Эйлеровы интегралы

1. Гамма-функция Эйлера.

   Начать изучение
2. Бета-функция Эйлера.

   Начать изучение

Гамма-функция Эйлера.

Для того чтобы можно было применить теоремы об интегралах, зависящих от параметра, представим интеграл \eqref{ref1} в виде суммы двух интегралов
$$
\Gamma(x) = \int\limits_{0}^{1} t^{x-1}e^{-t} dt+\int\limits_{1}^{+\infty} t^{x-1}e^{-t} dt.\label{ref2}
$$
Оба интеграла сходятся равномерно по параметру \(x\) на любом конечном отрезке \([a, b] \subset (0, +\infty)\) по признаку Вейерштрасса. Действительно, пусть \(0 < a < 1\), \(b > 1\). Тогда \(0 \leq t^{x-1}e^{-t} \leq t^{a-1}\) при \(x \geq a\), \(0 \leq t \leq 1\) и \(\int\limits_{0}^{1} t^{a-1} dt = a^{-1}\). Следовательно, интеграл \(\displaystyle\int\limits_{0}^{1} t^{x-1}e^{-t} dt\) сходится равномерно на \([a, b]\).

Аналогично \(0 \leq t^{x-1}e^{-t} \leq t^{b-1}e^{-t}\) при \(x \leq b\), \(t \geq 1\), интеграл \(\displaystyle\int\limits_{1}^{+\infty} t^{x-1}e^{-t} dt\) сходится, а интеграл \(\displaystyle\int\limits_{1}^{+\infty} t^{x-1}e^{-t} dt\) сходится равномерно на \([a, b]\).

Так как подынтегральная функция \(t^{x-1}e^{-t}\) непрерывна при \(t > 0\), \(x > 0\), то в силу теоремы 4 отсюда оба интеграла в формуле \eqref{ref2} будут непрерывными функциями параметра \(x\) на произвольном отрезке \([a, b] \subset (0, +\infty)\), а поэтому \(\Gamma(x)\) есть непрерывная функция при \(x > 0\).

При \(x > 0\) функция \(\Gamma(x)\) непрерывно дифференцируема, причем
$$
\Gamma'(x) = \int\limits_{0}^{1} t^{x-1}e^{-t} \ln t\ dt+\int\limits_{1}^{+\infty} t^{x-1}e^{-t} \ln t\ dt = \int\limits_{1}^{+\infty} t^{x-1} \ln t\ e^{-t} dt.\label{ref3}
$$
Дифференцирование под знаком интеграла законно, так как оба интеграла в формуле \eqref{ref3} сходятся равномерно по параметру \(x\) на любом отрезке \([a, b] \subset (0, +\infty)\).

По индукции можно доказать, что \(\Gamma(x)\) есть бесконечно дифференцируемая функция при \(x > 0\) и
$$
\Gamma^{(n)}(x) = \int\limits_{0}^{+\infty} t^{x-1}e^{-t} (\ln t)^{n} dt.\label{ref4}
$$
В частности,
$$
\Gamma″(x) = \int\limits_{0}^{+\infty} t^{x-1}e^{-t} (\ln t)^{2} dt > 0.\nonumber
$$
Поэтому \(\Gamma(x)\) — выпуклая вниз функция при \(x > 0\) и имеет единственный положительный минимум. Нетрудно было бы показать, что формула \eqref{ref3} имеет место и для комплексных \(x\) при \(Re\ x > 0\), и поэтому \(\Gamma(x)\) есть регулярная функция комплексной переменной \(x\) в правой полуплоскости \(Re\ x > 0\).

Выведем теперь основное функциональное соотношение для гамма-функции. Пусть \(x > 0\). Интегрируя по частям, находим
$$
\begin{array}{cc}
& \Gamma(x+1) = \left.\int\limits_{0}^{+\infty} t^{x}e^{-t} dt = -e^{-t}t^{x}\right|_{0}^{+\infty}+x \int\limits_{0}^{+\infty} t^{x-1}e^{-t} dt = x\Gamma(x),\\
& \Gamma(x+1) = x\Gamma(x),\ x > 0.
\end{array}\label{ref5}
$$

Это и есть основное функциональное соотношение для гамма-функции, найденное Эйлером. На нем в значительной мере основана теория гамма-функции.

Прежде всего заметим, что если \(x \in (0, 1]\), то \(x+1 \in (1, 2]\). Поэтому, зная значения \(\Gamma(x)\) на промежутке \((0,1]\), можно при помощи формулы \eqref{ref5} найти значения \(\Gamma(x)\) на промежутке \((1,2]\), а следовательно, и на любом отрезке \([n, n+1]\), \(n = 1, 2, \ldots\) Это существенно облегчает вычисление значений гамма-функции.

Далее, формула \eqref{ref5} позволяет исследовать поведение \(\Gamma(x)\) при \(x \rightarrow +0\). Имеем
$$
\Gamma(x) = \frac{\Gamma(x+1)}{x} \sim \frac{\Gamma(1)}{x}\ \mbox{при}\ x \rightarrow +0,\nonumber
$$
так как \(\Gamma(x+1)\) — непрерывная функция при \(x = 0\), а \(\Gamma(1) = \displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty} e^{-t} dt = 1\). Таким образом, \(\Gamma(x) \rightarrow +\infty\) при \(x \rightarrow +0\).

Из формулы \eqref{ref5} находим
$$
\Gamma(n+1) = n\Gamma(n) = n(n-1) \ldots 1 \cdot \Gamma(1) = n!.\nonumber
$$
Функция \(n!\) определена для натуральных \(n\). Гамма-функция \(\Gamma(x)\) непрерывна для всех \(x > 0\) и \(\Gamma(n+1) = n!\).

Формула \eqref{ref5} позволяет продолжить функцию \(\Gamma(x)\) с сохранением ее свойств на отрицательные значения \(x\), не равные \(-1, -2, \ldots, -n, \ldots\)

Положим по определению
$$
\Gamma(x) = \frac{\Gamma(x+1)}{x},\ -1 < x < 0.\label{ref6}
$$

Так как при \(x \in (-1, 0)\) имеем \(x+1 \in (-1, 0)\), то определение \eqref{ref6} корректно. Исследуем поведение \(\Gamma(x)\) при \(x \rightarrow -1+0\). Полагая \(y = x+1\), получаем, что \(x \rightarrow -1+0\) эквивалентно \(y \rightarrow +0\). Поэтому при \(y \rightarrow +0\), используя \eqref{ref6}, получаем
$$
\Gamma(y-1) = \frac{\Gamma(y)}{y-1} \sim -\Gamma(y) \sim -\frac{1}{y} = -\frac{1}{x+1}.\nonumber
$$
Итак,
$$
\Gamma(x) \sim -\frac{1}{x+1},\ x \rightarrow -1+0.\nonumber
$$

По индукции теперь можно определить \(\Gamma(x)\) на любом интервале \((-(n+1), -n)\), где \(n \in N\), формулой \(\Gamma(x) = \displaystyle\frac{\Gamma(x+1)}{x}\), \(x \in (-(n+1), -n)\), причем \(\Gamma(x) \sim \displaystyle\frac{(-1)^{n}}{x+n}\) при \(x \rightarrow -n\).

График \(\Gamma(x)\) изображен на рис. 73.1.

Бета-функция Эйлера.

У интеграла две особых точки, \(t = 0\) и \(t = 1\). Записывая интеграл \eqref{ref7} в виде
$$
B(x, y) = \int\limits_{0}^{1/2} t^{x-1}(1-t)^{y-1} dt+\int\limits_{1/2}^{1} t^{x-1}(1-t)^{y-1} dt,\nonumber
$$
получаем, что первый интеграл сходится при \(x > 0\), а второй при \(y > 0\), так что бета-функция определена при \(x > 0\), \(y > 0\).

Опишем свойства бета-функции.

Многие интегралы могут быть выражены через эйлеровы интегралы.