезка \(\Delta_n\) стремится к нулю при \(n\rightarrow\infty\), то есть
$$
\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(b_{n}-a_{n})=0.\label{ref20}
$$
Условие \eqref{ref19} означает, что
$$
a_{1}\leq a_{2}\leq\ldots\leq a_{n}\leq a_{n+1}\leq\ldots\leq b_{n+1}\leq b_{n}\leq\ldots\leq b_{2}\leq b_{1}.\label{ref21}
$$
Теорема 2.
(Теорема Кантора)
Если последовательность отрезков является стягивающейся, то существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам этой последовательности.
Доказательство.
\(\circ\) Существование. Из условия \eqref{ref21} следует, что
$$
\forall n\in\mathbb{N}\quad\forall m\in\mathbb{N}\rightarrow a_{n}\leq b_{m}.\label{ref22}
$$
По теореме об отделимости числовых множеств из \eqref{ref22} заключаем, что существует \(sup\{a_n\}=c\), причем
$$
\forall n\in\mathbb{N}\rightarrow a_{n}\leq c\leq b_{n},\nonumber
$$
то есть существует точка с, принадлежащая всем отрезкам стягивающейся системы \(\{\Delta_n\}\).
Единственность. Пусть существуют две различные точки c и c’ принадлежащие всем отрезкам последовательности \(\{\Delta_n\}\), то есть \(c\in\Delta_n\) и \(c’\in\Delta_n\) при любом \(n\in\mathbb{N}\). Так как \(c\neq c’\), то либо \(c < c’\), либо \(c’ < c\). Пусть, например, \(c < c’\). Тогда \(a_{n}\leq c < c’\leq b_{n}\) при любом \(n\in\mathbb{N}\), откуда по свойствам неравенств \(b_{n}-a_{n}\geq c’-c=\alpha \ >0\) при любом \(n\in\mathbb{N}\), что противоречит условию \eqref{ref20}. Итак, \(\alpha=0\), то есть \(c’=c.\quad\bullet\)