Несобственные кратные интегралы.

Содержание:

  1. Исчерпывающие последовательности множеств.
  2. Несобственные интегралы от неотрицательных функций.
  3. Несобственные интегралы от знакопеременных функций.

Исчерпывающие последовательности множеств.

Пусть \(G\) есть область в \(\boldsymbol{R}^{m}\). Последовательность открытых измеримых по Жордану множеств \(\{G_{n}\}\) будем называть исчерпывающей множество \(G\), если \(G = \displaystyle\bigcup_{i=1}^{\substack{\infty}}G_{n}\) и \(\overline{G}_{n} \subset G_{n + 1}\), \(n = 1, 2, \ldots\)

Лемма 1.

Если \(\{G_{n}\}\) и \(\{G'_{n}\}\) есть последовательности, исчерпывающие область \(G \subset \boldsymbol{R}^{m}\), то для любого номера \(n\) найдется номер \(k(n)\) такой, что \(\overline{G}_{n} \subset G'_{k(n)}\).

\(\circ\) Пусть для некоторого множества \(G_{N}\) не существует такого номера \(k\), что \(\overline{G}_{N} \subset G'_{k}\). Тогда найдется точка \(x_{1} \in \overline{G}_{N}\) такая, что \(x_{1} \notin G'_{1}\), найдется точка \(x_{2} \in \overline{G}_{N}\) такая, что \(x_{2} \notin G'_{2}\). Продолжая эти рассуждения, построим последовательность точек \(\{x_{k}\}\) такую, что \(x_{k} \in \overline{G}_{N}\), \(x_{k} \notin G'_{k}\). Так как измеримое по Жордану множество \(\overline{G}_{N}\) ограничено, то из последовательности \(x_{k}\) можно в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса выделить сходящуюся подпоследовательность. Без ограничения общности можно считать, что и последовательность \(x_{k}\) сходится, т. е. \(\displaystyle\lim_{k \rightarrow \infty} x_{k} = x_{0}\). В силу замкнутости множества \(\overline{G}_{N}\) точка \(x_{0} \in \overline{G}_{N} \subset G_{N + 1} \subset G\).

Так как последовательность множеств \(\{G'_{k}\}\) исчерпывает множество \(G\), то найдется такой номер \(r\), что \(x_{0} \in G'_{r}\). Открытое множество \(G'_{r}\) есть окрестность точки \(x_{0}\). Поэтому в \(G'_{r}\) лежит бесконечное множество членов последовательности \(\{x_{k}\}\). Следовательно, найдется в этом бесконечном множестве точка \(x_{s}\) с номером \(s \geq r\). Тогда \(x_{s} \in G'_{r} \subset G'_{s}\), так как при \(r\;<\;s\) и \(G'_{r} \subset G'_{s}\). Но по построению \(x_{s} \notin G'_{s}\). Полученное противоречие доказывает, что для любого \(n\) существует номер \(k(n)\) такой, что \(G_{n} \subset G'_{k(n)}\). \(\bullet\)


Несобственные интегралы от неотрицательных функций.

Пусть функция \(f(x)\) непрерывна и неотрицательна в области \(G \subset \boldsymbol{R}^{m}\), а последовательность множеств \(\{G_{n}\}\) исчерпывает множество \(G\). Предел
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{G_{n}} f(x)\ dx\label{ref1}
$$
называют несобственным интегралом от функции \(f(x)\) по множеству \(G\). Несобственный интеграл обозначается символом \(\displaystyle\int\limits_{G} f(x)\ dx\).

Будем говорить, что несобственный интеграл \(\int\limits_{G} f(x)\ dx\) сходится, если предел \eqref{ref1} конечен, и что несобственный интеграл расходится, если предел \eqref{ref1} равен \(+\infty\).


Теорема 1.

Определение несобственного интеграла от непрерывной неотрицательной в области \(G\) функции корректно: предел \eqref{ref1} для любой исчерпывающей область \(G\) последовательности множеств \(\{G_{n}\}\) существует и не зависит от выбора исчерпывающей последовательности.

Доказательство.

\(\circ\) Пусть \(\{G_{n}\}\) и \(\{G'_{n}\}\) — две исчерпывающие последовательности. Так как \(\overline{G}_{n} \subset G_{n + 1} \subset G\) и \(\overline{G}'_{n} \subset G'_{n + 1} \subset G\), а на множестве \(G\) функция \(f(x)\) неотрицательна и непрерывна, то функция \(f(x)\) неотрицательна и непрерывна на любых множествах \(\overline{G}_{n}\) и \(\overline{G}'_{n}\), \(n = 1, 2, \ldots\) Поэтому интегралы \(\displaystyle\int\limits_{G_{n}} f(x)\ dx\) и \(\displaystyle\int\limits_{G'_{n}} f(x)\ dx\) существуют и числовые последовательности \(\alpha_{n} = \displaystyle\int\limits_{G_{n}} f(x)\ dx\) и \(\beta_{n} = \displaystyle\int\limits_{G'_{n}} f(x)\ dx\) являются монотонно возрастающими. Монотонно возрастающая числовая последовательность всегда имеет конечный или бесконечный предел.Пусть \(\alpha = \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \alpha_{n}\) и \(\beta = \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \beta_{n}\).

В силу леммы 1 для любого \(n\) найдется такой номер \(k(n)\), что \(G_{n} \subset G'_{k(n)}\). Так как \(f(x) \geq 0\), то
$$
\alpha_{n} = \int\limits_{G_{n}} f(x)\ dx \leq \int\limits_{G'_{k(n)}} f(x)\ dx = \beta_{k(n)} \leq \lim_{k \rightarrow \infty} \beta_{k} = \beta.\nonumber
$$

Переходя к пределу при \(n \rightarrow \infty\), получаем, что \(\alpha \leq \beta\). Аналогично доказывается, что \(\beta \leq \alpha\). Поэтому \(\alpha = \beta\). \(\bullet\)


Пример 1.

Интеграл
$$
\int\limits_{0\;<\;x^{2} + y^{2}\;<\;R^{2}} \frac{dx\ dy}{(x^{2} + y^{2})^{\alpha}}\label{ref2}
$$
сходится при \(\alpha\;<\;1\) и расходится при \(\alpha \geq 1\).

Доказательство.

\(\vartriangle\) Положим
$$
G = \{(x, y): 0\;<\;x^{2} + y^{2}\;<\;R^{2}\},\ G_{n} = \left\{(x, y): \frac{R^{2}}{n^{2}}\;<\;x^{2} + y^{2}\;<\;R^{2}\right\}.\nonumber
$$
Тогда последовательность колец \(G_{n}\) образует исчерпывающую последовательность для круга \(G\). Переходя к полярным координатам, получаем
$$
\iint\limits_G \frac{dx\ dy}{(x^{2} + y^{2})^{\alpha}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \iint\limits_{G_{n}} \frac{dx\ dy}{(x^{2} + y^{2})^{\alpha}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{0}^{2\pi} d\varphi \int\limits_{R/n}^{R} \frac{r\ dr}{r^{2\alpha}} =\\=\lim_{n \rightarrow \infty} 2\pi \int\limits_{R/n}^{R} r^{1 - 2\alpha}dr = 2\pi \int\limits_{0}^{R} r^{1 - 2\alpha}dr.\nonumber
$$
Таким образом, несобственный интеграл \eqref{ref2} сходится в том и только том случае, когда сходится несобственный интеграл
$$
\int\limits_{0}^{R} r^{1 - 2\alpha}dr,\nonumber
$$
т. е. при \(1 - 2\alpha\;>\;-1\) или \(\alpha\;<\;1\). \(\blacktriangle\)


Несобственные интегралы от знакопеременных функций.

Пусть функция \(f(x)\) непрерывна в области \(G \subset \boldsymbol{R}^{m}\), \(m \geq 2\). Будем говорить, что функция \(f(x)\) интегрируема по области \(G\) в несобственном смысле, если сходятся интегралы \(\displaystyle\int\limits_{G_{n}} f^{+}(x)\ dx\) и \(\displaystyle\int\limits_{G_{n}} f^{-}(x)\ dx\) от неотрицательных функций \(f^{+} = \displaystyle\frac{1}{2}(|f| + f)\) и \(f^{-} = \displaystyle\frac{1}{2}(|f| - f)\). Несобственным интегралом \(\displaystyle\int\limits_{G} f(x)\ dx\) в этом случае будем называть число
$$
\int\limits_{G} f(x)\ dx = \int\limits_{G} f^{+}(x)\ dx - \int\limits_{} f^{-}(x)\ dx.\label{ref3}
$$

В определении \eqref{ref3} не случайно оговорено, что \(m \geq 2\). При \(m = 1\) это определение не совпадает с определением несобственного интеграла (§ 38) \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x)\ dx\) (с особой точкой \(b\)) как предела \(\displaystyle\lim_{\xi \rightarrow b - 0} \int\limits_{a}^{\xi} f(x)\ dx\). Функции, интегрируемые на интервале \((a, b)\), могут оказаться неинтегрируемыми в смысле определения \eqref{ref3}. Проще всего в этом убедиться, заметив, что функция \(f(x)\) интегрируема в смысле определения \eqref{ref3} в том и только том случае, когда интегрируем ее модуль, так что определение \eqref{ref3} не допускает существования условно сходящихся интегралов. Для функций одной переменной сохраним определение данное ранее, а для функций двух и большего числа переменных будем использовать определение \eqref{ref3}.

Можно показать, что функция \(f(x)\) интегрируема в несобственном смысле на множестве \(G \subset \boldsymbol{R}^{m}\), где \(m \geq 2\), в том и только том случае, когда для любой исчерпывающей множество \(G\) последовательности \(\{G_{n}\}\) существует конечный предел \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \iint\limits_{G_{n}} f(x)\ dx\), не зависящий от выбора исчерпывающей последовательности \(\{G_{n}\}\).