Главная » Математический анализ » Интегралы, зависящие от параметра » Элементы теории обобщенных функций

Элементы теории обобщенных функций

7 разделов
от теории до практики
4 примера
Примеры решения задач
видео
Примеры решения задач
Содержание
  1. Пространство основных функций.
    Начать изучение
  2. Пространство обобщенных функций.
    Начать изучение
  3. Сходимость в пространстве обобщенных функций.
    Начать изучение
  4. Умножение обобщенной функции на бесконечно дифференцируемую функцию.
    Начать изучение
  5. Производная обобщенной функции.
    Начать изучение
  6. Операция сдвига аргумента для обобщенных функций.
    Начать изучение

Введение.

В физике постоянно пользуются такими идеализированными понятиями, как материальные точки, точечные заряды, магнитные диполи и т. д. На самом деле сосредоточенных в точке масс или зарядов не существует. Когда говорят о материальной точке массы 1, то это идеализированная модель шара достаточно малого радиуса \(\varepsilon\) и массы 1. Если в пространстве нет других масс, то плотность материи в пространстве будет распределена по следующему закону:
$$
\delta_{\varepsilon}(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{1}{4\pi\varepsilon^{3}/3}, & |x| \leq \varepsilon,\\
0, & |x| > \varepsilon,
\end{array} \right.\label{ref1}
$$
где \(x \in \boldsymbol{R}^{3}\). Заметим, что
$$
\int\limits_{\boldsymbol{R}^{3}} \delta_{\varepsilon}(x)\ dx = 1.\label{ref2}
$$
Если устремить \(\varepsilon\) к +0, то из \eqref{ref1} получим, что предельная плотность \(\delta(x)\) имеет вид
$$
\delta(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
+\infty, & x = 0,\\
0, & x \neq 0.
\end{array} \right.\label{ref3}
$$

Зная плотность \eqref{ref3}, нельзя по ней восстановить массу при помощи интегрирования, так как функция \eqref{ref3} не интегрируема ни по Риману, ни в несобственном смысле.

Чтобы обойти это затруднение, рассмотрим вместо поточечного предела функций \(\delta_{\varepsilon}(x)\) при \(\varepsilon \rightarrow +0\) так называемый “слабый предел”.

Будем \(\delta_{\varepsilon}(x)\) рассматривать как линейный функционал над линейным пространством непрерывных в \(\boldsymbol{R}^{3}\) функций, ставящий в соответствие каждой непрерывной в \(\boldsymbol{R}^{3}\) функции \(\varphi(x)\) число
$$
(\delta_{\varepsilon}, \varphi) = \int\limits_{\boldsymbol{R}^{3}} \delta_{\varepsilon}(x) \varphi(x)\ dx = \int\limits_{|x| \leq \varepsilon} \frac{\varphi(x)\ dx}{4\pi\varepsilon^{3}/3}.\nonumber
$$
Применяя теорему о среднем, получаем, что
$$
\lim_{\varepsilon \rightarrow +0} (\delta_{\varepsilon}, \varphi) = \lim_{\varepsilon \rightarrow +0} \varphi(\tilde{x}_{\varepsilon}) = \varphi(0) = (\delta, \varphi),\label{ref4}
$$
где \(\delta\) есть линейный функционал, ставящий в соответствие непрерывной функции число \(\varphi(0)\).

Если для любой непрерывной функции выполнено равенство \eqref{ref4}, то говорят, что линейный функционал \(\delta\) есть слабый предел линейных функционалов \(\delta_{\varepsilon}\) при \(\varepsilon \rightarrow +0\).

При таком подходе по плотности легко восстановить массу точки. Она равна
$$
\lim_{\varepsilon \rightarrow +0} \int\limits_{\boldsymbol{R}^{3}} \delta_{\varepsilon}(x)\ dx = \lim_{\varepsilon \rightarrow +0} (\delta_{\varepsilon}, 1) = (\delta, 1) = 1.\nonumber
$$
Функционал \eqref{ref4} называют \(\delta\)-функцией Дирака.

Перейдем теперь к более строгому и систематическому изложению так называемых распределений или обобщенных функций.


Пространство основных функций.

Пространство непрерывных функций слишком широко для того, чтобы, используя его, можно было построить содержательную теорию обобщенных функций. Удобно рассматривать некоторые специальные подпространства. Для простоты ограничимся функциями одной переменной.

Будем рассматривать комплекснозначные функции, определенные на \(\boldsymbol{R}\). Носителем функции \(\varphi(x)\) назовем замыкание множества тех \(x\), где \(\varphi(x) \neq 0\). Если носитель функции есть ограниченное множество, то функция \(\varphi(x)\) называется финитной (она обращается в нуль вне некоторого отрезка). Пусть \(\mathcal{D}\) есть множество финитных и бесконечно дифференцируемых на \(\boldsymbol{R}\) функций. Очевидно, что \(\mathcal{D}\) есть линейное пространство. Введем в этом пространстве сходимость.

Определение.

Будем говорить, что последовательность функций \(\{\varphi_{n}(x)\}\), где \(\varphi_{n} \in \mathcal{D}\) при любом \(n \in \mathbb{N}\), сходится к функции \(\varphi(x) \in \mathcal{D}\), и писать
$$
\varphi_{n}(x) \xrightarrow{\mathcal{D}} \varphi(x)\ \mbox{при}\ n \rightarrow \infty,\nonumber
$$
если выполнены следующие условия:

  1. носители всех \(\{\varphi_{n}(x)\}\) лежат на некотором отрезке \([a, b]\);
  2. при любом \(k \in \mathbb{N}\) последовательность \(\{\varphi_{n}^{(k)}(x)\}\) равномерно на \(\boldsymbol{R}\) сходится к \(\{\varphi^{(k)}(x)\}\).

Будем линейное пространство \(\mathcal{D}\) с введенной выше сходимостью называть пространством основных функций.

Например,

функция
$$
\tilde{\varphi}(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
e^{-a^{2}/(a^{2}-x^{2})}, & |x| < a,\\
0, & |x| \geq a,
\end{array} \right.\label{ref5}
$$
при любом \(a \in \boldsymbol{R}\) принадлежит пространству \(\mathcal{D}\).


Пространство обобщенных функций.

Определение.

Пусть каждой функции \(\varphi \in \mathcal{D}\) поставлено в соответствие комплексное число \((f, \varphi)\), причем для любых двух комплексных чисел \(\alpha, \beta\) и любых двух функций \(\varphi, \psi \in \mathcal{D}\) выполнено равенство
$$
(f, \alpha\varphi + \beta\psi) = \alpha(f, \varphi) + \beta(f, \psi).\nonumber
$$

Тогда говорят, что на \(\mathcal{D}\) определен линейный функционал \(f\). Функционал \(f\) называется непрерывным, если из \(\varphi_{n} \xrightarrow{\mathcal{D}} \varphi\) при \(n \rightarrow \infty\) следует, что \((f, \varphi_{n}) \rightarrow (f, \varphi)\) при \(n \rightarrow \infty\).

Множество всех линейных непрерывных функционалов будем обозначать через \(\mathcal{D’}\). Множество \(\mathcal{D’}\) будет линейным пространством, если естественным образом определить операцию сложения непрерывных линейных функционалов и операцию умножения непрерывных линейных функционалов на комплексные числа. Если \(\alpha, \beta \in \boldsymbol{C}\), \(f_{1}, f_{2} \in \mathcal{D’}\), то по определению \(\alpha f_{1} + \beta f_{2}\) есть непрерывный линейный функционал, действующий на основные функции \(\varphi \in \mathcal{D}\) по следующему правилу:
$$
(\alpha f_{1} + \beta f_{2}, \varphi) = \alpha(f_{1}, \varphi) + \beta(f_{2}, \varphi).\label{ref6}
$$

Нетрудно показать, что определение корректно, то есть что функционал \(\alpha f_{1} + \beta f_{2}\), определяемый равенством \eqref{ref6}, действительно линеен и непрерывен.

В \(\mathcal{D’}\) выделяют класс регулярных функционалов. Если функция \(f(x)\) абсолютно интегрируема на любом конечном отрезке (локально интегрируема), то она порождает функционал
$$
(f, \varphi) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\varphi(x)\ dx.\label{ref7}
$$

Лемма 1.

Формула \eqref{ref7} определяет линейный и непрерывный функционал в если \(f(x)\) — локально интегрируемая функция.

Доказательство.

\(\circ\) Для любой функции \(\varphi \in \mathcal{D}\) несобственный интеграл \eqref{ref7} сходится. Действительно, пусть носитель финитной функции \(\varphi\) расположен на отрезке \([a, b]\) и пусть функция \(\varphi(x)\), будучи непрерывной на \([a, b]\), ограничена по модулю на \([a, b]\) числом \(M\). Интеграл \eqref{ref7} сходится, так как
$$
\int\limits_{-\infty}^{+\infty} |f(x)\varphi(x)|\ dx \leq \int\limits_{a}^{b} |f(x)||\varphi(x)|\ dx \leq M \int\limits_{a}^{b} |f(x)|\ dx,\nonumber
$$
а функция \(f(x)\) абсолютно интегрируема на любом конечном отрезке \([a, b]\).

Линейность функционала, определенного равенством \eqref{ref7}, следует из линейности интеграла относительно функции \(\varphi\).

Докажем непрерывность функционала \eqref{ref7}. Пусть \(\varphi_{n} \xrightarrow{\mathcal{D}} \varphi\). Тогда носители всех \(\varphi_{n}\) лежат на некотором отрезке \([a, b]\) и \(\displaystyle\sup_{x \in \boldsymbol{R}}|\varphi_{n}-\varphi| \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\). Поэтому \(\varphi = 0\) при \(x \notin [a, b]\) и
$$
|(f, \varphi_{n})-(f, \varphi)| = \left|\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)(\varphi_{n}(x)-\varphi(x))\ dx\right| \leq\\ \leq \sup_{a \leq x \leq b}|\varphi_{n}(x)-\varphi(x)| \int\limits_{a}^{b} |f(x)|\ dx \rightarrow 0\ \mbox{при}\ n \rightarrow \infty.\nonumber
$$
Таким образом, \((f, \varphi_{n}) \rightarrow (f, \varphi)\) при \(n \rightarrow \infty\), то есть функционал \eqref{ref7} непрерывен. \(\bullet\)

Линейные непрерывные функционалы, не являющиеся регулярными, будем называть сингулярными.

Например,

\(\delta\)-функция, определяемая как функционал, действующий на функции \(\varphi \in \mathcal{D}\) по правилу
$$
(\delta, \varphi) = \varphi(0),\label{ref8}
$$
будет сингулярным функционалом пространства \(\mathcal{D’}\).

Доказательство.

\(\circ\) Линейность и непрерывность функционала \eqref{ref8} очевидны. Докажем его сингулярность. Пусть существует такая локально интегрируемая функция, что
$$
(\delta, \varphi) = \varphi(0) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\varphi(x)\ dx\ \mbox{для любой}\ \varphi \in \mathcal{D}.\label{ref9}
$$
В частности, равенство \eqref{ref9} должно быть выполнено для функции \(\tilde{\varphi}(x)\), определенной равенством \eqref{ref5}, при любом \(a > 0\). Поэтому
$$
\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\tilde{\varphi}(x)\ dx = \tilde{\varphi}(0) = e^{-1}.\label{ref10}
$$
С другой стороны, пользуясь локальной интегрируемостью функции \(f(x)\), подберем такое \(a\), что
$$
\int\limits_{-a}^{a} |f(x)|\ dx < 1.\label{ref11}
$$

Воспользовавшись тем, что \(\tilde{\varphi}(x) \leq \tilde{\varphi}(0)\), получаем
$$
\left|\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\tilde{\varphi}(x)\ dx\right| = \left|\int\limits_{-a}^{a} f(x)\tilde{\varphi}(x)\ dx\right| \leq \tilde{\varphi}(0) \int\limits_{-a}^{a} |f(x)|\ dx < e^{-1},\label{ref12}
$$
что противоречит равенству \eqref{ref10}. Противоречие доказывает, что \(\delta\)-функция есть сингулярный линейный и непрерывный на функционал. \(\bullet\)

Пространство \(\mathcal{D’}\) называют пространством обобщенных функций, а элементы этого пространства — обобщенными функциями.


Сходимость в пространстве обобщенных функций.

Определение.

Будем говорить, что последовательность \(\{f_{n}\}\), где \(f_{n} \in \mathcal{D’}\) сходится в \(\mathcal{D’}\) к элементу \(f \in \mathcal{D’}\) и писать \(f_{n} \xrightarrow{\mathcal{D’}} f\), если для любой функции \(\varphi \in \mathcal{D}\) выполнено равенство
$$
(f, \varphi_{n}) \rightarrow (f, \varphi)\ \mbox{при}\ n \rightarrow \infty.\nonumber
$$
Такую сходимость функционалов называют слабой сходимостью.

Вместо последовательности функционалов \(f_{n} \in \mathcal{D’}\) иногда рассматривают семейство функционалов \(\{f_{\varepsilon}\}\), зависящих от параметра \(\varepsilon\). В этом случае запись
$$
f_{\varepsilon} \xrightarrow{\mathcal{D’}} f\ \mbox{при}\ \varepsilon \rightarrow +0
$$
означает, что \(\displaystyle\lim_{\varepsilon \rightarrow +0}(f_{\varepsilon}, \varphi) = (f, \varphi)\) для любой функции \(\varphi \in \mathcal{D}\). В частности, запись
$$
f_{\varepsilon} \rightarrow \delta\ \mbox{при}\ \varepsilon \rightarrow +0\nonumber
$$
означает, что
$$
\lim_{\varepsilon \rightarrow +0}(f_{\varepsilon}, \varphi) = (\delta, \varphi) = \varphi(0)\ \mbox{для любой}\ \varphi \in \mathcal{D}.\label{ref13}
$$

Пример 1.

Доказать, что
$$
f_{\varepsilon}(x) = \frac{1}{\pi} \frac{\varepsilon}{x^{2} + \varepsilon^{2}} \xrightarrow{\mathcal{D’}} \delta(x)\ \mbox{при}\ \varepsilon \rightarrow +0.\nonumber
$$

Решение.

\(\vartriangle\) Очевидно, что функции \(f_{\varepsilon}(x)\) локально интегрируемы и поэтому порождают регулярные функционалы в \(\mathcal{D’}\). Возьмем любую функцию \(\varphi \in \mathcal{D}\). Пусть ее носитель лежит на отрезке \([-A, A]\). Тогда
$$
(f_{\varepsilon}, \varphi) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f_{\varepsilon}(x)\varphi(x)\ dx = \int\limits_{-A}^{A} f_{\varepsilon}(x)\varphi(x)\ dx =\\= \frac{1}{\pi} \int\limits_{-A}^{A} \frac{\varepsilon}{x^{2} + \varepsilon^{2}} [\varphi(x)-\varphi(0) + \varphi(0)]\ dx.\label{ref14}
$$
Так как функция \(\varphi(x)\) дифференцируема на \(\boldsymbol{R}\) и финитна, то, применяя формулу конечных приращений Лагранжа, получаем неравенство
$$
|\varphi(x)-\varphi(0)| = |x\varphi'(\xi)| \leq |x| \max_{x \in [-A, A]} |\varphi'(x)| = c_{0}|x|.\label{ref15}
$$

Справедливы следующие утверждения:
$$
\frac{1}{\pi} \int\limits_{-A}^{A} \frac{\varepsilon}{x^{2} + \varepsilon^{2}}\ dx = \frac{2}{\pi}\operatorname{arctg} \frac{A}{\varepsilon} \rightarrow 1\ \mbox{при}\ \varepsilon \rightarrow +0,\label{ref16}
$$
$$
\left|\frac{1}{\pi} \int\limits_{-A}^{A} \varepsilon \frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x^{2} + \varepsilon^{2}}\ dx\right| \leq \frac{1}{\pi} \int\limits_{-A}^{A} \frac{c_{0}\varepsilon|x|}{x^{2} + \varepsilon^{2}}\ dx =\\=\frac{c_{0}\varepsilon}{\pi} \ln \frac{A^{2} + \varepsilon^{2}}{\varepsilon^{2}} \rightarrow 0\ \mbox{при}\ \varepsilon \rightarrow +0.\label{ref17}
$$
Из \eqref{ref14}—\eqref{ref17} следует, что для любой функции \(\varphi \in \mathcal{D}\) выполнено равенство \eqref{ref13}, то есть
$$
\lim_{\varepsilon \rightarrow +0}(f_{\varepsilon}, \varphi) = \varphi(0) = (\delta, \varphi).
$$
Согласно определению это означает, что \(f_{\varepsilon} \xrightarrow{\mathcal{D’}} \delta\). \(\blacktriangle\)


Умножение обобщенной функции на бесконечно дифференцируемую функцию.

Введем операцию умножения обобщенной функции на бесконечно дифференцируемую функцию \(\psi(x)\).

Определение.

Если \(f \in \mathcal{D’}\), а \(\psi(x)\) есть бесконечно дифференцируемая функция, то \(\psi f\) — такая обобщенная функция, которая действует на произвольную функцию \(\varphi \in \mathcal{D}\) по следующему правилу:
$$
(\psi f, \varphi) = (f, \psi\varphi).\label{ref18}
$$

Определение корректно, поскольку \(\psi\varphi \in \mathcal{D}\).

По определению обобщенная функция \(f\) равна нулю на интервале \((a, b)\), если для любой функции \(\varphi \in \mathcal{D}\), носитель которой лежит в \((a, b)\), выполнено равенство \((f, \varphi) = 0\). Так, \(\delta\)-функция равна нулю на любом интервале \((a, b)\), не содержащем точку \(x = 0\). Две обобщенные функции \(f_{1}\) и \(f_{2}\) называются равными на интервале \((a, b)\), если \(f_{1}-f_{2} = 0\) на \((a, b)\). В частности, \(f_{1}\) и \(f_{2}\) равны на \(\boldsymbol{R}\), если их значения совпадают на любой основной функции \(\varphi \in \mathcal{D}\).

Пример 2.

Показать, что \(x\delta = 0\).

Решение.

\(\vartriangle\) Пользуясь равенством \eqref{ref18}, получаем
$$
(x\delta, \varphi) = (\delta, x\varphi) = (x\varphi)_{x = 0} = 0 = (0, \varphi).\nonumber
$$
Так как на всех основных функциях значения функционалов \(x\delta\) и 0 совпадают, то эти обобщенные функции равны. \(\blacktriangle\)


Производная обобщенной функции.

Пусть \(f(x)\) — непрерывно дифференцируемая на \(\boldsymbol{R}\) функция; тогда функция \(f'(x)\) порождает регулярный функционал
$$
(f’, \varphi) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f'(x)\varphi(x)\ dx,\ \varphi \in \mathcal{D}.
$$
Интегрируя по частям, получаем, пользуясь тем, что \(\varphi = 0\) вне некоторого отрезка \([-A, A]\), следующее равенство:
$$
(f’, \varphi) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f'(x)\varphi(x)\ dx =\\= \left.f(x)\varphi(x)\right|_{-\infty}^{+\infty}-\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\varphi'(x)\ dx =-\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\varphi'(x)\ dx.\nonumber
$$
Итак, в рассматриваемом случае
$$
(f’, \varphi) = -(f, \varphi’),\ \varphi \in \mathcal{D}.\label{ref19}
$$
Равенство \eqref{ref19} лежит в основе определения производной обобщенной функции.

Определение.

Производной обобщенной функции \(f \in \mathcal{D’}\) называется линейный и непрерывный функционал \(f’ \in \mathcal{D’}\) действующий на основные функции \(\varphi \in \mathcal{D}\) по правилу, выражающемуся формулой \eqref{ref19}.

Утверждение.

\(f’\) есть линейный и непрерывный функционал.

Доказательство.

\(\circ\) Пусть \(\alpha\) и \(\beta\) — произвольные комплексные числа, a \(\varphi_{1}\) и \(\varphi_{2}\) — произвольные функции из пространства \(\mathcal{D}\). Тогда, пользуясь определением производной обобщенной функции и линейностью функционала \(f\), получаем равенство
$$
(f’, \alpha\varphi_{1} + \beta\varphi_{2}) = -(f, \alpha’\varphi_{1} + \beta’\varphi_{2}) = -\alpha(f, \varphi’_{1})-\beta(f, \varphi’_{2}) =\\= \alpha(f, \varphi’_{1}) + \beta(f, \varphi’_{2}),\nonumber
$$
из которого следует линейность функционала \(f’\).

Докажем, что \(f’\) — непрерывный функционал. Пусть \(\varphi_{n} \xrightarrow{\mathcal{D}} \varphi\). Нужно показать, что \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(f’, \varphi_{n}) = (f’, \varphi)\). Пользуясь формулой \eqref{ref19} и непрерывностью функционала \(f\), получаем, что
$$
\lim_{n \rightarrow \infty}(f’, \varphi_{n}) = -\lim_{n \rightarrow \infty}(f, \varphi’_{n}) = (-f, \varphi’) = (f’, \varphi),
$$
так как из \(\varphi_{n} \xrightarrow{\mathcal{D}} \varphi\) следует, что и \(\varphi’_{n} \xrightarrow{\mathcal{D}} \varphi’\).

Итак, \(f’\) есть линейный и непрерывный функционал, то есть \(f’ \in \mathcal{D’}\). \(\bullet\)

Производные высших порядков определяются для обобщенных функций по индукции:
$$
f^{(k)} = (f^{(k-1)})’,\ k = 2, 3, \ldots\nonumber
$$

Легко проверить, что для любой функции \(\varphi \in \mathcal{D}\) выполнено равенство
$$
(f^{(k)}, \varphi) = (-1)^{k}(f, \varphi^{(k)}).\nonumber
$$

Таким образом, обобщенные функции имеют производные всех порядков.

Пример 3.

Найти производную функции Хевисайда
$$
\theta(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
1, & x \geq 0,\\
0, & x < 0.
\end{array} \right.\nonumber
$$

Решение.

\(\vartriangle\) Функция Хевисайда локально интегрируема и поэтому порождает обобщенную функцию, действующую на основные функции по правилу
$$
(\theta, \varphi) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \theta(x)\varphi(x)\ dx = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x)\ dx.\nonumber
$$

Докажем, что \(\theta’ = \delta\). Для любой функции \(\varphi \in \mathcal{D}\) имеем равенство
$$
(\theta’, \varphi) = -(\theta, \varphi’) = -\int\limits_{0}^{+\infty} \varphi'(x)\ dx = \varphi(0) = (\delta, \varphi).
$$
Следовательно, \(\theta’, \delta\). \(\blacktriangle\)

Пример 4.

Пусть \(\psi(x)\) — бесконечно дифференцируемая функция, а \(f\) — обобщенная функция. Доказать формулу
$$
(\psi f)’ = \psi’f + \psi f’.\label{ref20}
$$

Решение.

\(\vartriangle\) Воспользовавшись определением обобщенной функции \(\psi f\) и определением производной обобщенной функции, получаем, что для любой функции \(\varphi \in \mathcal{D}\) справедливо равенство
$$
((\psi f)’, \varphi) = -(\psi f, \varphi’) = -(f, \psi\varphi’) = -(f, (\psi\varphi)’-\psi’\varphi) =\\= -(f, (\psi\varphi)’) + (f, \psi’\varphi) = (f’, \psi\varphi) + (\psi’f, \varphi) =\\= (\psi f’, \varphi) + (\psi’f, \varphi) = (\psi f’ + \psi’ f, \varphi),\nonumber
$$
из которого следует формула \eqref{ref20}. \(\blacktriangle\)


Операция сдвига аргумента для обобщенных функций.

Пусть \(f(x)\) есть локально интегрируемая на \(\boldsymbol{R}\) функция. Для нее определена операция сдвига аргумента \(T_{h}\), а именно \(T_{h}f(x) = f(x-h)\). Если \(\varphi \in \mathcal{D}\) то
$$
(T_{h}f, \varphi) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x-h)\varphi(x)\ dx = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\varphi(x + h)\ dx = (f, T_{-h}\varphi).\label{ref21}
$$

Хотя значение обобщенной функции в точке не определено, но для нее можно формально ввести операцию сдвига аргумента по аналогии с формулой \eqref{ref21}:
$$
(T_{h}f, \varphi) = (f, T_{-h}\varphi),\ \varphi \in \mathcal{D}.\label{ref22}
$$

Если \(\delta(x)\) есть \(\delta\)-функция, то \(T_{h}\delta\) обычно обозначают через \(\delta(x-h)\). Тогда для любой функции \(\varphi \in \mathcal{D}\)
$$
(\delta(x-h), \varphi(x)) = (\delta(x), \varphi(x + h)) = \varphi(h).\nonumber
$$

Оставить комментарий