Формула замены переменных в кратном интеграле.

Содержание:

  1. Некоторые свойства гладких отображений.
  2. Лемма о геометрическом смысле модуля якобиана отображения.
  3. Формула замены переменной в кратном интеграле.
  4. Использование полярных координат для вычисления двойных интегралов.
  5. Использование цилиндрических и сферических координат для вычисления тройных интегралов.
  6. Криволинейные координаты.

Некоторые свойства гладких отображений.

Пусть \(G\) -ограниченная область в \(\boldsymbol{R}^{n}\), a \(F: G \rightarrow \boldsymbol{R}^{n}\) есть взаимно однозначное и непрерывно дифференцируемое отображение.

Аналитически отображение \(F: G \rightarrow \boldsymbol{R}^{n}\) задается при помощи непрерывно дифференцируемых функций
$$
x_{1} = \varphi_{1}(u_{1}, \ldots, u_{n}), \ldots, x_{n} = \varphi_{n}(u_{1}, \ldots, u_{n}).\nonumber
$$

Будем считать выполненными следующие предположения:

  1. производные \(\partial \varphi_{i}/\partial u_{j}\) ограничены в \(G\);

  2. производные \(\partial \varphi_{i}/\partial u_{j}\) равномерно непрерывны в \(G\);

  3. якобиан отображения удовлетворяет при \(u \in G\) условию
    $$
    |J(u)| \geq \alpha\;>\;0.\nonumber
    $$

Напомним, что якобиан \(J(u)\) есть определитель матрицы Якоби \(||\partial \varphi_{i}/\partial u_{j}||\).

Отображение, удовлетворяющее условиям 1 - 3, обладает еще и следующими свойствами.

Свойство 1.
Если \(\Gamma \subset G\) есть непрерывно дифференцируемая кривая, то ее образ \(\Gamma' = F(\Gamma)\) есть непрерывно дифференцируемая кривая.

Свойство 2.
Если \(\Omega\) — область и \(\overline{\Omega} \subset G\), то ее образ \(\Omega' = F(\Omega)\) будет областью. Образ границы \(\Omega\) есть граница \(\Omega'\).

Свойство 1 есть простое следствие правила нахождения производной сложной функции, а свойство 2 есть следствие теоремы о неявных функциях.


Лемма о геометрическом смысле модуля якобиана отображения.

Лемма 1.

Пусть число \(h\;>\;0\), а \(\Pi\) — замкнутый квадрат в \(\boldsymbol{R}^{2}\) с вершинами в точках \(A(u_{0}, v_{0})\), \(B(u_{0} + h, v_{0})\), \(C(u_{0} + h, v_{0} + h)\), \(D(u_{0}, v_{0} + h)\). Тогда образ квадрата \(\Pi' = F(\Pi)\) при отображении \(F: G \rightarrow \boldsymbol{R}^{2}\), обладающем свойствами а)-в), описанными в п. 1, является измеримой по Жордану областью и
$$
\lim_{h \rightarrow 0} \frac{m(\Pi')}{h^{2}} = |J(u_{0}, v_{0})|,\label{ref1}
$$
причем разность \(\displaystyle\frac{m(\Pi')}{h^{2}} - |J(u_{0}, v_{0})|\) при \(h \rightarrow 0\) стремится к нулю равномерно по \((u_{0}, v_{0})\) на множестве \(G\), т. е. для любого \(\varepsilon\;>\;0\) найдется число \(\delta\;>\;0\) такое, что при любом \(h\;<\;\delta\) и для любого квадрата \(\Pi \subset G\) со стороной длины \(h\) выполнено неравенство
$$
\left|\frac{m(\Pi')}{h^{2}} - |J(u_{0}, v_{0})|\right|\;<\;\varepsilon.\label{ref2}
$$

Данная лемма приводится без доказательства. Поясним геометрический смысл этой леммы (рис. 48.1).

Рис. 48.1
Рис. 48.1

\(\circ\) Покажем, что \(\Pi' = F(\Pi)\) есть измеримая область. Стороны квадрата \(\Pi\) являются отрезками. Поэтому их образы при отображении \(F: G \rightarrow \boldsymbol{R}^{2}\) будут гладкими кривыми. Так как образ границы есть граница образа, то \(\partial \Pi'\) есть кусочно гладкая кривая, а поэтому \(m(\partial \Pi')=0\). Следовательно, \(\Pi'\) есть измеримое множество (см. теорему здесь). Будем в дальнейшем \(\Pi' = F(\Pi)\) называть криволинейным параллелограммом.

Если рассматривать точки \(Q(u, v)\), достаточно близкие к вершине квадрата \(A(u_{0}, v_{0})\), то отображение \(F: G \rightarrow \boldsymbol{R}^{2}\) можно приближенно задать как аффинное, т. е.
$$
x = x_{0} + a_{11}(u - u_{0}) + a_{12}(v - v_{0}),\nonumber
$$
$$
y = y_{0} + a_{21}(u - u_{0}) + a_{22}(v - v_{0}),\nonumber
$$
где
$$
\begin{array}{c}
x_{0} = \varphi(u_{0}, v_{0}),\quad y_{0} = \psi(u_{0}, v_{0}),\quad a_{11} = \frac{\displaystyle\partial\varphi(u_{0}, v_{0})}{\displaystyle\partial u},\\
a_{12} = \frac{\displaystyle\partial\varphi(u_{0}, v_{0})}{\displaystyle\partial v},\quad a_{21} = \frac{\displaystyle\partial\psi(u_{0}, v_{0})}{\displaystyle\partial u},\quad a_{22} = \frac{\displaystyle\partial\psi(u_{0}, v_{0})}{\displaystyle\partial v}.
\end{array}\label{ref3}
$$

Формулы \eqref{ref3} получаются, если разложить функции \(\varphi(u, v)\) и \(\psi(u, v)\), задающие отображение \(F\), по формуле Тейлора в окрестности точки \(A(u_{0}, v_{0})\) и отбросить члены, являющиеся \(o(\rho(A, Q))\), когда расстояние \(\rho(A, Q)\) между точками \(A\) и \(Q\) стремится к нулю.

Будем аффинное отображение, определяемое формулами \eqref{ref3}, обозначать \(\tilde{F}: \boldsymbol{R}^{2} \rightarrow \boldsymbol{R}^{2}\). Как известно из курса аналитической геометрии, образ квадрата \(\Pi\) при аффинном отображении есть параллелограмм \(\tilde{\Pi} = \tilde{F}(\Pi)\), площадь (мера) которого \(m(\tilde{\Pi})\) равна площади квадрата \(m(\Pi) = h^{2}\), умноженной на модуль определителя аффинного отображения, т. е. \(m(\tilde{\Pi}) = h^{2}|\det||a_{ij}||\ |\).

Воспользовавшись выражениями \eqref{ref3} для коэффициентов, получаем, что
$$
\frac{m(\tilde{\Pi})}{h^{2}} = |\det||a_{ij}||\ | = |J(u_{0}, v_{0})|,\nonumber
$$

Идея доказательства леммы 1 основана на том, что при замене криволинейного параллелограмма \(\Pi'\) на параллелограмм \(\tilde{\Pi}\) (рис. 48.1) площадь изменится на величину, являющуюся \(o(h^{2})\) при \(h \rightarrow 0\).

Доказательство обобщается на \(\boldsymbol{R}^{n}\). \(\bullet\)


Формула замены переменной в кратном интеграле.

Теорема 1.

Пусть отображение \(F: \Omega \rightarrow \boldsymbol{R}^{n}\) (где \(\Omega \subset \boldsymbol{R}^{n}\) — открытое множество) является взаимно однозначным и удовлетворяет условиям а)-в) п. 1, a \(G\) — измеримый компакт с кусочно гладкой границей, лежащий во множестве \(\Omega\). Тогда если функция \(f(x)\) непрерывна на множестве \(G' = F(G)\), то справедлива следующая формула замены переменных в кратном интеграле:
$$
\int\limits_{G'} f(x)\ dx = \int\limits_{G} f(\varphi_{1}(u), \ldots, \varphi_{n}(u))|J(u)|\ du.\label{ref4}
$$

Доказательство.

\(\circ\) Рассмотрим плоский случай. Заметим, что в силу свойств непрерывных функций образ \(G'\) компакта \(G\) при непрерывном и взаимно однозначном отображении \(F\) является компактом, а в силу свойств 1, 2 отображения \(F\) граница компакта \(G'\) является кусочно гладкой кривой. Так как кусочно гладкая кривая имеет меру нуль, то компакт \(G'\) измерим. Оба интеграла в формуле \eqref{ref4} существуют как интегралы от функций, непрерывных на компактах.

Поскольку компакт \(G\) лежит в открытом множестве \(\Omega\), то границы этих множеств не пересекаются. Так как граница любого множества замкнута и граница ограниченного множества ограничена, то в силу леммы о критерии интегрируемости расстояние между \(\partial G\) и \(\partial \Omega\) есть положительное число \(\delta\).

Пусть \(\Pi\) есть замкнутый квадрат, содержащий компакт \(G\). Если разбить стороны квадрата \(\Pi\) на равные части длины \(h\;<\;\delta\), то и сам квадрат \(\Pi\) разобьется на квадратные клетки с площадью \(h^{2}\). Разбиение квадрата \(\Pi\) порождает разбиение \(T\) компакта \(G\). Если малый квадрат со стороной \(h\) целиком лежит внутри компакта \(G\), то он является элементом разбиения \(T\), а если малый квадрат содержит граничные точки \(G\), то соответствующим элементом разбиения является пересечение этого квадрата с компактом \(G\). Отображение \(F\) порождает разбиение \(T'\) компакта \(G' = F(G)\), причем элементами разбиения \(T'\) являются образы элементов разбиения \(T\). Из леммы 4 по ссылке следует, что при написании интегральных сумм можно учитывать только слагаемые, соответствующие целым квадратам и их образам при отображении \(F\). Из равномерной непрерывности отображения \(F\) следует, что мелкость разбиения \(T'\) стремится к нулю, когда стремится к нулю мелкость разбиения \(T\).

Если малые квадраты \(\Pi_{1}, \ldots, \Pi_{N}\) лежат внутри компакта \(G\), то их образы \(\Pi'_{1}, \ldots, \Pi'_{N}\) лежат внутри \(G'\). Пусть \((u_{i}, v_{i})\) — координаты точки, лежащей в левом нижнем углу квадрата \(\Pi_{i}\), а \((x_{i}, y_{i})\) — образ этой точки при отображении \(F\).

Запишем интегралы, входящие в формулу \eqref{ref4}, как пределы интегральных сумм:
$$
\iint\limits_{G'} f(x, y)\ dx\ dy = \lim_{h \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{N} f(x_{i}, y_{i}) m(\Pi'_{i}),\nonumber
$$
$$
\iint\limits_{G} f(\varphi(u, v), \psi(u, v))|J(u, v)|\ du\ dv = \lim_{h \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{N} f(\varphi(u_{i}, v_{i}), \psi(u_{i}, v_{i}))|J(u_{i}, v_{i})| m(\Pi_{i}).\nonumber
$$

Для доказательства формулы \eqref{ref4} достаточно показать, что разность этих интегральных сумм стремится к нулю при \(h \rightarrow 0\). В силу леммы 1
$$
|m(\Pi'_{i}) - |J(u_{i}, v_{i})|m(\Pi_{i})| \leq \alpha(h) m(\Pi_{i}),\ \lim_{h \rightarrow 0}\alpha(h) = 0.\nonumber
$$

Принимая во внимание, что \(\varphi(u_{i}, v_{i}) = x_{i}, \psi(u_{i}, v_{i}) = y_{i}, |f(x, y)|\;<\;M\), получаем оценку для разности интегральных сумм
$$
|\sum_{i=1}^{N} f(x_{i}, y_{i}) m(\Pi'_{i}) - \sum_{i=1}^{N} f(\varphi(u_{i}, v_{i}), \psi(u_{i}, v_{i}))|J(u_{i}, v_{i})| m(\Pi_{i})| \leq \\ \leq \sum_{i=1}^{N} |f((x_{i}, y_{i}) \cdot \left|m(\Pi'_{i}) - |J(u_{i}, v_{i})|m(\Pi_{i})\right| \leq \\ \leq M \alpha(h) \sum_{i=1}^{N}m(\Pi_{i}) \leq M \alpha(h) m(G),\nonumber
$$
из которой следует, что эта разность стремится к нулю при \(h \rightarrow 0\). \(\bullet\)


Замечание.

Нарушение условия взаимной однозначности на множестве меры нуль и обращение якобиана отображения в нуль на множестве меры нуль не влияют на справедливость формулы \eqref{ref4} замены переменных в кратном интеграле. Такое множество \(E\) меры нуль всегда можно накрыть клеточным множеством \(A \subset G\) сколь угодно малой меры, разбивающимся на квадраты. Из доказательства теоремы следует, что при отображении \(F: G \rightarrow \boldsymbol{R}^{n}\) мера множества \(A\) возрастет не более чем в \(c\varepsilon\) раз. Поэтому найдутся такие постоянные \(c_{1}\) и \(c_{2}\), что
$$
\left|\int\limits_{A'} f(x)\ dx\right|\;<\;c_{1}\varepsilon,\ \mbox{где}\ A' = F(A),\label{ref6}
$$
$$
\left|\int\limits_{A} f(\varphi_{1}(u), \ldots, \varphi_{n}(u))|J(u)|\ du\right|\;<\;c_{2}\varepsilon.\label{ref7}
$$


На множестве же \(G \backslash A\) выполнены все условия теоремы и формула замены переменной справедлива. Так как интегралы \(\displaystyle\int\limits_{G'} f(x)\ dx\) и
$$
\int\limits_{G} f(\varphi_{1}(u), \ldots, \varphi_{n}(u))|J(u)|\ du\nonumber
$$
отличаются на произвольно малое число в силу \eqref{ref6} и \eqref{ref7}, то они совпадают.


Пример 1.

Вычислить интеграл \(\displaystyle\iint\limits_{\Omega} y^{3}\ dx\ dy\) по области \(\Omega\), ограниченной двумя параболами, \(y = x^{2}\), \(y = 2x^{2}\), и двумя гиперболами \(xy = 1\), \(xy = 2\) (рис. 48.2).

Рис. 48.2
Рис. 48.2

Решение.

\(\vartriangle\) Рассмотрим непрерывно дифференцируемое при \(x \geq 0\) отображение следующего вида:
$$
\xi = \frac{y}{x^{2}},\ \eta = xy.\label{ref8}
$$

Образом \(\overline{\Omega}\) при отображении \eqref{ref8} является квадрат \(\omega = \{(\xi, \eta): 1 \leq \xi \leq 2, 1 \leq \eta \leq 2\}\). Отображение \eqref{ref8} взаимно однозначно: уравнения \eqref{ref8} однозначно разрешимы относительно \(x\) и \(y\),
$$
x = \xi^{-1/3}\eta^{1/3},\quad y = \xi^{1/3}\eta^{2/3}.\label{ref9}
$$

Найдем якобиан отображения \eqref{ref8}. Используя формулы \eqref{ref9}, получаем
$$
J_F=\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial \xi}&\frac{\partial x}{\partial\eta}\\\frac{\partial y}{\partial \xi}&\frac{\partial y}{\partial\eta}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-\frac{1}{3}\xi^{-4/3}\eta^{1/3}&\frac{1}{3}\xi^{1/3}\eta^{-2/3}\\\ \frac{1}{3}\xi^{-2/3}\eta^{2/3}&\frac{2}{3}\xi^{1/3}\eta^{-1/3}\end{vmatrix}=-\frac{1}{3\xi},\ |J| = |\frac{1}{3|\xi|}|.\nonumber
$$

Так как \(y^{3} = \xi\eta^{2}\), то делая в интеграле \(\displaystyle\iint\limits_{\Omega} y^{3}\ dx\ dy\) замену пeрeменных \eqref{ref8}, получаем
$$
\iint\limits_{\Omega} y^{3}\ dx\ dy = \iint\limits_{\omega} \xi\eta^{2}|J(\xi, \eta)|\ d\xi\ d\eta = \frac{1}{3} \iint\limits_{\omega} \eta^{2}\ d\xi\ d\eta =\\= \frac{1}{3} \int\limits_1^{2}\ d\xi \int\limits_1^{2} \eta^{2}\ d\eta = \frac{1}{3} \left(\frac{2^{3}}{3} - \frac{1}{3}\right) = \frac{7}{9}. \blacktriangle\nonumber
$$


Использование полярных координат для вычисления двойных интегралов.

Из курса аналитической геометрии известно, что декартовы и полярные координаты точки плоскости связаны следующими соотношениями:
$$
x = r \cos \varphi,\ y = r \sin \varphi,\ r \geq 0,\ 0 \leq \varphi \leq 2\pi,\label{ref10}
$$
где \(r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\) есть полярный радиус, а \(\varphi\) — полярный угол (рис. 48.3). Геометрическое место точек, для которых \(r = \operatorname{const}\), есть окружность радиуса \(r\) с центром в точке \(O\). Геометрическое место точек, для которых полярный угол \(\varphi = \operatorname{const}\), есть луч, выходящий из точки \(O\) в направлении точки \(P\). Точка \(P\) есть пересечение окружности \(r = \operatorname{const}\) и луча \(\varphi = \operatorname{const}\). Для точки \(O\) полярный радиус равен нулю, а полярный угол \(\varphi\) не определен.

Рис. 48.3
Рис. 48.3

Введем в рассмотрение вспомогательную плоскость \(E_{r\varphi}\), в которой \(r\) и \(\varphi\) являются декартовыми координатами, и рассмотрим в этой плоскости полуполосу \(T\), определяемую неравенствами (рис. 48.4)
$$
r\;>\;0,\ 0 \leq \varphi \leq 2\pi.\label{ref11}
$$

Рис. 48.4
Рис. 48.4

Тогда формулы \eqref{ref10} определяют непрерывно дифференцируемое взаимно однозначное отображение \(F: T \rightarrow \dot{E}_{xy}\), где \(\dot{E}_{xy}\) есть плоскость \(E_{xy}\), проколотая в точке \(O\) (рис. 48.4). Взаимную однозначность отображения проще всего проверить геометрически. Каждая точка \(P\) проколотой плоскости \(\dot{E}_{xy}\) однозначно определяется как пересечение окружности \(r = r_{0}\) и луча \(\varphi = \varphi_{0}\). Поэтому у точки \(P(x, y)\) есть единственный прообраз \(Q(r_{0}, \varphi_{0})\) в полуполосе \(T\).

Якобиан отображения \eqref{ref10} равен \(r\). Действительно,
$$
J_F=\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial r}&\frac{\partial x}{\partial\varphi}\\\frac{\partial y}{\partial r}&\frac{\partial y}{\partial\varphi}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\cos \left(\varphi\right)&-r\;\sin\left(\varphi\right )\\\sin\left(\varphi\right)&r\cos\left(\varphi ht\right)\end{vmatrix}=r\nonumber
$$

Якобиан не обращается в нуль в полуполосе \(T\).

Если к полуполосе \(T\) присоединить отрезок \(r = 0\), \(0 \leq \varphi \leq 2\pi\), то получим полуполосу
$$
T_{1} = \{(r, \varphi): r \geq 0, 0 \leq \varphi \leq 2\pi\}.\nonumber
$$

При отображении \(x = r \cos \varphi,\ y = r \sin \varphi\) полуполоса \(T_{1}\) — прообраз всей плоскости \(E_{xy}\), но взаимная однозначность отображения и условие \(J_{F} \neq 0\) будут нарушены на отрезке \(r = 0\), \(0 \leq \varphi \leq 2\pi\), плоская мера Жордана которого равна нулю.

Пусть область \(\Omega \subset E_{xy}\). Ее прообраз при отображении \(F: x = r \cos \varphi,\ y = r \sin \varphi,\ r \geq 0, 0 \leq \varphi \leq 2\pi\), есть некоторая область \(\omega \subset T_{1}\). Если область \(\Omega\) не содержит точки \(O\) (начало декартовой системы координат), то отображение \(\omega\) на \(\Omega\) является взаимно однозначным и якобиан отображения не обращается в нуль в области \(\omega\). Если же область \(\Omega\) содержит начало координат \(O\), то взаимная однозначность отображения и условие \(J_{F} \neq 0\) будут нарушены на множестве жорда-новой меры нуль, что не влияет на справедливость формулы замены переменных в двойном интеграле (см. замечание). Поэтому справедлива формула
$$
\iint\limits_\Omega f(x, y)\ dx\ dy = \iint\limits_\omega f(r \cos \varphi, r \sin \varphi) r\ dr\ d\varphi,\label{ref12}
$$
дающая выражение для двойного интеграла в полярных координатах. Функция \(f(x, y)\) считается непрерывной на измеримом множестве \(\overline{\Omega}\).

Пусть область \(\Omega\) в плоскости \(E_{xy}\) ограничена двумя лучами, \(\varphi = \alpha\) и \(\varphi = \beta\), \(\alpha\;<\;\beta\), и двумя кривыми, уравнения которых в полярных координатах имеют следующий вид: \(r = R_{1}(\varphi)\), \(r = R_{2}(\varphi)\). Функции \(R_{1}(\varphi)\) и \(R_{2}(\varphi)\) непрерывны на отрезке \([\alpha, \beta]\) и \(R_{1}(\varphi)\;<\;R_{2}(\varphi)\) при \(\alpha\;<\;\varphi\;<\;\beta\) (рис. 48.5). Тогда область \(\omega\), являющаяся прообразом области \(\Omega\) в плоскости \(E_{r\varphi}\), будет элементарной относительно оси \(r\) и двойной интеграл \eqref{ref12} по теореме о сведении кратного интеграла сведется к повторному:
$$
\iint\limits_\Omega f(x, y)\ dx\ dy = \int\limits_{\alpha}^{\beta} d\varphi \int\limits_{R_{1}(\varphi)}^{R_{2}(\varphi)} f(r \cos \varphi, r \sin \varphi) r\ dr.\label{ref13}
$$

Рис. 48.5
Рис. 48.5

Если область \(\Omega\) в плоскости \(E_{xy}\) ограничена двумя концентрическими окружностями, \(r = a\) и \(r = b\), \(a\;<\;b\), и двумя непрерывными кривыми, уравнения которых в полярных координатах имеют следующий вид: \(\varphi = \Phi_{1}(r)\), \(\varphi = \Phi_{2}(r)\), \(\Phi_{1}(r)\;<\;\Phi_{2}(r)\) при \(a\;<\;r\;<\;b\), то прообраз области \(\Omega\) будет элементарной относительно оси \(\varphi\) областью в плоскости \(E_{r\varphi}\) (рис. 48.6). Сводя двойной интеграл в формуле \eqref{ref12} к повторному, получаем
$$
\iint\limits_\Omega f(x, y)\ dx\ dy = \int\limits_{a}^{b} dr \int\limits_{\Phi_{1}(\varphi)}^{\Phi_{2}(\varphi)} f(r \cos \varphi, r \sin \varphi) r\ d\varphi.\label{ref14}
$$

Рис. 48.6
Рис. 48.6

Области более сложного вида в плоскости \(E_{xy}\) нужно при помощи лучей \(\varphi = const\) и концентрических окружностей \(r = const\) разбивать на простейшие области рассмотренного выше типа.


Пример 2.

Для полукруга \(\Omega: y \geq 0\), \(x^{2} + y^{2} \leq a^{2}\) вычислить момент инерции относительно центра (рис. 48.7).

Рис. 48.7
Рис. 48.7

Решение.

\(\vartriangle\) Как известно из механики,
$$
I_{0} = \iint\limits_\Omega (x^{2} + y^{2})\ dx\ dy.\label{ref15}
$$

В полярных координатах полукруг \(\Omega\) может быть задан неравенствами \(0 \leq r \leq a\), \(0 \leq \varphi \leq \pi\). Применяя формулу \eqref{ref13}, получаем
$$
I_{0} = \int\limits_{0}^{\pi} d\varphi \int\limits_{0}^{a} r^{2} r\ dr = \frac{\pi a^{4}}{4}.\ \blacktriangle\nonumber
$$


Пример 3.

Пусть \(\Omega\) есть область, ограниченная параболой \(y = x^{2}\) и окружностью \(x^{2} + y^{2} = 1\). Свести к определенному интегралу следующий двойной интеграл:
$$
\iint\limits_\Omega f(\sqrt{x^{2} + y^{2}})\ dx\ dy.\label{ref16}
$$

Решение.

\(\vartriangle\) Область \(\Omega\) изображена на рис. 48.8. Уравнение параболы \(y = x^{2}\) в полярных координатах имеет вид
$$
r = \frac{\sin \varphi}{\cos^{2} \varphi} = \frac{\sin \varphi}{1 - \sin^{2} \varphi}.\nonumber
$$
Решая это уравнение относительно \(\varphi\), получаем, что область \(\Omega\) в полярных координатах задается следующими неравенствами:
$$
0\;<\;r\;<\;1,\ \operatorname{arcsin} \frac{2r}{1 + \sqrt{1 + 4r^{2}}}\;<\;\varphi\;<\;\pi - \operatorname{arcsin} \frac{2r}{1 + \sqrt{1 + 4r^{2}}}.\nonumber
$$
Применяя формулу \eqref{ref14}, получаем
$$
\iint\limits_\Omega f(\sqrt{x^{2} + y^{2}})\ dx\ dy = \int\limits_{0}^{1} dr \int\limits_{\arcsin \frac{2r}{1 + \sqrt{1 + 4r^{2}}}}^{\pi - \arcsin \frac{2r}{1 + \sqrt{1 + 4r^{2}}}} f(r)r\ d\varphi =\\= \int\limits_{0}^{1} r f(r) (\pi - 2\arcsin \frac{2r}{1 + \sqrt{1 + 4r^{2}}})\ dr.\ \blacktriangle\nonumber
$$

Рис. 48.8
Рис. 48.8

Пример 4.

Область \(\Omega\) является внутренностью треугольника, изображенного на рис. 48.9. В интеграле \(\displaystyle\iint\limits_G f(x, y)\ dx\ dy\) перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования двумя возможными способами.

Рис. 48.9
Рис. 48.9

Решение.

\(\vartriangle\) Треугольная область \(\Omega\) ограничена прямыми \(y = x\), \(y = -x\) и \(y = 1\). В полярных координатах уравнения этих прямых имеют следующий вид: \(\varphi = \displaystyle\frac{\pi}{4}\), \(\varphi = \displaystyle\frac{3\pi}{4}\) и \(r \sin \varphi = 1\). Область \(\Omega\) можно задать при помощи неравенств
$$
\frac{\pi}{4}\;<\;\varphi\;<\;\frac{3\pi}{4},\ 0\;<\;r\;<\;\frac{1}{\sin \varphi}.\nonumber
$$
Применяя формулу \eqref{ref13}, получаем
$$
\iint\limits_\Omega f(x, y)\ dx\ dy = \int\limits_{\pi/4}^{3\pi/4} d\varphi \int\limits_{0}^{1/\sin \varphi} f(r \cos \varphi, r \sin \varphi)r\ dr.\nonumber
$$

Чтобы расставить пределы интегрирования в другом порядке, разобьем область \(\Omega\) дугой окружности \(r = 1\) на круговой сектор \(OCD\) и два криволинейных треугольника, \(CAE\) и \(BED\). Каждая из этих трех областей будет уже элементарной относительно оси \(\varphi\), и формула \eqref{ref14} может быть применена к этим областям. Получаем
$$
\iint\limits_\Omega f(x, y)\ dx\ dy = \int\limits_{0}^{1} dr \int\limits_{\pi/4}^{3\pi/4} f(r \cos \varphi, r \sin \varphi)r\ d\varphi + \int\limits_{1}^{\sqrt{2}} dr \int\limits_{\pi/4}^{\operatorname{arcsin} 1/r} f(r \cos \varphi, r \sin \varphi)r\ d\varphi +\\+ \int\limits_{1}^{\sqrt{2}} dr \int\limits_{\pi - \operatorname{arcsin} 1/r}^{3\pi/4} f(r \cos \varphi, r \sin \varphi)r\ d\varphi.\ \blacktriangle\nonumber
$$


Пример 5.

Найти объем тела, вырезаемого из шара \(x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1\) цилиндром \(x^{2} + y^{2} = x\) (рис. 48.10).

Рис. 48.10
Рис. 48.10

Решение.

\(\vartriangle\) Обозначим через \(\Omega\) плоскую область, являющуюся внутренностью круга \(x^{2} + y^{2} \leq x\). Тело \(G\), объем которого предлагается вычислить, есть трехмерная область, элементарная относительно оси \(z\):
$$
G = \{(x, y, z): (x, y) \in \Omega,\ -\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}\;<\;z\;<\;\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}\}.\nonumber
$$

Объем области \(G\) можно выразить через двойной интеграл, применяя формулу сведения тройного интеграла к повторным:
$$
m(G) = \iiint\limits_G dx\ dy\ dz = \iint\limits_\Omega dx\ dy \int\limits_{-\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}}^{\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}} dz = 2\iint\limits_\Omega \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}\ dx\ dy.\label{ref17}
$$

Область \(\Omega\) в полярных координатах задается неравенствами \(-\displaystyle\frac{\pi}{2}\;<\;\varphi\;<\;\frac{\pi}{2}\), \(0\;<\;r\;<\;\cos \varphi\). Применяя для вычисления интеграла \eqref{ref17} формулу \eqref{ref13}, получаем, что
$$
m(G) = 2\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d\varphi \int\limits_{0}^{\cos \varphi} r\sqrt{1 - r^{2}}\ dr = -\left.\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{3}(1 - r^{2})^{3/2}\right|_{0}^{\cos \varphi}\ d\varphi =\\= \frac{4}{3} \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^{3}\varphi)\ d\varphi = \frac{2\pi}{3} - \dfrac{8}{9}.\ \blacktriangle\nonumber
$$


Использование цилиндрических и сферических координат для вычисления тройных интегралов.

Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная декартова система координат \(Oxyz\) (рис. 48.11). Задавая положение проекции \(P'\) точки \(P\) на плоскость \(Oxy\) при помощи полярных координат \(r\), \(\varphi\), можно положение точки \(P\) задать при помощи трех чисел \((r, \varphi,\zeta)\), которые называются цилиндрическими координатами точки \(P\). Цилиндрические координаты связаны с декартовыми координатами следующими формулами:
$$
x = r \cos \varphi,\ y = r \sin \varphi,\ z = \zeta,\ 0 \leq \varphi \leq 2\pi,\ r \geq 0,\ -\infty\;<\;\zeta\;<\;+\infty.\label{ref18}
$$

Рис. 48.11
Рис. 48.11

Геометрическое место точек пространства \(E_{xyz}\), для которых \(r = const\), есть прямой круговой цилиндр радиуса \(r\) с осью \(Oz\). На плоскостях, параллельных плоскости \(Oxy\), координата \(\zeta = \operatorname{const}\). На полуплоскостях, проходящих через ось \(Oz\), координата \(\varphi = \operatorname{const}\).

Введем вспомогательное пространство \(E_{r\varphi\zeta}\), в котором \(r\), \(\varphi\), \(\zeta\) являются декартовыми координатами, и рассмотрим в пространстве \(E_{r\varphi\zeta}\) множество
$$
T = \{(r, \varphi, \zeta): r \geq 0,\ 0 \leq \varphi\;<\;2\pi,\ -\infty\;<\;\zeta\;<\;+\infty\}.\label{ref19}
$$

Отображение \(F: T \rightarrow E_{xyz}\), определяемое формулами \eqref{ref18}, является непрерывно дифференцируемым. Якобиан отображения \(J_{F} = r\). Взаимная однозначность отображения и условие неравенства нулю якобиана нарушаются только на множестве \(A = \{(r, \varphi, \zeta): r = 0,\ 0 \leq \varphi\;<\;2\pi,\ \zeta \in \boldsymbol{R}\}\), образом которого при отображении \eqref{ref18} является ось \(Oz\). Пересечение любого ограниченного множества с множеством \(A\) есть некоторое ограниченное линейное множество, и поэтому мера Жордана пересечения равна нулю.

Если \(G \subset E_{xyz}\) есть область, измеримая по Жордану, a \(g\) — ее прообраз при отображении \eqref{ref18}, то справедлива формула замены переменных при отображении \eqref{ref18}:
$$
\iiint\limits_G f(x, y, z)\ dx\ dy\ dz = \iiint\limits_g f(r \cos \varphi, r \sin \varphi, \zeta) r\ dr\ d\varphi\ d\zeta.\label{ref20}
$$

Если в цилиндрических координатах область \(G \subset E_{xyz}\) может быть задана неравенствами \(Z_{1}(r, \varphi)\;<\;\zeta\;<\;Z_{2}(r, \varphi)\), \(R_{1}(\varphi)\;<\;r\;<\;R_{2}(\varphi)\), \(\alpha\;<\;\varphi\;<\;\beta\), то, сводя интеграл \eqref{ref20} к повторным интегралам, получим следующую формулу:
$$
\iiint\limits_G f(x, y, z)\ dx\ dy\ dz = \int\limits_{\alpha}^{\beta} d\varphi \int\limits_{R_{1}(\varphi)}^{R_{2}(\varphi)} dr \int\limits_{Z_{1}(r, \varphi)}^{Z_{2}(r, \varphi)} f(r \cos \varphi, r \sin \varphi, \zeta) r\ d\zeta.\label{ref21}
$$


Пример 6.

Найти объем области \(G\), граница которой задана уравнением \((x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2} = x^{2} + y^{2}\).

Решение.

Рис. 48.12
Рис. 48.12

\(\vartriangle\) В цилиндрических координатах уравнение границы области имеет вид \(r = r^{2} + \zeta^{2}\) (рис. 48.12). Область \(G\) задается неравенствами \(-\sqrt{r(1 - r)}\;<\;\zeta\;<\;\sqrt{r(1 - r)}\), \(0\;<\;r\;<\;1\), \(0\;<\;\varphi\;<\;2\pi\).

Применяя формулу \eqref{ref21}, получаем
$$
m(G) = \iiint\limits_G dx\ dy\ dz = \int\limits_{0}^{2\pi} d\varphi \int\limits_{0}^{1} dr \int\limits_{-\sqrt{r(1 - r)}}^{\sqrt{r(1 - r)}} r\ d\zeta = 2\pi \int\limits_{0}^{1} 2r^{3/2}(1 - r)^{1/2} dr =\\= 8\pi \int\limits_{0}^{\pi/2} \sin^{3} t \cos t \sin t \cos t\ dt = \pi \int\limits_{0}^{\pi/2} (1 - \cos 2t)\sin^{2} 2t\ dt = \frac{\pi^{4}}{4}.\ \blacktriangle\nonumber
$$


Сферические координаты связаны с декартовыми следующими формулами:
$$
\begin{array}{ccc}
x = r \cos \varphi \cos \psi,& y = r \sin \varphi \cos \psi,& z = r \sin \psi,\\
r \geq 0,& -\displaystyle\frac{\pi}{2}\;<\;\psi\;<\;\frac{\pi}{2},& 0 \leq \varphi \leq 2\pi.
\end{array}\label{ref22}
$$

Здесь \(r\) — расстояние от начала координат \(O\) до точки \(P(x, y, z)\), \(\psi\) — угол, который составляет луч \(OP\) с плоскостью \(Oxy\); \(\varphi\) — полярный угол проекции точки \(P\) на плоскость \(Oxy\) (рис. 48.13). Геометрические места точек \(r = \operatorname{const}\) — сферы радиуса \(r\) с центром в начале координат \(O\); \(\psi = \operatorname{const}\) — на конусах (прямых круговых) с осью \(Oz\); \(\varphi = \operatorname{const}\) — на полуплоскостях, проходящих через ось \(Oz\) (рис. 48.13). Если взять фиксированную сферу \(r = r_{0}\), то конусы \(\psi = \operatorname{const}\) будут пересекаться со сферой по параллелям, а полуплоскости \(\varphi = \operatorname{const}\) — по меридианам.

Рис. 48.13
Рис. 48.13

Введем вспомогательное пространство \(E_{r\varphi\psi}\), в котором \(r\), \(\varphi\), \(\psi\) являются декартовыми координатами, и рассмотрим в пространстве \(E_{r\varphi\zeta}\) область
$$
T = \left\{(r, \varphi, \psi): 0\;<\;r\;<\;+\infty,\ 0 \leq \varphi\;<\;2\pi,\ -\frac{\pi}{2}\;<\;\psi\;<\;\frac{\pi}{2}\right\}.\label{ref23}
$$

Отображение \(F: T \rightarrow E_{xyz}\), определяемое формулами (22), непрерывно дифференцируемо. Найдем якобиан этого отображения:
$$
J_F=\begin{vmatrix}x_{r}&x_{\varphi}&x_{\psi}\\y_{r}&y_{\varphi}&y_{\psi}\\z_{r}&z_{\varphi}&z_{\psi}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\cos\left(\varphi\right)\cos\left(\psi\right)&-r\;\sin\left(\varphi\right) \cos\left(\psi\right)&-r\;\cos\left(\varphi\right) \sin\left(\psi\right)\\\sin\left(\varphi\right)\cos\left(\psi\right)&-r\;\cos\left(\varphi\right) \cos\left(\psi\right)&-r\;\sin\left(\varphi\right) \sin\left(\psi\right)\\\sin\left(\psi\right)&0&r\;\cos\left(\varphi\right)\end{vmatrix} = r^{2}\cos \varphi.\nonumber
$$

Якобиан обращается в нуль при \(r = 0\), \(\psi = \displaystyle\frac{\pi}{2}\) и \(\psi = -\displaystyle\frac{\pi}{2}\).

На соответствующей части границы области \(T\) будет нарушаться и взаимная однозначность отображения. Так как любая ограниченная часть плоскости имеет в \(E_{r\varphi\psi}\) жорданову меру нуль, то замена переменных \eqref{ref22} допустима (см. замечание).

Если в сферических координатах область \(G \subset E_{xyz}\) может быть задана неравенствами
$$
\alpha\;<\;\varphi\;<\;\beta,\ \psi_{1}(\varphi)\;<\;\psi_{2}(\varphi),\ R_{1}(\varphi, \psi)\;<\;r\;<\;R_{2}(\varphi, \psi),\label{ref24}
$$
то тройной интеграл от непрерывной функции по области \(G\) после замены переменных \eqref{ref22} может быть сведен к повторным интегралам. Пусть \(g\) — прообраз области \(G\) при отображении \eqref{ref22}, тогда область \(g\) в пространстве \(E_{r\varphi\psi}\) определяется неравенствами \eqref{ref24} и, следовательно, элементарна относительно оси \(r\), а проекция области \(g\) на плоскость \(E_{\varphi\psi}\) элементарна относительно оси \(\psi\). Получаем следующую формулу:
$$
\iiint\limits_G f(x, y, z)\ dx\ dy\ dz = \iiint\limits_g f(r \cos \varphi \cos \psi, r \sin \varphi \cos \psi, r \sin \psi) r^{2} \cos \psi\ dr\ d\varphi\ d\psi =\\= \int\limits_{\alpha}^{\beta} d\varphi \int\limits_{\psi_{1}(\varphi)}^{\psi_{2}(\varphi)} d\psi \int\limits_{R_{1}(\varphi, \psi)}^{R_{2}(\varphi, \psi)} f(r \cos \varphi \cos \psi, r \sin \varphi \cos \psi, r \sin \psi) r^{2}\cos \psi\ dr.\label{ref25}
$$


Пример 7.

Вычислить массу шара \(x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq a^{2}\), если плотность \(\rho\) изменяется по закону \(\rho(r) = r\).

Решение.

\(\vartriangle\) Масса \(M\) шара равна следующему тройному интегралу:
$$
\iiint\limits_S \rho(\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}})\ dx\ dy\ dz = \int\limits_{0}^{2\pi} d\varphi \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2} d\psi \int\limits_{0}^{a} rr^{2} \cos \psi\ dr = \pi a^{4}.\ \blacktriangle\nonumber
$$


Пример 8.

Найти объем \(m(G)\) области \(G\), граница которой задана уравнением
$$
(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2} = x^{2} + y^{2} - z^{2}.\nonumber
$$

Решение.

Рис. 48.14
Рис. 48.14

\(\vartriangle\) Заметим, что сечение границы области \(G\) плоскостью \(x = 0\) есть лемниската Бернулли \((y^{2} + z^{2})^{2} = y^{2} - z^{2}\) (рис. 48.14). Область \(G\) получена вращением лемнискаты относительно оси \(z\). В сферических координатах граница области \(G\) задается уравнением \(r = \sqrt{\cos^{2}\psi - \sin^{2}\psi} = \sqrt{1 - 2\sin^{2}\psi}\). Область \(G\) может быть задана неравенствами
$$
0\;<\;\varphi\;<\;2\pi,\quad -\frac{\pi}{4}\;<\;\psi\;<\;\frac{\pi}{4},\quad 0\;<\;r\;<\;\sqrt{1 - 2\sin^{2}\psi}.\nonumber
$$

Применяя формулу \eqref{ref25}, получаем выражение для \(m(G)\):
$$
m(G) = \int\limits_{0}^{2\pi} d\varphi \int\limits_{-\pi/4}^{\pi/4} d\psi \int\limits_{0}^{\sqrt{1 - 2\sin^{2}\psi}}r^{2} \cos\psi\ dr =\\= \frac{4\pi}{3} \int\limits_{0}^{\pi/4}\cos\psi(1-2\sin^2{\psi})^{3/2}d\psi =\frac{4\pi}{3} \int\limits_{0}^{1/\sqrt{2}}(1 - 2t^{2})^{3/2}\ dt =\\ = \frac{4\pi}{3\sqrt{2}} \int\limits_{0}^{\pi/2} \cos^{4}u\ du = \frac{\pi^{2}}{4\sqrt{2}}.\ \blacktriangle\nonumber
$$


Криволинейные координаты.

Пусть \(F: \omega \rightarrow \Omega\) есть непрерывно дифференцируемое отображение области \(\omega \subset E_{uv}\) на область \(G \subset E_{xy}\), удовлетворяющее условиям а)-в), п. 1. Аналитически отображение задается при помощи пары функций
$$
x = \varphi(u, v),\ y = \psi(u, v),\ (u, v) \in \omega.\label{ref26}
$$

Предположим для простоты, что область из выпукла, т. е. вместе с любыми двумя точками \(A\), \(B\) она содержит отрезок \(AB\). Тогда произвольная прямая в плоскости \(E_{uv}\) или целиком лежит в области \(\omega\), или пересекается с областью по отрезку или лучу. Положение каждой точки области \(\omega\) может быть задано как пересечение двух координатных прямых \(u = u_{0}\) и \(v = v_{0}\). Эти прямые либо целиком лежат в области \(\omega\), либо пересекают \(\omega\) по некоторым отрезкам или лучам. Предположим для определенности, что пересечения есть отрезки \(AB\) и \(CD\) (рис. 48.15). Образы этих отрезков при отображении \eqref{ref26} называют координатными линиями \(u = u_{0}\) и \(v = v_{0}\).

Рис. 48.15
Рис. 48.15

Уравнение координатной линии \(u = u_{0}\), например, имеет следующий вид:
$$
x = \varphi(u_{0}, v),\ y = \psi(u_{0}, v),\ u_{0} - \alpha \leq v \leq v_{0} + \beta.
$$

Если \(u_{0}\) пробегает все допустимые в области из значения, то в области \(\Omega\) получается семейство координатных линий \(u = \operatorname{const}\). Аналогично получается семейство координатных линий \(v = \operatorname{const}\). В силу взаимной однозначности отображения положение точки \((x, y) \in \Omega\) однозначно определяется как пересечение координатных линий \(u = u_{0}\) и \(v = v_{0}\). Например, при переходе к полярным координатам положение точки определяется как пересечение окружности \(r = r_{0}\) и луча \(\varphi = \varphi_{0}\).

Если область \(G \subset \Omega\) может быть в криволинейных координатах задана неравенствами
$$
a\;<\;u\;<\;b,\ \alpha(u)\;<\;v\;<\;\beta(u),\nonumber
$$

где \(\alpha(u)\) и \(\beta(u)\) — непрерывные на отрезке \([a, b]\) функции, то ее прообраз \(g = F^{-1}G\) — элементарная область, и после замены переменных двойной интеграл сводится к повторному интегралу:
$$
\iint\limits_G f(x, y)\ dx\ dy = \int\limits_{a}^{b} du \int\limits_{\alpha(u)}^{\beta(u)} f(\varphi(u, v), \psi(u, v))|J(u, v)|dv.
$$

Аналогично можно ввести криволинейные координаты и в пространственной области \(\Omega \subset E_{xyz}\). Выше были рассмотрены примеры сферических и цилиндрических координат.

Пример 9.

Вычислить момент инерции относительно начала координат плоской области, ограниченной эллипсом
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.
$$

Решение.

\(\vartriangle\) Введем обобщенные полярные координаты, связанные с декартовыми координатами следующими формулами:
$$
x = ar \cos\varphi,\ y = br \sin\varphi,\ r \geq 0,\ 0 \leq \varphi\;<\;2\pi.\label{ref27}
$$

Якобиан отображения \eqref{ref27} равен \(abr\). Область \(G\), ограниченная эллипсом, задается неравенствами
$$
0\;<\;r\;<\;1,\ 0\;<\;\varphi\;<\;2\pi.\nonumber
$$

Делая замену переменных \eqref{ref27} в двойном интеграле, получаем следующее выражение для центрального момента инерции области:
$$
I_{0} = \iint\limits_G (x^{2} + y^{2})\ dx\ dy = \int\limits_{0}^{2\pi} (a^{2}r^{2}\cos^{2}\varphi + b^{2}r^{2}\sin^{2}\varphi)abr\ dr = \frac{\pi ab}{4}(a^{2} + b^{2}).\ \blacktriangle\nonumber
$$