Подпоследовательности. Частичные пределы.

Содержание:

  1. Подпоследовательность.
  2. Существование частичного предела у ограниченной последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

1. Подпоследовательность.

Пусть задана последовательность \(\{x_{n}\}\). Рассмотрим строго возрастающую последовательность \(\{n_k\}\) натуральных чисел, т.е. такую, что
$$
n_{1}\;<\;n_{2}\;<\;\ldots\;<\;n_{k}\;\ldots\nonumber
$$

Тогда последовательность \(\{y_{k}\}\), где \(y_{k}=x_{n_k}\) при \(k\in\mathbb{N}\) называется подпоследовательностью последовательности \(\{x_n\}\) и обозначается \(\{x_{n_{k}}\}\). Например, последовательность нечетных натуральных. Например, последовательность нечетных натуральных чисел 1, 3, 5, 7, 9, ..., взятых в порядке возрастания, является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел 1, 2, 3, ..., а последовательность 3, 5, 1, 9, 11, 7, ... уже не является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.

Согласно определению подпоследовательность \(\{x_{n_{k}}\}\) образована из членов исходной последовательности \(\{x_{n}\}\), причем порядок следования членов в подпоследовательности такой же, как и в данной последовательности \(\{x_{n}\}\). В записи \(\{x_{n_k}\}\) число k означает порядковый номер члена последовательности \(x_{n_{1}},x_{n_{2}},\ldots\) а \(n_{k}\) - номер этого члена в исходной последовательности. Поэтому \(n_k\geq k\), откуда следует, что \(n_{k}\rightarrow\infty\) при \(k\rightarrow\infty\).

Введем теперь понятие частичного предела. Пусть \(\{x_{n_{k}}\}\) - подпоследовательность последовательности \(\{x_{n}\}\), и пусть существует конечный или бесконечный \(\displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty}x_{n_{k}}=a\). Тогда a называют частичным пределом последовательности \(\{x_n\}\). Например, последовательность \(\{(-1)^{n}\}\) имеет два частичных предела, а именно -1 и 1. Последовательность \(\{1+(-1)^nn\}\) имеет два частичных предела, а именно 0 и \(+\infty\).

Если \(\{x_{n}\}\) - ограниченная последовательность, a L - множество всех ее частичных пределов, то числа \(\sup L\) и \(\inf L\) называют соответственно верхним и нижним пределом этой последовательности и обозначают соответственно символами \(\displaystyle \varlimsup_{n\rightarrow\infty}x_{n}\) и \(\displaystyle \varliminf_{n\rightarrow\infty}x_{n}\).

Например, для последовательности 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, ... имеем \(\displaystyle \varlimsup_{n\rightarrow\infty}x_{n}=3,\;\varliminf_{n\rightarrow\infty}x_{n}=1\).


2. Существование частичного предела у ограниченной последовательности.

Теорема (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство.

\(\circ\) Пусть \(\{x_{n}\}\) — ограниченная последовательность, тогда все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку, т.е.
$$
\exists a,\;b:\forall n\in\mathbb{N}\rightarrow x_{n}\in\Delta=[a,\;b].\label{ref1}
$$
Разобьем отрезок \(\Delta=[a,\;b]\) пополам точкой d. Тогда по крайней мере один из отрезков \([a,\;d],\;[d,\;b]\) содержит бесконечное число членов последовательности \(\{x_{n}\}\). Если оба отрезка обладают этим свойством, возьмем, например, правый отрезок (и будем так поступать в дальнейшем). Выбранный отрезок, содержащий бесконечное число членов данной последовательности, обозначим \(\Delta_1=[a_{1},\;b_{1}]\), его длина равна
$$
b_{1}-a_{1}=\frac{b-a}{2}.\nonumber
$$
Разделив отрезок \(\Delta_{1}\) пополам, выберем указанным выше способом из двух получившихся отрезков отрезок \(\Delta_{2}=[a_{2},b_{2}]\), содержащий бесконечное число членов последовательности \(\{x_{n}\}\).

Продолжая эти рассуждения, получим последовательность \(\{\Delta_n=[a_n,\;b_n]\}\) отрезков таких, что:

  1. \(\Delta_{1}\supset\Delta_{2}\supset\ldots\supset\Delta_{n}\supset\Delta_{n+1}\supset\ldots\);
  2. \(b_{n}-a_{n}=\displaystyle \frac{b-a}{2^{n}}\rightarrow 0\) при \(n\rightarrow\infty\).

Следовательно, \(\Delta_n\) — стягивающаяся последовательность отрезков. По теореме Кантора существует единственная точка c, принадлежащая всем отрезкам, т. е.
$$
\exists c:\forall k\in\mathbb{N}\rightarrow c\in\Delta_{k}.\label{ref2}
$$
Покажем, что найдется подпоследовательность \(\{x_{n_{k}}\}\) последовательности \(\{x_{n}\}\) такая, что
$$
\displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty}x_{n_{k}}=c.\label{ref3}
$$
Так как отрезок \(\Delta_{1}\) содержит бесконечное число членов последовательности \(\{x_n\}\), то
$$
\exists n_{1}\in\mathbb{N}:x_{n_{1}}\in\Delta_{1}.\nonumber
$$

Отрезок \(\Delta_{2}\) также содержит бесконечное число членов данной последовательности, и поэтому
$$
\exists n_2>n_1: x_{n_2}\in\Delta_2.\nonumber
$$
Вообще,
$$
\forall k\in\mathbb{N}\quad\exists n_k:\;x_{n_k}\in\Delta_k,\;где\;n_1\;<\;n_2\;<\;\ldots\;<\;n_{k-1}\;<\;n_k.\nonumber
$$
Следовательно, существует подпоследовательность \(\{x_{n_{k}}\}\) последовательности \(\{x_{n}\}\) такая, что
$$
\forall k\in\mathbb{N}\rightarrow a_k\leq x_{n_{k}}\leq b_k.\label{ref4}
$$
Условия \eqref{ref2} и \eqref{ref4} означают, что точки c и \(x_{n_k}\) принадлежат отрезку \(\Delta_k=[a_{k},\;b_{k}]\), и поэтому расстояние между ними не превосходит длины отрезка \(\Delta_k\), т.е.
$$
|x_{n_{k}}-c|\leq b_{k}-a_{k}=\frac{b-a}{2^{k}}.\label{ref5}
$$
Так как \(\displaystyle \left\{\frac{1}{2^{k}}\right\}\) — бесконечно малая последовательность (см. данный пример пункт в)) то из \eqref{ref5} следует, что справедливо утверждение \eqref{ref3}. \(\bullet\)


Замечание.
Теорему Больцано-Вейерштрасса можно сформулировать так: любая ограниченная последовательность имеет хотя бы один частичный предел.