Разбиения.
Пусть множество \(G\) измеримо по Жордану в \(\boldsymbol{R^{n}}\). Совокупность измеримых по Жордану в \(\boldsymbol{R^{n}}\) и попарно непересекающихся множеств \(G_{1}, \ldots, G_{n}\) называется разбиением \(G\), если \(G = \displaystyle\bigcup_{i=1}^{N} G_i\). Разбиение будем обозначать буквой \(T\).
Пусть \(d(G_{i})\) есть диаметр множества \(G_{i}\), то есть
$$
d(G_{i}) = \sup_{x \in G_{i}, y \in G_{i}} \rho (x, y).\nonumber
$$
Число \(l(T) = \displaystyle\max_{\overline{1, N}} d(G_{i})\) будем называть мелкостью разбиения \(T\).
Разбиение \(T = \{G_{i}\}\), \(i = \overline{1, N}\), будем называть продолжением разбиения \(T’ = \{G’_{i}\}\), \(i = \overline{1, N}\), и писать \(T \prec T’\), если каждое из множеств \(G_{i}\) является подмножеством некоторого множества \(G’_{k}\). Очевидно, что из \(T \prec T’\) следует, что \(l(T) \leq l(T’)\).
Интегральные суммы Римана. Суммы Дарбу.
Пусть функция \(f(x)\) определена на измеримом по Жордану множестве \(G\), а \(T\) есть разбиение множества \(G: T = \{G_{i}\}, i = \overline{1, N}\). Возьмем в каждом из множеств \(G_{i}\) по точке \(\xi_{i}\). Выражение
$$
\sigma_{T} (f, \xi, G) = \sum_{i=1}^{N} f(\xi_{i})m(G_{i})\nonumber
$$
называется интегральной суммой Римана функции \(f(x)\) на множестве \(G\), соответствующей разбиению \(T\) и выборке \(\xi = (\xi_{1}, \ldots, \xi_{N})\). Иногда для краткости будем обозначать сумму Римана просто через \(\sigma_{T}\).
Если функция \(f(x)\) ограничена на множестве \(G\), то для любого разбиения \(T = \{G_{i}\}\), \(i = \overline{1, N}\), определены числа
$$
m_{i} = \inf_{x \in G_{i}} f(x),\quad M_{i} = \sup_{x \in G_{i}} f(x).\nonumber
$$
Выражения
$$
S_{T} = \sum_{i=1}^{N}M_{i}m(G_{i}),\quad s_{T} = \sum_{i=1}^{N}m_{i}m(G_{i})\label{ref1}
$$
называются верхней и нижней суммами Дарбу, соответствующими разбиению \(T\).
Интеграл Римана как предел интегральной суммы.
Определение.
Число \(I\) называется пределом интегральной суммы \(\sigma_{T}\) при мелкости разбиения \(l(T) \rightarrow 0\), если для любого \(\varepsilon > 0\) найдется \(\delta > 0\) такое, что для любого разбиения \(T\) с мелкостью \(l(T) < \delta\) и для любой выборки выполняется неравенство
$$
|I-\sigma_{T} (f, \xi, G)| < \varepsilon.\label{ref2}
$$
Если число \(I\) есть предел интегральной суммы при \(l(T) \rightarrow 0\), то будем писать \(I = \displaystyle\lim_{l(T) \rightarrow 0} \sigma_{T}\), само число \(I\) будем называть кратным интегралом Римана от функции \(f(x)\) по множеству \(G\), а функцию \(f(x)\) — интегрируемой на множестве \(G\). Для кратного интеграла Римана используются следующие обозначения:
$$
\int\limits_G f(x)\ dx,\qquad \underbrace{\underset G{\int\ldots\int}}_{\displaystyle n \ \mbox{раз}}f(x_1,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n.\nonumber
$$
В случае \(n = 2\) интеграл называется двойным, а в случае \(n = 3\) — тройным. Обозначения для двойного и тройного интеграла:
$$
\iint\limits_G f(x, y)\ dx\ dy,\qquad \iiint\limits_G f(x, y, z)\ dx\ dy\ dz.\nonumber
$$
Назовем функцию \(f(x)\) существенно неограниченной на измеримом по Жордану множестве \(G \subset \boldsymbol{R^{n}}\), если она неограниченна на любом подмножестве \(G’ \subset G\) таком, что \(m(G \backslash G’) = 0\).
В дальнейшем рассматриваются только ограниченные функции.
Теорема 1.
(критерий интегрируемости)
Для того чтобы ограниченная функция \(f(x)\) была интегрируема на измеримом по Жордану множестве \(G \in \boldsymbol{R^{n}}\), необходимо и достаточно, чтобы для любого \(\varepsilon > 0\) нашлось такое \(\delta > 0\), что для любого разбиения \(T\) с мелкостью \(l(T) < \delta\) разность верхней и нижней сумм Дарбу была меньше \(\varepsilon\), то есть \(S_{T}-s_{T} \rightarrow 0\) при \(l(T) \rightarrow 0\).
Доказательство.
Доказательство теоремы 1 ничем не отличается от соответствующего доказательства для определенного интеграла.
Справедлива более сильная теорема. Но для ее доказательства сформулируем несколько вспомогательных лемм.
Лемма 1.
Если измеримые множества \(G\) и \(\Omega\), принадлежат пространству \(\boldsymbol{R^{n}}\) и \(m(\Omega) < \varepsilon\), то найдется число \(\delta > 0\) такое, что для любого разбиения \(T\) множества \(G\) с мелкостью \(l(T) < \delta\) сумма мер множеств \(G_{i}\), имеющих с \(\Omega\) непустое пересечение, будет меньше 4\(\varepsilon\).
Доказательство.
\(\circ\) Поскольку измеримое множество \(\Omega\), мера которого меньше \(\varepsilon\), содержится в клеточном множестве, мера которого меньше, чем 2\(\varepsilon\), а клеточное множество состоит из конечного числа клеток, то достаточно доказать лемму для случая, когда множество \(\Omega\) есть клетка \(\Pi\). Ограничимся случаем клетки в \(\boldsymbol{R^{2}}\). Построим для прямоугольника \(\Pi\) рамку (рис. 46.1).
Можно так подобрать \(\delta\), что площадь прямоугольника \(\Pi_{\delta}\), получающегося из \(\Pi\) добавлением рамки, не будет превышать 2\(\varepsilon\). Если мелкость разбиения множества \(G\) меньше \(\delta\), то все элементы разбиения \(G_{i}\) имеющие непустое пересечение с \(\Pi\), лежат в прямоугольнике \(\Pi_{\delta}\), и, следовательно, сумма их мер не превышает меры \(\Pi_{\delta}\). \(\bullet\)
Лемма 2.
Если \(\Omega_{1}\) и \(\Omega_{2}\) — непересекающиеся замкнутые множества в \(\boldsymbol{R^{n}}\) и хотя бы одно из этих двух множеств ограничено, то \(\rho(\Omega_{1}, \Omega_{2}) > 0\).
Лемма 3.
Если \(\rho(\Omega_{1}, \Omega_{2}) = \delta > 0\), множество \(G \subset \Omega_{1} \cup \Omega_{2}\) и диаметр множества \(G\) меньше \(\delta\), то либо \(G \subset \Omega_{1}\), либо \(G \subset \Omega_{2}\).
Теперь перейдем к формулировке и доказательству теоремы.
Теорема 2.
Для того чтобы функция \(f(x)\), ограниченная на измеримом по Жордану множестве \(G \in \boldsymbol{R^{n}}\), была интегрируемой на множестве \(G\), необходимо и достаточно, чтобы для любого \(\varepsilon > 0\) нашлось такое разбиение \(T\) множества \(G\), что \(S_{T}-s_{T} < \varepsilon\).
Доказательство.
\(\circ\) Необходимость следует из теоремы 1.
Достаточность. Пусть \(|f(x)| < M\) и пусть для произвольного \(\varepsilon > 0\) нашлось разбиение \(T_{0}\) множества \(G\), для которого разность сумм Дарбу меньше \(\varepsilon /2\). Без ограничения общности можно считать, что \(T_{0} = \{G_{1}^{0}, \tilde{G}_{1}^{0}, \ldots, G_{p}^{0}, \tilde{G}_{p}^{0}\}\), где множества \(G_{i}^{0}\) являются компактами, а сумма мер множеств \(\{\tilde{G}_{1}^{0}, \ldots, \tilde{G}_{p}^{0}\}\) не превышает \(\varepsilon /(8M)\). Это следует из того, что в каждое измеримое множество можно вложить компакт, сколь угодно мало отличающийся от этого множества по мере (это свойство доказано здесь), а при измельчении разбиения разность сумм Дарбу может только уменьшиться.
Обозначим объединение множеств \(\tilde{G}_{i}^{0}\) через \(A\). В силу леммы 2 существует число \(\delta > 0\) такое, что расстояние между любыми двумя компактами \(G_{i}^{0}\) превышает \(\delta\). Пусть \(T\) — произвольное разбиение множества \(G\) с мелкостью, не превышающей \(\delta\). В силу леммы 3 множества, составляющие это разбиение, можно разделить на две группы. Множества, входящие в первую группу, целиком лежат в одном из множеств \(G_{i}^{0}\), а множества, входящие во вторую группу, имеют непустое пересечение со множеством \(A\). В силу леммы 1 сумма мер множеств второй группы не превышает \(\varepsilon /(2M)\). Та часть суммы \(S_{T}-s_{T}\), которая соответствует первой группе, не превышает \(\varepsilon /2\), поскольку при измельчении разбиения разность сумм Дарбу не увеличивается, а часть, соответствующая второй группе, не превышает \(\varepsilon /2\) в силу того, что \(|f(x)| < M\), и сумма мер множеств второй группы не превышает \(\varepsilon /(2M)\). Таким образом, \(S_{T}-s_{T} < \varepsilon\) и функция \(f(x)\) интегрируема вследствие теоремы 1. \(\bullet\)
Классы интегрируемых функций.
Теорема 3.
Непрерывная на измеримом по Жордану компакте функция \(f(x)\) интегрируема на этом компакте.
Доказательство.
Напомним, что компакт в \(\boldsymbol{R^{n}}\) — это ограниченное и замкнутое множество и что функция \(f(x)\), непрерывная на компакте, равномерно непрерывна на этом компакте (теорема Кантора).
Доказательство теоремы 3 ничем не отличается от соответствующего доказательства теоремы об интегрируемости функции одной переменной, непрерывной на отрезке.
Докажем более общую теорему.
Теорема 4.
Пусть функция \(f(x)\) ограничена на измеримом компакте \(G \subset \boldsymbol{R^{n}}\) и множество ее точек разрыва имеет жорданову меру нуль. Тогда функция \(f(x)\) интегрируема на \(G\).
Доказательство.
\(\circ\) Пусть \(E\) есть множество точек разрыва функции \(f(x)\) и \(m(E) = 0\). Тогда для любого \(\varepsilon > 0\) найдется такое открытое измеримое множество \(A\), что \(E \subset A\) и
$$
m(A) < \frac{\varepsilon}{4M},\ \mbox{где}\ M = \sup_{x \in G} |f(x)|.\nonumber
$$
На замкнутом ограниченном множестве \(G \backslash A\) функция \(f(x)\) непрерывна, а поэтому интегрируема (теорема 3).
Для любого \(\varepsilon > 0\) найдется разбиение \(\{G_{2}, \ldots, G_{N}\} = T’\) множества \(G \backslash A\) такое, что
$$
S_{T’}-s_{T’} = \sum_{k = 2}^{N} (M_{k}-m_{k})m(G_{k}) < \frac{\varepsilon}{2}.\label{ref3}
$$
Пусть \(G_{1} = A \cap G\). Тогда множества \(\{G_{1}, G_{2}, \ldots, G_{N}\}\) образуют разбиение \(T\) множества \(G\), причем
$$
m(G_{1}) \leq m(A) < \frac{\varepsilon}{4M}.\label{ref4}
$$
Используя неравенства \eqref{ref3} и \eqref{ref4}, получаем
$$
S_{T}-s_{T} = (M_{1}-m_{1})m(G_{1}) + \sum_{\substack{k = 2} }^{N}(M_{k}-m_{k})m(G_{k}) < 2M \frac{\varepsilon}{4M} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.\nonumber
$$
Так как \(\varepsilon\) — произвольное положительное число, то вследствие теоремы 2 функция \(f(x)\) интегрируема на множестве \(G\). \(\bullet\)
Замечание.
В условиях теоремы 4 можно отказаться от требования, чтобы измеримое множество \(G\) было компактом. Согласно критерию измеримости множества измеримое множество \(G\) ограничено и \(m(\partial G) = 0\). Так как \(G\) и \(\partial G\) — измеримые множества, то замкнутое множество \(\overline{G} = G \cup\partial G\) измеримо по Жордану, то есть \(\overline{G}\) — измеримый компакт в \(\boldsymbol{R^{n}}\). Если доопределить функцию \(f(x)\) нулем на \(\partial G\), то она останется ограниченной, а множество ее точек разрыва будет иметь жорданову меру нуль, так как оно содержится во множестве \(E \cup \partial G\) меры нуль. В силу теоремы 4 функция \(f(x)\) интегрируема на множестве \(\overline{G}\), а следовательно, и на измеримом подмножестве \(G\).
Свойства кратного интеграла.
Поскольку все перечисленные свойства доказываются так же, как и соответствующие свойства определенного интеграла, то большая часть этих свойств не будет обосновываться подробными доказательствами.
Свойство 1.
Справедливо равенство \(\displaystyle\int\limits_G 1 \cdot dx = m(G)\).
Доказательство.
\(\circ\) Для любого разбиения \(T\) выполнено равенство
$$
\sigma_{T}(1, \xi, G) = \sum_{i=1}^{N} m(G_{i}) = m(G).\ \bullet\nonumber
$$
Свойство 2.
Если \(f(x) > 0\) и \(f(x)\) — интегрируемая на измеримом по Жордану множестве \(G\) функция, то \(\displaystyle\int\limits_G f(x)\ dx \geq 0\).
Свойство 3.
Если \(f_{1}(x)\) и \(f_{2}(x)\) — интегрируемые на множестве \(G\) функции, а \(\alpha\) и \(\beta\) — произвольные вещественные числа, то и функция \(\alpha f_{1}(x) + \beta f_{2}(x)\) интегрируема на \(G\), причем
$$
\int\limits_G (\alpha f_{1}(x) + \beta f_{2}(x))\ dx = \alpha \int\limits_G f_{1}(x)\ dx + \beta \int\limits_G f_{2}(x)\ dx.\nonumber
$$
Свойство 4.
Если \(f_{1}(x)\) и \(f_{2}(x)\) — интегрируемые на множестве \(G\) функции и \(f_{1}(x) \leq f_{2}(x)\) при \(x \in G\), то
$$
\int\limits_G f_{1}(x)\ dx \leq \int\limits_G f_{2}(x)\ dx.\nonumber
$$
Свойство 5.
Если функция \(f(x)\) непрерывна на измеримом связном компакте \(G\), то найдется точка \(\xi \in G\) такая, что
$$
\int\limits_G f(x)\ dx = f(\xi)m(G).\label{ref5}
$$
Доказательство.
\(\circ\) Если \(m(G) = 0\), то равенство \eqref{ref5} очевидно. Пусть \(m(G) > 0\), \(\mu = \displaystyle\min_{x \in G} f\), \(M = \displaystyle\max_{x \in G} f\). Тогда \(\mu \leq f(x) \leq M\) при \(x \in G\), \(\mu m(G) \leq \displaystyle\int\limits_G f(x)\ dx \leq M m(G)\).Следовательно,
$$
\mu \leq \frac{1}{m(G)} \int\limits_G f(x)\ dx \leq M.\nonumber
$$Функция, непрерывная на связном множестве и принимающая на нем значения \(\mu\) и \(M\), принимает и все промежуточные значения, а поэтому существует точка \(\xi \in G\) такая, что
$$
f(\xi) = \frac{1}{m(G)} \int\limits_G f(x)\ dx.\ \bullet\nonumber
$$
Свойство 6.
Если \(\{G_{k}\}\), \(k = \overline{1, m}\), есть разбиение множества \(G\), то функция \(f(x)\) интегрируема на множестве \(G\) в том и только том случае, когда она интегрируема на каждом из множеств \(G_{k}\), причем
$$
\int\limits_G f(x)\ dx = \sum_{\substack{k = 1} }^{\substack{m}} \int\limits_{G_{k}} f(x)\ dx.\label{ref6}
$$
Говорят, что формула \eqref{ref6} выражает свойство конечной аддитивности интеграла по области интегрирования.
Свойство 7.
Произведение интегрируемых на измеримом множестве \(G\) функций есть интегрируемая на множестве \(G\) функция.
Свойство 8.
Если функция \(f(x)\) интегрируема на измеримом множестве \(G\), то функция \(|f(x)|\) также интегрируема и
$$
\left|\int\limits_G f(x)\ dx\right| = \int\limits_G |f(x)|\ dx.\label{ref7}
$$
В дальнейшем будем часто пользоваться свойством кратного интеграла, выраженным в следующей лемме.
Лемма 4.
Пусть функция \(f(x)\) ограничена на измеримом по Жордану множестве \(G\), а \(E\) есть множество жордановой меры нуль. Если для любого разбиения \(T = \{G_{k}\}\), \(k = \overline{1, N}\), отбрасывать в интегральной сумме \(\sigma_{T}\) слагаемые, соответствующие тем множествам \(G_{i}\), которые имеют непустое пересечение с \(E\), то это не повлияет ни на существование предела интегральной суммы при мелкости \(l(T) \rightarrow 0\), ни на величину этого предела.
Доказательство.
\(\circ\) Если \(m(G) = 0\), то лемма, очевидно, справедлива, так как для любого разбиения \(\sigma_{T} = 0\). Пусть \(m(G) > 0\) и \(|f(x)| \leq c_{0}\) на множестве \(G\). Для любого \(\varepsilon > 0\) найдется клеточное множество \(A\) такое, что \(m(A) \leq \displaystyle\frac{\varepsilon}{4c_{0}}\) и \(E \subset A\). Будем множества разбиения \(T\) нумеровать таким образом, чтобы \(G_{1}, \ldots, G_{m}\) имели непустое пересечение с \(A\), a \(G_{m + 1}, \ldots, G_{N}\) не пересекались с \(A\). В силу леммы 1 найдется такое \(\delta > 0\), что при \(l(T) < \delta\) выполнено неравенство
$$
\sum_{i=1}^{m} m(G_{i}) < \frac{\varepsilon}{c_{0}}.\nonumber
$$
Тогда для любого разбиения \(T\) с мелкостью \(l(T) < \delta\) имеем
$$
\sigma_{T} = \sigma’_{T} + \sigma″_{T},\qquad \sigma’_{T} = \sum_{i=1}^{m} f(\xi_{i})m(G_{i}),\qquad \sigma″_{T} = \sum_{i = m + 1}^{N} f(\xi_{i})m(G_{i}),\nonumber
$$
$$
|\sigma’_{T}| = \sum_{i=1}^{\substack{m}} |f(\xi_{i})|m(G_{i}) \leq c_{0} \sum_{i=1}^{\substack{m}} m(G_{i}) < c_{0} \frac{\varepsilon}{c_{0}} = \varepsilon.\nonumber
$$
Следовательно, \(\sigma’_{T} \rightarrow 0\) при \(l(T) \rightarrow 0\). Поэтому \(\sigma_{T} \rightarrow I\) при \(l(T) \rightarrow 0\) в том и только том случае, когда \(\sigma″_{T} \rightarrow I\) при \(l(T) \rightarrow 0\). \(\bullet\)
Достаточное условие измеримости множества в Rn по Жордану.
Лемма 5.
Пусть \(G\) — измеримое множество в \(\boldsymbol{R^{n}}\). Тогда цилиндр
$$
G_{h} = \{(x_{1}, \ldots, x_{n}, x_{n + 1}): (x_{1}, \ldots, x_{n}) \in G,\ 0 \leq x_{n + 1} \leq h\}\nonumber
$$
есть измеримое множество в \(\boldsymbol{R^{n + 1}}\) и \(m(G_{h}) = hm(G)\).
Доказательство.
\(\circ\) Так как основание \(G\) есть измеримое множество в \(\boldsymbol{R^{n}}\), то для любого \(\varepsilon > 0\) найдутся клеточные множества \(A\) и \(B\) такие, что
$$
A \subset G \subset B,\ m(B)-m(A) < \frac{\varepsilon}{h}.\nonumber
$$
Если на \(n\)-мерной клетке \(\Pi\) как на основании построить цилиндр с высотой \(h\), то получим \(n+1\)-мерную клетку \(\Pi_{h}\) и \(m(\Pi_{h}) = hm(\Pi)\). Следовательно, если на клеточном множестве \(A\) построить цилиндр \(A_{h}\), то его мера в \(\boldsymbol{R^{n + 1}}\) равна \(hm(A)\), причем есть клеточное множество в \(\boldsymbol{R^{n + 1}}\).
Очевидно, что \(A_{h} \subset G_{h} \subset B_{h}\) и что
$$
m(B_{h})-m(A_{h}) = hm(B)-hm(A) < h \frac{\varepsilon}{h} = \varepsilon.\nonumber
$$
Следовательно, цилиндр \(G_{h}\) есть измеримое в \(\boldsymbol{R^{n + 1}}\) множество и
$$
m(A_{h}) \leq m(G_{h}) \leq m(B_{h}),\quad \mbox{или}\quad hm(A) \leq m(G_{h}) \leq hm(B).\nonumber
$$
Так как \(hm(A) \leq hm(G) \leq hm(B)\), то
$$
|m(G_{h})-hm(G)| \leq h(m(B)-m(A)) < \varepsilon;\nonumber
$$
в силу произвольности \(\varepsilon\) должно выполняться \(m(G_{h}) = hm(G)\). \(\bullet\)
Теорема 5.
Пусть \(G\) — измеримое множество в \(\boldsymbol{R^{n}}\) и функция \(f(x)\) интегрируема на \(G\). Тогда график функции \(f(x)\) имеет в \(\boldsymbol{R^{n + 1}}\) жорданову меру нуль.
Доказательство.
\(\circ\) Так как функция \(f(x)\) интегрируема на множестве \(G\), то для любого \(\varepsilon > 0\) найдется разбиение \(T = \{G_{i}\}\), \(i = \overline{1, N}\), множества \(G\) такое, что
$$
S_{T}-s_{T} = \sum_{i=1}^{N}(M_{i}-m_{i})m(G_{i}) < \varepsilon.\nonumber
$$
Построим на каждом из множеств \(G_{i}\) два цилиндра, \(\tilde{G}_{i}\) и \(\widehat{G}_{i}\), с высотами \(M_{i}\) и \(m_{i}\) соответственно, тогда
$$
A = \bigcup_{i=1}^{N} (\tilde{G}_{i} \backslash \widehat{G}_{i})\nonumber
$$
есть измеримое множество, содержащее график функции \(f(x)\). Так как
$$
m(A) = \sum_{i=1}^{N} (m(\tilde{G}_{i})-m(\widehat{G}_{i})) = \sum_{i=1}^{N} (M_{i}m(G_{i})-m_{i}m(G_{i})) =\\= \sum_{i=1}^{N} (M_{i}-m_{i})m(G_{i}) < \varepsilon,\nonumber
$$
то в силу произвольности числа \(\varepsilon\) мера Жордана графика функции \(f(x)\) в \(\boldsymbol{R^{n + 1}}\) равна нулю. \(\bullet\)
Если функция \(f(x)\) непрерывна на измеримом компакте в \(\boldsymbol{R^{n}}\), то ее график в \(\boldsymbol{R^{n + 1}}\) имеет жорданову меру нуль. Если граница области состоит из конечного объединения таких графиков, то область измерима по Жордану.