Сведение кратных интегралов к повторным

Пусть:

1. Функция \(f(x, y)\) интегрируема в прямоугольнике \(\Pi = \{(x, y): a \leq x \leq b,\ c \leq y \leq d\}\).
2. Интеграл \(\displaystyle\int\limits_c^{d} f(x, y)\ dy\) существует для любого \(x \in [a, b]\).

Тогда \(\displaystyle\int\limits_c^{d} f(x, y)\ dy\) есть интегрируемая функция \(x\) на отрезке \([a, b]\) и справедлива следующая формула:
$$
\iint\limits_{\Pi} f(x, y)\ dx\ dy = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x, y)\ dy\label{ref1}
$$

\(\circ\) Возьмем произвольные разбиения отрезков \([a, b]\) и \([c, d]\) точками \(x_{0} = a < x_{1} < \ldots < x_{n}-b\) и \(y_{0} = c < y_{1} < \ldots < y_{m}-d\). Если \(\pi_{1}, \ldots, \pi_{n}\) и \(\pi’_{1}, \ldots, \pi’_{n}\) — соответствующие промежутки, образующие разбиения \([a, b]\) и \([c, d]\), то \(\Pi = \displaystyle\bigcup_{i=1}^{n} \bigcup_{j=1}^{m} \Pi_{ij}\), где \(\Pi_{ij} = \{(x, y): x \in \pi_{i},\ y \in \pi’_{i}\}\).

Положим
$$
M_{ij} = \sup_{(x, y) \in \Pi_{ij}} f(x, y),\quad m_{ij} = \inf_{(x, y) \in \Pi_{ij}} f(x, y).\nonumber
$$

Так как \(\displaystyle\int\limits_c^{d} f(x, y)\ dy\) существует для любого \(x \in [a, b]\), то при \(x \in \pi_{i}\) справедливы неравенства
$$
m_{ij}\Delta y_{i} \leq \int\limits_{y_{i-1}}^{y_{i}} f(x, y)\ dy \leq M_{ij}\Delta y_{i},\ \mbox{где}\ \Delta y_{i} = y_{i}-y_{i-1}.\nonumber
$$
Суммируя эти неравенства по индексу \(j\), получаем
$$
\sum_{j=1}^{m} m_{ij}\Delta y_{i} \leq \int\limits_c^{d} f(x, y)\ dy \leq \sum_{j=1}^{m} M_{ij}\Delta y_{j}.\label{ref2}
$$

Введем следующие обозначения:
$$
F(x) = \int\limits_c^{d} f(x, y)\ dy,\quad M_{i} = \sup_{x \in \pi_{i}} F(x),\quad m_{i} = \inf_{x \in \pi_{i}} F(x).\nonumber
$$
Тогда из \eqref{ref2} следует, что
$$
\sum_{j=1}^{m} m_{ij}\Delta y_{j} \leq m_{i} \leq M_{i} \leq \sum_{j=1}^{m} M_{ij}\Delta y_{j},\label{ref3}
$$
$$
0 \leq M_{i}-m_{i} \leq \sum_{j=1}^{m} (M_{ij}-m_{ij})\Delta y_{j}.\label{ref4}
$$
Умножая неравенство \eqref{ref4} на \(\Delta x_{i}\) и суммируя по \(i\) от 1 до \(n\), получаем
$$
0 \leq \sum_{i=1}^{n} (M_{i}-m_{i})\Delta x_{i} \leq \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(M_{ij}-m_{ij}) m(\Pi_{ij}) =\\= S_{T} (f, \Pi)-s_{T} (f, \Pi) \rightarrow 0\ \mbox{при}\ l(T) \rightarrow 0,\nonumber
$$
так как функция \(f(x, y)\) интегрируема на прямоугольнике \(\Pi\). Но тогда и \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (M_{i}-m_{i})\Delta x_{i} \rightarrow 0\) при \(\max_{i} |\Delta x_{i}| \rightarrow 0\), следовательно, в силу критерия интегрируемости функция \(F(x)\) интегрируема на отрезке \([a, b]\), то есть повторный интеграл
$$
\int\limits_a^{b} F(x)\ dx = \int\limits_a^{b}\ dx \int\limits_c^{d} f(x, y)\ dy
$$
существует. Покажем, что он равен двойному интегралу.

Интегрируя неравенство \eqref{ref2}, получаем
$$
\sum_{j=1}^{m}m_{ij} \Delta x_{i} \Delta y_{i} \leq \int\limits_{x_{i-1}}^{x_{i}}\ dx \int\limits_c^{d} f(x, y)\ dy \leq \sum_{i=1}^{m} M_{ij} \Delta x_{i} \Delta y_{i}.\nonumber
$$
Проведем суммирование по \(i\) от 1 до \(n\). Получаем
$$
s_{T} \leq \int\limits_a^{b}\ dx \int\limits_c^{d} f(x, y)\ dy \leq S_{T}.\nonumber
$$
Так как
$$
s_{T} \leq \iint\limits_\Pi f(x, y)\ dx\ dy \leq S_{T},\nonumber
$$
а разность \(S_{T}-s_{T}\) может быть сделана сколь угодно малой, то
$$
\iint\limits_\Pi f(x, y)\ dx\ dy = \int\limits_a^{b}\ dx \int\limits_c^{d} f(x, y)\ dy.\ \bullet

Пусть \(\Omega\) — элементарная относительно оси \(y\) область, функция \(f(x, y)\) интегрируема на \(\overline{\Omega}\), где \(\overline{\Omega} = \Omega \cup \partial\Omega\), и при любом \(x \in [a, b]\) существует \(\displaystyle\int\limits_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(x, y)\ dy\). Тогда справедлива следующая формула:
$$
\iint\limits_\Omega f(x, y)\ dx\ dy = \int\limits_a^{b} f(x, y)\ dx \int\limits_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(x, y)\ dy.\label{ref7}
$$

\(\circ\) Пусть
$$
c = \min_{x \in [a, b]} \varphi(x),\quad d = \max_{x \in [a, b]} \psi(x).\nonumber
$$

Область \(\Omega\) (рис. 47.2) лежит в прямоугольнике \(\Pi = [a, b] \times [c, d]\). Положим
$$
F(x, y)=\left\{\begin{array}{lc}
f(x, y),&(x, y) \in \Omega ,\\
0,&(x, y) \in \Pi\backslash\Omega,
\end{array} \right.\label{ref8}
$$

Так как функция интегрируема на \(\overline{\Omega}\) и на множестве \(\Pi \backslash \overline{\Omega}\), то, благодаря одному из свойств кратного интеграла, существует двойной интеграл \(\displaystyle\iint\limits_\Pi F(x, y)\ dx\ dy\).

Аналогично из существования при любом \(x \in [a, b]\) интегралов \(\displaystyle\int\limits_{c}^{\varphi(x)} F(x, y)\ dy\), \(\int\limits_{\varphi(x)}^{\psi(x)} F(x, y)\ dy\) и \(\displaystyle\int\limits_{\psi(x)}^{d} f(x, y)\ dy\) следует, что при любом \(x \in [a, b]\) существует интеграл \(\displaystyle\int\limits_{c}^{d} f(x, y)\ dy\).

Таким образом, выполнены все условия теоремы 1. Поэтому
$$
\iint\limits_\Pi f(x, y)\ dx\ dy = \int\limits_a^{b} \ dx \int\limits_{c}^{d} F(x, y)\ dy.\nonumber
$$
Подставляя сюда выражение \eqref{ref8} для функции \(F(x, y)\), получаем формулу \eqref{ref7}. \(\bullet\)

Пусть функции \(\varphi(x)\) и \(\psi(x)\) непрерывны на отрезке \([a, b]\) и \(\varphi(x) < \psi(x)\) при \(a < x < b\), а функция \(f(x, y)\) непрерывна в замыкании области \(\Omega = \{(x, y): a < x < b,\ \varphi(x) < y < \psi(x)\}\). Тогда функция
$$
\Phi(x) = \int\limits_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(x, y)\ dy\nonumber
$$
непрерывна на отрезке \([a, b]\).

1. \(\circ\) Пусть сначала \(\varphi(x) \equiv c\), \(\psi(x) \equiv d\), где \(c\) и \(d\) — постоянные, а функция \(f(x, y)\) непрерывна в прямоугольнике \(\Pi = [a, b] \times [c, d]\). В силу теоремы Кантора \(f(x, y)\) равномерно непрерывна на \(\Pi\). Поэтому для любого \(\varepsilon > 0\) существует \(\delta > 0\) такое, что для любого \(y \in [c, d]\) и любых \(x \in [a, b]\) и \(x + \Delta x \in [a, b]\) при \(\Delta |x| < \delta\) справедливо неравенство
   $$
   |f(x + \Delta x, y)-f(x, y)| < \frac{\varepsilon}{d-c}.\nonumber
   $$
   Предполагая, что \(\Delta |x| < \delta\), получаем
   $$
   |\Phi(x + \Delta x)-\Phi(x)| = \left|\int\limits_{c}^{d}(f(x + \Delta x, y)-f(x, y))dy\right| \leq\\\leq \int\limits_{c}^{d}|f(x + \Delta x, y)-f(x, y)|dy < \frac{\varepsilon}{d-c}(d-c) = \varepsilon.\nonumber
   $$
   Следовательно, функция \(\Phi(x)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\).
2. Пусть теперь \(\varphi(x)\) и \(\psi(x)\) — произвольные непрерывные на отрезке \([a, b]\) функции и \(\varphi(x) < \psi(x)\) при \(a < x < b\).Рассмотрим функцию
   $$
   F(x, y) = \left\{\begin{array}{lc}
   f(x, y),\ \mbox{при} (x, y) \in \Omega; \\
   f(x, \varphi(x)),\ \mbox{при}\ (x, y) \in \Omega_{1},\ \mbox{где}\ \Omega_{1} = \{(x, y): a \leq x \leq b,\ y \leq \varphi(x)\}; \\
   f(x, \psi(x)),\ \mbox{при}\ (x, y) \in \Omega_{2},\ \mbox{где}\ \Omega_{2} = \{(x, y): a \leq x \leq b,\ y \geq \psi(x)\};
   \end{array} \right.\nonumber
   $$Покажем, что функция \(F(x, y)\) непрерывна в полосе \(Q = \{(x, y): a \leq x \leq b,\ y \in \boldsymbol{R}\}\). Достаточно показать, что функция \(F(x, y)\) непрерывна по множествам \(\Omega\), \(\Omega_{1}\) и \(\Omega_{2}\), так как \(Q = \Omega \cup \Omega_{1} \cup \Omega_{2}\) На \(\Omega\) функция \(F(x, y)\) совпадает с \(f(x, y)\) и непрерывна по условию теоремы. Функции \(f(x, \varphi(x))\) и \(f(x, \psi(x))\) непрерывны на отрезке \([a, b]\) как суперпозиции непрерывных функций. Покажем, что функция \(F(x, y)\) непрерывна в области \(\Omega_{1}\). Пусть произвольная последовательность точек \((x_{k}, y_{k}) \in \Omega_{1}\) сходится к точке \((x_{0}, y_{0}) \in \Omega_{1}\) Тогда
   $$
   \lim_{k \longrightarrow \infty}F(x_{k}, y_{k}) = \lim_{k \longrightarrow \infty}F(x_{k}, \varphi(x_{k})) = f(x_{0}, \varphi(x_{0})) = F(x_{0}, y_{0})\nonumber
   $$
   и, следовательно, функция \(F(x, y)\) непрерывна на \(\Omega_{1}\).Аналогично показывается, что функция \(F(x, y)\) непрерывна на множестве \(\Omega_{2}\).Таким образом, функция \(F(x, y)\) непрерывна в прямоугольнике \(\Pi = [a, b] \times [c, d]\), где \(c = \displaystyle\min_{a \leq x \leq b}\varphi(x)\), a \(d = \displaystyle\max_{a \leq x \leq b}\psi(x)\), и поэтому функция \(\displaystyle\int\limits_{c}^{d} F(x, y)\ dy\) непрерывна на отрезке \([a, b]\).Пользуясь аддитивностью интеграла относительно отрезка интегрирования, получаем, что функция \(\Phi(x)\) представима в виде суммы непрерывных функций:
   $$
   \Phi(x) = \int\limits_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(x, y)\ dy = \int\limits_{\varphi(x)}^{\psi(x)} F(x, y)\ dy = \int\limits_{c}^{d} F(x, y)\ dy-\int\limits_{c}^{\varphi(x)} F(x, y)\ dy-\int\limits_{\psi(x)}^{d} F(x, y)\ dy =\\= \int\limits_{c}^{d} F(x, y)\ dy-f(x, \varphi(x))(\varphi(x)-c)-f(x, \psi(x))(d-\psi(x)).\ \bullet\nonumber
   $$

Если функция \(f(x, y, z)\) непрерывна на \(\overline{\Omega}\), где область \(\Omega\) элементарна относительно оси \(z\), то
$$
\iiint\limits_\Omega f(x, y, z)\ dx\ dy\ dz = \iint\limits_G dx\ dy \int\limits_{\varphi(x, y)}^{\psi(x, y)} f(x, y, z)\ dz.\label{ref10}
$$

\(\circ\) Доказательство аналогично доказательству теоремы 2 для двойных интегралов. \(\bullet\)

Если \(\Omega\) — область, элементарная относительно оси \(x_{n + 1}\), a \(f(x_{1}, \ldots, x_{n})\) — непрерывная функция на \(\overline{\Omega}\), то справедлива следующая формула:
$$
\int\limits_\Omega f(x_{1}, \ldots, x_{n})\ dx_{1}, \ldots, dx_{n + 1} =\\ \int\limits_G dx_{1}, \ldots, dx_{n} \int\limits_{\varphi(x_{1}, \ldots, x_{n})}^{\psi(x_{1}, \ldots, x_{n})} f(x_{1}, \ldots, x_{n + 1})\ dx_{n + 1}.\label{ref11}
$$