Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

Содержание:

  1. Абсолютно сходящиеся ряды.
  2. Знакочередующиеся ряды.
  3. Признаки Дирихле и Абеля сходимости рядов.
  4. Условно сходящиеся ряды.

Абсолютно сходящиеся ряды.

Ряд с действительными или комплексными членами
$$
\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}a_{n},\label{ref1}
$$
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
$$
\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}|a_{n}|,\label{ref2}
$$
Рассмотрим свойства абсолютно сходящихся рядов.


Свойство 1.

Если ряд абсолютно сходится, то он сходится.

\(\circ\) Пусть ряд \eqref{ref2} сходится. Тогда для него выполняется условие Коши, т. е.
$$
\forall \varepsilon\;>\;0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon}\ \forall p \in \mathbb{N} \rightarrow \sum_{\substack{k = n + 1} }^{\substack{n + p}}|a_{k}|\;<\;\varepsilon.
$$
Так как \(\displaystyle\left|\sum_{\substack{k = n + 1} }^{\substack{n + p}}a_{k}\right| \leq \sum_{\substack{k = n + 1} }^{\substack{n + p}}|a_{k}|\), то и для ряда \eqref{ref1} выполняется условие Коши, и в силу критерия Коши этот ряд сходится. \(\bullet\)


Свойство 2.

Если ряд \eqref{ref1} абсолютно сходится, а последовательность \(\{b_{n}\}\) ограничена, т. е.
$$
\exists M\;>\;0: \forall n \in \mathbb{N} \rightarrow |b_{n}| \leq M,\label{ref3}
$$
то ряд \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}a_{n}b_{n}\) абсолютно сходится.

\(\circ\) Для доказательства свойства 2 следует воспользоваться критерием Коши сходимости ряда и неравенством
$$
\sum_{\substack{k = n + 1} }^{\substack{n + p}}|a_{k}b_{k}| \leq M \sum_{\substack{k = n + 1} }^{\substack{n + p}}|a_{k}|\nonumber
$$
которое выполняется в силу условия \eqref{ref3}. \(\bullet\)


Свойство 3.

Если ряды \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}a_{n}\) и \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}b_{n}\) абсолютно сходятся, то при любых \(\lambda\) и \(\mu\) абсолютно сходится ряд
$$
\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}(\lambda a_{n} + \mu b_{n}).\nonumber
$$
\(\circ\) Для доказательства свойства 3 следует применить критерий Коши. \(\bullet\)


Свойство 4.

Если ряд \eqref{ref1} абсолютно сходится, то и ряд
$$
\sum_{\substack{j = 1} }^{\substack{\infty}}\tilde{a}_{j},\label{ref4}
$$
полученный перестановкой членов ряда \eqref{ref1}, абсолютно сходится, причем сумма \(\tilde{S}\) ряда \eqref{ref4} равна сумме \(S\) ряда \eqref{ref1}.

\(\circ\) Докажем, что ряд \eqref{ref4} абсолютно сходится, т. е. сходится ряд
$$
\sum_{\substack{j = 1} }^{\substack{\infty}}|\tilde{a}_{j}|.\label{ref5}
$$
Так как ряд \eqref{ref4} отличается от ряда \eqref{ref1} только порядком расположения членов, то
$$
\forall j \in \mathbb{N}\ \exists k_{j} \in \mathbb{N}: a_{k_{j}} = \tilde{a}_{j}.
$$
Обозначим \(\tilde{\sigma}_{n} = \displaystyle\sum_{\substack{j = 1} }^{\substack{n}}|\tilde{a}_{j}|\), \(n = \displaystyle\max_{\substack{1 \leq j \leq n}}k_{j}\). Тогда \(n \leq \tilde{n}\) и для всех \(n \in \mathbb{N}\) выполняется неравенство
$$
\tilde{\sigma}_{n} \leq \sum_{\substack{k = 1} }^{\substack{\tilde{n}}}|a_{k}| \leq A,\nonumber
$$
где \(A\) — сумма ряда \eqref{ref2}. Отсюда по доказанной ранее теореме следует сходимость ряда \eqref{ref5}. Заметим, что сходится и ряд \eqref{ref4} в силу свойства 1.

б) Докажем, что
$$
S = \tilde{S}.\label{ref6}
$$

Из сходимости рядов \eqref{ref1} и \eqref{ref2} следует, что для любого \(\varepsilon\;>\;0\)    найдется номер \(N = N_{\varepsilon}\)    такой, что для всех    \(N \geq N_{\varepsilon}\) и для всех \(p \in \mathbb{N}\) выполняются неравенства
$$
\left|S - \sum_{\substack{k = 1} }^{\substack{n}}a_{k}\right|\;<\;\frac{\varepsilon}{2},\label{ref7}
$$
$$
\sum_{\substack{k = n + 1} }^{\substack{n + p}}|a_{k}|\;<\;\frac{\varepsilon}{2}.\label{ref8}
$$

Пусть \(\tilde{N}\) — наибольший из номеров, которые члены \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{N}\) ряда \eqref{ref1} имеют в ряде (4), т. е. \(\tilde{N} = \max (j_{1}, \ldots, j_{N})\), где \(a_{k} = \tilde{a}_{j_{k}}\) \(k = \overline {1, N}\). Тогда
$$
N \leq \tilde{N}.\label{ref9}
$$
Обозначим \(n\)-ю частную сумму ряда \eqref{ref4} через \(\tilde{S}_{n}\) и покажем, что для всех \(n\;>\;\tilde{N}\) выполняется неравенство
$$
|S - \tilde{S}_{n}|\;<\;\varepsilon.\label{ref10}
$$
Так как для любого \(n\;>\;\tilde{N}\) сумма \(\tilde{S}_{n} = \sum_{\displaystyle\substack{k = 1} }^{\substack{n}}\tilde{a}_{k}\) содержит члены \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{N}\) ряда \eqref{ref1} согласно выбору числа \(\tilde{N}\) (неравенство \eqref{ref9}), то разность
$$
\Delta = \tilde{S}_{n} - S_{N} = \sum_{\substack{k = 1} }^{\substack{n}}\tilde{a}_{k} - \sum_{\substack{k = 1} }^{\substack{N}}a_{k}.\label{ref11}
$$
где \(n\;>\;\tilde{N}\), может содержать лишь такие члены ряда \eqref{ref1}, номера которых больше \(N\).

Пусть \(N'\) — наибольший из номеров, которые имеют в ряде \eqref{ref1} члены ряда (4), входящие в \(\tilde{S}_{n}\) при \(n\;>\;N\), т. е. \(N' = \max (k_{1}, \ldots, k_{n})\), где \(a_{k_{j}} = \tilde{a}_{j}\) \(j = \overline {1, n}\). Тогда
$$
N' = N + p,\ p \in \mathbb{N}.\nonumber
$$
Поэтому разность \(\Delta\) (равенство \eqref{ref11}) представляет собой сумму таких членов (не обязательно всех) ряда \eqref{ref1}, номера которых больше \(N\), но не превосходят \(N' = N + p\). Следовательно,
$$
|\Delta| \leq \sum_{\substack{k = N + 1} }^{\substack{N + p}}|a_{k}|\;<\;\frac{\varepsilon}{2}.\label{ref12}
$$
в силу условия \eqref{ref8}.

Из равенства \(S - \tilde{S}_{n} = S - S_{N} - (\tilde{S}_{n} - S_{N}) = S - S_{N} - \Delta\) в силу \eqref{ref7} и \eqref{ref12} следует, что для всех \(n \geq \tilde{N}\) выполняется неравенство \eqref{ref10}. Это означает, что \(\displaystyle\lim_{\substack{n \rightarrow \infty}} \tilde{S}_{n} = S\), т. е. справедливо равенство \eqref{ref6}. \(\bullet\)


Свойство 5.

Если ряды \eqref{ref1} и
$$
\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}b_{n},\label{ref13}
$$
абсолютно сходятся, то и ряд
$$
\sum_{\substack{s = 1} }^{\substack{\infty}}a_{j_{s}}b_{j_{s}},\label{ref14}
$$
составленный из всевозможных попарных произведений членов рядов \eqref{ref1} и \eqref{ref13}, абсолютно сходится, причем сумма ряда \eqref{ref14} равна произведению сумм рядов \eqref{ref1} и \eqref{ref13}.

\(\circ\) а) Докажем, что сходится ряд
$$
\sum_{\substack{s = 1} }^{\substack{\infty}}|a_{j_{s}}b_{j_{s}}|,\label{ref15}
$$
Пусть \(\tilde{\tau}_{m}\) — \(m\)- я частичная сумма ряда \eqref{ref15}, \(A\) и \(B\) — суммы рядов \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}|a_{n}|\) и \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}|b_{n}|\) соответственно. Тогда
$$
\tilde{\tau}_{m} = \sum_{\substack{s = 1} }^{\substack{m}}|a_{j_{s}}b_{j_{s}}| \leq \sum_{\substack{s = 1} }^{\substack{m}}|a_{j_{s}}| \sum_{\substack{s = 1} }^{\substack{m}}|b_{j_{s}}| \leq AB\nonumber
$$
т. е. частичные суммы ряда \eqref{ref15} ограничены сверху и по теореме доказанной ранее ряд \eqref{ref15} сходится,

б) Докажем, что
$$
\tau = S\sigma,\label{ref16}
$$
где \(\tau\), \(S\), и \(\sigma\) — суммы рядов \eqref{ref14}, \eqref{ref1} и \eqref{ref13} соответственно. Заметим, что все члены ряда \eqref{ref14} содержатся в следующей таблице:

Рис. 41.1
Рис. 41.1

Занумеруем элементы этой таблицы, присваивая им номера, указанные в таблице (такой метод перечисления называют “методом квадратов”). В этом случае получается ряд
$$
a_{1}b_{1} + (a_{2}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{1}b_{2}) + (a_{3}b_{1} + a_{3}b_{2} + a_{3}b_{3} + a_{2}b_{3} + a_{1}b_{3}) +\\
+ (a_{4}b_{1} + a_{4}b_{2} + a_{4}b_{3} + a_{4}b_{4} + a_{3}b_{4} + a_{2}b_{4} + a_{1}b_{4}) + \ldots,\label{ref17}
$$
образованный из всевозможных попарных произведений членов рядов \eqref{ref1} и (13), т. е. ряд вида \eqref{ref14}.

По доказанному выше всякий ряд вида \eqref{ref14} и, в частности, ряд \eqref{ref17}, абсолютно сходится и, значит, сходится (свойство 1), а сумма ряда \eqref{ref14} не зависит от порядка расположения его членов (свойство 4). Поэтому ряд \eqref{ref17} сходится, а его сумма равна \(\tau\).

Пусть \(S_{n}\), \(\sigma_{n}\), \(\tau_{n}\) — \(n\)-е частичные суммы рядов \eqref{ref1}, \eqref{ref13} и \eqref{ref17} соответственно; тогда \(\displaystyle\tau_{n^{2}} = S_{n}\sigma_{n}\). Так как \(S_{n} \rightarrow S\) и \(\sigma_{n} \rightarrow \sigma\) при \(n \rightarrow \infty\), то \(\tau_{n^{2}} \rightarrow S_{\sigma}\) при \(n \rightarrow \infty\). С другой стороны, \(\{\displaystyle\tau_{n^{2}}\}\) — подпоследовательность сходящейся к числу \(\tau\) последовательности \(\{\tau_{n}\}\), и поэтому \(\tau_{n^{2}} \rightarrow \tau\) при \(n \rightarrow \infty\). Отсюда следует, что \(\tau = S_{\sigma}\). Равенство \eqref{ref16} доказано. \(\bullet\)


Знакочередующиеся ряды.

Ряд
$$
\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}(-1)^{n + 1}a_{n},\ \mbox{где}\ a_{n}\;>\;0\ \mbox{при всех}\ n \in \mathbb{N},\label{ref18}
$$
называют знакочередующимся.


Теорема 1 (Лейбница).

Если последовательность \(\{a_{n}\}\) монотонно стремится к нулю, т. е.
$$
a_{n} \geq a_{n + 1}\ \mbox{для всех}\ n \in \mathbb{N},\label{ref19}
$$
$$
\lim_{\substack{n \rightarrow \infty}}a_{n} = 0,\label{ref20}
$$
то знакочередующийся ряд \eqref{ref18} сходится.

Доказательство.

\(\circ\) Пусть \(S_{n} = \displaystyle\sum_{\substack{k = 1} }^{\substack{n}}(-1)^{k + 1}a_{k}\). Тогда \(S_{2(n + 1)} - S_{2n} = a_{2n + 1} - a_{2n + 2} \geq 0\) в силу условия \eqref{ref19}, т. е. \(\{S_{2n}\}\) — возрастающая последовательность. Кроме того,
$$
S_{2n} = a_{1} - (a_{2} - a_{3}) - \ldots - (a_{2n - 2} - a_{2n - 1}) - a_{2n}\;<\;a_{1},\nonumber
$$
так как \(a_{n}\;>\;0\) для всех \(n \in \mathbb{N}\) и \(\{a_{n}\}\) — убывающая последовательность (условие \eqref{ref19}). По теореме о пределе возрастающей и ограниченной сверху последовательности существует конечный \(\displaystyle\lim_{\substack{n \rightarrow \infty}}S_{2n} = S\). Отсюда и из условия \eqref{ref20} следует, что \(\displaystyle\lim_{\substack{n \rightarrow \infty}}S_{n} = S\), т. е. ряд \eqref{ref18} сходится. \(\bullet\)


Следствие.

Для знакочередующегося ряда \eqref{ref1} при всех \(n \in \mathbb{N}\) справедливы неравенства
$$
S_{2n} \leq S \leq S_{2n + 1},\label{ref21}
$$
$$
|S - S_{n}| \leq a_{n + 1},\label{ref22}
$$

\(\circ\) Заметим, что \(S_{2n + 1} = S_{2n - 1} - (a_{2n} - a_{2n + 1})\). Откуда в силу условия \eqref{ref19} следует, что \(S_{2n + 1} \leq S_{2n - 1}\), т. е. \(\{S_{2n - 1}\}\) — убывающая последовательность. Так как \(S\) является пределом возрастающей последовательности \(\{S_{2n}\}\) и пределом убывающей последовательности \(\{S_{2n - 1}\}\), то справедливо неравенство \eqref{ref21}, которое можно записать в виде
$$
S_{2n - 1} - a_{2n} \leq S \leq S_{2n} + a_{2n + 1}.\nonumber
$$
Отсюда следует, что \(S_{2n - 1} - S \leq a_{2n}\), \(S - S_{2n} \leq a_{2n + 1}\). Это означает, что при всех \(n \in \mathbb{N}\) выполняется неравенство \eqref{ref22}. \(\bullet\)


Пример 1.

Доказать, что ряд \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}} \frac{(-1)^{n + 1}}{n^{\alpha}}\), где \(\alpha\;>\;0\), сходится.

Решение.

\(\triangle\) Так как последовательность \(\left\{\displaystyle\frac{1}{n^{\alpha}}\right\}\), где \(\alpha\;>\;0\), монотонно стремится к нулю, то по теореме 1 ряд сходится. В частности, сходится ряд
$$
\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}} \frac{(-1)^{n + 1}}{n^{\alpha}} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{(-1)^{n + 1}}{n^{\alpha}} + \ldots,\nonumber
$$
а для его суммы \(S\) из неравенства \eqref{ref21} при \(n = 1\) следует оценка \(\displaystyle\frac{1}{2} \leq S \leq \frac{5}{6}\). В дальнейшем (§ 44) будет показано, что \(S = \ln 2\). \(\blacktriangle\)


Признаки Дирихле и Абеля сходимости рядов.

Теорема 2 (признак Дирихле).

Ряд
$$
\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}a_{n}b_{n},\label{ref23}
$$
сходится, если последовательность частичных сумм ряда \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}b_{n}\) ограничена, т. е.
$$
\exists M\;>\;0: \forall n \in \mathbb{N} \rightarrow \left|\sum_{\substack{k = 1} }^{\substack{n}}b_{k}\right| \leq M,\label{ref24}
$$
а последовательность \(\{a_{n}\}\) монотонно стремится к нулю, т. е.
$$
a_{n + 1} \leq a_{n}\ \mbox{для всех}\ n \in \mathbb{N}\label{ref25}
$$
или
$$
a_{n + 1} \geq a_{n}\ \mbox{для всех}\ n \in \mathbb{N}\label{ref25'}
$$
и
$$
\lim_{\substack{n \rightarrow \infty}}a_{n} = 0.\label{ref26}
$$

Доказательство.

\(\circ\) Покажем, что для ряда \eqref{ref23} выполняется условие Коши. Введем следующие обозначения:
$$
B_{n} = \sum_{\substack{k = 1} }^{\substack{n}}b_{k},\label{ref27}
$$
$$
\sigma = \sum_{\substack{k = n + 1}}^{\substack{n + p}}a_{k}b_{k},\ n \in \mathbb{N},\ p \in \mathbb{N}.\label{ref28}
$$
Преобразуем \(\sigma\), учитывая, что \(b_{k} = B_{k} - B_{k - 1}\) при \(k\;>\;1\), согласно формуле \eqref{ref27}. Получим
$$
\sigma = \sum_{\substack{k = n + 1}}^{\substack{n + p}}a_{k}B_{k} - \sum_{\substack{k = n + 1}}^{\substack{n + p}}a_{k}B_{k - 1},\nonumber
$$
где
$$
\sum_{\substack{k = n + 1}}^{\substack{n + p}}a_{k}B_{k - 1} = \sum_{\substack{k = n + 1}}^{\substack{n + p - 1}}a_{k + 1}B_{k} + a_{n + 1}B_{n}.\nonumber
$$
Поэтому
$$
\sigma = a_{n + p}B_{n + p} - a_{n + 1}B_{n} + \sum_{\substack{k = n + 1}}^{\substack{n + p - 1}}(a_{k} - a_{k + 1})B_{k}.\label{ref29}
$$
Если справедливо неравенство \eqref{ref25}, то из формулы \eqref{ref29} и условия \eqref{ref24} следует, что
$$
|\sigma| \leq M(|a_{n + p}| + |a_{n + 1}|) + M\sum_{\substack{k = n + 1}}^{\substack{n + p - 1}}(a_{k} - a_{k + 1}),\nonumber
$$
где
$$
\sum_{\substack{k = n + 1}}^{\substack{n + p - 1}}(a_{k} - a_{k + 1}) = a_{n + 1} - a_{n + p} \leq |a_{n + 1}| + |a_{n + p}|.
$$
Таким образом, для всех \(n \in \mathbb{N}\) и для всех \(p \in \mathbb{N}\) выполняется неравенство
$$
|\sigma| \leq 2M (|a_{n + 1}| + |a_{n + p}|).\label{ref30}
$$

Нетрудно показать, что неравенство \eqref{ref30} остается в силе, если заменить условие \eqref{ref25} условием \eqref{ref25'}. Условие \eqref{ref26} означает, что
$$
\forall \varepsilon\;>\;0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon} \rightarrow |a_{n}|\;<\;\frac{\varepsilon}{4M},\label{ref31}
$$
а из \eqref{ref28}, \eqref{ref30} и \eqref{ref31} следует, что
$$
\forall \varepsilon\;>\;0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon}\ \forall p \in \mathbb{N} \rightarrow \left|\sum_{\substack{k = n + 1}}^{\substack{n + p}}a_{k}b_{k}\right|\;<\;\varepsilon,\nonumber
$$
т. е. ряд \eqref{ref23} удовлетворяет условию Коши. Следовательно, этот ряд сходится. \(\bullet\)


Замечание 1.
Признак Лейбница можно получить из признака Дирихле, полагая \(b_{n} = (-1)^{n + 1}\). Прием, использованный при преобразовании суммы \eqref{ref28} к виду \eqref{ref29}, называют преобразованием Абеля, которое можно рассматривать как дискретный аналог метода интегрирования по частям.

Пример 2.

Доказать, что ряд
$$
\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}a_{n}\sin nx\label{ref32}
$$
сходится при всех \(x \in \mathbb{R}\), если последовательность \(\{a_{n}\}\) удовлетворяет условиям \eqref{ref25}, \eqref{ref26}.

Решение.

\(\triangle\) Если \(x = 2\pi m\), где \(m \in \mathbb{Z}\), то все члены ряда \eqref{ref32} — нули, и поэтому ряд \eqref{ref32} сходится.

Пусть \(x \neq 2\pi m\), где \(m \in \mathbb{Z}\). Обозначим \(B_{n}(x) = \displaystyle\sum_{\substack{k = 1} }^{\substack{n}}\). В § 3 (пример 2, формула (50)) было доказано, что \(B_{n}(x) = \displaystyle\frac{\displaystyle\sin \frac{(n + 1)x}{2} \sin \frac{nx}{2}}{\displaystyle\sin \frac{x}{2}}\), откуда \(|B_{n}(x)| \leq \displaystyle\frac{1}{|\sin \frac{x}{2}|}\) для любого \(n \in \mathbb{N}\). т. е. последовательность \(\{B_{n}(x)\}\) ограничена. По теореме 2 ряд \eqref{ref32} для каждого \(x \neq 2\pi m\), где \(m \in \mathbb{Z}\), сходится. Следовательно, ряд \eqref{ref32} сходится при любом \(x \in \mathbb{R}\). В частности, ряд
$$
\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}\frac{\sin nx}{n^{\alpha}},\quad \alpha\;>\;0,\nonumber
$$
сходится при любом \(x \in \mathbb{R}\). \(\blacktriangle\)


Пример 3.

Доказать, что ряд    \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}a_{n}\cos nx\), где последовательность \(\{a_{n}\}\) удовлетворяет условиям \eqref{ref25}, \eqref{ref26}, сходится при любом
\(x \neq 2\pi m\), где \(m \in \mathbb{Z}\).

Решение.

\(\Delta\) Воспользуемся формулой
$$
\sum_{\substack{k = 1} }^{\substack{n}} \cos kx = \frac{\displaystyle\sin \frac{nx}{2} \cos\frac{(n + 1)x}{2}}{\displaystyle\sin\frac{x}{2}},\ x \neq 2\pi m,\ m \in \mathbb{Z},\nonumber
$$
которую можно получить способом, который мы уже разбирали здесь.

Так как \(\displaystyle\left|\sum_{\substack{k = 1} }^{\substack{n}} \cos kx\right| \leq \frac{1}{\displaystyle\left|\sin\frac{x}{2}\right|}\) при \(x \neq 2\pi m\), где \(m \in \mathbb{Z}\), а последовательность \(\{a_{n}\}\) монотонно стремится к нулю, то ряд \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}a_{n}\cos nx\) при \(x \neq 2\pi m,\ m \in \mathbb{Z}\), сходится (теорема 2). \(\blacktriangle\)


В частности, ряд
$$
\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}\frac{\cos 2nx}{n^{\alpha}}, \alpha\;>\;0,\nonumber
$$
сходится при любом \(x \neq 2\pi m,\ (m \in \mathbb{Z})\).


Теорема 3(признак Абеля).

Ряд \eqref{ref23} сходится, если сходится ряд
\begin{equation}
\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}b_{n},\label{ref33}
\end{equation}
а последовательность \(\{a_{n}\}\) монотонна, т. е. удовлетворяет условию \eqref{ref25} или \eqref{ref25'}, и ограничена.

Доказательство.

\(\circ\) По теореме о пределе монотонной последовательности существует \(\displaystyle\lim_{\substack{n \rightarrow \infty}}a_{n} = a\), откуда следует, что \(\{a_{n} - a\}\) — последовательность, монотонно стремящаяся к нулю. Из сходимости ряда \eqref{ref33} следует, что последовательность \(\{B_{n}\}\) его частичных сумм ограничена. Поэтому ряд \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}(a_{n} - a)b_{n}\) сходится по признаку Дирихле. Отсюда и из сходимости ряда \eqref{ref33} заключаем, что ряд \eqref{ref23} сходится, так как
$$
a_{n}b_{n} = (a_{n} - a)b_{n} + ab_{n}.\ \bullet\nonumber
$$


Пример 4.

Исследовать на сходимость ряд \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}a_{n}\), где
$$
a_{n} = \frac{\displaystyle\cos\frac{\pi n}{5}}{\sqrt{n}\ln(n + 1)}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-n}.\nonumber
$$

Решение.

\(\Delta\) Ряд \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}\frac{\displaystyle\cos\frac{\pi n}{5}}{\sqrt{n}\ln(n + 1)}\) сходится (пример 3), а последовательность \(\displaystyle\left\{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-n}\right\}\) монотонна и ограничена. Поэтому ряд \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}a_{n}\) сходится (признак Абеля). \(\blacktriangle\)


Условно сходящиеся ряды.

Ряд
$$
\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}a_{n},\label{ref34}
$$
называется условно сходящимся, если этот ряд сходится, а ряд
$$
\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}|a_{n}|,\label{ref35}
$$
расходится.

При исследовании ряда на сходимость и абсолютную сходимость иногда оказывается полезным следующее утверждение.


Теорема 4.

Если ряд \eqref{ref34} абсолютно сходится, то ряды \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}b_{n}\) и \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}(a_{n} + b_{n})\) одновременно либо абсолютно сходятся, либо условно сходятся, либо расходятся.

Доказательство.

\(\circ\) Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 5 из § 38. \(\bullet\)


Пример 5.

Доказать, что ряд
$$
\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}\frac{\sin nx}{n^{\alpha}},\quad 0\;<\;\alpha \leq 1,\quad x\neq \pi m\ (m \in \mathbb{Z}),\label{ref36}
$$
сходится условно.

Решение.

\(\triangle\) Ряд \eqref{ref36} сходится (пример 2). Докажем, что ряд
$$
\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}\frac{|\sin nx|}{n^{\alpha}},\quad 0\;<\;\alpha \leq 1,\quad x\neq \pi m\ (m \in \mathbb{Z}),\label{ref37}
$$
расходится. Воспользуемся неравенством
$$
\frac{|\sin nx|}{n^{\alpha}} \geq \frac{\sin^{2} nx}{n^{\alpha}}.\label{ref38}
$$
Так как \(\sin^{2}nx = \displaystyle\frac{1 - 2\cos 2nx}{2} \), то из сходимости ряда \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}\frac{\cos 2nx}{2n^{\alpha}}\) (пример 3) и расходимости ряда \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}\frac{1}{2n^{\alpha}}\), где \(0\;<\;\alpha \leq 1,\ x\neq \pi m\ (m \in \mathbb{Z})\), следует расходимость ряда \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}} \frac{\sin^{2} nx}{n^{\alpha}}\), откуда в силу условия \eqref{ref38} следует расходимость ряда \eqref{ref37} по теореме сравнения. Это означает, что ряд \eqref{ref36} сходится условно. \(\blacktriangle\)


Пример 6.

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряд \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}a_{n}\), если:
$$
\mbox{а)}\ a_{n} = \frac{(-1)^{n + 1}}{\sqrt{n} + (-1)^{n + 1}};\qquad \mbox{б)}\ a_{n} = e^{\sin n/n^{2/3}} - \cos \frac{1}{n}.\nonumber
$$

Решение.

\(\triangle\) а) Запишем \(a_{n}\) в следующем виде:
$$
a_{n} = \frac{(-1)^{n + 1}}{\sqrt{n}}\left(1 + \frac{(-1)^{n + 1}}{\sqrt{n}}\right)^{-1}.\nonumber
$$
Используя асимптотическую формулу \((1 + t)^{-1} = 1 - t + t^{2} + o(t^{2})\) при \(t \rightarrow 0\), получаем \(\displaystyle\left(1 + \frac{(-1)^{n + 1}}{\sqrt{n}}\right)^{-1} = 1 - \frac{(-1)^{n + 1}}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n}(1 + \alpha_{n})\), где \(\alpha_{n} \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\), и поэтому \(|a_{n}| \leq 1\) при \(n \geq n_{0}\). Тогда \(a_{n} = \displaystyle\frac{(-1)^{n + 1}}{\sqrt{n}} - \frac{1}{n} + b_{n}\), где \(|b_{n}| \leq \displaystyle\frac{2}{n^{3/2}}\), и поэтому слагаемое \(b_{n}\) не влияет на сходимость исходного ряда (теорема 4). Так как ряд \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}\frac{(-1)^{n + 1}}{\sqrt{n}}\) сходится условно, а ряд \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}\frac{1}{n}\) расходится, то и ряд \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}a_{n}\) расходится.

б) Так как \(\displaystyle e^{t} = 1 + t + \frac{t^{2}}{2} + o(t^{2})\), \(\displaystyle\cos t = 1 - \frac{t^{2}}{2} + o(t^{3})\), то \(\displaystyle e^{\sin n/n^{2/3}} = 1 + \frac{\sin n}{n^{2/3}} + \frac{\alpha_{n}}{n^{4/3}}\), где \(|\alpha_{n}| \leq c_{1}\), \(\displaystyle\cos \frac{1}{n} = 1 + \frac{\beta_{n}}{n^{2}}\), где \(|\beta_{n}| \leq c_{2}\), \(a_{n} = \displaystyle\frac{\sin n}{n^{2/3}} + b_{n}\), где \(|b_{n}| \leq \displaystyle\frac{c_{1}}{n^{4/3}} + \frac{c_{2}}{n^{2}}\). Ряд \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}b_{n}\) сходится абсолютно, а ряд \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}\frac{\sin n}{n^{2/3}}\) сходится условно (пример 5). Поэтому ряд \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}a_{n}\) сходится условно (теорема 4). \(\blacktriangle\)


Замечание 2.
Если члены ряда \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}a_{n}\) меняют знак и выполняется условие \(a_{n} \sim b_{n}\) при \(n \rightarrow \infty\), то отсюда не следует, что ряды \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}a_{n}\) и \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}b_{n}\) эквивалентны в смысле сходимости, т. е. сходятся или расходятся одновременно. Так, если \(a_{n} = \displaystyle\frac{(-1)^{n + 1}}{\sqrt{n} + (-1)^{n + 1}}\) (пример 6), то \(a_{n} \sim \displaystyle\frac{(-1)^{n + 1}}{\sqrt{n}}\) при \(n \rightarrow \infty\), однако ряд \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}\frac{(-1)^{n + 1}}{\sqrt{n}}\) сходится, а ряд \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}a_{n}\) расходится.

В заключение рассмотрим свойства условно сходящихся рядов с действительными членами. Итак, пусть ряд \eqref{ref34} сходится условно, т. е. этот ряд сходится, а ряд \eqref{ref35} расходится. Обозначим
$$
\alpha_{k} = \frac{a_{k} + |a_{k}|}{2},\quad \beta_{k} = \frac{|a_{k}| - a_{k}}{2}.\label{ref39}
$$
Тогда из равенств \eqref{ref39} следует, что для всех \(k \in \mathbb{N}\)
$$
\alpha_{k} \geq 0,\quad \beta_{k} \geq 0,\label{ref40}
$$
$$
\alpha_{k} = \left\{\begin{array}{lc}a_{k},&\mbox{если}\ a_{k}\;>\;0, \\ 0,&\mbox{если}\ a_{k} \leq 0,\end{array} \right.\quad \beta_{k} = \left\{\begin{array}{lc}-a_{k},&\mbox{если}\ a_{k}\;<\;0, \\ 0,&\mbox{если}\ a_{k} \geq 0,\end{array} \right. \label{ref41}
$$
и
$$
a_{k} = \alpha_{k} - \beta_{k}.\label{ref42}
$$


Теорема 5.

Если ряд \eqref{ref34} сходится условно, то ряды
$$
\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}\alpha_{n},\label{ref43}
$$
$$
\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}\beta_{n},\label{ref44}
$$
где числа \(\alpha_{n}, \beta_{n}\) определяются формулами \eqref{ref39} или \eqref{ref41}, расходятся, причем
$$
\lim_{\substack{n \rightarrow \infty}}\alpha_{n} = 0,\quad \lim_{\substack{n \rightarrow \infty}}\beta_{n} = 0.\label{ref45}
$$

Доказательство.

\(\circ\) Предположим, что сходится ряд \eqref{ref43}. Тогда из сходимости ряда \eqref{ref43} и ряда \eqref{ref34}, т. е. ряда \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}(\alpha_{n} - \beta_{n})\), следует сходимость ряда \(\displaystyle\sum_{\substack{n = 1} }^{\substack{\infty}}(\alpha_{n} + \beta_{n})\), так как \(\alpha_{n} + \beta_{n} = 2 \alpha_{n} - (\alpha_{n} - \beta_{n})\).

С другой стороны, из равенства \eqref{ref39} следует, что \(|a_{n}| = \alpha_{n} + \beta_{n}\) где \(\alpha_{n} \geq 0\), \(\beta_{n} \geq 0\). Поэтому должен сходиться ряд \eqref{ref35}. Это противоречит тому, что ряд \eqref{ref34} сходится условно. Итак, ряд \eqref{ref43} не может сходиться. Аналогично доказывается расходимость ряда \eqref{ref44}.

Соотношения \eqref{ref45} выполняются, так как последовательности \(\{\alpha_{n}\}\) и \(\{\beta_{n}\}\) определяются формулами \eqref{ref41} и \(\displaystyle\lim_{\substack{n \rightarrow \infty}}a_{n} = 0\). \(\bullet\)


Теорема 6 (Римана).

Если ряд \eqref{ref34} сходится условно, то каким бы ни было \(L\) (числом или одним из символов \(+ \infty\), \(- \infty\)), можно так переставить члены этого ряда, что последовательность частичных сумм получившегося ряда будет иметь \(L\) своим пределом при \(n \rightarrow \infty\).

Данную теорему приводим без доказательства.